UNIVERSITÉ NICE SOPHIA-ANTIPOLIS - UFR Sciences École Doctorale de Sciences Fondamentales et Appliquées THÈSE pour obtenir le titre de Docteur en Sciences Universite de Nice-Sophia Antipolis Spécialité : Mathématiques Présentée et soutenue par SAMER ALLOUCH Classification des Catégories finies Thèse dirigée par CARLOS SIMPSON soutenue le (22/03/2011) Jury : Tom LEINSTER Fellow et Reader, University of Glasgow Rapporteur Ludmil KATZARKOV Professeur, Université de Vienne Rapporteur Carlos SIMPSON DR1 CNRS, Université de Nice Directeur André HIRSCHOWITZ Professeur, Université de Nice Examinateur Clemens BERGER HDR, Université de Nice Examinateur Abdelkrim ALIOUCHE HDR, Université de Larbi Ben M'Hidi Examinateur Table des matières 1 Introduction 2 2 Rappels sur les catégories nies et les matrices positives 10 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice 11 2.3 Matrices carrées positives et leurs sous-Matrices 2.4 Propriétés algébriques des catégories nies 2.5 Techniques de construction des catégories nies 2.6 Une variété ane des modules sur une catégorie nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . 3 catégorie associée à matrice carrée positive 18 21 22 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dénition des catégories associées à M et . . . . . . . 23 3.3 Quelques propriétés sur Cat(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . a,b Etude de Cat(M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 3.5 Caractéristique d'Euler de catégorie . . . . . . . . . . . . . . 29 Cat(M) 4.2 28 3.5.1 Inversion de Möbuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5.2 Caractéristique d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.3 Série de caractéristique d'Euler 34 . . . . . . . . . . . . . 4 Partitions de Matrice 4.1 22 37 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Les catégories avec une nouvelle notation . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Blocs des matrices 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 réduite des catégories et des matrices 5.1 Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite 5.2 Théorème de matrice réduite 5.3 44 . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Réduction et classication des matrices . . . . . . . . . . . . . 48 1 TABLE DES MATIÈRES 6 Classication des matrices strictement positives 50 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Classication des Matrices carrées doubles strictement posi- 6.3 50 tives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2.1 Classication des Matrices strictement positives 0 d ordre 2 à un seul coecient diagonale unité . . . . . 51 6.2.2 Classication générale des Matrices strictement posi0 tives d ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Classication des matrices triples strictement positives . . . . 6.3.1 Classication des matrices triples à un seul coecient 6.3.2 Classication des matrices carrées générales stricte- diagonale unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ment positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Classication des matrices positives 59 59 73 79 4 7.1 Classication d'une matrice d'ordre à un seul bloc zéro . . . 79 7.2 Dénition d'une matrice acceptable . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.3 Classication d'une matrice réduite d'ordre n . . . . . . . . . 8 Classication de Monoïde 88 103 8.1 Dénition d'un Monoïde 8.2 Classication d'un Monoïde (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.3 Classication d'un Monoïde (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9 Classication des matrices 2 d'ordre n n 109 9.1 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre 9.2 Classication des catégories d'une matrice 9.3 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 . . . . 124 n Les bornes de Card(M2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.4 2 . . . . . . . . . . . . . . 109 2 d'ordre 2 . . . . 114 Remerciements... Je tiens à exprimer ma gratitude, ma reconnaissance et mes profonds remerciements àmon directeur de thése Carlos SIMPSON. Je le remercie chaleureusement pour sa conance, ses conseils précieux et pour le temps qu'il m'a accordé malgré son emploi de temps surchargé avec la direction de l'équipe. Carlos, j'ai apprécié chez vous la qualité d'un grand chercheur plein d'optimisme, le sens de la rigueur et les qualités humaines ; bonne humeur agrémentée de larges sourires, sympathie couronnée d'une énorme modestie, et soutien. Je voudrais bien remercier le Jury , Messieurs les Professeurs : Tom LEINSTER, Ludmil KATZARKOV, André HIRSCHOWITZ, Clemens BERGER, Abdelkrim ALIOUCHE pour leur acceptation de vouloir être membre de ce Jury. Accompagnée de chaque réussite, il y a une femme que, je voudrais remercier à fond mon amour et ma femme Nouha pour tout eort et tout encouragement qu'elles m'ont donné, en espérant pour ma petite famille, en ajoutant mon petit Zayd au panier, le bonheur et la croyance. Je n'oublie jamais le grand rôle de mes parents, mes frères, mes soeurs et mes amis pour faire le point de terminer ce travail qui n'a pas un point nal. Je voudrais écrire un dernier mot aux gens qui meurent en défendant la dignité du peuple arabe contre la dictature, le tort, l'ignorance, la Les Martyres des Révolutions Arabes... pauvreté, la maladie, la folie.... 1 Chapitre 1 Introduction Milliers d'études depuis l'antiquité se basent fondamentalement sur "les mathématiques" qui ont été développées avant l'apparition de l'écriture. La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui attire les mathématiciens et ceci, plutôt depuis plus d'un siècle. Particulièrement, la théorie des catégories est une branche des mathématiques qui a été introduite dans les années 1940 par les mathématiciens Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, puis développée et appliquée à la géométrie algébrique par Alexandre Grothendieck, et à la géométrie diérentielle par Charles Ehresmann, durant les années 1960. Elle permet de généraliser le concept de structures algébriques et d'applications conservant cette structure, qu'il s'agisse d'espaces vectoriels et d'applications linéaires ou de groupes et de leurs homomorphismes. Cette théorie abstraite, fruit du travail de nombreux mathématiciens, est devenue un outil indispensable dans les mathématiques théoriques modernes, notamment en algébre, en géométrie algébrique, en topologie algébrique, et méme en informatique et en physique théorique. Mais les categories qui rentrent habituellement en jeu dans les sujets tels que la géometrie algébrique, sont innies. D'autre part, pour certaines structures comme les groupes, l'étude des objets nis a donné lieu à un grand nombre des travaux. Cette derniére est observée dans la classication des groupes nis simples principalement publiée entre 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes simples nis. En tout, le travail comprend des dizaines de milliers de pages dans 500 articles par beaucoup d'auteurs comme Walter Feit, John Thompson, Michael Aschbacher, Daniel Gorenstein, Richard Lyons et Ronald Solomon. En revanche, pour les categories nies, jusqu'à présent peu de mathematiciens les ont étudiés, cependant recemment Tom Leinster a commencé l'étude de leur caractéristique d'Euler, et les travaux de Leinster ont donné lieu a d'autres voir [13] [4] [7] [8]. 2 L'objectif du présent travail est d'étudier les correspondances entre n les catégories nies d'ordre et les matrices carrées de taille n. Cette correspondance gure dans plusieurs papiers comme celles de Leinster et Berger [13] [4] , le papier de Kapranov [12] et les papiers de Fiore, Lück et Sauer [7][8]. La question abordée ici est de savoir, pour une matrice donnée M, A s'il existe une catégorie Une catégorie nie A associé à M ou non. veut dire que les ensembles Ob(A) et Hom(A) sont nis, en plus la catégorie est dite ordonnée s'il y a une relation d'ordre Ob(A) ordonnée sur dénie par : xi < xj ⇔ i < j . A d'ordre n dont les objets sont {x1 , ..., xn } M = mij d'ordre n si mij = |A(xi , xj )|∀ i et notée MA . Une catégorie nie ordonnée est associée à la matrice carrée j, cette matrice associée est Nos études concernent la question de connaître l'état de l'ensemble Cat(M ), Cat(M ) M. si elle est vide ou non, où nies qui sont associées la matrice est l'ensemble des catégories Donc nous avons donné toutes les dénitions des : catégories nies, nies ordonnées, matrice M = MA associée à A, et Cat(M ). La matrice MA a plusieurs propriétés, on les démontrera dans le chapitre (2). Parmi ces propriétés : A, B sont MA = MB . 1. Si 2. Si B est une sous-catégorie pleine de régulière de 3. deux catégories nies ordonnées telles que A, alors MB A∼ = B, alors est une sous-matrice MA t MAop = MA . Ensuite, dans ce chapitre, on observe l'eet des catégories nies dans la géometrie algébrique sous les constructions suivantes : Étant donné une catégorie A, b1 , ..., bn ∈ N, et on xe donnee d'un foncteur : / φ: A on considère alors la vectk f b / xj ) est une application lineaire de k bi vers tel que φ(xi ) = k i et φ( xi k bj qui est determinée par une matrice Φ(f bi × bj . Q) d'ordre Q bi bj L'ensemble de ces donnees est donc Y = . i,j f ∈A(xi ,xj ) k On note Y une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension dim(Y ) = P i,j M (i, j)bi bj où M (i, j) = |A(xi , xj )|. 3 D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénit un foncteur, tout xi f xi pour tout g / xj on exige que / xk on exige que Φ(1xi ) = 1bi ×bi . Φ(g) ◦ Φ(f ) = Φ(gf ), et pour Ces équations sont des équations polynomiales sur les coordonnées de Y, donc dénissent une sous-variété b fermée Z ⊂ Y qui est donc une variété ane, avec Z = Hom (A, vectk ). Donc le chapitre 2 sera démontré un exemple intéressant de la construc- MA . Cat(M ), tion d'une variété ane, et il a donné plusieurs propriétés de la matrice En plus, c'est plus logique aussi de trouver les propriétés liées à l'exipication détaillé de ces propriétés se trouve dans le chapitre 3 nous avons démontré : Cat(M) 6= ∅ si et seulement si Cat( t M) 6= ∅. 2. Soient M ∈ Mn (N) et NI une sous-matrice régulier de M avec I = {i1 , ..., im } ⊆ {1, ..., n}. Si on a Cat(N ) = ∅ alors Cat(M) = ∅ Ensuite on rappelle les dénitions de base données par Leinster [13] : si A est une catégorie nie, on a sa matrice MA (notée ζ(A) dans [13]). S'il existe, un inverse de Möbius c'est un inverse µA à la matrice MA . Donc X µA (i, j)MA (j, k) = δ(i, k) 1. j où δ(i, k) = 1 si i=k et 0 sinon. Par exemple si a b c d MA = alors 1 µA = ad − bc Dans ce cas, Si MA MA , d −b −c a . admet l'inversion de Möbius si et seulement si ad − bc 6= 0. admet l'inversion de Möbius, alors d'après [13] le caractéristique d'Euler est donné par χ(A) = X µA (i, j). i,j Notons qu'une catégorie peut admettre un caractéristique d'Euler dans le sens de Leinster, sans qu'elle admette l'inversion de Möbius. Dans ce cas χ(A) est dénie par les notions de pondération et co-pondération. Dans le cas n=2 avec MA = χ(A) = a b c d , si le déterminant est a+d−b−c . ad − bc 4 6= 0 alors Lemme 1.0.1 objets tels que Supposons que A est une catégorie ordonnée réduite avec deux 1 b c d MA = . Si b > 0 et c > 0 alors A admet l'inversion de Möbius, et on a χ(A) > 0. A une catégorie nie ordonnée. Dans le chapitre 4, on construira une relation d'équivalence sur Ob(A) dénie par : HomA (xi , xj ) 6= ∅ et xi Rxj ⇐⇒ HomA (xj , xi ) 6= ∅ Soit Cette relation est une rélation équivalence, ce qui donne une partition de Ob(A). Ensuite à travers de cette relation, on peut partager la matrice MA en plu- sieurs blocs par exemple : Soit M une matrice dénie par : 1 1 M= 0 0 1 4 0 0 1 2 1 2 2 9 , 1 5 Cat(M) 6= ∅. Donc il existe une catégorie A associée à M tel que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ0 , λ1 , β 0 , β 1 }. 1 1 1 2 est un bloc associé à λ, est un bloc associé à λ vers β . 1 4 2 9 1 1 0 0 est un bloc associé à β , est un bloc associé à β vers λ. 2 5 0 0 On a Dans la chapitre 5 pour facilite l'étude de et après la partition d'une matrice en plusieurs blocs Cat(M ), on va dénir une catégorie nie réduite : Dénition 1.0.2 : Une categorie A nie d'ordre n dont les objets sont {x1 , . . . , xn } est dit non-réduite s'il existe deux objets distincts xi et xj (i 6= j ) qui sont isomorphes. On dira que A est réduite si deux objets distincts sont toujours non-isomorphes. On dira qu'une matrice M est non-réduite s'il existe i 6= j tel que ∀k, Mki = Mkj 5 et ∀k, Mik = Mjk , cela veut dire que la ligne i égale à la ligne j et la colonne i égale à la colonne j. nous disons qu'une matrice M est réduite si elle n'est pas non-réduite. Ensuite et après cette dénition nous démontrons le théorème de réduction suivant : Théorème 1.0.3 : Si M est une matrice non réduite, on peut réduire M en une sous-matrice N réduite telle que Cat(M) 6= ∅ si et seulement si Cat(N ) 6= ∅. D'après ce qui précède nous pouvons étudier l'état de matrice M Cat(M ) pour une carrée positive. Les démonstrations de résultats se trouvent dans le chapitre 6 et 7. Voici une résume de ces résultats : Soit M = (mij ) ∈ Mn (N) est une matrice réduite, alors nous avons deux cas : 1. Si M mij > 0∀i, j , alors il y a deux cas : Cat(M) 6= ∅ d'après le théorème du est strictement positive c.à.d (a) Si mii > 1∀ ≤ i ≤ n, alors Leinster. (b) S'il existe au moins une i0 tel que mi0 i0 = 1 dans ce cas on a deux possibilités : i. si i0 le seul indice que mi0 i0 = 1, alors Cat(M) 6= ∅ si et seulement si mii > mi1 m1i mij ≥ mi1 m1j ∀ i>1 ∀ i, j > 1 {i1 , i2 , ....ect} diérents de i0 tel que ; = ... = 1 alors Cat(M) = ∅. ii. s'il existe d'autres indices m i1 i1 = m i2 i2 2. D'abord, nous allons dénir l'acceptabilité d'une matrice : Dénition 1.0.4 : Soient M = (mij )1≤i,j≤n ) ∈ Mn (N), et A une catégorie nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }. On dénit deux relations sur Ob(A) par rapport à M par : (a) xi GM xj si mij > 0. (b) xi RM xj si xi GM xj et xj GM xi . Nous disons que M est acceptable si et seulemnt si la relation GM est à la fois réexive et transitive et la relation RM est une relation d'équivalence. 