I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR DEVELOPPEMENTS LIMITES - EQUIVALENCE 1. Fonctions dérivables 1.1 Définitions On dit qu’une application f d’une variable réelle est définie au voisinage d’un point x0 ∈ R s’il existe un réel r > 0 tel que f est définie sur ]x0 − r, x0 + r[. On dit qu’une application f d’une variable réelle est définie au voisinage de +∞ s’il existe a ∈ R tel que f est définie sur ]a, +∞[, de même on dit qu’une application f d’une variable réelle est définie au voisinage de −∞ s’il existe a ∈ R tel que f est définie sur ] − ∞, a[. On dit que f est dérivable en un point x0 de R si f est définie au voisinage de x0 et si f (x) − f (x0 ) le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) := de f en x0 admet une limite finie x − x0 quand x −→ x0 dans ]x0 − r, x0 + r[−{x0 }. On note alors f 0 (x0 ) cette limite et on l’appelle la dérivée de f en x0 . 1.2 Interprétation géométrique On munit le plan d’un repère orthonormé (O,~i, ~j) et on considère la courbe représentative C de f dans ce repère ; soit M0 le point de coordonnées (x0 , f (x0 )) et soit M le point de coordonnées (x, f (x)) pour x 6= x0 voisin de x0 , alors le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) de f en x0 n’est autre que la pente de la droite (M M0 ) et si f est dérivable en x0 , alors la droite (M M0 ) tend vers une droite appelée tangente à la courbe C au point M0 et qui a pour pente f 0 (x0 ). 1.3 Remarque La courbe représentative d’une fonction f peut posséder une tangente en un point M0 (x0 , f (x0 )) sans que f soit dérivable en x0 : c’est le cas quand le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) tend vers ±∞ quand x −→ x0 dans ]x0 − r, x0 + r[−{x0 }. 1.4 Proposition Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. Si f est dérivable en un point x0 de I alors f est continue en x0 . f (x) − f (x0 ) Preuve : si f est dérivable en x0 , alors le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) := x − x0 de f en x0 admet une limite finie l quand x −→ x0 dans I − {x0 }, alors si on pose ε(x) = T (f, x0 )(x) si x 6= x0 et ε(x0 ) = 0 on peut écrire f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ε(x) donc f (x) −→ f (x0 ) quand x −→ x0 . Remarque La réciproque de ce résultat est fausse : la fonction f (x) = |x| est continue en 0 sans être dérivable en 0. 1 1.5 Définitions et notations Soit I un sous-ensemble de R et soit f : I −→ R une application. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I ; l’application f 0 : I −→ R x 7−→ f 0 (x) est appelée la dérivée de f (notation dite de Lagrange). On utilise également la notation df (x0 ). Enfin, en Physique, si x : t 7→ x(t) désigne une fonction dite de Leibniz f 0 (x0 ) = dx x de la variable temps, on utilise la notation dite de Newton ẋ(t) pour désigner la dérivée de x par rapport au temps. On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et si la fonction dérivée f 0 est continue sur I. 1.6 Opérations sur les dérivées a) Si f et g sont dérivables en x0 et si k ∈ R, alors f + g et kf sont dérivables en x0 et on a (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) (kf )0 (x0 ) = kf 0 (x0 ). b) Si f et g sont dérivables en x0 , alors f g est dérivable en x0 et on a (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ). c) Si f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f (x0 ), alors g ◦ f est dérivable en x0 et on a (g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) × (g 0 ◦ f )(x0 ). d) Si f et g sont dérivables en