chapitre 3 : droites remarquables du triangle

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Troisième partie
Fonctions
CHAPITRE 3 :
DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
§ 3.1 Les médiatrices
Définition
La médiatrice d'un segment de droite est l'ensemble des points situés à égale distance des
extrémités de ce segment.
Cela signifie que si X est un point de la médiatrice du segment AB, alors
δ(A,X) = δ(B,X).
On peut démontrer que la médiatrice d'un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant
par son milieu.
En effet, si A et B sont les extrémités du segment et M son
X
point milieu, il est évident que M appartient à la médiatrice de
AB. Si maintenant X est un autre point de la médiatrice de AB,
alors X est tel que δ(A,X) = δ(B,X). Mais alors le triangle ABX
est isocèle et selon ce qui a été démontré à la fin du chapitre
précédent, la droite MX est perpendiculaire à la droite AB.
A
Donc tous les points de la médiatrice de AB sont situés sur
M
une droite passant par M et perpendiculaire au segment AB.
B
Théorème
Les trois médiatrice d'un triangle se coupent en un même point.
Démonstration
Appelons D le point d'intersection des médiatrices de AB et BC et montrons que D est un point de la
médiatrice de AC.
médiatrice de BC
B
médiatrice de AB
C
A
D
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Par définition, δ(A,D) = δ(B,D) et δ(B,D) = δ(C,D), donc δ(A,D) = δ(C,D), ce qui montre que D (étant à
la même distance de A et de C) appartient à la médiatrice de AC, donc que les trois médiatrices se
coupent en un même point (le point D).
De plus, comme D est à égale distance des trois sommets du triangle, un cercle centré en D et passant par
l'un des sommets passe aussi par les autres sommets.
médiatrice de EF
F
E
C
médiatrice de EG
G
Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.
§ 3.2 Les bissectrices
Définition
La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points situés à égale distance des deux demi-droites
délimitant cet angle.
Cela signifie que si X est un point de la bissectrice de l'angle formé par les demi-droites d1 et d2,
alors
δ(d1,X) = δ(d2,X).
On peut démontrer que la bissectrice d'un angle est une droite qui divise l'angle en deux parties égales.
En effet, il est évident que le sommet de l'angle est
un point de la bissectrice (car ce point est sur les
d1
Q
deux droites, donc à la même distance de chacune
d'elles !). Si maintenant X est un autre point de la
bissectrice de l'angle formé par les demi-droites d1
et d2 , alors
!1
!2
S
δ(d1,X) = δ(d2,X). Mais dans ce cas, les
P
triangles SQX et SPX sont rectangles et QX = PX
2
2
X
2
2
2
d2
2
Alors, selon le théorème de Pythagore, SQ = SX ! XQ = SX ! XP = SP , c’est-à-dire SQ = SP .
Ceci montre que les triangles SQX et SPX sont égaux et qu'ils ont les mêmes angles, donc α1 = α2.
La bissectrice partage donc l'angle en deux parties égales.
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Théorème
Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point.
Démonstration
Appelons D le point d'intersection des bissectrices de
α et β, et montrons que D est un point de la
bissectrice de γ.
d2
d1
C
bissectrice de "
bissectrice de !
D
A
B
d3
Par définition, δ(d2,D) = δ(d3,D) et δ(d1,D) = δ(d3,D), donc δ(d1,D) = δ(d2,D) ce qui montre que D
(étant à la même distance de d1 et de d2 ) est un point de la bissectrice de γ, donc que les trois
bissectrices se coupent en un même point (le point D).
De plus, comme D est à égale distance des trois côtés, un cercle centré en D tangent à l'un des côtés est
tangent aux autres côtés.
B
bissectrice de !
bissectrice de "
G
G est le centre du cercle inscrit
A
C
Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit du triangle.
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§ 3.3 Les hauteurs
Définition
Une hauteur d'un triangle est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire à la droite contenant le
côté opposé.
Théorème
Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.
Démonstration
Par chacun des sommets du triangle ABC, on fait passer une droite parallèle au côté opposé. On
obtient ainsi un nouveau triangle A'B'C'.
hauteur issue de A
A'
C
B
B'
A
C'
Par construction, le quadrilatère ACBC' est un parallèlogramme, donc CB = AC' ; de la même façon
CB = B' A : ceci montre que le sommet A est au milieu du côté B'C'. Comme les côtés BC et B'C' sont
parallèles, la hauteur issue de A (dans le triangle ABC) est la médiatrice du côté B'C' (dans le triangle
A'B'C'). Donc les hauteurs du triangle ABC sont les médiatrices du triangle A'B'C'. Mais nous savons
que les médiatrices (du triangle A'B'C') se coupent en un même point, donc nous pouvons conclure
que les hauteurs (du triangle ABC) se coupent en un même point.
Remarque :
Le terme hauteur est utilisé dans deux sens différents : d'une part c'est la droite issue d'un sommet et
perpendiculaire à la droite contenant le côté opposé et d'autre part, c'est la distance du sommet à la
droite contenant le côté opposé (c'est cette distance que l'on utilise pour déterminer l'aire d'un
triangle). Le contexte suffit en général à préciser de quelle "hauteur" il s'agit.
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§ 3.4 Les médianes
Définition
Une médiane d'un triangle est une droite issue d'un sommet et passant par le milieu du côté opposé.
Théorème
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point.
Démonstration
Soit le triangle ABC et les points M, N et P
B
respectivement milieux des segments AB, BC et
AC.