6 M est acceptable alors, les classes d'equivalence de RM λ, µ, . . .. et les objets dans ces classes seront notes λi . . .. Si seront notes D'autre part, on dénit la relation d'ordre sur les classes d'equivalence par : λ≥µ On note Après λi GM µj pour λ ≥ µ et λ 6= µ. si et seulement si λ>µ cette si dénition et la tous partition λi ∈ λ de la et µj ∈ µ. matrice en classes d'equivalence, nous pouvons énoncer le résultat suivant : Si M est une matrice positive alors : M i i M (λ , λ ) ≥ M (λi , λj ) ≥ M (λi , µj ) ≥ Cat(M ) 6= ∅ ⇔ M (λi , µj ) ≥ M (λi , µj ) ≥ acceptable i i a(λ )b(λ ) + 1 a(λi )b(λj ) M (λi , µ0 ) M (λ0 , µj ) M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 ) −M (λ0 , µ0 ) ∀λ ∈ U, i ≥ 1 ∀λ ∈ U ∀λ > µ, µ ∈ U ∀λ > µ, λ ∈ U ∀λ ≥ µ ∈ U a(λi ) := M (λi , λ0 ) et b(λj ) := M (λ0 , λj ) D'autre part, si M est une matrice non-réduite, on utilise le théorème de réduction pour obtenir la matrice réduite N de M , ce qui donne que Cat(M ) et Cat(N ) ont le même état. Alors, on a maintenant une matrice réduite N Avec donc on peut l'étudier d'après le précédant. Dans la théorie des catégories il est bien connu et utilisé par certaines mathématiciens comme par exemple Tom Leinster et Nicolas Tabareau, qu'une catégorie avec un unique objet est simplement un monoïde. M = (n), avec M la matrice chapitre 8, on va classier les matrices Nous essayons classier les catégories de monoïde d'ordre n. Mais Dans le monoïedes d'ordre 2 et 3 sous les propiétés suivants : Cat((2)) = Cat12 ∪ Cat22 , Avec ; Cat12 ={A catégorie monoïde / Hom(A) = {idx , f } avec Cat22 ={A catégorie monoïde / Hom(A) = {idx , f } avec f 2 = idx } f2 = f } et Cat((3)) = 11 P 11 Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10 3 ∪ Cat3 . i=1 7 Avec ; Cat13 = Cat33 = Cat43 = Cat53 = Cat63 = Cat73 = Cat83 = Cat93 = Cat10 = 3 Cat11 = 3 Cat23 = n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = 1 n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = f, g 2 = f 2 = g n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = g n o 2 2 A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = 1 n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g} , gf = f g = f 2 = g 2 = f n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = g 2 = g, gf = f 2 = f n o 2 2 Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = g n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g, g 2 = f 2 = f n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g 2 = g, f 2 = f n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = g 2 = g, f g = f 2 = f n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = 1, g 2 = f, f 2 = g . D'autre part, ceratins chercheurs qui ont travaillé les monoides jusqu'au l'ordre 10, comme Andreas Distler et Tom Kelsey voir [15]. On travaille dans le dernier chapitre autour de la matrice 2 d'ordre n. Dénition 1.0.5 : On veut dire une M = (mij) = M2n est une matrice 2 d'ordre n est une matrice n × n telle que mij = 2 pour tout i, j ∈ {1, ..., n}. Par exemple la matrice M23 est dénie par : 2 2 2 M32 = 2 2 2 . 2 2 2 2 3 On arrive à classier les catégories qui sont associées à M2 et à M2 , ensuite n n pour la matrice générale M2 nous allons borner l'ensemble Card(M2 , r) des catégories réduites par : 3 3 2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r) ≤ 18Cn . Dans cette introduction, nous avons expliqué les idées générales correspendant à chaque chapitre, en commenéant par l'étude de l'état de Cat(M ) n et en nissant par borner le Card(M2 , r). Ce chemin du recherche peut continuer avec des nouvelles idées par exemple : 8 1. Essayer de trouver la borne supérieure de l'ensemble M Card(M, r) avec une matrice positive donnée. 2. Calculer σ ou du moins de prouver des bornes plus rapprochees. avec log(Card(M2n , r)) . n→∞ n3 Essayer de trouver la dimension de Z , la variété ane b au-dessus par :Z = Hom (A, vectk ). σ := lim Sup 3. 4. Classier les catégories de la matrice 9 M2n . qui est dénie Chapitre 2 Rappels sur les catégories nies et les matrices positives 2.1 Introduction Étant donnée A une catégorie nie a considérer la matrice de n à coecients 1 ≤ i, j ≤ n. dans N A, qui note MA n objets x1 , ..., xn , nous allons c'est une matrice carrée d'ordre qui sont dénis par mij = |A(xi , xj )| pour toutes Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur A MA , par exemple si on a une catégorie A nie et on a B , nous démontrons que MAop = t MA et on trouve que sous-matrice régulière de MA . et sur sa matrice sous-catégorie plein MB est une D'autre part, on peut construire une variété algébrique au travers de la catégorie nie A; espaces vectorieles nous utilisons la foncteur F de A vers la catégorie des vectK . L'importance dans cette partie, c'est la notion d'ajouter d'une morphisme sur n'importe quel couple de morphismes pour avancer de sémi-catégorie à une sémi-catégorie un peu plus grande par une seule morphisme. Ensuite on peut arriver à une catégorie avec l'ajout des identités qui sont manquantes. 10 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice 2.2 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice Dénition 2.2.1 : Une catégorie A, est la donnée de quatre éléments : • d'une classe Ob(A) dont les éléments sont appelés objets, • d'un ensemble , Hom(A,B)=A(A, B) chaque paire des objets A et, B dont les éléments sont appelés morphismes (ou èches) entre A et B, et sont parfois notés f : A /B, • d'un morphisme idA : A sur A, • d'un morphisme g ◦ f : A / C pour toute paire de morphismes / B et g : B / C , appelé composée de f et g, tel que : f :A / A , pour chaque objet a, appelée identité • la composition est associative : A f / B g / C h / D , (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ), • les identités sont des éléments neutres de la composition /B, f :A idB ◦ f = f = f ◦ idA . À partir de la catégorie A , on peut dénir une autre catégorie Aop , dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des èches. Plus précisément :HomAop (x,y)=HomA (y,x) , et la composition de deux op èches opposées est l'opposé de leur composition :f ◦ g op = (g ◦ f )op . D'autre part, la dénition de sémi-catégorie est obtenue de la dénition de catégorie en supprimant la troisiéme et la sixième clause. U ⊂ Ob(A) tel que ∃idx pour x ∈ U que A est partiellement unitaire. S'il existe un ensemble non-vide @idx pour x 6∈ U , alors on dit Dénition 2.2.2 : Un foncteur F : C catégorie B est la donnée : / mais D d'une catégorie C dans une • d'une fonction qui, à tout objet A de C , associe un objet F(A) de D, • d'une fonction qui, à tout morphisme f : A morphisme F(f ) : F(A) / F(B) de D, qui 11 / B de C , associe un Dénition d'une catégorie nie et sa matrice respectent les identités : pour tout objet A de C , F(idA ) = idF (A) • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes / B et g : B / C de C ,F(g ◦ f ) = F(g) ◦ F(f ) f :A On dit que F est dèle (plein, pleinement dèle), si pour tout A,B∈ Ob(C) / D(F(A), F(B)) est injective (surjective, bil'application F : C(A, B) jective). Un foncteur contravariant d'une catégorie C dans une catégorie D est un foncteur de C op 1 dans D . Pour souligner le fait qu'il ne soit pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant. • Exemple 2.2.3 : Le foncteur identité d'une catégorie C, souvent noté I:C / C , qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants. Dénition 2.2.4 Soit C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. On dénit alors la transformation naturelle η de F vers G comme la donnée / G(x) de D tel que le pour tout objet x de C d'un morphisme ηx : F(x) diagramme suivant soit commutatif pour tout f ∈ Hom(x, y) : F(x) ηx F (f ) G(x) G(f ) / F(y) / ηy G(y) On peut de même dénir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des èches horizontales du diagramme ci-dessus. Si pour tout objet x de C , ηx est un isomorphisme, on dit que η est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. Dénition 2.2.5 : Soit A une catégorie, on dit que A est une catégorie nie d'ordre n si et seulemnt si les ensembles Ob(A) et Hom(A,B) sont nis pour tout A,B ∈ Ob(A), c.à.d : • Il existe une bijection δ : Ob(A) a / 1. La duale de C 12 / {1, ..., n} δ(a) = i, Dénition d'une catégorie nie et sa matrice on note a par xi et l'ensemble des objets devient ObA = {x1 , ..., xn }. • Pour tout A,B ∈ Ob(A), il existe m ∈ N et une bijection tels que, λ : Hom(A, B) p / / {1, ..., m} λ(p) = i, on note p par fi , et l'ensemble des morphismes de A vers B devient Hom(A, B) = {f1 , ..., fm }. Autrement dit A une catégorie nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }, et pour tout xi , xj ∈ Ob(A) on a HomA (xi , xj ) = {f1 , ..., fmij }. Dénition 2.2.6 : Une catégorie nie ordonnée A est une catégorie nie, munie d'une relation d'ordre total (c.à.d linéaire) sur l'ensemble des objets. Si A est une catégorie nie ordonnée d'ordre n, alors il existe une unique numérotation Ob(A) = {x1 , .., xn } compatible avec l'ordre c.à.d xi < xj ⇔ i < j. Remarque 2.2.7 :Une sous-catégorie de A est une catégorie dont les objets sont les objets de A et dont les èches sont des èches (mais pas nécessairement toutes les èches) de A entre deux objets de la sous-catégorie. On dit que la sous-catégorie B de A est pleine si B(x, y) = A(x, y) pour tout (x, y) ∈ B × B. Exemple 2.2.8 : 1. vectk (l'ensemble des K-especes vectoriels)est une catégorie dont les objets sont les K-especes Vectoriels, et les morphismes sont les applications linéaires, avec la composition usuelle. f vectk (l'ensemble des K-especes vectoriels des dimensions nies) est une sous-catégorie de vectk . 2. Soit vect≤n k la catégorie dont les objets sont 0, k, k 2 , ..., k n , avec mor- phisme de corps et la loi de composition usuell. ≤n On remarque vectk est équivalent à la catégorie vectk de dimension ≤ n. ≤n Si k est un corps ni alors vectk est une categorie nie. 3. Pour tout anneau commutatif A, la catégorie M odA dont les objets A − modules et dont les morphismes sont les morphismes de A − modules, avec la composition usuelle. libre,≤n On dénit la sous-catégorie plein M odA de M odA dont les objets 2 n sont de la form 0, A, A , ..., A (ce sont les A-modules libres de rang sont les 13 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice ≤ n). libre,≤n si A est un anneau ni alors M odA est une categorie nie, car i j chaque A et A ont deux bases nies et ce qui donne il y a des mor2 phismes nies entre les deux objets, par exemple on prend A = k[e]/e où k est un corps ni. A et B deux catégories, on dénit la catégorie des foncteurs F onct(A, B) ainsi : l'ensemble d'objets Ob(F onct(A, B)) est l'ensemble des foncteurs F : A → B ; et si F, G sont deux foncteurs, HomF onct(A,B) (F, G) est l'ensemble des transformations naturelles de F vers G . L'opération de composition de la catégorie F onct(A, B) est 4. Soient la composition des transformations naturelles. 5. Le groupe symétrique Sn est une catégorie nie dont l'objet est le sin- gleton {(1,2,...,n)} et les morphismes sont les applications bijectives {σ1 , σ2 , ..., σn! } avec la loi de composition ◦ usuelle. Théorème 2.2.9 : Soient A et B sont deux catégories nies, alors la catégorie F onct(A, B) 2 est une catégorie nie. Preuve : F : A → B , en eet pour F il sut de spécier F(x) ∈ Ob(B) pour chaque x ∈ Ob(A), et F(u) ∈ HomB (F(x), F(y)) pour chaque èche u ∈ HomA (x, y). Comme il n'y a qu'un nombre ni d'objets x, qu'un nombre ni de èches u, et pour chacun un nombre ni de choix car Ob(B) et HomB (F(x), F(y)) sont nis, (1) Il n'y a qu'un nombre ni de foncteurs spécier alors l'ensemble des foncteurs à égalité près est ni. F, G : A → B , l'ensemble de transformations naturelles de F vers G est ni. En eet, pour specier une transformation naturelle η : F → G il faut spécier pour chaque x ∈ Ob(A) une èche ηx ∈ HomB (F(x), G(x)). Il n'y a qu'un nombre ni d'objets x et un nombre ni de choix HomB (F(x), G(x)) pour chaque x, donc l'ensemble (2) Étant donné deux foncteurs des transformations naturelles est ni. (1) et (2) donnent F onct(A, B) est une catégorie nie. Dénition 2.2.10 : Soit A une catégorie nie ordonnée d'ordre n dont les objets sont {x1 , x2 , ..., xn } et soit M = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) 3 , on dit que M est une matrice de A ou matrice associée à A si et seulement si aij = |A(xi , xj )| pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}. 2. La catégorie des foncteurs de A vers B 3. l'ensemble des matrices carrées de taille n × n à coecients des entiers naturels 14 Matrices carrées positives et leurs sous-Matrices Remarque 2.2.11 : La matrice de la catégorie nie A est unique (c'est clair), et on la note par MA . Exemple 2.2.12 : A une catégorie nie d'ordre n ∈ N∗ dont les objets {x1 , x2 , ..., xn } et les morphismes sont dénis par : |A(xi , xj )| = 1 tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}, alors la matrice de A est dénie par : 1 ··· ··· 1 .. . . . . . . .. . . MA = . . . . .. . .. . . . 1. soit 1 ··· S3 2. la catégorie la matrice de M = (n!) d'ordre S3 1 ··· 1 groupe symétrique dont l'objet est est M=(3 !)=(6), La matrice de ∗ pour tout n sont pour Sn 4 {(1, 2, 3)}, est dénie par ∈N 2.3 Matrices carrées positives et leurs sousMatrices Dénition 2.3.1 : Soit M = (aij )1≤i,j≤n une matrice dans Mn (N), et soient I,J deux ensembles non vides dans {1, ..., n}, on veut dire que NI×J (M ) une sous-matrice de M c'est la matrice dont les coecients sont les intersections des lignes I avec les colonnes J. On s'appelle la matrice NI×I une sous-matrice régulière de M et notée par NI . Exemple 2.3.2 Soient : 1 3 M = 11 1 1 5 8 4 3 3 3 1 7 8 , I = {1, 3, 4}, J = {2, 3, 4} 9 2 4. groupe symétrique d'indice n 15 et k = {2, 4} alors : Propriétés algébriques des catégories nies NI×J 1 3 7 1 3 7 3 3 8 = 8 3 9 , NI = 11 3 9 , Nk×I = sont 1 1 2 4 1 2 1 1 2 sous-matrices de des M. Dénition 2.3.3 : La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice A ∈ Mn,m (N) 5 est la matrice notée t A ∈ Mm,n (N), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. Si B= t A, alors bi,j = aj,i ∀(i, j) ∈ [1, m] × [1, n] 2.4 Propriétés algébriques des catégories nies Dénition 2.4.1 : Soient A et B deux catégories nies de même ordre n, / B tel on dit que A et B sont isomorphes s'il existe un Foncteur F : A que : • L'application F : Ob(A) / Ob(B) est bijictive, Le foncteur F est pleinement dèle. Si A isomorphe à B , on note A ∼ = B. Si A et B sont ordonnées, on dit isomorphisme ordonné entre A et B . Ceci est un isomorphisme qui preserve la relation d'ordre sur les ensembles Ob(A) et Ob(B) (c.à.d ∀x, y ∈ Ob(A) on a x < y si et seulement si F(x) < F(y)). • Remarque 2.4.2 : Soient A et B deux catégories nies qui ont les mêmes objets, on dit que A = B si HomA (x, y) = HomB (x, y) pour tout x, y ∈ Ob(A) = Ob(B). Lemme 2.4.3 : Soient A et B deux catégories nies ordonnées ayant le même ordre, si on a A ∼ = B d'une manière qui respecte les ordres, alors MA = MB . Preuve : On pose A ≈ B, alors il exite un foncteur F :A / B tel que : 5. l'ensemble des matrices de taille n × m à coecients des entiers naturelle 16 Propriétés algébriques des catégories nies / Ob(B) est bijective ce qui donne pour F : Ob(A) xi ∈ Ob(A) on a un seul objet yi ∈ Ob(A) tel que F(xi ) = yi , 1. L'application tout 2. F est pleinement dèle, xi , xj ∈ Ob(A) comme F est pleinement déle alors / B(F(xi ), F(xj )) = B(yi , yj ) est bijective F : A(xi , xj ) l'application donc |A(xi , xj )| = aij = |B(yi , yj )| = bij pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}, alors MA = MB . D'autre part, soient Théorème 2.4.4 : Soit B une catégorie nie, et soit B une sous-catégorie pleine de A alors la matrice MB est une sous-matrice régulière de MA . Preuve : Soit B une sous-catégorie pleine de A alors Ob(B) ⊆ Ob(A) et HomB (A, B) = HomA (A, B) pour tout A,B deux objets dans Ob(B). On pose Ob(A) = {x1 , ..., xn }, comme Ob(B) ⊆ Ob(A) alors Ob(B) = {xi1 , ..., xim } indices ordonnés croissement avec m≤ n et ij ∈ [1, n] pour tout j∈ [1, m], alors : MB = (bi,j )1≤i,j≤m = (B(xis , xit ))1≤s,t≤m = (A(xis , xit ))1≤s,t≤m = N{i1 ,...,im } . Donc MB = N{i1 ,...,im } Lemme 2.4.5 est une sous-matrice régulier de : Soit A une catégorie nie d'ordre n, alors MAop = t MA Preuve : MAop = (bi,j )≤i,j≤n = (Aop (xi , xj ))1≤i,j≤n = (A(xj , xi ))1≤i,j≤n = (aj,i )≤i,j≤n = t MA . Donc MA . MAop = t MA . 