x0 et si g(x0 ) 6= 0, alors 0 f g (x0 ) = f est dérivable en x0 et on a g f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ) . g 2 (x0 ) Remarque : La notation de Leibniz fournit un moyen mnémotechnique très utile pour retrouver la formule de dérivation d’une composée de fonctions : considérons z = g(y) et y = f (x), alors la formule du (c) s’écrit de la manière suivante (g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × (g 0 ◦ f )(x) = f 0 (x) × g 0 (y) = g 0 (y) × f 0 (x) ce qui s’écrit avec la notation de Leibniz dz dz dy = . dx dy dx c’est-à-dire que tout se passe comme si il suffisait de simplifier par dy. 2 1.7 Dérivées des fonctions usuelles * * * * * * * * * d n x = nxn−1 sur R si n ∈ N dx d n x = nxn−1 sur R∗ si n est un entier < 0 dx d α x = αxα−1 sur ]0, +∞[ si α ∈ R non entier. dx d x e = ex sur R dx 1 d ln |x − a| = sur R − {a} dx x−a d sin x = cos x sur R dx d cos x = − sin x sur R dx d 1 π π tgx = 1 + tg2 x = sur ] − + kπ, + kπ[ avec k ∈ Z 2 dx cos x 2 2 d 1 Arctgx = sur R dx 1 + x2 1.8 Théorème Soit I un intervalle de R non réduit à un point et soit f : I −→ R une application continue, strictement croissante (resp. décroissante) sur I ; alors f (I) est un intervalle de R et f est une bijection de I sur f (I). De plus, la bijection réciproque f −1 : f (I) −→ I est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur f (I) et les courbes représentatives de f et f −1 dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. Si de plus f est dérivable en x0 ∈ I et si f 0 (x0 ) 6= 0, alors f −1 est dérivable en f (x0 ) et 1 . (f −1 )0 (f (x0 )) = 0 f (x0 ) 1.9 Définition Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. a) On dit que f est dérivable à gauche en un point x0 de I si et seulement si le taux f (x) − f (x0 ) d’accroissement T (f, x0 )(x) := de f en x0 admet une limite finie quand x − x0 x −→ x0 dans I∩] − ∞, x0 [. On note alors fg0 (x0 ) cette limite et on l’appelle la dérivée à gauche de f en x0 . La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M0 de coordonnées (x0 , f (x0 )) dans le demi-plan x < x0 . a) On dit que f est dérivable à droite en un point x0 de I si et seulement si le taux f (x) − f (x0 ) d’accroissement T (f, x0 )(x) := de f en x0 admet une limite finie quand x − x0 3 x −→ x0 dans I∩]x0 , +∞[. On note alors fd0 (x0 ) cette limite et on l’appelle la dérivée à droite de f en x0 . La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M0 de coordonnées (x0 , f (x0 )) dans le demi-plan x > x0 . 1.10 Définition Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. a) Si f est dérivable sur I et si sa dérivée f 0 est elle-même dérivable sur I, on dit que f est deux fois dérivable sur I : la dérivée de f 0 est notée f 00 ou f (2) et s’appelle la dérivée seconde de f . Si f 00 est dérivable sur I, sa dérivée est notée f 000 ou f (3) , etc... b) Soit n ∈ N∗ : on dit que f est n-fois dérivable sur I si f est dérivable sur I, f 0 est dérivable sur I, f 00 est dérivable sur I,..., f (n−1) est dérivable sur I et on note f (n) = (f (n−1) )0 . La fonction f (n) est appelée la dérivée n-ième de f ou dérivée d’ordre n de f . dn f On utilise également la notation f (n) = n . On pose par convention f (0) = f . dx c) On dit que f est indéfiniment dérivable sur I si f est n-fois dérivable sur I pour tout entier n ∈ N. 1.11 Exemples a) La fonction ex est indéfiniment dérivable sur R et (ex )(n) = ex pour tout n ∈ N. b) La fonction sin x est indéfiniment dérivable sur R et (sin x)(2n) = (−1)n sin x et (sin x)(2n+1) = (−1)n cos x pour tout n ∈ N. c) La fonction f (x) = |x|3 est deux fois dérivable sur R mais pas trois-fois dérivable en 0. 