Devoir de Mathématiques

Devoir de Mathématiques
Exercice 1
Une entreprise qui exploite un parc de taxis a relevé les distances parcourues en milliers de km
par les taxis avant leur remplacement.
Distance
parcourue
[80;85[ [85;90[ [90;95[ [95;100[ [100;105[ [105;110[ [110;115[ [115;120[
Nombre de
taxis
6
12
16
21
34
20
7
4
Effectifs
cumulés
6
18
34
55
89
109
116
120
1) Recopier ce tableau et le compléter par une ligne donnant les effectifs cumulés croissants
pour les taxis.
voir ci-dessus
2) Calculer la distance moyenne parcourue par un taxi de cette entreprise.
On remplace chaque classe par son centre, d'où :
Somme des distances parcourues :
6x82,5+12x87,5+16x92,5+21x97,5+34x102,5+20x107,5+7x112,5+4x117,5 = 11965
L'effectif total est 6+12+16+21+34+20+7+4 = 120
La moyenne est donc :
.
La distance moyenne parcourue par un taxi est donc de 99700 km.
3) Quelle est la classe médiane pour les distances parcourues ? Justifier la réponse.
La classe médiane est la classe [100; 105[ car c'est la première classe dont l'effectif cumulé dépasse 60,
la moitié de l'effectif total.
4) Calculer le pourcentage de taxis qui ont parcouru plus de 100 milliers de km, puis le
pourcentage de taxis qui ont parcouru moins de 105 milliers de km ? Pourquoi ces résultats
confirment-ils ce qui a été trouvé à la question 3 ?
Nombre de taxis ayant parcouru plus de 100 000km : 34+20+7+4 = 65
En pourcentage :
54% des taxis ont parcourus plus de 100 000 km.
Nombre de taxis ayant parcouru moins de 105 000 km : 6+12+16+21+34=89
En pourcentage :
74% des taxis ont parcouru moins de 105 000 km.
Cela montre que plus de 50% des taxis ont parcouru une distance supérieure ou égale à celles de la
classe [100;105[ et que plus de 50% des taxis ont parcouru une distance inférieure ou égale à celles de
la classe [100;105[. Cela confirme bien que la classe [100;105[ est la classe médiane.
5) Construire le polygone des effectifs cumulés, puis déterminer graphiquement la médiane de
la distance parcourue. Retrouver ce résultat par un calcul.
1
Graphique :
Graphiquement la médiane est d'environ 100,5 milliers de km.
55 taxis ont parcouru moins de 100 000 km. Le 60ème taxi sera donc le 5ème taxi de la classe
[100;105[ qui contient 34 taxis. Si on considère que les distances parcourues se répartissent
régulièrement dans cette classe, la distance parcourue par le 60ème taxi est 100+5/34x5, soit environ
100,7 milliers de km. Cette distance est la médiane, la lecture graphique est confirmée.
Exercice 2
1) ABC est un triangle.
A l'extérieur de ABC construire les triangles équilatéraux ABE et ACF.
Démontrer que les triangles AEC et AFB sont isométriques.
Qu'en déduit-on pour EC et BF ?
Figure
•
•
•
AE=AB car ABE est équilatéral
AC=AF car ACF est équilatéral
Comme les angles des triangles équilatéraux mesurent 60°, les angles EAC et BAF s'obtiennent
en ajoutant 60° à l'angle BAC, ils sont donc égaux.
Les triangles AEC et BAF ont un angle égal (angles EAC et BAF égaux) situé entre deux côtés égaux 2 à
2 (AE=AB et AC=AF), ils sont donc isométriques.
Comme les triangles isométriques ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, on en déduit que EC=BF.
2) ABCD est un carré et E est un point du côté [AB].
La perpendiculaire à (EC) passant par C coupe la droite (AD) en F.
2
Démontrer que les triangles EBC et FDC sont isométriques.
Qu'en déduit-on pour le triangle ECF ?
Figure
•
•
•
BC=DC car ABCD est un carré.
les angles EBC et FDC sont droits, donc égaux
les angles BCE et DCF s'obtiennent en enlevant l'angle DCE à un angle de 90°, ils sont donc
égaux.
Les triangles EBC et FDC ont un côté égal (BC=DC) adjacent à 2 angles égaux 2 à 2 (angles EBC et FDC,
angles BCE et DCF), ils sont donc isométriques.
Comme les triangles isométriques ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, on a EC=CF, ce qui montre que le
triangle rectangle ECF est aussi isocèle en C.
Question bonus :
On appelle I le milieu de [EF]. Montrer que B, I et D sont alignés.
3