17 Techniques de construction des catégories nies 2.5 Techniques de construction des catégories nies On prend (Ai )1≤i≤N une famille des catégories avec N ∈ N∗ Dénition 2.5.1 Soient A et B deux catégories, on dénit la somme A + B par trois éléments : S - Ob(A + B) = Ob(A) Ob(B). - Soit a, b ∈ Ob(A + B) alors, si (a, b) ou (b, a) ∈ Ob(A) × Ob(B) ∅ HomA+B (a, b) = HomA (a, b) si a, b ∈ Ob(A) HomB (a, b) si a, b ∈ Ob(B) - Soit f, g ∈ Hom(A + B) tel que : f : x / y et g : y a) Si x, y, z ∈ A on dénit g ◦A+B f = g ◦A f . b) Si x, y, z ∈ B on dénit g ◦A+B f = g ◦B f . /z. Lemme 2.5.2 : La somme A + B est une catégorie qui s'appelle catégorie somme de A et B . Si A est une catégorie nie d'ordre n avec MA = (aij )1≤i,j≤n et si B est une catégorie nie d'ordre m avec MB = (bij )1≤i,j≤m , alors A + B est nie d'ordre n + m. La matrice MA+B est la somme directe des matrices MA et MB . En eet : Soit f, g, h ∈ Hom(A + B) tel que : x alors l'ensemble - h {x, y, z, t} ⊆ A / ou Si x, y, z, t ∈ A alors, ◦A+B = ◦A Si x, y, z, t ∈ B alors, ◦A+B = ◦B Donc alors g y B /z f / t donc on a deux cas : ce qui donne l'associativité. d'où l'associativité. A + B est une catégorie, en plus si les deux A + B est nie c'est facile à démontrer. Dénition 2.5.3 catégories A, B sont nies : Soient A et B deux catégories non vides, on dénit la produit A × B par trois éléments : n o Ob(A × B) = (a, b)/a ∈ Ob(A) et b ∈ Ob(B) 18 Techniques de construction des catégories nies h i n o HomA×B (a, b), (c, d) = (f, g)/f ∈ HomA (a, c) et g ∈ HomB (b, d) avec (a, b), (c, d) ∈ Ob(A × B), (f, g) ◦A×B (h, k) = (f ◦A h, g ◦B k) avec (f, h) ∈ A(b, c) × A(a, b) et (g, k) ∈ B(y, z) × B(x, y). Si l'une de deux égale à vide, alors il est évidament la catégorie produit A×B est vide en plus elle devient nie. Lemme 2.5.4 : La produit A × B est une catégorie qui s'appelle catégorie produit de A dans B . D'autre part, si A est une catégorie nie non vide d'ordre n avec MA = (aij )1≤i,j≤n et si B est une catégorie nie non vide d'ordre m avec MB = (bij )1≤i,j≤m , alors A × B est nie d'ordre n × m. Si A = ∅ ou B = ∅ alors A × B = ∅ c.à.d est nie. La matrice MA×B est MA ⊗ MB où (MA ⊗ MB )(i,k),(j,l) := aij bkl . Preuve : On a déni les objets et les morphismes, il reste à démontrer ◦A×B est associative. Soient (f, g), (h, k) et (t, p) dans Hom(A × B) alors, h i (f, g) ◦A×B (h, k) ◦A×B (t, p) = (f ◦A h, g ◦B k) ◦A×B (t, p) h i = (f ◦A h) ◦A t, (g ◦B k) ◦B p h i = f ◦A (h ◦A t), g ◦B (k ◦B p) que la loi ◦A ,◦B associatives = (f, g) ◦A×B (h ◦A t, k ◦B p) h i = (f, g) ◦A×B (h, k) ◦A×B (t, p) . ◦A×B est associative, ce qui donne que A × B est une catégorie. B sont nies avec Ob(A) = {x1 , ..., xn } et Ob(B) = {y1 , ..., ym }, on note (xi , yj ) = zm(i−1)+j , donc MA×B = {z1 , ..., znm } ce qui donne l'ensemble Ob(A × B) est nie. Soient (xi , yj ) et (xi0 , yj 0 ) deux objets, alors ; h i n o Donc Si A et Hom (xi , yj ), (xi0 , yj 0 ) = (f, g)/f ∈ HomA (xi , xi0 ), g ∈ HomB (yj , yj 0 ) , ce h i qui donne Hom (xi , yj ), (xi0 , yj 0 ) = aii0 bjj 0 donc Hom(A × B) est nie. Alors A × B est une catégorie nie. P Q Théorème 2.5.5 : Soient Ai des catégories nonvides ; (A)i et Ai sont deux catégories nies si et seulement si Ai est une catégorie nie pour tout i. Preuve : D'après les lemmes (2.5.2) et (2.5.4). 19 Techniques de construction des catégories nies Dénition 2.5.6 : Étant donnée une famille (xi )i∈I des objets de la catégo- rie A. La somme de la famille (xi )i∈I , est la donnée d'un objet x de A et pour tout i d'une èche φi : xi / x vériant la propriété universelle : xO A AA f AA AA A fi /y xi φi quels que soient l'objet y et les èches fi : xi f / y de A il existe une unique èche f : x f / y telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est à dire que fi = f ◦ φi . Le produit de la famille (xi )i∈I est la donnée d'un objetx de A et pour tout i d'une èche πi : x / xi vériant la propriété universelle : >x f ~~~ ~ y ~~ ~~ fi πi / xi quels que soient l'objet y et les èches fi : y / xi de A il existe une unique èche f : y / x telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est à dire que fi = πi ◦ f . S'ils existent, les sommes et les produits sont uniques aux isomorphismes près. Lemme 2.5.7 : Soit A une sémi-catégorie, et soit u ∈ A(x, y) avec x, y ∈ Ob(A), alors on peut ajouter un morphisme u0 sur A(x, y) tel que u0 6= u, donc on aura une nouvelle sémi-catégorie A0 avec Ob(A) = Ob(A0 ) et S Hom(A) = Hom(A0 ) {u0 }. D'autre part, on peut ajouter aussi les identités manquantes dans Ob(A) pour obtenir une catégorie B. Preuve :Soit u ∈ A(x, y) alors on dénit le morphisme u0 de A(x, y) au travers de u par : u0 ◦ v = u ◦ v et w ◦ u0 = w ◦ u. soit (f, g) ∈ A(y, z) × A(y, z) alors : (gf )u0 = (gf )u = g(f u) = g(f u0 ). 20 Une variété ane des modules sur une catégorie nie (gf )u0 = g(f u0 ), La même pour les autres équations (hu0 )k = h(u0 k) et (po)u0 = p(ou0 ), avec (h, k) ∈ A(z, x) × A(y, t) et (p, o) ∈ A(z, t) × A(t, x). 0 Pour les identités évidantes si on les ajoute, on aura une catégorie A . Donc Notation : M Cat(M) Soit une matrice carrée d'ordre et B A par sémi-catégorie de A n Cat(M) 6= ∅, et soient A ∈ {idxi1 , ..., idxie } 6⊂ Hom(B). tel que avec B + ids. D'autre part, on note MB+ids = MB + Iids− tel que : 0 si i 6= j 0 si i = j 6∈ {i1 , ..., ie } Iids− = (aij )1≤i,j≤n avec aij = 1 si i = j ∈ {i1 , ..., ie } On note 2.6 Une variété ane des modules sur une catégorie nie Théorème 2.6.1 : Au traverse d'une catégorie nie on peut construire une variété ane. En eet : Étant donnée une catégorie A, et on xe b1 , ..., bn ∈ N, alors la donnée d'un foncteur : / φ: A vectk f b / xj ) est une application linéaire de k bi vers tel que φ(xi ) = k i et φ( xi k bj qui détermine par une matrice d'ordreQbi ×Qbj . bi bj L'ensemble de ces données est donc Y = , on note Y est i,j f ∈A(x ,x ) k i j une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension P i,j M (i, j)bi bj où dim(Y ) = M (i, j) = |A(xi , xj )|. D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénisse un foncteur, pour tout tout f xi xi on / xj g / xk demande que on demande que Φ(1xi ) = 1bi ×bi . Φ(g) ◦ Φ(f ) = Φ(gf ), et pour Ces équations sont des équations polynomiales sur les coordonnées de Y, donc elles dénissent une sous-variété b fermée X ⊂ Y qui est donc une variété ane, avec X = Hom (A, vectk ). 21 Chapitre 3 catégorie associée à matrice carrée positive 3.1 Introduction Soit M une matrice carrée d'ordre n, on dénit des catégories dont leur matrice est la matrice M, Cat(M ) ; c'est l'ensemble par exemple on prend la matrice triangulaire supérieure suivante : 1! 1!C12 · · · 0 . M = .. . .. 0 Nous dénissons la catégorie 1 ≤ i ≤ n, et les trouver An ∈ Cat(M ). avec ··· 2! .. . .. .. . .. . .. . .. . ··· 0 . ··· An 1!C1n . . . . . . (n − 1)!Cn−1 n n! . dont les objets sont les ensembles {1, 2, ..., i} morphismes sont les applications injectives. On va Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur Cat(M ), par exemple le théorème (3.3.3) qui dit si on a une matrice on a une sous-matrice régulière M et alors : Cat(M ) 6= ∅ ⇒ Cat(N ) 6= ∅. σ σ Encore une grande propriétés sur Cat, si A ∈ Cat(M ) alors A ∈ Cat(M ) avec σ ∈ Sn , Sn l'ensemble des permutations sur {1, .., i} et n l'ordre de M . Si Cat(N ) = ∅ ⇒ Cat(M ) = ∅ N c.à.d si 22 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) Nous encore étudions dans une section l'état de M On va trouver si 1<a≤b a,b alors = a b 1 1 Cat(M a,b ) avec : . Cat(M a,b ) = ∅. Dans la suite, on tourne autour de la caractéristique d'Euler et le séries de caractéristique d'Euler. 3.2 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) Soit M ∈ Mn (N) dénie par : m11 m12 · · · m1n m21 m22 . . . m2n M = .. . . .. . . . . . . mn1 mn2 · · · mnn Dénition 3.2.1 : Soit A une catégorie nie d'ordre n dont les objets sont {x1 , . . . , xn } ; on dit que A est une catégorie associée à M si : |Hom(xi , xj )| = mij , ∀ i,j ∈ {1, . . . , n}. Exemple 3.2.2 : 1. La catégorie A dont les objets sont {1, . . . , n} et les morphismes sont les identités, 1 0 ··· 0 0 I= . .. 1 .. . . . . . .. . 0 ··· 0 alors A associée à .. . 0 1 ∈ N∗ , et soit Anb une catégorie dont l'ensemble des objets o dénie par Ob(A) = xi = {1, . . . , i}/i ∈ N et 1 ≤ i ≤ n et 2. Soit n est les morphismes sont les applications bijectives avec la loi de composition 23 Dénition des catégories associées à M et Cat(M) usuelle. On remarque |HomA (xi , xj )| = i! 0 si i=j si i 6= j ,∀ ∈ {1, . . . , n}. i,j En eet : xi = {1, . . . , i} et {1, . . . , i, i + 1, . . . , j} donc il n'y a aucune bijection entre xi et xj alors |HomA (xi , xj )| = 0. 1 Si i=j alors |HomA (xi , xj )| = |HomA (xi , xi )| = |Si | = i!, 1! 0 · · · 0 . .. . . . 0 2! donc A est une catégorie associée à M = . . .. . . . . . . 0 0 · · · 0 n! si i 6= j , on pose i<j alors 3. On prend la catégorie précédente Ab , mais les morphismes sont les applications injectives, alors on aura une nouvelle catégorie notée par Ai et : i! i!Cij |HomA (xi , xj )| = 0 si i=j si si i < j ,∀ i>j i,j ∈ {1, . . . , n}, donc A 4. Soit que est une catégorie associée à 1! 1!C12 · · · 0 . M= .. . .. 0 ··· 2! .. . .. .. . .. . . .. . ··· 0 . .. ··· 1!C1n . . . . . . (n − 1)!Cn−1 n n! n ∈ N∗ et soit A une catégorie dont les objets sont {N, M } tels N = {1, ..., n} et M = {2, ..., n + 1}, et les morphismes dénis par le diagramme suivant : f (x)=x+1 id 8Nl g(y)=y−1 , Mi alors A est une catégorie associée à 1. L'ensemble des permutations sur {1, .., i} 24 M= id 1 1 1 1 . . Quelques propriétés sur Cat(M) n C at(A)= A On veut dire catégorie nie d'ordre n/A associée à o M . 3.3 Quelques propriétés sur Cat(M) Soit M ∈ Mn (N) Exemple 3.3.1 Soit I2 = Preuve 1 2 2 1 alors peut-être : Cat(M) = ∅. , alors Cat(I2 ) = ∅. : par l'absurde, on pose Cat(M) 6= ∅ alors il existe au moins une catégorie nie d'ordre deux dont les objets sont {x1 , x2 } et les morphismes sont dénis par : HomA (x1 , x1 ) = {idx1 }, HomA (x1 , x2 ) = {f1 , f2 } avec f1 6= f2 . et HomA (x2 , x2 ) = {idx2 }, HomA (x2 , x1 ) = {g1 , g2 } avec g1 6= g2 . On remarque fi gj = idx2 et gj fi = idx1 pour tout i,j ∈ {1, 2} alors : g1 (f1 g2 ) = g1 idx2 = g1 = (g1 f1 )g2 = idx1 g2 = g2 contradiction n'existe pas alors Cat(M) = ∅. Lemme 3.3.2 Cat( t M) 6= ∅. donc A : Soit M ∈ Mn (N) alors Cat(M) 6= ∅ si et seulement si En eet : ⇒) Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie nie d'ordre n A t associée à M alors Aop est une catégorie associée à M voir le lemme (2.4.5), t donc Cat( M) 6= ∅ ⇐) La même démonstration, on utilise t ( t M) = M. On pose Théorème 3.3.3 : Soit M ∈ Mn (N) et soit NI une sous-matrice régulière de M avec I = {i1 , ..., im } ⊆ {1, ..., n} , si on a Cat(N ) = ∅ alors Cat(M) = ∅. D'autre sens, on peut dire si on a Cat(M) 6= ∅ alors Cat(N ) 6= ∅. 25 Quelques propriétés sur Cat(M) Preuve : Soit Cat(N ) = ∅, on pose que Cat(N ) 6= ∅ alors il existe A une {x1 , ..., xn }. Soit C une catégorie d'ordre m dont les objets sont {xi1 , ..., xim } et les morphismes dénis par HomB (xi , xj ) = HomA (xi , xj ) avec la même loi de composition, on trouve que B est une sous-catégorie pleine de A associée à NI , parce que nij = HomA (xi , xj ) = HomB (xi , xj ) pour tout i, j ∈ {i1 , ..., im }, ce qui donne Cat(M) 6= ∅ contradiction donc Cat(M) = ∅. Autrement dit si Cat(M) 6= ∅ alors Cat(N ) 6= ∅. catégorie nie d'ordre Exemple 3.3.4 Soit M= I2 = 1 2 2 1 n associée à M dont les objets sont a1n a2n a33 : 1 2 a13 · · · 2 1 a23 · · · a31 a32 a33 · · · . . . . . . . . . .. . . . . an1 an2 an3 · · · , alors Cat(M) = ∅ car la matrice ann est une sous-matrice régulière de M, et Cat(MI2 ) = ∅ voir l'exemple (3.3.1). Dénition 3.3.5 (mij )1≤i,j≤n : Soit A une catégorie nie d'ordre n et M ∈ Mn (N), et soit σ ∈ Sn on veut dire : = • Aσ la catégorie dont les objets sont les mêmes objets de A et les morphismes dénis par HomAσ (xi , xj ) = HomA (xσ(i) , xσ(j) ) pour tout i,j ∈ {1, ..., n}, avec la loi de composition de A. • Mσ = (mσ(i)σ(j) )1≤i,j≤n ∈ Mn (N). : Soit A une catégorie associée à M ∈ Mn (N), alors Aσ est une catégorie associée à Mσ , et Mσ la matrice de Aσ . Lemme 3.3.6 Soient i,j ∈ {1, ..., n}, on a HomAσ (xi , xj ) = HomA (xσ(i) , xσ(j) ) = HomA (xσ(i) , xσ(j) ) = mσ(i)σ(j) , donc Aσ est une catégorie associée à Mσ . Preuve : Corollaire 3.3.7 : Soit M = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) et soit σ ∈ Sn , alors les deux ensembles Cat(M) et Cat(Mσ ) sont isomorphes. En eet : On pose que σ Cat(M ) sont isomorphes Soit F dénie par : F : Cat(M) A Cat(M) 6= ∅ entre eux. / on va démontrer que / Cat(Mσ ) F(A) = Aσ 26 Cat(M) et Quelques propriétés sur Cat(M) D sont deux catégories dans Cat(M) tel que C = D alors F(C) = C = Dσ = F(D), donc F est une application. b) Soient C et D sont deux catégories dans Cat(M) tel que F(C) = F(D) a) Soient C et σ alors : HomC (xi , xj ) = = = = = = HomC (xσσ−1 (i) , xσσ−1 (j) ) HomC (xσ(σ−1 (i)) , xσ(σ−1 (j)) ) HomC σ (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) ) HomDσ (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) ) HomD (xσσ−1 (i) , xσσ−1 (j) ) HomD (xi , xj ). (car C σ = Dσ ) HomC (xi , xj ) = HomD (xi , xj ) pour tout i, j ∈ {1, ..., n}, alors C = D, donc F est injective. σ c) Soit B ∈ Cat(M ), on dénit la catégorie A dont les objets sont les mêmes objets de B tel que HomA (xi , xj ) = HomB (xσ −1 (i) , xσ −1 (j) ) pour tout i,j, donc Donc on a : HomA (xi , xj ) = HomB (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) ) = mσ(σ−1 (i)) σ(σ−1 (j)) = mij . Alors A ∈ Cat(M) Cat(M) et B ∈ Cat(Mσ ) F(A) = B , donc F est surjective. F est une application bijective, donc Cat(Mσ ) sont isomorphes. avec a)+b)+c) donnent que sembles (car les deux en- Exemple 3.3.8 1 2 5 1 2 3 Soit M = 2 1 1 , et soit σ = ∈ S3 alors ; 2 3 1 7 3 8 1 1 2 Mσ = 3 8 7 , et Cat(M) = Cat(Mσ ) = ∅. 2 5 1 En eet : On a la matrice I2 est une sous-matrice de M et Mσ , et Cat(I2 ) = ∅ alors, Cat(M) = Cat(Mσ ) = ∅. 27 Etude de Cat(Ma,b ) 3.4 Etude de Cat(Ma,b) Dénition 3.4.1 : On dénit la matrice Ma,b ∈ M2 (N) par : a b a,b M = . 