2 Etude pratique d’une fonction Soit f une fonction d’une variable réelle : on notera C(f ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0,~i, ~j). a) on détermine le domaine de définition de f ; b) on calcule la dérivée de f là où elle est dérivable et on en déduit les variations de f ; c) on calcule les limites de f aux bornes du domaine de définition ; d) on étudie "les branches infinies" : * s’il existe un réel a tel que lim f (x) = ±∞, alors la droite d’équation x = a est asymptote x→a à la courbe C(f ). * si lim f (x) = b ∈ R, alors la droite d’équation y = b est asymptote à la courbe C(f ). x→±∞ * si lim f (x) = ±∞, on cherche si la courbe C(f ) possède une asymptote dite "oblique" : x→±∞ f (x) possède une limite quand x −→ ±∞ ; si oui, plusieurs cas pour cela on regarde si x cas se présentent selon que cette limite est finie ou pas : 4 f (x) = a ∈ R∗ ; alors on étudie lim (f (x) − ax). Si cette limite existe et x→±∞ x→±∞ x est finie égale à b ∈ R, alors la droite d’équation y = ax+b est asymptote à la courbe C(f ). Si lim (f (x) − ax) = ±∞, on dit que la courbe C(f ) admet une branche parabolique de x→±∞ direction la droite d’équation y = ax. f (x) 2ème cas : lim = 0 ; alors on dit que la courbe C(f ) admet une branche parabolique x→±∞ x de direction 0x. f (x) = ±∞, alors on dit la courbe C(f ) admet une branche parabolique 3ème cas : lim x→±∞ x de direction 0y. 1er cas : lim 3 Fonctions usuelles (cf. fin du chapitre) 4 Formules de Taylor 4.1 Théorème de Rolle Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] −→ R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f (a) = f (b) ; alors il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Preuve : admise. 4.2 Théorème des accroissements finis Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] −→ R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ ; alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c). On peut aussi exprimer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante : soient x0 ∈ R et h > 0 et soit f une application continue sur [x0 , x0 + h] et dérivable sur ]x0 , x0 + h[ alors il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que f (x0 + h) − f (x0 ) = hf 0 (x0 + θh). (de même avec h < 0 et f continue sur [x0 + h, x0 ], dérivable sur ]x0 + h, x0 [.) Preuve : On considère la fonction ϕ définie sur [a, b] par ϕ(x) = f (x) − f (b) − f (a) (x − a) − f (a). b−a La fonction ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ puisque f l’est et on a ϕ(a) = 0 mais aussi ϕ(b) = 0 ; on peut donc appliquer le théorème de Rolle à ϕ : il existe c ∈]a, b[ tel que ϕ0 (c) = 0. Or pour tout x ∈]a, b[, on a ϕ0 (x) = f 0 (x) − f (a) − f (b) b−a donc ϕ0 (c) = 0, ce qui signifie f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c). 5 4.3 Corollaire Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R. a) pour tous a et b ∈ I il existe c strictement compris entre a et b tel que f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c). b) Soit x0 ∈ I et h ∈ R tel que x0 + h ∈ I alors il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que f (x0 + h) − f (x0 ) = hf 0 (x0 + θh). 