On a donc
BM 1
BN 1
et
=
= , ce qui montre
BA 2
BC 2
M
que les droites MN et AC sont parallèles.
R
Soit maintenant R le point d'intersection des
droites BP et MN.
N
A
P
C
Selon Thalès,
1
1
MR BM 1
=
= , donc MR = AP et de la même façon NR = PC ; mais comme
2
2
AP BA 2
AP = PC , il en résulte que MR = NR et que R est le milieu de MN. La médiane BP du triangle ABC
est aussi médiane du triangle MNP.
Imaginons maintenant une suite infinie de triangles
B
construits de la façon suivante : les sommets d'un
triangle sont les milieux des côtés du triangle
précédent.
M
R
D'après ce qui précède, les médianes du premier
triangle sont aussi les médianes des autres ! Et
N
comme les triangles sont toujours plus petits, il n'y
a pas la place à l'intérieur de ces triangles pour plus
T
A
S
qu'un point. Ce qui montre que les médianes du
triangle de départ ne peuvent pas se rencontrer
P
autrement qu'en un point.
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Théorème
Les médianes d'un triangle se coupent au tiers de leur longueur.
On entend ici par longueur d'une médiane, la longueur du segment de médiane intérieur au triangle.
Démonstration :
Dans le dessin ci-dessus, M, N et P sont les milieux des côtés.
C
N
M
D
A
B
P
Pour démontrer ce théorème, nous avons besoin de connaître une proposition que nous allons utiliser
quelques fois.
Lemme
Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.
En effet, dans le triangle ABC ci-dessus, la médiane CP partage le triangle en deux triangles
APC et BPC qui ont des bases (AP et BP) de même longueur et la même hauteur (car la
hauteur de ces deux triangles est la distance de C à la droite AB), donc
(Ici
AΔAPC
AΔAPC = AΔBPC.
signifie Aire du triangle APC.)
Revenons à la démonstration du théorème :
AΔAPD = AΔBPD et AΔAPC = AΔBPC, donc AΔADC = AΔBDC.
Mais AΔADC = 2·AΔADN et AΔBDC = 2·AΔBDM, ce qui montre que les 6 petits triangles ADP,
Selon le lemme,
ADN, CDN, CDM, BDM et BDP ont la même aire.
Mais alors, AΔABC = 3·AΔABD (car le triangle ABC est composé des 6 petits triangles et le triangle
ABD de 2 de ces triangles) et comme ces deux triangles ont la même base, la hauteur du grand doit
être 3 fois celle du petit : CC' = 3 !DD' .
C
N
A
D
C'
D' P
M
B
Les droites CC' et DD' sont parallèles, donc, d'après Thalès,
PD DD' 1
=
= ,
PC CC' 3
ce qui montre que PC = 3 !PD et termine la démonstration !!!
Remarque
Le point d'intersection des médianes est le centre de gravité du triangle.
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§ 3.5 Quelques propriétés des triangles particuliers en relation avec les droites remarquables
3.5.1 Triangle rectangle
Théorème :
Dans un triangle rectangle le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
Démonstration :
O milieu de AC :
A
OA = OC . On doit montrer que : OB = OC
Traçons la parallèle à AB passant par O.
O
OM est la hauteur du triangle OBC (car
B
M
C
OM est la médiane du Δ OBC (car
rapport est de
⊥ à BC)
ΔOMC ~ ΔABC et le
1
)
2
Comme la hauteur est égale à la médiane, le ΔOBC est
isocèle, donc OB = OC
Définition :
Le cercle de Thalès est le cercle ayant pour
centre le milieu de l'hypoténuse et comme rayon
la moitié de l'hypoténuse.
3.5.2 Triangle isocèle
Il est possible de montrer que les deux définitions suivantes sont équivalentes.
Définitions :
1. Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de même longueur.
2. Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 angles de même grandeur.
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Théorème
Si, dans un triangle, la hauteur est égale à la médiatrice correspondante, alors le triangle est isocèle.
Démonstration :
A
AB
=
BA'2 + AA' 2 =
2
A' C + AA' 2 = AC
(avec BA' = A' C )
B
A'
C
Remarques :
1.
On peut montrer que la hauteur issue du sommet A auquel aboutissent les 2 côtés isométriques est
égale à la médiane correspondante dans un triangle isocèle.
En fait, dans un triangle isocèle, le segment issu du sommet A est à la fois bissectrice, hauteur,
médiane et médiatrice.
2.
Dans un triangle isocèle, les médianes et les hauteurs relatives aux 2 côtés égaux sont elles-mêmes
égales.
3.5.3 Triangle équilatéral
Il est possible de montrer que les deux définitions
suivantes sont équivalentes.
Définitions :
1.
a
h
Un triangle équilatéral est un triangle dont
les 3 côtés sont de même longueur.
60°
2.
Un triangle équilatéral est un triangle dont
les 3 angles sont égaux et mesurent 60°
Remarques :
Les propriétés suivantes sont à démontrer comme exercices :
-
Deux triangles équilatéraux sont semblables.
-
Deux triangles équilatéraux ayant un côté de même longueur sont égaux.
-
Dans un triangle équilatéral, toute médiane est aussi hauteur, médiatrice et bissectrice.
En d’autres mots, les quatre droites remarquables sont confondues.
-
Si a est le côté d'un triangle équilatéral, alors on a :
3a
hauteur h =
2
3a 2
aire A =
4
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