1 1 Théorème 3.4.2 : Soit a,b ∈ N tel que 1 < a ≤ b alors, Cat(Ma,b ) = ∅. Preuve : On suppose que Cat(Ma,b ) 6= ∅, alors il existe au moins une catégorie A nie d'ordre 2 associée à Ma,b , dont les objets sont {x1 , x2 } et les morphismes dénis par : HomA (x2 , x2 ) = {1x2 }, HomA (x2 , x1 ) = { h }, HomA (x1 , x1 ) = {1x1 , e1 , ..., ea−1 }, HomA (x1 , x2 ) = {f1 , f2 , f3 , ..., fb }. Pour les équations d'associative sont : ei h = h, pour tout i dans {1, ....., (a − 1)}, fi h = 1x2 , pour tout i dans {1, ..., (b − 1), b}, hfi ∈ {1x1 , e1 , ....., e(a−1) }, pour tout i,j ∈ {1, ....., (a − 1)}, ei ej ∈ {1x1 , e1 , ....., e(a−1) }, pour tout i,j ∈ {1, ....., (a − 1)}, fi ej ∈ {f1 , ....., f(b−1) , fb }, pour tout (i,j) ∈ {1, ....., (a − 1)} × {1, ...., b}. On dénit l'application T par : T : {1, ..., b} s / / {1, e1 , ..., ea−1 } T (s) = hfs 1x1 ∈ Im(T ), alors il existe s tel que hfs = 1x1 . Donc, on aura : e1 = e1 (hfs ) = (e1 h)fs = hfs = 1x1 contradiction, ce qui donne 1x1 ∈Im(T ). D'autre part, Comme b ≥ a et 1x1 ∈Im(T ), alors il existe au moins s, t ∈ {1, ..., b} tel que s 6= t et hfs = hft . On pose que par ailleurs : f1 (hfs ) = f1 (hft ) ⇒ (f1 h)fs = (f1 h)ft ⇒ (1x2 )fs = (1x2 )ft ⇒ fs = ft . Contradicition donc A n'existe pas, alors 28 Cat(Ma,b ) = ∅. Caractéristique d'Euler de catégorie Lemme 3.4.3 " Cat a b 1 1 : # " = Cat a 1 b 1 # " = Cat 1 1 b a # " = Cat 1 b 1 a # = ∅, pour tout 2 ≤ a ≤ b. Preuve : On a a 1 b 1 = t (Ma,b ), alors Cat[ t (Ma,b )] = Cat(Ma,b ) = ∅, voir le lemme (3.3.2) " # 1 1 Cat = (Ma,b )σ , alors Cat[(Ma,b )σ ] = Cat(Ma,b ) = ∅, voir le corollaire b a 1 2 avec σ = ∈ S2 . 2 1 " # h i 1 b a,b σ σ a,b σ σ Cat = [(M ) ] , alors Cat [(M ) ] = Cat[(Ma,b )σ ] = ∅. 1 a Lemme 3.4.4 : Soit M une matrice dénie par : 1 a M= . b 1 Avec a,b ∈ N∗ , alors Cat(M) = ∅ si a>1 ou b>1. Preuve : voir l'exemple (3.3.1). 3.5 Caractéristique d'Euler de catégorie 3.5.1 Inversion de Möbuis Dénition 3.5.1 : Soit A une catégorie nie, on note par R(A) le Q−alg / Q , avec plus ponctuelle et la multiplication `ebre de fonctions A × A scalaire, multiplication dénie par : X (θφ)(a, c) = θ(a, b)φ(b, c) b∈A (θ, φ ∈ R(A), a, c ∈ Ob(A)) avec δ l'unité. La fonction ζA = ζ ∈ R(A) est dénie par ζ(a, b) = |A(a, b)|. Si ζ est 29 (3.3.7) Caractéristique d'Euler de catégorie inversible dans R(A) alors on dit que A admet une inversion de Möbius, et l'inverse µ = ζ −1 ∈ R(A) est s'appelle la fonction Möbius de A, donc on peut dire : X X ζ(a, b)µ(b, c) = δ(a, c) = µ(a, b)ζ(b, c). b Exemple 3.5.2 1. Soit A b : une catégorie monoïde avec sa matrice est admet une inversion de Möbius inversible et ζ, tel qua M = (n), alors A ζ(a, a) = |M| = n µ(a, a) = 1/n. 2. si MA = alors 1 µA = ad − bc Dans ce cas, a b c d , d −b −c a . MA admet l'inversion de Möbius si et seulement si ad−bc 6= 0. Dénition 3.5.3 : Soit n ≥ 0, soit A une catégorie , et soit a, b ∈ Ob(A), un n-chemin de a vers b est un diagramme déni par : a = a0 f1 f2 / a1 / ... fn / an = b (3.1) Il est circuit, si a = b. Lemme 3.5.4 : Les conditions suivantes sur une catégorie nie A sont équi- valentes : 1. chaque idempotent 2 dans A est une identité 2. Tout endomorphisme de A est un automorphisme 3. chaque circuit dans un composé exclusivement sont des isomorphismes. Preuve : La démonstration est dans la papier de Leinster voir [13]. Théorème 3.5.5 [13] :Soit A une catégorie nie dans laquelle les idempo- tents seulement sont des identités. Alors A admet une inversion de Möbius donnée par : X µ(a, b) = (−1)n /|Aut(a0 )|...|Aut(an )| où Aut(a) est le groupe des automorphismes de a ∈ A et la somme porte sur tous les n ≥ 0 et chemins (3.1) pour lesquels a0 , ..., an sont toutes distinctes. 2. On dit que f est idempotent si f 2 = f 30 Caractéristique d'Euler de catégorie Dénition 3.5.6 : - En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un f / y qui est simpliable à droite de la manière suimorphisme x vante : /z. g1 ◦ f = g2 ◦ f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1 , g2 : y f x / y g1 , g2 // z - Un épi-système (ε, M ) sur la catégorie A se compose d'une classe ε des épimorphismes de A et d'une M , une classe des morphismes dans A, satisfaisant les axiomes [FK].Les axiomes impliquent que ∀f morphisme dans A alors il existe (e, m) ∈ (ε, M ) tel que f = me, et s'il existe (e0 , m0 ) ∈ (ε, M ) tel que f = m0 e0 alors e0 = ie et mi−1 avec i est un isomorphisme dans A. Théorème 3.5.7 :Soit A une catégorie nie avec un epi-système (ε, M ). Alors A a une inversion de Möbius donnée par : X µ(a, b) = (−1)n /|Aut(a0 )|...|Aut(an )| où la somme porte sur toutes les 0 ≤ r ≤ n et n-chemin (3.1) tel que a0 , ..., ar sont distinctes et ar , ..., an sont distinctes,f0 , ..., fr sont distinctes et fr , ..., fn sont distinctes. Preuve : Les objets de A et les èches ε déterminent une sous-catégorie de A, E a une inversion de Möbius aussi notée E, qui vérie les hypothèses du théorème (3.5.5) et donc ζE , La même chose pour M qui admet une inversion de Möbius ζM . Ob(A) α∈Q donne lieu à un élément de R(A) également noté α Ob(A) et déni par α(a, b) = δ(a, b)α(b). La morphisme résultant de Q à R(A) Ob(A) préserve multiplication (où la multiplication des Q est ponctuelle). Nous Ob(A) avons éléments |Aut| et 1/|Aut| Q de A, où, par exemple, |Aut|(a) = 1 .ζM , donc A a une |Aut(a)|. Par la propriété de l'épi-système, ζA = ζE . |Aut| 1 fonction Möbius donne par µA = µE . .µ , et le théorème (3.5.5) donne |Aut| M Tout élément la formule. Dénition 3.5.8 : Soit A une catégorie nie, une pondération sur A est une fonction : / Q tel que pour tout a ∈ Ob(A), k∗ : A X ζ(a, b)k b = 1. b 31 Caractéristique d'Euler de catégorie Une copondération k∗ sur A est une pondération sur Aop . On remarque si A admet une inversion de Möbius si et seulement si elle a une pondération unique, si et seulement si elle a un copondération unique, qui sont donnés par : X X ka = µ(a, b), kb = µ(a, b). a b Étant donné une catégorie A ordonnée d'ordre n. Une pondération w∗ sur A, est une couple(w1 , ..., wm ) ∈ Qm qui donne : w1 1 .. .. ZA . = . wm 1 Une copondération w∗ sur A, est une couple(w1 , ..., wm ) ∈ Qm qui donne : (w1 ...wm )ZA = (1...1) Exemple 3.5.9 : A une catégorie monoïde dont l'objet est x,et sa matrice M = (m) x alors A a une pondération unique k = 1/|M | = 1/m. 1. Soit 2. Soit A une catégorie dénie par le diagramme suivant : b1 ? a? ?? ?? ?? b2 On a k∗ est unique sur A déni par (k a , k b1 , k b2 ) = (−1, 1, 1). En eet : k b1 = µ(b1 , a) k b2 = µ(b2 , a) a + µ(b1 , b1 ) + µ(b2 , b2 ) = 0 + (−1)0 /1 + 0 = 1 + µ(b2 , b2 ) + µ(b2 , b1 ) = 0 + (−1)0 /1 + 0 = 1. k = µ(a, a) + µ(a, b1 ) + µ(a, b2 ) = (−1)0 /1 + (−1)/1 + (−1)/1 = −1. Lemme 3.5.10 alors : : Soit (Ai )1≤i≤n une famille des catégories nies avec n ≥ 0, 32 Caractéristique d'Euler de catégorie P 1. Si Ai admet une ki∗ pour toute 1 ≤ i ≤ n alors i Ai admet une ∗ a a pondération l dénie par l = P ki avec a ∈ Ai .Si chaque Ai a une inversion de Möbius alors encore i Ai admet une inversion de Möbius qui dénit par : µAi (a, b) si i = j µ(a, b) = 0 si non Q 2. Si chaque Ai a une pondération ki∗ alors i Ai a une pondération l∗ 1 ,...,an ) dénie par l(aQ = k1a1 ...knan .Si chaque ai admet une inversion de Möbius alors i Ai a une inversion de Möbius qui est dénie par : µ((a1 , ..., an ), (b1 , ..., bn )) = µ1 (a1 , b1 )...µn (an , bn ). 3.5.2 Caractéristique d'Euler Lemme 3.5.11 : Soit A une catégorie nie, k ∗ une pondération de A, et k∗ P a P une copondération de A alors a k = a ka . Preuve : X kb = XX b X X X ka . ζ(a, b)k b = ka ka ζ(a, b) k b = a a b b a Dénition 3.5.12 : Une catégorie nie A a Caratéristique d'Euler si elle admet à la fois pondération et copondération. Le caractéristique d'Euler dénie par : X X ka . ka = X (A) = a a Pour toute pondération k et copondération k∗ . Si A est une catégorie P nie avec inversion de Möbius et admet de caractéristique d'Euler, χ(A) = a,b µ(a, b). ∗ Exemple 3.5.13 Soit A : une catégorie monoïde d'ordre Lemme 3.5.14 n alors X (A) = 1/n. : Soit M une matrice carrée d'ordre 2 dénie par : a b MA = c d , si le déterminant est 6= 0 alors χ(A) = a+d−b−c . ad − bc 33 Caractéristique d'Euler de catégorie Lemme 3.5.15 : Supposons que A est une catégorie ordonnée réduite avec deux objets telle que : 1 b MA = . c d Si b > 0 et c > 0 alors A admet l'inversion de Möbius, et on a χ(A) > 0. On a A est une catégorie ordonnée réduite associée à 6 On va démontrer ça dans le chapitre det(M ) 6= 0 A alors MA alors d ≥ bc + 1. voir le théorème (6.2.2), ce qui donne admet l'inversion de Möbius. D'autre part, le lemme (3.5.14) donne : χ(A) = 1+d−b−c . d − bc On a : 1 + d − b − c ≥ 2 + bc − b − c = (b − 1)(c − 1) + 1 > 0. et d − bc > 0 alors χ(A) > 0. Proposition 3.5.16 : Soient n ∈ N et A1 , ..., An des catégories nies Q telles P que chaqu'une admette une caractéristique d'Euler.Alors i Ai et i Ai a caractéristique d'Euler, X X Y Y χ( Ai ) = χ(Ai ), χ( Ai ) = χ(Ai ). i i i i Preuve : Voir le lemme (3.5.10). Un cas particulier important est quand ZA est inversible. Alors A est dit inversion Möbius, il y a une pondération unique et une copondération unique, −1 et χ(A) est la somme des entrées de (ZA ) . 3.5.3 Série de caractéristique d'Euler Dénition 3.5.17 : Étant donnée une catégorie nie c, notons c0 l'esemble de ses objets , c1 l'esemble de ses morphismes, c2 l'ensemble de ses couples de morphismes composables et cn l'esemble de ses n-uples composables : (c1 , ..., cn ) avec α(ci ) = β(ci+1 ). où α et β désignent les applications source et but. On obtient alors un ensemble appelé le nerf de c note par N (c) :les applications de face sont données par la composition de deux morphismes successifs et par la suppression du premier ou du dernier morphisme, les applications de dégénérescence sont données en insérant des morphismes identiques. 34 Caractéristique d'Euler de catégorie Soit m ∈ N, matrice et soit s : M ∈ Mn (N) / Mn (N) N avec s(M ) = P i,j on a adjoint de la matrice notée par mij . Pour chaque adj(M ) avec, adj(M ) × M = M × adj(M ) = det(M ) × I. Étant donné un ensemble simplicial X avec seulement un nombre ni de simplexes de chaque dimension, soit P n et fx (t) = n∈N cn t ∈ Q[[t]]. Soit A cn le nombre de n-simplexes non dégénérés, une catégorie nie avec la chaine non-dégénée suivante : φ1 x0 On note / x1 φ2 / ··· φn / xn . (3.2) fA = fN (A) ∈ Q[[t]]. Théorème 3.5.18 (dans Q). : Pour toute catégorie nie A, la série fA est rationnelle Preuve : On ordonne les objets de A par a1 , ..., am , soit ZA la matrice de A; pour chaque i et j, le nombre de non-identité èches de ai vers aj . Le nombre n-simplexes non-dégénérée(3.2) à partir de ai et se terminant à aj n est ((ZA i − I) )ij D'où, le total cn nombre de n-simplexes non dégénérées est n s((ZA i − I) ), d'où le resultat. S Comme fA est rationnel alors, fA (−1) ∈ Q {∞} Dénition 3.5.19 : une catégorie A nie a séries caractéristique d'Euler si fA (−1) ∈ Q, dans ce cas, cette série caractéristique d'Euler est χP (A) = fA (−1). Avec , s(adj(I − (ZA − I)t)) . fA (t) = det(I − (ZA − I)t Voir cette notation dans [Berger et Leinster [4]]. Exemple 3.5.20 : Si A est une catégorie Monoïde d'ordre n, alors χP = 1/n. Un changement de variable sera utile, gA (u) = Donc fA (t) = (1 − u)gA (u) u = 1 + 1/t alors, s(adj(ZA − uI)) ∈ Q(u) det(ZA − uI) ce qui donne 35 χP (A) = gA (0) Caractéristique d'Euler de catégorie Théorème 3.5.21 : Soient A une catégorie nie à pondération et copondération, et ZA est une matrice diagonalisable, alors A a série de caractéristique d'Euler. Preuve :Puisque ZA est diagonisable alors il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D sur (λ1 , ..., λm ) les vecteurs propres telle que : ZA = P DP − 1, et on suppose A a pondération w∗ Pour tout n ∈ N, X X s((ZA − I)n ) = Pij (λj − 1)n (P −1 )jk = pj p0j (λj − 1)n . j∈m i,j,k∈m pj Avec de P 0 la somme de j-ème colonne de P , et p0j est la somme de le j-ème ligne alors, fA (t) = X cn tn = n∈N X s((ZA − I)n )tn = XX pj p0j (λj − 1)n tn n∈N j∈m n∈N = X = X pj p0j j∈m X [(λj − 1)t]n n∈N pj p0j × j∈m 1 1 − (λj − 1)t pj p0j = 1 − (λj − 1)t j∈m X Il sut de prouver que j-ème colonne de P pj p0j = 0 pour tous les j tels que λj = 0 , alors, pj = (1....1)Pj = w∗ ZA Pj = w∗ λj Pj = 0. Donc : χ (A) = fA (−1) = P X pj p0j j∈m 36 λj . ensuite Pj Chapitre 4 Partitions de Matrice 4.1 Introduction Étant donné la relation R A une catégorie nie ordonnée a n objets x1 , ..., xn ,On dénit sur l'ensemble des objets par : xi Rxj si et seulemnt si |A(xi , xj )| > 0 et |A(xj , xi )| > 0. R est une relation d'équivalence, donc on aura Ob(A)/R = {u1 , ..., uq , v1 , ..., vp } avec chaque ui qui est une classe des objet qui contient au moins une onbjet x tel que |A(x, x)| = 1, et chaque vi est une classe des objets y tel que |A(y, y)| > 1. Nous vérions que u1 = {λ0 , ..., λ|u1 | } v1 = {φ1 , ..., φ|v1 | } . . . et . . . uq = {α0 , ..., α|uq | } alors vp = {ϕ1 , ..., ϕ|up | } Ob(A) = {λ0 , λ1 , ..., α0 , α1 , ..., φ1 , φ2 , ..., ϕ1 , ϕ2 , ...}. Soit M = (mij ) une matrice associée à matrice à travers de la relation R A, alors nous pouvons diviser la en plusieurs blocs par exemple : 37 Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie M une matrice dénie par : 1 b c d a e f k l n M= 0 0 1 x 0 , avec Cat(M) 6= ∅, 0 0 q m 0 r y z t s Soit Comme Cat(M) 6= ∅ et les lettres sont diérents de zéro. alors, il existe une catégorie A associée à M telle que : Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ0 , λ1 , λ2 , β 0 , β 1 }. 1 b a c d e f n est une bloc associé à λ, k l est une bloc associé à λ vers β . r y s z t 1 x 0 0 0 est une bloc associé à β , est une bloc associé à β vers λ. q m 0 0 0 4.2 Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie ∈ N∗ , et A une catégorie associée à M dont les objets sont Ob(A) = {x1 , ...., xn } et HomA = A(xi , xj ) = {f1 , ..., faij } avec fs : xi 7−→ xj . Soient M=(aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) tel que n Dénition 4.2.1 : On considère une relation R sur Ob(A) dénnie par : soient xi , xj ∈ Ob(A). Alors ; HomA (xi , xj ) 6= ∅ |HomA (xi , xj )| = aij > 0 et et xi Rxj ⇐⇒ = HomA (xj , xi ) 6= ∅ |HomA (xj , xi )| = aji > 0 Lemme 4.2.2 : R est une relation d'équivalence sur Ob(A). Preuve : 38 Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie xi ∈ Ob(A), comme idxi ∈ Hom(xi , xi ) aij > 0 et xi R xi , donc R est réexive. 1. Soit alors |HomA (xi , xj )| = (xi , xj ) ∈ [Ob(A)]2 tel que xi R xj , alors : HomA (xi , xj ) 6= ∅ HomA (xj , xi ) 6= ∅ et et xi Rxj ⇐⇒ = ⇐⇒ xj Rxi , HomA (xj , xi ) 6= ∅ HomA (xi , xj ) 6= ∅ 2. soient donc R est symétrique. (xi , xj , xk ) ∈ [Ob(A)]3 , tel que xi Rxj et xj Rxk alors, HomA (xi , xj ) 6= ∅ et HomA (xj , xk ) 6= ∅. Comme HomA (xi , xj ) 6= ∅ et HomA (xj , xk ) 6= ∅ alors, il existe au moins deux morphismes f ∈ HomA (xi , xj ) et g ∈ HomA (xj , xk ), donc le morphisme g ◦ f ∈ HomA (xi , xk ) ce qui donne xi Rxk . De la même façon, on trouve un morphisme dans HomA (xk , xi ) ce qui donne xi Rxk . Alors R est transitive. 