4.4 Corollaire Soit x0 ∈ R et soit f une application continue au voisinage de x0 et dérivable au voisinage de x0 sauf en x0 ; si f 0 admet une limite l ∈ R ∪ {±∞} quand x → x0 , x 6= x0 , alors la courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x0 , f (x0 )). Preuve : pour h > 0 suffisamment proche de 0, f est continue sur [x0 , x0 + h] et dérivable sur ]x0 , x0 + h[ donc il existe θ ∈]0, 1[ tel que T (f, x0 )(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 + θh) h donc lim T (f, x0 )(h) = l. h→0+ De même avec h < 0 suffisamment proche de 0, on obtient lim− T (f, x0 )(h) = l d’où h→0 lim T (f, x0 )(h) = l h→0 et ainsi la courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x0 , f (x0 )). 4.5 Corollaire Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R dont la dérivée est l’application nulle ; alors f est une application constante. Preuve : soit x0 ∈ I fixé et considérons un point quelconque x de I distinct de x0 ; alors d’après 2.3, il existe c strictement compris entre x et x0 tel que f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )f 0 (c) or f 0 est l’application nulle donc f (x) = f (x0 ) et ce pour tout x ∈ I : f est donc constante. 6 4.6 Définition Soit f une application définie sur un intervalle I de R. a) on dit que f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si : ∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (resp. f (x1 ) ≥ f (x2 )). b) on dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si et seulement si : ∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )( resp. f (x1 ) > f (x2 )). 4.7 Théorème Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R. a) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. b) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I. c) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 et si f 0 ne s’annule au plus qu’en un nombre fini de points de I, alors f est strictement croissante sur I. d) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≤ 0 et si f 0 ne s’annule au plus qu’en un nombre fini de points de I, alors f est strictement décroissante sur I. Preuve : a) on suppose ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 ; soient a et b ∈ I tels que a < b alors d’après 2.3, il existe c ∈]a, b[ tel que f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c) d’où f (a) ≥ f (b) puisque f 0 (c) ≥ 0 et ainsi f est croissante. b) : démonstration analogue. c) : on suppose ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de points. D’après a) f est croissante sur I : raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe a et b ∈ I tels que a < b et f (a) = f (b), alors, pour tout x ∈ [a, b], on a a ≤ x ≤ b donc f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) puisque f est croissante sur I, or f (a) = f (b) donc pour tout x ∈ [a, b], f (x) = f (a) = f (b) donc f est constante sur [a, b] donc f 0 est l’application nulle sur [a, b], ce qui est impossible puisque f ne s’annule qu’en un nombre fini de points : on en déduit que pour tous a et b ∈ I, a < b =⇒ f (a) < f (b) et ainsi f est strictement croissante sur I. d) : démonstration analogue. 7 4.8 Formule de Taylor-Lagrange Soit a et b deux réels tels que a < b, soit f : [a, b] −→ R une application et soit n ∈ N. On suppose que f vérifie les trois conditions suivantes : a) f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n sur [a, b] ; b) f (n) est continue sur [a, b] ; c) f (n) est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe un réel c ∈]a, b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + (b − a)2 Le terme (b − a)n+1 f (n) (a) f (n+1) (c) f 00 (a) + · · · + (b − a)n + (b − a)n+1 . 2! n! (n + 1)! f (n+1) (c) est appelé reste de Lagrange. (n + 1)! Preuve : Soit A le nombre réel défini par 0 f (b) = f (a) + (b − a)f (a) + (b − a) 2f 00 (n) (a) (a) A nf + · · · + (b − a) + (b − a)n+1 2! n! (n + 1)! et soit ϕ l’application définie sur [a, b] par " # f 00 (x) f (n) (x) A ϕ(x) = f (b)− f (x) + (b − x)f 0 (x) + (b − x)2 + · · · + (b − x)n + (b − x)n+1 . 2! n! (n + 1)! Il est clair que ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et vérifie ϕ(a) = ϕ(b) = 0, donc par le théorème de Rolle, il existe un réel c ∈]a, b[ tel que (ϕ)0 (c) = 0. Or le calcul de (ϕ)0 donne (b − x)n (n+1) −f (x) + A (ϕ)0 (x) = n! (n+1) alors, pour x = c, on obtient A = f (c). 4.9 Formule de Taylor-Young Soient x0 ∈ R, , r un réel > 0 et n ∈ N. On considère une application f : ]x0 −r, x0 +r[−→ R telle que f possède une dérivée n-ième en x0 . Alors il existe une application ε : ]x0 − r, x0 + r[−→ R telle que ε(x) −→ 0 quand x −→ x0 qui vérifie pour tout x ∈]x0 − r, x0 + r[ : f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 )2 f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) + · · · + (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x). 2! n! f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) + · · · + (x − x0 )n est appelé 2! n! n développement de Taylor d’ordre n de f en x0 et le terme (x − x0 ) ε(x) s’appelle le reste de Young. On note généralement (x − x0 )n ε(x) = o((x − x0 )n ). Le terme f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 )2 Preuve : admise. 8 Remarque : il ne faut pas confondre la formule de Taylor-Young avec celle de TaylorLagrange même si les deux énoncés ont des points communs : les conditions d’application de la formule de Taylor-Young sont beaucoup plus "légères" mais la formule de TaylorYoung ne renseigne que sur le comportement "local" de f au voisinage de x0 , alors que celle de Taylor-Lagrange donne un résultat "global" mais avec des hypothèses plus fortes. 5 Développements limités 5.1 Définition Soient x0 ∈ R, n ∈ N. On considère une application f définie au voisinage de x0 : on dit que f admet un développement limité (d.l.) d’ordre n au voisinage de x0 si et seulement si il existe n + 1 réels a0 , a1 , · · · , an tels que f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n . le terme o((x − x0 ))n est appelé reste d’ordre n du d.l. 5.2 Exemples 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ). a) 1−x x2 xn b) ex = 1 + x + + ··· + + o(xn ). 2! n! c) Une fonction polynomiale P (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp admet un d.l. à tout ordre n : si n ≤ p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + o(xn ) si n > p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp + 0.xp+1 + · · · + 0.xn : le reste d’ordre n est nul. Preuve : a) On a pour tout réel x 6= 1 et tout n ∈ N, 1 + x + x2 + · · · + xn = 1 − xn+1 1−x d’où 1 x = 1 + x + x2 + · · · + xn + xn 1−x 1−x x −→ 0 quand x −→ 0. 1−x b) Pour tout n ∈ N la fonction f (x) = ex possède une dérivée n-ième en 0 donc vérifie la formule de Taylor-Young en 0 ; or f (k) (x) = ex pour tout k ∈ N, d’où la formule annoncée. et ε(x) = c) si n ≤ p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn (an+1 x + · · · + ap xn−p ) et ε(x) = an+1 x + · · · + ap xn−p −→ 0 quand x −→ 0. 