3. soient Donc R est une relation équivalence. Lemme 4.2.3 M = MA . : La relation d'équivalence R ne dépend que de la matrice Preuve : D'après la dénition. Exemple 4.2.4 : 1. La catégorie A dont les objets sont n o xi = {1, ..., i}/i ∈ N∗ , i ≤ n , et les morphismes sont les applications bijectives avec la loi de composition usuelle, et sa matrice est Pour tout i, j ∈ {1, ..., n} M voir l'exemple (2). tel que i 6= j , on a x i R xj . 2. La même catégorie précédent mais les morphismes sont les applications M voir l'exemple (3). i, j ∈ {1, ..., n} tel que i 6= j , on a xi R xj . injectives,et sa matirce Pour tout Lemme 4.2.5 : Soient M ∈ Mn (N) une matrice triangulaire supérieure ou inférieure telle que Cat(M) 6= ∅, et A une catégorie d'ordre n associée à M, alors xi R xj pour tout xi 6= xj sont des objets de A. On peut savoir si Cat(M) = ∅ ou non quand M est triangulaire supérieure voir le théorème (7.2.3) et le corollaire (7.2.4). Ce cas des matrices triangulaires superieures est bien sûr un corollaire du théorème (7.3.1). 39 Les catégories avec une nouvelle notation En eet : On suppose que a M est une matrice triangulaire supérieure c.à.d ∀i > j on aij = 0. D'autre part, soient xi , xj ∈ Ob(A) tel que i 6= j , alors il y a deux cas : 1. si i>j alors aij = |Hom(xi , xj )| = 0, donc xi R xj 2. si i<j alors aji = |Hom(xj , xi )| = 0, donc xi R xj . D'où x i R xj pour tout i 6= j . 4.3 Les catégories avec une nouvelle notation Théorème 4.3.1 : Soit A une catégorie nie d'ordre n. On peut partitionner l'ensemble des objets en plusieurs classes pour la relation R et ces classes sont de deux types (voir ci-dessous). Preuve :On considère la relation R sur Ob(A) voir la dénition (4.2.1), R(xi ) = {xj ∈ Ob(A)/xi Rxj }. R est une relation d'équivalence voir (4.2.1), alors on a l'ensemble quotient Ob(A)/R = {R(xi )/xi ∈ Ob(A)}={U1 , .....Up , V1 , ....., Vq } qui représente un partition de l'ensemble des objets, avec Ui les classes qui contiennent au moins xj tel que |HomA (xi , xi )| = 1 pour tout i ∈ {1, ..., p}, et Vj les classes qui ne contiennent aucun xs tel que |HomA (xs , xs )| = 1 pour tout i ∈ {1, ..., q}. Donc on peut partager l'esemble Ob(A) en classes Ui et Vj qui sont des élé1 ments dans P(Ob(A)). et on note Comme Exemple 4.3.2 : A la catégorie associée à M voir la partie eet R(xi ) = {xi } pour tout i ∈ {1, ..., n}. Soit Preuve : Par l'absurde, soit existe xj ∈ R(xi ) (3) dans l'exemple (3.2.2), en xi ∈ Ob(A) tel que R(xi ) n'est pas singleton c.à.d il i 6= j (on pose i < j ), alors xi Rxj ce qui donne avec 1. L'ensemble des parties de Ob(A) 40 Les catégories avec une nouvelle notation |HomA (xi , xj )| > 0 et |HomA (xj , xi )| > 0, donc il existe au moins deux applications injectives : / {1, ..., j} et G : {1, ..., j} F : {1, ..., i} G est injective ce qui donne j ≤ i une contradicition pour tout i ∈ {1, ..., n}. / , donc {1, ..., i} , R(xi ) = {xi } Dénition 4.3.3 : Soit A une catégorie nie d'ordre n, on considère la relation R sur A avec Ob(A)/R = {U1 , ..., Up , V1 , ..., Vq } = U ∪ V avec U = {U1 , ..., Up } et V = {V1 , ..., Vq }. Soit λ ∈ Ob(A)/R, on dénit la nouvelle notation de l'objet par : i - λ avec 0 ≤ i ≤ |λ| si λ ∈ U . i - λ avec 1 ≤ i ≤ |λ| si λ ∈ V , les objets qui n'ont que l'identité comme 0 endomorphismes, sont les λ . i j k Ensuite, les morphismes seront notés λ µ X où X désigne une lettre majuscule, eventuellement avec un exposant k qui pourrait être paire. Le choix de le lettre désignera le type de morphisme. i j On commence avec les notations pour les morphismes λ λ X . i i D'abord, pour l'identité on écrira λ λ I (pas besoin d'exposant car il n'y i a qu'un seul identité pour chaque objet λ ). i j u,v Ensuite, on aura des morphismes de la forme λ λ F avec les conditions suivantes : on a i 1 ≤ u ≤ a(λ ) = |HomA (x1 , xi )|, et 1 ≤ v ≤ b(λj ) = |HomA (xj , x1 )| 0 0 (si λ ∈ U alors a(λ ) = 1 et b(λ ) = 1). A, une catégorie MA = (mij ) : - mii > m1i mi1 c.à.d |HomA (xi , xi )| > |HomA (x1 , xi )||HomA (xi , x1 )|, - mij ≥ mi1 m1j c.à.d |HomA (xi , xj )| ≥ |HomA (xi , x1 )||HomA (x1 , xj )| i j u,v avec i 6= j , donc on peut dénir un morphisme par λ λ F avec i j 1 ≤ u ≤ a(λ ), 1 ≤ v ≤ b(λ ). Dans le chapitre (6) on va démontrer que si on a nie, alors il y a des conditions sur les coecients de En particulier pour v = 1. i = 0 il n'y a que u = 1, On établira la convention que λ0 λ0 F 1,1 = λ0 λ0 I est l'identité ; cependant pour i>0 on a λi λi F 1,1 6= λi λi I. 41 pour j = 0 il n'y a que Blocs des matrices λ ∈ U , i = 0, etj = 0, ces morphismes sont Pour i, j ≥ 1, et dans tous les cas λ ∈ V , on i j k morphismes de la forme λ λ G , pour Pour 1 ≤ k ≤ M (λi , λj ) − a(λi )b(λj ) si les seuls morphismes. peut avoir en plus des i 6= j ou pour 1 ≤ k ≤ M (λi , λj ) − a(λi )b(λj ) − 1 si i = j. Ce nombre de morphismes supplémentaires peut être égal à 0. Dans ce cas, il k n'y en a pas. Ces G s'occupent de la technique d'ajouter des morphismes. i j On considère maintenant les morphismes dans le cas λ µ avec λ > µ i j (c.à.d, M (λ , µ ) > 0∀i, j ), et en supposent par exemple que λ, µ ∈ U . Il y i j k i j k i j k i j k aura les types de morphismes suivants : λ µ A , λ µ B , λ µ C , λ µ D i j k Pour λ µ A , 0 0 1 ≤ k ≤ M (λ , µ ). Pour λi µj B k , 1 ≤ k ≤ M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µ0 ). Pour λi µj C k , 1 ≤ k ≤ M (λ0 , µj ) − M (λ0 , µ0 ). Pour λi µj D k , 1 ≤ k ≤ M (λi , µj ) − M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µj ) + M (λ0 , µ0 ). 4.4 Blocs des matrices Dénition 4.4.1 : Soient M une matrice carrée d'ordre n tel que Cat(M) 6= ∅, et A une catégorie associée à M soumise à la relation R et λ, β ∈ Ob(A)/R. On dit qu'un bloc associé à λ est la sous-matrice qui consiste à des modules de morphismes de la forme λi λj pour tout i, j ≤ |λ|, et une bloc associé à λ vers β la sous-matrice qui consiste à des modules des morphismes de la forme λi β j pour tout i ≤ |λ| et j ≤ |β|. Exemple 4.4.2 : 42 Blocs des matrices M une matrice dénie par : 1 b c d e f k l M= 0 0 1 x , avec Cat(M) 6= ∅ 0 0 q m 1. Soit et b, c, d, e, f, k, l, x, q et m > 0. Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associé à M tel 0 1 0 1 que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ , λ , β , β }. 1 b c d est un bloc associé à λ, est un bloc associé à λ vers β . e f k l 1 x 0 0 est un bloc associé à β , est un bloc associé à β vers λ. q m 0 0 Comme M une matrice dénie par : 1 b c d a e f k l n , avec Cat(M) 6= ∅, 0 0 1 x 0 M= 0 0 q m 0 r y z t s 2. Soit et les lettres sont diérents de zéro. Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associée à M tel 0 1 2 0 1 que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ , λ , λ , β , β }. 1 b a c d e f n est un bloc associé à λ, k l est un bloc associé à λ vers β . r y s z t 1 x 0 0 0 est un bloc associé à β , est un bloc associé à β vers λ. q m 0 0 0 Comme 43 Chapitre 5 réduite des catégories et des matrices 5.1 Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite Dénition 5.1.1 : Soit A une catégorie d'ordre n dont les objets {x1 , . . . , xn }. On dit que xi et xj sont isomorphes(xi ∼ = xj ) s'il existe deux morphismes f ∈ HomA (xi , xj ) et g ∈ HomA (xj , xi ) tels que f g = idxj et gf = idxi . Remarque 5.1.2 : Soient xi ∈ Ob(A) et xj ∈ Ob(A) sont deux objets isomorphes alors, pour tout objet xk ∈ Ob(A) on a des isomorphismes d'ensembles : HomA (xk , xi ) ∼ = HomA (xk , xj ) et HomA (xi , xk ) ∼ = HomA (xj , xk ). ∼ D'autre part, si MA = (mij ) et xi = xj alors mik = mjk et mki = mkj pour tout k. En eet : xi ∼ = xj alors, il existe deux morphismes f ∈ HomA (xi , xj ) g ∈ HomA (xj , xi ) tels que f g = idxj et gf = idxi . On pose On dénit les applications suivantes : F : A(xk , xi ) h / / 44 A(xk , xj ) F(h) = f h et Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite G : A(xk , xj ) u Soit u∈ Alors A(xk , xj ), on a : / / FG(u) = = = = = F[G(u)] F(gu) f (gu) (f g)u u. GF(h) = = = = = G[F(h)] G(f h) g(f h) (gf )h h. A(xk , xi ) G(u) = gu FG = idA(xk ,xj ) . Soit h∈ A(xk , xi ), on a : GF = idA(xk ,xi ) . Donc HomA (xk , xi ) ∼ = HomA (xk , xj ). La même HomA (xi , xk ) ∼ = HomA (xj , xk ) Alors avec h 7→ hg et u 7→ uf . Dénition 5.1.3 :Soit A une catégorie telle qu'il existe deux objets distincts xi et xj (i 6= j ) qui sont isomorphes, on dira que A est non-réduite. On dira que A est réduite, sinon c'est-à-dire si deux objets distincts sont toujours non-isomorphes. On dira qu'une matrice M est non-réduite s'il existe i 6= j tel que ∀k, Mki = Mkj et ∀k, Mik = Mjk , cela veut dire que la ligne i égale la ligne j et la colonne i égale la colonne j . On dira qu'une matrice M est réduite si elle n'est pas non-réduite. Exemple 5.1.4 soit A : la catégorie dont les objets sont n {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n} o et les morphismes sont les applications injectives voir (3). A est réduite sinon, alors il existe i 6= j (par xi = {1, ..., i} ∼ = {1, ..., i, ..., j} = xj , ce qui donne 45 exemple i < j ) tel que A(x1 , xi ) et les ensembles Théorème de matrice réduite A(x1 , xj ) sont isomorphes alors ils ont la même cardinale, donc |A(x1 , xi )| = i = A(x1 , xi ) = j contradiction. D'autre part, la matrice MA est aussi réduite. Lemme 5.1.5 : D'après le début ci-dessus, on obtient que si A est nonréduite, alors M est non-réduite. Donc, par contraposé si M est réduite alors A est réduite. Le contraire n'est pas forcémment vrai. Preuve : mais M est non-réduite, on peut avoir une catégorie A d'ordre 2 dont la 2 2 2 M2 = . 2 2 il peut exister une catégorie A réduite, par exemple matrice non-réduite est A telle que sont non-isomorphes et donc A réduite. 2 On parlera plus des catégories associées à la matrice M2 dans le chapitre 9. Mais telle que les deux objets de A 5.2 Théorème de matrice réduite Théorème 5.2.1 : Si M une matrice non réduite, on peut réduire M en une sous-matrice N qui est réduite telle que Cat(M) = 6 ∅ si et seulement si Cat(N ) 6= ∅. En eet : Supposons que M est une matrice n×n non-réduite. On peut dénir une rélation d'équivalence sur l'ensemble d'indices si ∀k, Mki = Mkj et∀k, Mik = Mjk . {1, . . . , n} en disant que i∼j Celle-ci est symétrique, réexive et transitive. On obtient donc une partition de l'ensemble d'indices en réunion disjointe de sous-ensembles {1, . . . , n} = U1 t U2 t · · · t Um avec Ua ∩ Ub = ∅, telle que tous les éléments d'un ensemble Ua donné sont Ua ne sont pas équivalents aux éléments de Ub a 6= b. (Ce sont les classes d'équivalence pour la rélation d'équivalence). Choisissons un représantant r(a) ∈ Ua pour chaque classe d'équivalence. équivalents, et les éléments de pour 46 Théorème de matrice réduite Dans l'autre sens, on note par i ∈ Uc(i) . Ici c(i) c(i) ∈ {1, . . . , m} l'unique élément tel que est la classe d'équivalence contenant i. On a c(r(a)) = a r(c(i)) n'est pas r(c(i)) ∼ i. On obtient mais toujours égale à i : ils sont seulement équivalents une sous-matrice de taille m×m Nab := Mr(a),r(b) . r(a) < r(b) pour a < b : on choisit Ua par ordre croissant à partir de leur plus petit élément. Dans ce cas N est vraiement une sous-matrice de M. Notons que N est réduite, puisque les éléments de Ua et Ub ne sont pas équivalents pour a 6= b. Si A est une catégorie dont la matrice est M, on obtient une sous-catégorie pleine B ⊂ A qui consiste en objets r(a) seulement, a = 1, . . . , m. La matrice de B est N . On conclut que si M marche, alors N marche. L'équivalence entre i et r(c(i)) implique que pour tout k on a Il est à noter qu'on peut faire de sorte que r(a) le plus petit élément de Ua , et on numérote les classes Mk,i = Mk,r(c(i)) , Mi,k = Mr(c(i)),k . On déduit que pour tout i, j on a Mi,j = Mr(c(i)),j = Mr(c(i)),r(c(j)) = Nc(i),c(j) . Ceci indique comment aller dans l'autre sens. Supposons que y1 , . . . , ym x1 , . . . , x n B est une catégorie dont la matrice est les objets de en posant B. On dénit une catégorie A N. Notons par avec objets notés A(xi , xj ) ∼ = B(yc(i) , yc(j) ). Si on veut être plus precis on pourrait dénir A(xi , xj ) := {(i, j, β), La composition est la même que celle de β ∈ B(yc(i) , yc(j) )}. B, c.à.d (i, j, β)(j, k, β 0 ) := (i, k, ββ 0 ). De même pour les identités, l'associativité et les règles des identités sont faciles à vérier. Donc A est une catégorie. On a : |A(xi , xj )| = |B(yc(i) , yc(j) )| = Nc(i),c(j) = Mi,j . 47 Réduction et classication des matrices Donc A correspond à la matrice M. De cette discussion on conclut : M, Étant donnée une matrice non-réduite tion précédente une sous-matrice si et seulement si N N on peut établir par la construc- qui est réduite, telle que marche. La sous-matrice N M marche est unique à permutation d'indices près. Exemple 5.2.2 : Soit M = (mij ) telle que : 1 1 M= 3 1 1 2 3 1 Preuve :On remarque mk1 = mk4 est réduit à N et 2 2 7 2 1 1 , 3 1 on a m1k = m4k Cat(M) 6= ∅. pour tout k, alors M qui est dénie par : 1 1 2 N = 1 2 2 , 3 3 7 on a Cat(N ) 6= ∅ voir Lemme (6.3.3). 5.3 Réduction et classication des matrices Lemme 5.3.1 : Soit M = (mij ) une matrice réduite avec mi,j > 0 pour tout i,j et s'il existe i 6= j tels que mii = mjj = 1, alors Cat(M) = ∅. En eet : Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associée à M, et comme M est réduite alors A est réduite. D'autre part, on a mi,j > 0 et mji > 0 ce qui donne A(xi , xj ) > 0 et A(xj , xi ) > 0, alors il existe f ∈ A(xi , xj ) et g ∈ A(xj , xi ) ; donc f g = idxj et gf = idxi car |A(xi , xi )| = mii = 1 et |A(xj , xj )| = mjj = 1 alors, A est non-réduite contradiction donc Cat(M) = ∅. On suppose que Théorème 5.3.2 (Berger et Leinster [4]) : Soit M = (mij )1≤i,j≤n une matrice carrée dont les coecients sont des entiers naturels et mii ≥ 2 pour tout 1 ≤ i ≤ n, alors Cat(M ) 6= ∅ (c.à.d il existe une catégorie associée à M). 