9 5.3 Proposition a) Si f admet un d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 , alors ce d.l. est unique. b) Si f admet un d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ). alors pour tout entier p < n, f admet un d.l. à l’ordre p au voisinage de x0 , à savoir f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + ap (x − x0 )p + o((x − x0 ))p c’est-à-dire que l’on peut tronquer tout d.l. à l’ordre n à un ordre < n. c) Si f admet un d.l. à l’ordre 1 au voisinage de x0 : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o((x − x0 )). alors f est dérivable en x0 , f (x0 ) = a0 et f 0 (x0 ) = a1 . Preuve : a) Supposons que f admet deux d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε1 (x) = b0 + b1 (x − x0 ) + · · · + bn (x − x0 )n + (x − x0 )n ε2 (x) alors, on obtient a0 − b0 + (a1 − b1 )(x − x0 ) + · · · + (an − bn )(x − x0 )n = (x − x0 )n (ε2 (x) − ε1 (x)) d’où a0 = b0 quand on fait x −→ x0 dans cette égalité. On divise alors par x − x0 et il vient (a1 − b1 ) + · · · + (an − bn )(x − x0 )n−1 = (x − x0 )n−1 (ε2 (x) − ε1 (x)) d’où a1 = b1 quand on fait x −→ x0 , etc...On obtient alors au bout de n étapes a0 = b0 , a1 = b1 , · · · , an−1 = bn−1 , an = bn . et ainsi ε1 (x) = ε2 (x) au voisinage de x0 . b) si f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x), alors f (x) = a0 +· · ·+ap (x−x0 )p +(x−x0 )p ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + (x − x0 )n−p ε(x) et ε1 (x) := ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + (x − x0 )n−p ε(x) −→ 0 quand x −→ x0 . c) f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + (x − x0 )ε(x) où ε(x) → 0 quand x → x0 donc f (x0 ) = a0 ; de f (x) − f (x0 ) plus = a1 + ε(x) donc f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = a1 . x − x0 10 5.4 Principaux d.l. au voisinage de 0 1 * = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) 1−x * 1 = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn ) 1+x * (1 + x)α = 1 + αx + * ln(1 + x) = x − α(α − 1) · · · (α − n + 1) n α(α − 1) 2 x +···+ x + o(xn ) (α ∈ R − N) 2! n! xn x2 + · · · + (−1)n+1 + o(xn ) 2 n x2 xn * e =1+x+ + ··· + + o(xn ) 2! n! x * sin x = x − x2n+1 x3 x5 + + · · · + (−1)n + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! * cos x = 1 − x2 x4 x2n + + · · · + (−1)n + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! * shx = x + x3 x5 x2n+1 + + ··· + + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x 4 x2n * chx = 1 + + + ··· + + o(x2n+1 ) 2! 4! (2n)! * tgx = x + x3 2 + x5 + o(x6 ) 3 15 * thx = x − 2 x3 + x5 + o(x6 ) 3 15 * Arctgx = x − x3 x5 x2n+1 + + · · · + (−1)n + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 5.5 Opérations sur les d.l. a) Combinaison linéaire de d.l. Considérons f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n g(x) = b0 + b1 (x − x0 ) + · · · + bp (x − x0 )p + o((x − x0 ))p avec p ≤ n, alors pour tous α et β ∈ R, on a (αf + βg)(x) = (αa0 + βb0 ) + (αa1 + βb1 )(x − x0 ) + · · · + (αap + βbp )(x − x0 )p + o((x − x0 ))p . b) Produit de d.l. 11 Traitons un exemple : si f (x) = x + 3x2 + 7x3 + o(x3 ) et g(x) = 1 + x − x2 + 3x3 + 2x4 + o(x4 ) alors f (x)g(x) = + + + = x + x2 − x3 + 3x4 + 2x5 + o(x5 ) 3x2 + 3x3 − 3x4 + 9x5 + 6x6 + o(x6 ) 7x3 + 7x4 − 7x5 + 21x6 + 14x7 + o(x7 ) o(x3 ) + o(x4 ) + o(x5 ) + o(x6 ) + o(x7 ) + o(x7 ) x + 4x2 + 9x3 + o(x3 ) car tous les xk et o(xk ) pour k ≥ 4 "rentrent" dans le o(x3 ). c) Composition de d.l. On peut composer le d.l. au voisinage de 0 de f avec le d.l. au voisinage de 0 de g à la condition que g(0) = 0 : traitons un exemple f (t) = 1 − t + 2t2 − 3t3 + o(t3 ) g(x) = x − 2x2 + x3 + o(x3 ) alors, en remplaçant t par x − 2x2 + x3 + o(x3 ) dans le d.l. de f , on a f (g(x)) = 1 − (x − 2x2 + x3 + o(x3 )) + 2(x − 2x2 + x3 + o(x3 ))2 − 3(x − 2x2 + x3 ) +o((x − 2x2 + x3 + o(x3 ))3 ) = 1 − x + 2x2 + x3 + 2(x2 − 4x3 ) − 3(x3 ) + o(x3 ) = 1 − x + 4x2 − 10x3 + o(x3 ) puisque tous les xk et o(xk ) pour k ≥ 4 "rentrent" dans le o(x3 ). 5.6 Intégration des d.l. Si f est dérivable au voisinage d’un point x0 ∈ R et si f 0 possède un d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 donné par f 0 (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n alors f admet un d.l. à l’ordre n + 1 au voisinage de x0 , obtenu en intégrant le d.l. de f 0 : f (x) = f (x0 ) + a0 (x − x0 ) + a1 (x − x0 )n+1 (x − x0 )2 + · · · + an + o((x − x0 ))n+1 . 2 n+1 Preuve : (x − x0 )2 (x − x0 )n+1 − · · · − an , alors ϕ est 2 n+1 dérivable au voisinage de x0 et a pour dérivée Posons ϕ(x) = f (x) − f (x0 ) − a0 (x − x0 ) − a1 ϕ0 (x) = f 0 (x) − a0 − a1 (x − x0 ) − · · · − an (x − x0 )n = o((x − x0 )n ) = (x − x0 )n ε1 (x) où ε1 (x) −→ 0 quand x −→ x0 . Appliquons le théorème des accroissements finis à ϕ au voisinage de x0 : pour x suffisamment proche de x0 , il existe θ ∈]0, 1[ tel que ϕ(x) = ϕ(x0 ) + (x − x0 )ϕ0 (x0 + θ(x − x0 )) = θn (x − x0 )n+1 ε1 (x0 + θ(x − x0 )) posons ε2 (x) = θn ε1 (x0 + θ(x − x0 )) : on a alors |ε2 (x)| ≤ |ε1 (x0 + θ(x − x0 ))| donc ε2 (x) −→ 0 quand x −→ x0 , d’où (x − x0 )n+1 ε2 (x) = o((x − x0 ))n+1 . 12 5.7 Remarque 1 On n’a pas le droit de dériver un d.l. : la fonction définie par f (x) = x3 sin 2 si x 6= 0 et f (0) = 0 possède un d.l. à l’ordre 2 au voisinage de 0 x 1 2 donné par f (x) = o(x ) car la fonction ε(x) = x sin 2 tend vers 0 quand x → 0. Mais x ∗ 0 2 ∀x ∈ R , f x) = 3x sin 1 x2 − 2 cos 1 x2 donc f 0 ne possède pas de limite quand x → 0, par conséquent ne possède pas de d.l. au voisinage de 0, même à l’ordre 0. 5.8 Exemple Calcul du d.l. de Arcsinx à l’ordre 5 au voisinage de 0 : 1 sur ] − 1, 1[ et Arcsin(0) = 0, or On a (Arcsin)’(x) = √ 1 − x2 √ donc 1 1 2 3 4 2 − 12 = 1 + = (1 − x ) x + x + o(x4 ) 2 2 8 1−x 3 1 Arcsinx = x + x3 + x5 + o(x5 ). 6 40 5.9 d.l. au voisinage de ±∞ 1 −→ 0 : x 1 on dit que f admet un d.l. au voisinage de l’infini à l’ordre n si l’application f˜(X) = f X admet un d.l. au voisinage de 0 à l’ordre n, i.e, il existe des réels a0 , a1 , · · · , an tels que Soit A ∈ R et soit f une application définie sur [A, +∞[. Quand x −→ +∞, X = 1 1 1 f (x) = a0 + a1 + · · · + an n + o n . x x x 6 Equivalence de fonctions 6.1 Définition Soient f et g deux applications définies au voisinage d’un point x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} : on dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x0 s’il existe une application ϕ définie au voisinage de x0 qui vérifie : a) f (x) = g(x)ϕ(x) au voisinage de x0 ; b) x→x lim ϕ(x) = 1. 0 Si x0 ∈ R et si g ne s’annule au plus qu’en x0 sur un voisinage ]x0 − r, x0 + r[ de x0 , alors la définition ci-dessus peut s’exprimer comme suit : f et g sont équivalentes au voisinage de x0 si et seulement si f (x) lim = 1. x→x0 ,x6=x0 g(x) 13 On note alors f ∼ g au voisinage de x0 ou plus simplement f ∼ x0 g. Exemple Soit f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 avec an 6= 0, alors f (x) ∼ +∞ an x n . 