48 Réduction et classication des matrices En eet : M = (mij ) nii := mii − 1. Soit de taille n avec mii ≥ 2, nij := mij pour i 6= j et N dont les objets sont {1, 2, ....., n}, pour tout couple (i, j) on a une èche Φij :i → j tel que Φii 6= 1ii , la loi de composition dénie par si f : i → j et g : j → k Φij alors gf = Φik . Ensuite on peut dénir une catégorie B en rajoutant à A les identités, pour tout i on a 1ii : i → i, alors la matrice de B est M donc Cat(M ) 6= ∅. On peut dénir une semi-catégorie A on pose 49 associée à Chapitre 6 Classication des matrices strictement positives 6.1 Introduction Soit M = (mij ) > 0. Cat(M ). et Cat(M ) 6= ∅ ou non. On va étudier l'état de les conditions nécessaires pour vérier nous cherchons On utilise plusieurs étapes pour arriver à une matrice générale strictement positive. Dans la premiére section de ce chapitre on va étudier l'état de M Cat(M ) si d'ordre 2 par exemple : Si avec a, b, c, d > 0, alors M= C at(M ) 6= ∅ a b c d si on a , a=b=c=d=1 ou d = 1, a ≥ bc + 1 ou a = 1, d ≥ bc + 1 ou a > 1, d > 1. Ensuite dans la deuxième section le cas où 50 M matrice d'ordre 3, on arrive Classication des Matrices carrées doubles strictement positives au résultat suivant : Soit z a b M = c n m une p q r si on a matrice triple stictement positive. z ≥ 1,n > ac ,r > bp, m ≥ bc et q ≥ ap alors C at(M ) 6= ∅. Dans la derniére section, on étudie le cas général de matrice strictement positive, et nous trouvons le résultat suivant : ∗ Soit M = (mij ) ∈ Mn (N ) une matrice réduite, alors on peut savoir la valeur de Cat(M) 1. Si par les études suivantes : mii > 1∀ ≤ i ≤ n, Cat(M) 6= ∅ alors 2. S'il existe au moins une i 0 tel que . mi0 i0 = 1 dans ce cas on a deux possibilités : (a) si i0 le seul indice que mi0 i0 = 1, alors l'étude de Cat(M) 6= ∅ dans le théorème (6.3.9) {i1 , i2 , ....etc} diérents = ... = 1 alors Cat(M) = ∅. (b) s'ils existe d'autres indices mi1 i1 = mi2 i2 de i0 tels que ; 6.2 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives Soit M une matrice carrée strictement positives dénie par : m11 m12 m21 m22 , avec mij ≥ 1 pour tout i, j ∈ 1, 2. 6.2.1 Classication des Matrices strictement positives d0ordre 2 à un seul coecient diagonale unité Dénition 6.2.1 : On dit que M = (mij )1≤i,j≤2 ∈ M2 (N∗ ) est une matrice strictement positives d0 ordre 2 à un seul coecient diagonale unité, si m11 = 51 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives 1 ou m22 = 1. Donc on peut dénir M par :M = 1 b c d ou a b c 1 , avec a,b,c et d > 1. Théorème 6.2.2 : Soit M une matrice strictement positives d0 ordre 2 á un seul coecient diagonale unité dénie par : a b M= , c d d ≥ bc + 1 si a = 1 ou alors Cat(M) 6= ∅ si et seulement si a ≥ bc + 1 si d = 1 ⇒ : On peut supposer qu'on est dans le cas a = 1. On a Cat(M) 6= ∅, alors on va démontrer que d≥ bc + 1. Soit A une catégorie associée à M ,Comme tous les coecientes de la matrice sont strictement positifs alors il y a une seule classe équivante notée λ ∈ U voir le théorème (4.3.1). Donc A est une catégorie associée à M dont les objets sont λ={λ0 , λ1 }, et les morphismes sont dénis par : A(λ0 λ0 ) = {idλ0 } A(λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /il y a d morphismes} A(λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b} = {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b} A(λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1} = {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} On a :(λ 1 0 λ Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v )=idλ0 pour tout u,v. D'abord on va étudier quelques remarques. Remarque 6.2.3 : Il n'existe pas u,v telque (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=idλ1 . Preuve : On suppose il existe u,v tel que (λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) =idλ0 alors 52 (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=idλ1 , on a : Classication des Matrices carrées doubles strictement positives (λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) ce qui donne (λ0 λ1 G1,v ) = (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ). D'autre part, (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) = = = = Ce qui donne (λ1 λ1 Gn,m ) = idλ1 (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) idλ1 (λ1 λ1 Gn,m ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m ). contradiction donc u,v ∃. Remarque 6.2.4 : S'il existe u,v tel que (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ1 λ1 Gn,m ), alors (λ1 λ1 Gn,m )(λ1 λ1 Gn,m ) = (λ1 λ1 Gn,m )2 = (λ1 λ1 Gn,m ) En eet : Ona :(λ 1 0 λ Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v )=idλ0 alors (λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,v ) = (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ). Ce qui donne (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ). D'autre part, (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) = = = = = Donc (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m ) (λ1 λ1 Gn,m ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m )(λ1 λ1 Gn,m ) (λ1 λ1 Gn,m )2 . (λ1 λ1 Gn,m )2 = (λ1 λ1 Gn,m ). Remarque 6.2.5 p = v. : Si (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,p )(λ1 λ0 Gu,1 ), alors 53 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives Preuve : 0 1 1,v 1 0 u,1 0 1 1,p (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) = = = = = Donc (λ0 λ1 G1,v )=(λ0 λ1 G1,p ), Remarque 6.2.6 p = u. (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p ) (λ0 λ1 G1,v ) 0 1 1,p 1 0 u,1 0 1 1,p (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) (λ0 λ1 G1,p ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p ) (λ0 λ1 G1,p ). ce qui donne v = p. : Si (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gp,1 ), alors Preuve : (λ1 λ0 Gp,1 )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) = = = = = = (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p ) (λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ0 Gp,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ0 Gp,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gp,1 ) 1 0 p,1 0 1 1,v 1 0 p,1 (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) (λ1 λ0 Gp,1 ). 1 0 u,1 Donc =(λ λ G )=(λ1 λ0 Gp,1 ) , ce qui donne p = u. Remarque 6.2.7 : Il n'existe pas u 6= m et v 6= n tel que : (λ λ G )(λ λ G )=(λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 ) 0 1 1,v 1 0 u,1 Preuve : par l'absurde, s'il existe u 6= m et v (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 ) 6= n tel que : alors 1 0 m,1 0 1 1,v 1 0 u,1 (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) = = = = = Donc m=u idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ0 Gm,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ0 Gm,1 ) (λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 ) (λ1 λ0 Gm,1 ). contradiction. La remarque (6.2.6) donne d ≥ bc et comme 54 (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) 6= idλ1 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives pour tout u et v voir la remarque (6.2.3), ce qui donne d ≥ bc + 1. ⇐) Soit d ≥ bc + 1, Pour d=bc+1 On dénit A on va démontrer que d − 1 ≥ bc, donc Cat(M) 6= ∅. une catégorie dont les objets sont λ0 , λ1 et les morphismes sont dénis par : A(λ0 λ0 ) = {idλ0 }. A(λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /il y a d morphismes}. A(λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b} = {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b}. A(λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1}. = {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}. On dénit la loi de composition par : (λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m )=(λi λp Gn,v ) pour tout i,j,p∈ {0, 1}c. L'associativité : soient i,j,p,q ∈ {0, 1} on a : p q x,y j p u,v i j n,m (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) = (λj λq Gu,y )(λi λj Gn,m ) = (λi λq Gn,y ). L'autre sens (λp λq Gx,y ) (λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m ) = (λp λq Gx,y )(λi λp Gn,v ) = (λi λq Gn,y ). p q x,y j p u,v i j n,m Alors (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G )=(λp λq Gx,y ) (λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m ) , ce qui donne que la loi de composition est associative ; donc Cat(M) 6= ∅. Pour d > bc + 1, alors d = bc + 1 + n. 0 0 1 On dénit une catégorie A dont les objets sont {λ , λ } et les morphismes sont : 55 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives A0 (λ0 λ0 ) = {idλ0 }. A0 (λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ b et 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K p /1 ≤ p ≤ n}. A0 (λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b} = {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b} A0 (λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1} = {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}. La loi de composition est dénie par : (λ1 λ1 K i )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Gu,v ) 0 (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K i ) = = = = = (λ1 λ1 G1,1 )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ0 λ1 G1,1 ) (λ1 λ0 Gb,1 ) (λ1 λ1 Gb,v ) (λ1 λ1 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gb,1 ). On va démontrer l'associativité, par la même idée que précédemment mais il 1 1 i reste à démontrer les équations qui sont associées au morphisme (λ λ K ). Donc on a les 7 équations suivantes : équation 1 : 0 0 0 (λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu,v )(λx λi Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s )(λx λ1 Gu ,v ) 0 = (λ1 λ1 G1,1 )(λx λ1 Gu ,v ) 0 = (λx λ1 Gu ,1 ). D'autre part, 0 0 0 0 (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu,v ) (λx λi Gu ,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) (λx λi Gu ,v ) 0 Donc 0 = (λi λ1 Gu,1 )(λx λi Gu ,v ) 0 = (λx λ1 Gu ,1 ). 1 1 s i 1 u,v x i u0 ,v0 0 0 (λ λ K )(λ λ G ) (λ λ G ) = (λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu,v )(λx λi Gu ,v ) . équation 2 : 0 0 0 0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu ,v ) 0 = (λ1 λi Gu,v )(λj λ1 Gu ,1 ) 0 = (λj λi Gu ,v ). 56 . Classication des Matrices carrées doubles strictement positives D'autre part, 0 0 0 0 (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) (λj λ1 Gu ,v ) 0 0 = (λ1 λi Gb,v )(λj λ1 Gu ,v ) 0 = (λj λi Gu ,v ). Donc 0 0 0 0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λj λ1 Gu ,v ). équation 3 : 0 0 0 0 (λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K s ) = (λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 Gb,c ) 0 = (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gb,v ) = (λ1 λj Gb,v ). D'autre part, 0 0 0 (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λj Gu ,v )(λ1 λ1 Gb,c ) 0 Donc = (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gb,v ) = (λ1 λj Gb,v ). 0 0 0 0 (λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K s ) = (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K s ). équation 4 : 0 0 0 0 0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,1 ) 0 = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,1 ) 0 = (λi λ1 Gu ,1 ). D'autre part, 1 1 s 1 1 s0 i 1 u0 ,v0 0 0 (λ λ K )(λ λ K ) (λ λ G ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) (λi λ1 Gu ,v ) 0 Donc 0 = (λ1 λ1 Gb,1 )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λi λ1 Gu ,1 ). 0 0 0 0 0 0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu ,v ). équation 5 : 0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,v ) = (λ1 λ1 Gb,1 ). 57 Classication des Matrices carrées doubles strictement positives D'autre part, 0 (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 Gb,c ) Donc = (λ1 λ1 Gu,1 )(λi λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 Gb,1 ). 0 0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K s ). équation 6 : 0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,1 ) = (λ1 λi Gb,v ). D'autre part, 0 (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) (λ1 λ1 Gb,c ) Donc = (λ1 λi Gb,v )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λi Gb,v ). 0 0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ). équation 7 : 0 00 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,1 ) = (λ1 λ1 Gb,1 ). D'autre part, 1 1 s 1 1 s0 1 1 s00 (λ λ K )(λ λ K ) (λ λ K ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) (λ1 λ1 Gb,c ) Donc = (λ1 λ1 Gc,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) = (λ1 λ1 Gb,1 ). 0 00 0 00 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ). 6.2.2 Classication générale des Matrices strictement positives d0ordre 2 58 Classication des matrices triples strictement positives Proposition 6.2.8 Soit M = a b c d , une matrice strictement positive d'ordre 2 a=b=c=d=1 ou d = 1, a ≥ bc + 1 ou alors, C at(M) 6= ∅ si on a a = 1, d ≥ bc + 1 ou a > 1, d > 1. Preuve : a = b = c = d = 1, alors M devient : 1 1 , alors Cat(M) 6= ∅ car il existe une 1 1 Si on a le cas M= catégorie A associée à M voir l'exemple (4). Si on a (d = 1, a ≥ bc + 1) ou (a = 1, d ≥ bc + 1), alors Cat(M) 6= ∅ voir le théorème (6.2.2). Si a>1 et d>1 alors, Cat(M) 6= ∅ voir le théorème (5.3.2). 6.3 Classication des matrices triples strictement positives Dénition 6.3.1 Soit M = (mij )1≤i,j≤3 ∈ M3 (N), on dit que M une matrice triple strictement positive si et seulemnt si mij > 0 pour tout i, j ∈ {1, 2, 3}. 6.3.1 Classication des matrices triples à un seul coefcient diagonale unité 59 Classication des matrices triples strictement positives Théorème 6.3.2 1 a b Soit M= c n m une matrice triple strictement positive avec n, r > 1. p q r m ≥ bc q ≥ ap Si on a Cat(M) 6= ∅ alors n ≥ ac + 1 et r ≥ bp + 1. En eet : Soient N{1,2} = Comme 1 a c n Cat(M) 6= ∅ et alors N{1,3} = 1 b p r Cat(N{1,2} ) 6= ∅ deux sous-matrices régulières de et Cat(N{1,3} ) 6= ∅ d'après le théorème (3.3.3). D'autre part, r ≥ bp + 1 Cat(N{1,2} ) 6= ∅ donne n ≥ ac + 1 et Cat(N{1,3} ) 6= ∅ voir le théorème (6.2.2). Donc il reste à démontrer que m ≥ bc et q ≥ ap. Cat(M) 6= ∅, alors il existe une catégorie A nie d'ordre 2 0 1 2 objets sont {λ , λ , λ } et les morphismes sont dénis par : 0 0 HA (λ λ )={idλ0 } HA (λ0 λ1 )={λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a} HA (λ1 λ0 )={λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} HA (λ0 λ2 )={λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b} HA (λ2 λ0 )={λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p} HA (λ1 λ1 )={λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} HA (λ2 λ2 )={λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p} HA (λ2 λ1 )={λ2 λ1 Gu,v / tel que il y a q morphismes} HA (λ1 λ2 )={λ1 λ0 Gu,v / tel que il y a m morphismes}. On suppose que m < bc, on a 3 cas : On a dont les Cas (1) : Il existe u6= tel que : 0 2 1,v donne u0 ,v6= v 0 ,x avec 1 ≤ v, v 0 ≤ b 0 1 ≤ u, u0 ≤ c et 0 (λ λ G )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ). 