6.2 Proposition La relation ∼ au voisinage d’un point x0 est une relation d’équivalence, i.e elle vérifie les propriétés suivantes : a) elle est réflexive, i.e pour toute application f définie au voisinage de x0 , on a f ∼ f ; b) elle est symétrique, i.e pour toutes applications f et g définies au voisinage de x0 , f ∼ g ⇐⇒ g ∼ f ; c) elle est transitive, i.e pour toutes applications f ,g et h définies au voisinage de x0 , f ∼ g et g ∼ h =⇒ f ∼ h. Preuve : Effectuons la démonstration avec la définition "simplifiée" : a) On a de toute évidence b) Si f ∼ g alors lim x→x0 ,x6=x0 lim x→x0 ,x6=x0 f (x) = 1, donc g(x) c) Si f ∼ g et g ∼ h, alors f g f = × , on obtient h g h f (x) = 1, donc f ∼ f . f (x) lim x→x0 ,x6=x0 lim x→x0 ,x6=x0 lim x→x0 ,x6=x0 f (x) = 1 et g(x) g(x) = 1 i.e g ∼ f . f (x) lim x→x0 ,x6=x0 g(x) = 1 donc , en écrivant h(x) f (x) = 1, i.e f ∼ h. h(x) 6.3 Proposition et définition Si f admet un d.l. à l’ordre n au point x0 ∈ R de la forme f (x) = ap (x − x0 )p + ap+1 (x − x0 )p+1 + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n avec ap 6= 0, alors f (x) ∼ ap (x − x0 )p au voisinage de x0 : le monôme ap (x − x0 )p (premier terme non nul du d.l) est appelé partie principale du d.l. de f au voisinage de x0 . Preuve : Au voisinage de x0 , on a f (x) = 1 + ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + o((x − x0 ))n−p ap (x − x0 )p d’où f (x) −→ 1 quand x −→ x0 et x 6= x0 ap (x − x0 )p et ainsi f (x) ∼ ap (x − x0 )p au voisinage de x0 . 14 6.4 Opérations sur les équivalents Soient f1 , f2 , g1 , g2 des fonctions définies au voisinage de x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} et ne s’annulant au plus qu’en x0 sur un voisinage ]x0 − r, x0 + r[ de x0 , si x0 ∈ R, alors on a a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , alors f1 f2 ∼ g1 g2 ; b) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 alors f1 g1 ∼ ; f2 g2 c) ef1 ∼ eg1 au voisinage de x0 si et seulement si lim (f1 − g1 ) = 0. x→x0 d) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x0 et si g possède une limite (finie ou pas) distincte de 1 quand x −→ x0 , alors f ∼ g au voisinage de x0 entraîne ln f ∼ ln g. Preuve : a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , alors d’où f1 f2 −→ 1, i.e f1 f2 ∼ g1 g2 . g1 g2 f1 f2 −→ 1 et −→ 1 quand x −→ x0 , g1 g2 b) démonstration analogue. ef1 = ef1 −g1 d’où le résultat. g 1 e ln(f /g) ln f −1 = , or ln(f /g) −→ 0 et 1/ ln g −→ l ∈ R quand x −→ x0 donc d) ln g ln g ln f −→ 1, i.e ln f ∼ ln g. ln g c) on a 6.5 Remarques a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , on n’a pas en général f1 + g1 ∼ f2 + g2 : en effet prenons f1 (x) = x + x2 , g1 (x) = x, f2 (x) = −x + x3 et g2 (x) = −x, alors f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de 0 mais (f1 + f2 )(x) = x2 + x3 n’est pas équivalente à (g1 + g2 )(x) = 0. b) si f ∼ g au voisinage de x0 , on n’a pas en général ef ∼ eg : en effet prenons f (x) = x + x2 , g(x) = x2 , alors on a bien f ∼ g au voisinage de +∞ ef mais g = ef −g = ex −→ +∞ quand x −→ +∞ donc ef n’est pas équivalente à eg au e voisinage de +∞. c) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x0 et si f ∼ g au voisinage de x0 , on n’a pas en général ln f ∼ ln g : en effet prenons f (x) = 1 + x, g(x) = 1, alors on a bien f ∼ g au voisinage de 0 mais ln f ∼ x alors que ln g = 0 au voisinage de 0, donc ln f n’est pas équivalente à ln g au voisinage de 0. 15 6.6 Proposition Soit x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Si f ∼ g au voisinage de x0 et si g possède une limite l ∈ R ∪ {−∞, +∞} quand x −→ x0 , alors f (x) −→ l quand x −→ x0 . Preuve : On a f (x) = f (x). g(x) −→ l.1 = l quand x −→ x0 . f (x) 6.7 Exemple Calculons la limite en 0 de f (x) = 1 − cos x : sin2 x On a le d.l. de cos x au voisinage de 0 : cos x = 1 − x2 x2 + o(x2 ), d’où 1 − cos x = + o(x2 ) 2 2 x2 d’après 4.3. De même, sin x = x + o(x), donc sin x ∼ x, et ainsi 2 sin2 x ∼ x2 d’après 4.4, d’où x2 1 f (x) ∼ 22 = x 2 1 donc lim f (x) = . x→0 2 et ainsi 1 − cos x ∼ 16