60 et 1≤x≤p M. Classication des matrices triples strictement positives alors ; h i h i (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) donc = idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ1 λ0 Gu,1 ), h i (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ1 λ0 Gu,1 ). h i h i 0 0 0 0 (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu ,1 ) 0 donc = idλ0 (λ1 λ0 Gu ,1 ) 0 = (λ1 λ0 Gu ,1 ), h i 0 0 0 (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ1 λ0 Gu ,1 ). D'autre part, 1 0 u,1 (λ λ G h i 0 2 1,v 1 0 u,1 ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) h i 0 0 = (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) 2 0 x,1 0 = (λ1 λ0 Gu ,1 ), ce qui donne Cas (2) : u = u0 Il existe u,v6= v 0 ,x contradiction, donc ce cas n'existe pas. avec 1 ≤ v, v 0 ≤ b que : 0 2 et 1 ≤ u ≤ c et 1 ≤ x ≤ p tel 0 (λ λ G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ). alors ; h 0 2 1,v 1 0 u,1 (λ λ G )(λ λ G i h i 0 1 1,x 0 2 1,v 1 0 u,1 0 1 1,x ) (λ λ G ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ0 λ2 G1,v )idλ0 = (λ0 λ2 G1,v ), donc h h 0 2 1,v 1 0 u,1 (λ λ G )(λ λ G i ) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ). i h 0 0 (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,x ) 0 = (λ0 λ2 G1,v )idλ0 0 = (λ0 λ2 G1,v ), 61 Classication des matrices triples strictement positives donc h i 0 0 (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ). i i 0 1 1,x (λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) h i = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x ) 1 0 h D'autre part, v,1 0 2 1,v 1 0 u,1 0 = (λ1 λ0 Gv ,1 ), v = v0 ce qui donne Cas (3) : contradiction, donc ce cas n'existe pas. 6 v 0 ,v et x avec 1 ≤ u, u0 ≤ b et 1 ≤ v ≤ q = 0 (λ λ G )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) Il existe u, 0 2 1,v et 1≤x≤p tel que : alors ; h i h i 0 2 1,v 1 0 u,1 2 0 x,1 0 2 1,v (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ1 λ0 Gu,1 ) 2 0 donc x,1 = idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ1 λ0 Gu,1 ), h i 2 0 x,1 0 2 1,v 1 0 u,1 (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ1 λ0 Gu,1 ). h i h i 0 0 (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu ,1 ) 0 donc = idλ0 (λ1 λ0 Gu ,1 ) 0 = (λ1 λ0 Gu ,1 ), h i 0 0 (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ1 λ0 Gu ,1 ). D'autre part, h i 0 (λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) h i 0 = (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) 0 = (λ1 λ0 Gu ,1 ), ce qui donne u = u0 contradiction, alors ce cas n'existe pas. Dans tous les cas on est arrivé à la contradicition, donc (m Par ailleurs on a (q ≥ ap) ≥ bc). par la même méthode que précédemment. 62 Classication des matrices triples strictement positives Lemme 6.3.3 : 1 a b Soit M= c n m , une matrice triple strictement positive, p q r alors si on a n = ac + 1, r = bp + 1, m = bc, q = ap ⇒ Cat(M ) 6= ∅. Preuve :On dénit une sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'idenλ0 mais que A n'a pas les identités de λ1 {λ0 , λ1 , λ2 }, et les morphismes dénis par : tite de sont A(λ0 , λ0 ) A(λ0 , λ1 ) A(λ1 , λ0 ) A(λ0 , λ2 ) A(λ2 , λ0 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ2 ) A(λ1 , λ1 ) A(λ2 , λ2 ) = = = = = = = = = ni de λ2 A dont les objets {idλ0 } {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} { λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b} {λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p} {λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b } {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c } {λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p }. On dénit la loi de composition interne par : ◦ : Hom(A) × Hom(A) h i 0 0 (λj λk Gu ,v ), (λi λj Gu,v ) / / Hom(A) ◦ est une application car on a les égalités n = ac + 1, r = bp + 1, m = bc et q = ap. La loi 0 0 suivantes : D'autre part, on va vérier l'associativité : h 00 ,v 00 (λk λs Gu i 0 0 0 00 )(λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu,v ) = (λj λs Gu ,v )(λi λj Gu,v ) 00 = (λi , λs Gu,,v ), 00 ,v 00 (λk λs Gu h i 0 0 00 00 0 ) (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λk λs Gu ,v )(λi λk Gu,,v ) 00 = (λi , λs Gu,,v ). hAlors k s 00 ,v 00 (λ λ Gu i h i 0 0 00 00 0 0 )(λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu,v ) = (λk λs Gu ,v ) (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) 63 0 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λk Gu,v ). Classication des matrices triples strictement positives pour tout (i, j, k) ∈ {0, 1, 2}3 , donc la loi est associative. Par ailleurs on dénit la catégorie B dont les objets sont les objets de et les morphismes sont les mêmes morphismes que 1 1 2 2 identités idλ1 sur A(λ , λ ) et idλ2 sur A(λ , λ ). Donc B est bien une catégorie associée à M, A, A mais on ajoute les ce qui donne Cat(M) 6= ∅. Ajouter des morphismes sur les catégories Dénition 6.3.4 : Soit A une catégorie ou sémi-catégorie nie d'ordre n, on veut dire qu'on ajoute ou rajoute des morphismes sur A par le fait d'ajouter ou rajouter des morphismes sur Hom(A). Théorème 6.3.5 : 1 a b Soient M= c n m , avec n = ac, r = bp, m = bc et q = ap, p q r et A la sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identité de λ0 mais que A n'a pas les identités de λ1 ni de λ2 associée à M voir la construction de A dans la lemme (6.3.3), si on ajoute un morphisme non identité sur HomA (λ1 , λ1 ) ou sur HomA (λ2 , λ2 ) alors il existe une sémi-catégorie B partiellement unitaire, avec l'identite de λ0 mais que A n'a pas les identités de λ1 ni de λ2 associée à N tel que : 1 a b N= c n + 1 m . p q r En eet : B partiellement unitaire, avec l'identité de λ0 , 1 2 mais A n'a pas les identités de λ ni de λ , dont les objets sont Ob(B) = Ob(A) On dénit la sémi-catégorie 64 Classication des matrices triples strictement positives et les morphismes sont dénis par : A(λ0 , λ0 ) A(λ0 , λ1 ) A(λ1 , λ0 ) A(λ0 , λ2 ) A(λ2 , λ0 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ2 ) A(λ1 , λ1 ) = = = = = = = = = {idλ0 } {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} {λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b} {λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p} {λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b } {λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p} {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 }. Avec la loi de composition interne ◦ qui est dénie par : (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 )=(λ1 λ1 K 1 ), 0 0 0 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λk Gu,v ), (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v )=(λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )=(λi λ1 Gu,1 ), (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K 1 )=(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c )=(λ1 λi Ga,v ). On va étudier l'associativité, dans le lemme (6.3.1) on a vérié les équations i j u,v qui dépendent du morphismes de la forme (λ λ G ), donc il reste à vériér 1 1 1 les équations dépendent du morphisme λ λ K qui sont cinq équations. On a : h i h i 0 0 0 0 (λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c ) (λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λ1 λj Gu,v )(λi λ1 Gu ,1 ) 0 = (λi λj Gu ,v ), d'autre part, 1 j u,v (λ λ G h i h i 1 1 1 i 1 u0 ,v 0 1 j u,v 1 1 1,1 i 1 u0 ,v 0 ) (λ λ K )(λ λ G ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) 0 Donc h 0 = (λ1 λj Ga,v )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λi λj Gu ,v ). h i h i 0 0 0 0 (λ1 λj Gu,v ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λi λ1 Gu ,v ). i i 0 0 0 0 (λ1 λ1 K 1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ) i 0 0 = (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ) 0 0 = (λj λ1 Gu,1 )(λi λj Gu ,v ) 0 = (λi λ1 Gu ,,1 ), 65 Classication des matrices triples strictement positives d'autre part, h i 0 0 0 (λ1 λ1 K 1 ) (λj λ1 Gu,v )(λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v ) 0 Alors h = (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λi λ1 Gu ,1 ). h i h i 0 0 0 0 (λ1 λ1 K 1 ) (λj λ1 Gu,v )(λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 K 1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ). i h i 0 0 0 0 (λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 Ga,c ) 0 = (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 Ga,c ) = (λ1 λi Ga,v ), d'autre part, i i u,v (λ λ G h i h i 1 i u0 ,v 0 1 1 1 i i u,v 1 i u0 ,v 0 1 1 a,c ) (λ λ G )(λ λ K ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) 0 Donc h = (λi λi Gu,v )(λ1 λi Ga,v ) = (λ1 λi Ga,v ). h i h i 0 0 0 0 (λi λi Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K 1 ). i (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 K 1 )2 (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) = (λi λ1 Gu,1 ), d'autre part, h i h i (λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) Alors h = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,1 ) = (λi λ1 Gu,1 ). h i (λ1 λ1 K 1 )2 (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v ) . i (λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v ), 66 Classication des matrices triples strictement positives d'autre part, h i (λi λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v ). h i h i i 1 u,v Donc (λ λ G ) (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ). Finalement B est bien une sémi-catégorie associée à N . Donc B + ids est une catégorie associée à N + ids qui est dénie par : 1 a b N + ids = c n + 2 m . p q r+1 Lemme 6.3.6 1 a b bc avec a,b,c,s et p> 0, alors Cat(M) 6= ∅. Soit M= c ac + s + 1 p ap bp + 1 Preuve : 0 partiellement unitaire, avec l'identite de λ 1 2 0 1 2 mais que A n'a pas les identites de λ ni de λ , dont les objets sont {λ , λ , λ } On dénit la sémi-catégorie A et les morphismes sont dénis par : A(λ0 , λ0 ) A(λ0 , λ1 ) A(λ1 , λ0 ) A(λ0 , λ2 ) A(λ2 , λ0 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ2 ) A(λ1 , λ1 ) = = = = = = = = = {idλ0 } {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} {λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b} {λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p} {λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b } {λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p} {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 , ..., λ1 λ1 K s }. La loi de composition interne est dénie par : (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K r ) (λ1 λ1 K t )(λi λ1 Gu,v ) (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K t ) 0 0 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = = = = = (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 Ga,1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c ) 0 (λi λk Gu,v ) 67 ∀1 ≤ t ≤ s ∀ t 6= r et 1 ≤ r, t ≤ s ∀ 1 ≤ t ≤ s et 1 ≤ i ≤ 2 ∀ 1 ≤ t ≤ s et 1 ≤ i ≤ 2 ∀ 0 ≤ i, j ≤ 2 et 0 ≤ k ≤ 2. Classication des matrices triples strictement positives On a déjà vérié l'associativité des équations qui dépendent des formules (λi λj Gu,v ), donc il ne reste que les équations qui dépendent de (λ1 λ1 K t ), alors on a 4 équations à vériér : h i (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 Ga,1 )(λi λ1 Gu,v ) = (λi λ1 Gu,1 ). D'autre part, h i h i (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) donc h = (λ1 λ1 K i )(λi λ1 Gu,1 ) = (λi λ1 Gu,1 ). h i h i 1 1 i 1 1 j i 1 u,v 1 1 i 1 1 j i 1 u,v (λ λ K )(λ λ K ) (λ λ G ) =(λ λ K ) (λ λ K )(λ λ G ) . 1 i u,v (λ λ G i )(λ λ K ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j ) 1 1 i = (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Ga,v ), h i (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,1 ) Alors h = (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Ga,v ). h i h i (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) . 1 1 i 1 1 u,v (λ λ K )(λ λ G i h i 1 1 j 1 1 1,1 1 1 u,v ) (λ λ K ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 Gu,1 )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 Ga,1 ). D'autre part, h i (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Ga,v ) = (λ1 λ1 Gu,1 )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 Ga,1 ). 68 Classication des matrices triples strictement positives Donc h h i h i (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K j ) . i (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ1 Ga,1 )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ1 Ga,1 ). D'autre part, h i (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Ga,1 ) = (λ1 λ1 Ga,1 ). i h i (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p )=(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) . Donc A est bien sémi-catégorie, alors A + ids est une catégorie associée à M voir la notation (2.5.7), ce qui donne Cat(M) 6= ∅. Alors h Théorème 6.3.7 : 1 a b Soit M= c n m , une matrice triple strictement positive alors, p q r n ≥ ac + 1,r ≥ bp + 1,m ≥ bc et q ≥ ap ⇔ Cat(M) 6= ∅. Preuve : ⇐) voir le théorème (6.3.2) ⇒) On dénit la sémi-catégorie A partiellement unitaire, avec l'identite de λ0 mais que A n'a pas les identités de λ1 ni de λ2 , dont les objets sont {λ0 , λ1 , λ2 }, et les morphismes sont déninis par : A(λ0 , λ0 ) A(λ0 , λ1 ) A(λ1 , λ0 ) A(λ0 , λ2 ) A(λ2 , λ0 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ2 ) A(λ1 , λ1 ) = = = = = = = = = {idλ0 }, {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a} {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c} {λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b } {λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p} {λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a} ∪ { λ1 λ1 M 1 , ..., λ1 λ1 M (q−ap) } {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b } ∪ { λ1 λ1 H 1 , ..., λ1 λ1 H (m−bc) } {λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p} ∪ {λ1 λ1 N 1 , ..., λ1 λ1 N (r−bp−1) } {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 , ..., λ1 λ1 K (n−ac−1) }. 69 Classication des matrices triples strictement positives La loi de composition interne est dénie par : j k u0 ,v 0 i j u,v i k u,v 0 (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G ). Pour les morphismes qui sont ajoutés alors, on a les formules suivantes : (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K r ) (λ2 λ2 N i ) (λ2 λ2 N j ) (λ2 λ2 N i ) (λ2 λ2 N i ) (λ1 λ1 K i ) (λ2 λ1 M j ) (λ2 λ1 M i ) (λ2 λ2 N j ) (λ1 λ2 H i ) (λ2 λ1 M j ) (λ2 λ1 M j ) (λ1 λ2 H i ) (λ1 λ1 K t )(λi λ1 Gu,v ) (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K t ) (λ2 λ2 N i )(λj λ2 Gu,v ) (λ2 λj Gu,v )(λ2 λ2 N i ) (λ2 λ1 M i )(λj λ2 Gu,v ) (λ1 λj Gu,v )(λ2 λ1 M i ) = = = = = = = = = = = = = = ( λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 Ga,1 ) (λ2 λ2 Gb,1 ) ( λ2 λ2 N i ) (λ2 λ1 Ga,1 ) (λ2 λ1 G1,p ) (λ2 λ2 Ga,1 ) (λ1 λ1 Gb,1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c ) (λ2 λ2 G1,1 )(λj λ2 Gu,v ) (λ2 λj Gu,v )(λ2 λ2 Gb,p ) (λ2 λ1 G1,1 )(λj λ2 Gu,v ) (λ1 λj Gu,v )(λ2 λ1 Ga,p ). Pour l'associativité on a : h i 0 0 0 0 (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ) = (λi λ2 Gu,1 )(λj λi Gu ,v ) 0 = (λj λ2 Gu ,1 ). D'autre part : h i 0 0 0 (λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λj λ1 Gu ,v ) 0 Alors h = (λj λ2 Gu ,1 ). h i h i 0 0 0 0 (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v )=(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) . i 0 0 0 0 (λ2 λj Gu,v )(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gb,v )(λi λ1 Gu ,v ) 0 = (λi λj Gu ,v ). D'autre part ; h i 0 0 0 (λ2 λj Gu,v ) (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ2 λj Gu,v )(λi λ2 Gu ,1 ) 0 = (λi λj Gu ,v ). 70 Classication des matrices triples strictement positives Donc h h i h i 0 0 0 0 (λ2 λj Gu,v ) (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ2 λj Gu,v )(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu ,v ). i 0 0 0 0 (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ) = (λi λ2 Gu,1 )(λj λi Gu ,v ) 0 = (λj λ2 Gu ,1 ). D'autre part ; h i 0 0 0 (λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λj λ1 Gu ,v ) 0 Alors h = (λj λ2 Gu ,1 ). h i h i 0 0 0 0 (λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ). i (λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ2 Ga,1 )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ2 Ga,1 ). D'autre part ; h i (λ1 λ2 H i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 Ga,1 ) Donc h = (λ1 λ2 Ga,1 ). h i h i 1 2 i 1 1 j 1 1 p 1 2 i 1 1 j (λ λ H ) (λ λ K )(λ λ K ) = (λ λ H )(λ λ K ) (λ1 λ1 K p ). i (λ λ H )(λ λ K ) (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ2 Ga,1 )(λi λ1 Gu,v ) 1 2 i 1 1 j = (λi λ2 Gu,1 ). D'autre part ; h i 1 1 j i 1 u,v (λ λ H ) (λ λ K )(λ λ G ) = (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,1 ) 1 2 Alors i = (λi λ2 Gu,1 ). h i h i (λ1 λ2 H i ) (λ1 λ1 K j )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 K j ) (λi λ1 Gu,v ). On a vérié l'associativités des équations qui dépendent des morphismes 1 2 i 1 1 j ajoutés de la forme (λ λ H ) et (λ λ K ) ; on remarque la vérication des les équations qui dépendent des autres morphismes avec les mêmes méthodes. Donc A + ids est une catégorie associée à 71 M, ce qui donne Cat(M) 6= ∅. Classication des matrices triples strictement positives Corollaire 6.3.8 : z a b Soit M= c n m une matrice triple stictement positive. p q r Si on a z ≥ 1,n > ac ,r > bp, m ≥ bc et q ≥ ap alors C atM = 6 ∅. Preuve : On pose n > ac ,r > bp, m ≥ bc et q ≥ ap, alors il y a deux cas : Si Si 6 ∅ voir le théorème z = 1; alors C atM = z > 1; est une consequence édiate du (6.3.7). théorème de Berger et Leinster (5.3.2). Soit 1 a b M− = c n m , si p q r on a n > ac ,r > bp, m ≥ bc et q ≥ ap, alors − le théorème (6.3.7) donne Cat(M ) 6= ∅, donc il existe une catégorie nie A + ids notée par A+ d'ordre 3 associée à M− voir la construction de A (6.3.1) dans le théorème précédent. + 0 0 On va ajouter des élèments sur A (λ , λ ) comme on a fait déjà sur les autres objets. Soit B une catégorie dont l'ensemble des objets est Ob(B) = Ob(A+ ) morphismes sont dénis par : + 0 0 Hom(B) = Hom(A ) ∪ {(λ λ E 1 ), ..., (λ0 λ0 E z−1 )}. pour l'associative : ( λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E i ) ( λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j ) (λ0 λ0 E j ) (λi λ0 X) (λ0 λi X) (λ0 λ0 E j ) = = = = (λ0 λ0 E i ) ∀i (λ0 λ0 E 1 ) ∀i 6= j (λi λ0 X ) ∀i , j (λi λ0 X ) ∀i , j. On va démontrer l'associativité : i, j, k ∈ {1, ..., z − 1} tel que i 6= j 6= k . h i (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E 1 )(λ0 λ0 E j ) Soient = (λ0 λ0 E 1 ). D'autre part ; h i (λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E 1 ) = (λ0 λ0 E 1 ). 72 et les Classication des matrices triples strictement positives i h i (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λ0 λ0 E j ) . h i (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λi λ0 X) = (λ0 λ0 E 1 )(λi λ0 X) Donc h = (λi λ0 X). D'autre part ; h i (λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λi λ0 X) = (λ0 λ0 E i )(λi λ0 X) Alors = (λi λ0 X). h i h i 0 0 i 0 0 j i 0 0 0 i 0 0 j i 0 (λ λ E )(λ λ E ) (λ λ X) = (λ λ E ) (λ λ E )(λ λ X) . On remarque : (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j )(λi λ0 X) = (λ0 λi X)(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) = (λ0 λi X). h i (λ0 λ0 E i )(λi λ0 X) (λj λi X 0 ) = (λi λ0 X)(λj λi X 0 ) h i et i 0 j i 0 (λ λ E ) (λ λ X)(λ λ X ) = (λi λ0 X)(λj λi X 0 ). h i h i 0 0 i i 0 j i 0 0 0 i i 0 j i 0 Donc (λ λ E )(λ λ X) (λ λ X ) = (λ λ E ) (λ λ X)(λ λ X ) . Alors la loi de composition est associative, donc B est une catégorie à MB = M, donc Cat(M) 6= ∅. 0 0 i associée 6.3.2 Classication des matrices carrées générales strictement positives Classication des matrices carrées générales strictement positives à un seul coecient diagonale unité Théorème 6.3.9 : 1 m12 m21 m22 Soit M= .. .. . . mn1 mn2 · · · m1n · · · m2n .. . ··· · · · mnn une matrice strictement positive d'ordre n, 73 Classication des matrices triples strictement positives tel que mii > 1 Cat(M) 6= ∅ 1 ≤ i ≤ n alors : mii > mi1 m1i seulement si mij ≥ mi1 m1j pour tout si et ∀ i>1 ∀ i, j > 1 En eet : ⇒) Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A nie d'ordre n, 0 1 n−1 sont {λ , λ , ..., λ } et les morphismes sont dénis par : On a objets A(λ0 , λi ) A(λi , λ0 ) A(λi , λi ) A(λi , λj ) alors il existe et { ( λ0 λi G1,1 ) , ..., (λ0 λi G1,m1i )} { ( λi λ0 G1,1 ) , ..., (λi λ0 Gmi1 ,1 )} {idλi , (λi λi G1 ), ..., ( λi λi Gmii )} { ( λi λi X 1 ) , ..., ( λi λi Gmij )}. = = = = On pose que dont les mii ≤ mi1 m1i , i, j, k, t avec i 6= j 1 ≤ a ≤ n, et 1 ≤ i, j ≤ mi1 , 1 ≤ k ≤ m1i , 1 ≤ t ≤ mii tel que : (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 ) = (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 ). (6.1) D'autre part ; h i h i 0 a 1,k a 0 i,1 a 0 i,1 0 a 1,k (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λa λ0 Gi,1 ) a 0 i,1 = idλ0 (λa λ0 Gi,1 ) = (λa λ0 Gi,1 ) h i h i 0 a 1,k a 0 j,1 a 0 i,1 0 a 1,k (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λa λ0 Gj,1 ) a 0 i,1 = idλ0 (λa λ0 Gj,1 ) = (λa λ0 Gj,1 ). Comme (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 ) = (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 ) voir l'équation (6.1), alors : h i (λa λ0 Gj,1 ) = (λa λ0 Gi,1 ) (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 ) h i = (λa λ0 Gi,1 ) (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 ) = (λa λ0 Gi,1 ) donc i=j mii > mi1 m1i , ∀1 < i ≤ n. mij < mi1 m1j pour toutes i 6= j , contradicition, donc Par ailleurs, on pose encore 74 alors il existe Classication des matrices triples strictement positives i, j, k, t avec 1 ≤ i 6= j ≤ mi1 ,1 ≤ k 6= c ≤ m1j , 1 ≤ t ≤ mij et 1 ≤ x, y ≤ n tel que : (λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) = (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gj,1 ). (6.2) D'autre part ; h i h i (λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,k ) (λx λ0 Gi,1 )(λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,k )idλ0 = (λ0 , λy G1,k ), h i h i (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,c ) (λx λ0 Gi,1 )(λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,c )idλ0 = (λ0 , λy G1,c ). Comme (λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) = (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gj,1 ) voir l'équation (6.2), alors : i (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) h i = (λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) (λ0 , λy G1,c ) = h = (λ0 , λy G1,k ). k = c contradicition, donc mij ≥ mi1 m1j , ∀1 < i 6= j ≤ n. mii ≥ mi1 m1i + 1 et mij ≥ mi1 m1j alors il existe si ≥ 0 et ti,j ≥ 0 Ce qui donne ⇐) soient tel que : mii = mi1 m1i + 1 + si et mii = mi1 m1j + ti,j . 0 On dénit la sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identite de λ mais 1 2 n−1 que A n'a pas les identites de λ ni de λ ,...,ni de λ A, dont les objets 0 n−1 sont {λ , ..., λ } et les morphismes sont dénis par : Soient i, j tel que HomA (λ0 , λ0 ) HomA (λi , λ0 ) HomA (λ0 , λj ) HomA (λi , λi ) HomA (λi , λj ) Attention : = = = = = i, j ≥ 1 et i 6= j , {idλ0 } { (λi λ0 G1,1 ), ..., (λi λ0 GMi1 ,1 )} { (λ1 λj G1,1 ), ..., (λ1 , λj G1,M1i )} { (λi λi G1,1 ), ..., (λi λi GM1i ,Mi1 )} { (λi λj G1,1 ), ..., (λi λj GM1j ,Mi1 )}. idλi 6∈ HomA (λi , λi ) pour tout On dénit la loi de composition interne sur 75 i > 0. Hom(A) par : Classication des matrices triples strictement positives 0 0 0 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λj Gu,v ) pour toutes i, j, k ≥ 1 soient i, j, k ∈ {1, ..., n − 1} alors, h i 0 0 00 00 00 0 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu ,v ) (λk λp Gu,v ) = (λi λk Gu ,v )(λk λp Gu,v ) 0 = (λk λk Gu,v ) j k u0 ,v 0 (λ λ G h i et 0 0 00 i j u00 ,v 00 k p u,v ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λj λk Gu ,v )(λk λj Gu,v ) 0 = (λk λk Gu,v ). Ce h qui donne : i h i 0 0 00 00 0 0 00 00 (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu ,v ) (λk λp Gu,v ) = (λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu ,v )(λk λp Gu,v ) . Donc A est une semi-catégorie associée à M. On dénit une nouvelle semi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identite 0 1 2 n−1 de λ mais que A n'a pas les identites de λ ni de λ ,...,ni de λ B , dont l'ensemble B(λ0 , λ0 ) B(λi , λ0 ) B(λ0 , λj ) B (λi , λi ) B (λi , λj ) Ob(B) = Ob(A) = = = = = et les morphismes sont dénis par : {idλ0 } { (λi λ0 G1,1 ), ..., (λi λ0 GMi1 ,1 )} { (λ1 λj G1,1 ), ..., (λ1 , λj G1,M1i )} { (λi λi G1,1 ), ..., (λi λi GM1i ,Mi1 )} ∪ {(λi λi E 1 ), ..., ( λi λi E si )} { (λi λj G1,1 ), ..., (λi λj GM1j ,Mi1 )} ∪ {(λi λj H 1 ), ..., (λi λj H ti,j )}. Pour la loi de composition interne on a la même loi que A et on ajoute les équations suivantes : ( λi λj H p )( λi λi E k ) ( λi λi E k )( λj λi H p ) ( λi λi E k )(λj λi Gu,v ) ( λi λj H p )(λl λi Gu,v ) ( λi λj Gu,v )(λi λi E k ) (λj λl Gu,v )(λi λj H p ) (λj λl Gu,v )(λi λj H p ) = = = = = = = (λi λj G1,Mi1 ) (λj λi G1,Mi1 ) (λi λi G1,1 )(λj λi Gu,v ) (λi λj G1,1 )(λi λj Gu,v ) (λi λj Gu,v )(λi λi GM1i ,Mi1 ) (λj λl Gu,v )(λi λj GM1j ,Mi1 ) (λj λl Gu,v )(λi λj GM1j ,Mi1 ). Pour l'associativité on a fait déjà la démonstration déja dans le théorème (6.3.7). Donc B une semi-catégorie associée à la matrice N 76 qui est dénie par : Classication des matrices triples strictement positives 1 m12 ··· m1n m21 (m22 − 1) · · · m2n N = .. . . . .. . . ··· mn1 mn2 · · · (mnn − 1) B , alors Cat(M) 6= ∅. Si on ajoute les identitées à la sémi-catégorie B + ids qui est associée à M, donc . on aura une catégorie Proposition 6.3.10 Soit M = (mij ) ∈ Mn (N)∗ une matrice réduite , alors on peut savoir la valeur de Cat(M) par les études suivantes : 1. Si mii > 1∀ ≤ i ≤ n, alors Cat(M) 6= ∅ voir le théorème (5.3.2). 2. S'il existe au moins i0 tel que mi0 i0 = 1 dans ce cas on a deux possibilités : (a) si i0 le seul indice que mi0 i0 = 1, alors l'étude de Cat(M) 6= ∅ dans le théorème précédant voir (6.3.9). (b) S'il existe d'autres indices {i1 , i2 , ....etc} diérents de i0 tel que ; mi1 i1 = mi2 i2 = ... = 1 alors Cat(M) = ∅ car M réduite voir le lemme (5.3.1). Lemme 6.3.11 : Il y a un algorithme pour décider, si Cat(M) = ∅ ou non avec M matrice strictement positive. Preuve : on a deux possibilités : 1. Si M une matrice réduite, on a fait l'étude de Cat(M) dans la propo- sition précédente voir (6.3.10). M non-réduite alors on peut réduire M à une matrice réduite N voir Cat(M) 6= ∅ ⇔ Cat(N ) 6= ∅, donc on étudie Cat(M) au travers de l'étude Cat(N ) par revenir à la proposition précédente 2. Si (5.2.1) tel que ; voir (6.3.10). Lemme 6.3.12 : Soit M = (mij )i,j ∈ Mn (N∗ ) une matrice strictement positive, alors ; Cat(M ) 6= ∅ si et seulement si pour toute N sous-matrice régulière d'ordre ≤ 3, Cat(N ) 6= ∅. Preuve :⇒) voir (3.3.3). (⇐ On pose que Cat(N ) 6= ∅, pour toute N ≤ 3. Si M est réduite alors on a deux cas : 77 sous-matrice régulière d'ordre Classication des matrices triples strictement positives 1. Si mii > 1∀ ≤ i ≤ n, alors 2. S'il existe au moins une Cat(M) 6= ∅ i0 tel que voir le théorème (5.3.2). mi0 i0 = 1 dans ce cas on a deux possibilités : (a) Il existe une coecient unité unique, on pose m11 = 1 voir le corollaire (3.3.7). Soient i 6= j ∈ {1, ..., n}, on prend la sous-matrice régulière N : 1 m1i m1j N = mi1 mii mij . mj1 mji mjj D'après l'hypothèse, on a Cat(N ) 6= ∅ ce qui donne on a les équa- tions suivants : mii > mi1 m1i et mij ≥ mi1 m1j . Donc Cat(N ) 6= ∅ voir le théorème (b) S'ils existent des autres indices (6.3.9). {i1 , i2 , ....ect} diérents de mi1 i1 = mi2 i2 = ... = 1, alors on prend la sousrégulière N : mi1 i1 mi1 i2 1 m i1 i2 N= = mi2 i1 mi2 i2 mi2 i1 1 que ; D'après l'hypothèse, on a M tel matrice Cat(N ) 6= ∅ ce qui donne 1 > mi2 i1 mi1 i2 voir (6.2.2), impossible. Si i0 non-réduite, alors il existe une matrice réduite 78 M0 voir (5.2.1). Chapitre 7 Classication des matrices positives 7.1 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro Soit M = (mij )1≤i,j≤4 une matrice i, j ≤ 4)telle que Cat(M) 6= ∅, et soit A Ob(A)/R = {λ1 , λ2 , ...etc}. carrée positive (mij ≥ 0, ∀1 ≤ M alors une catégorie associée à Dénition 7.1.1 : On dira que M est une matrice positive à un seul bloc zéro si et seulement s'il existe un seul bloc de la matrice M qui est nul, autrement dit il existe un seul couple (i, j) avec i 6= j tel que la bloc qui associé à λi vers λj soit égale 0. Exemple 7.1.2 Soit 1 2 M= 0 0 : 2 9 0 0 2 5 1 1 5 3 , alors M 1 2 est une matrice à un seul bloc zéro. 79 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro Notations : Soit M une matrice positive à un seul bloc zéro avec Cat(M) 6= ∅ qui est dénie par : 1 e M= 0 0 Soit A 0 1 ∈ Cat(M), {1 , 1 , 20 , 21 }. alors b f 0 0 c d k l 4 4 1 1→2 = 1 x 0 42 q m Ob(A)/R = {1, 2} On note les morphismes associés au bloc A(10 , 10 ) A(10 , 11 ) A(11 , 10 ) A(11 , 11 ) = = = = = = = = = = = = 42 par : {id20 } {20 21 G1,1 , ..., 2, 21 G1,x } {21 20 G1,1 , ..., 21 20 Gq,1 } {id20 , 21 21 G1,1 , ..., 21 21 Gx,q } ∪ {21 21 X 1 , ..., 21 21 X m−xz−1 }. On note les morphismes associés au bloc A(10 , 20 ) A(11 , 20 ) A(10 , 21 ) A(11 , 21 ) par : {id10 } {10 11 G1,1 , ..., 10 11 G1,b } {11 10 G1,1 , ..., 11 10 Ge,1 } {id11 , 11 11 G1,1 , ..., 11 11 Gb,e } ∪ {11 11 X 1 , ..., 11 11 X f −be−1 }. On note les morphismes associés au bloc A(20 , 20 ) A(20 , 21 ) A(21 , 20 ) A(21 , 21 ) 41 avec l'ensemble des objets est 41→2 par : {10 20 A1 , ..., 10 20 Ac } = A {11 20 B 1 , ..., 11 20 B k } = B {10 21 C 1 , ..., 10 21 C d } = C {11 21 D1 , ..., 11 21 Dl } = D. On note les morphismes suivantes : 10 11 G1,1 par G1 , et 11 10 G1,1 par F1 alors (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 ) = F1 G1 20 21 G1,1 par N1 , et 21 20 G1,1 par M1 alors (20 21 G1,1 )(21 20 G1,1 ) = M1 N1 = id10 = id20 D'autre part, on dénit les applications suivants : gN1 : B (11 20 B i ) gM1 : D (11 21 Di ) / D gN1 (11 20 B i ) = N1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ). / / / B gM1 (11 21 Di ) = M1 (11 21 Di ) = (21 20 G1,1 )(11 21 Di ). 80 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro dF1 : C (10 21 C i ) dG1 : D (11 21 Di ) / D dF1 (10 21 C i ) = (10 21 C i )F1 = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ). / / On remarque / gM1 ◦ gN1 = idB C dG1 (11 21 Di ) = (11 21 Di )G1 = (11 21 Di )(10 11 G1,1 ). et dF1 ◦ dG1 = idD . En eet : h i 0 1 1,1 1 0 i gM1 ◦ gN1 ((1 2 B )) = gM1 (2 2 G )(1 2 B ) h i = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) h i 1 0 1,1 0 1 1,1 = (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B i ) 1 0 i = id20 (11 20 B i ) = (11 20 B i ). Donc gM1 ◦ gN1 = idB , Lemme 7.1.3 la même pour dF1 ◦ dG1 = idD . : Les applications gN1 et dF1 sont injectives, et on a : gN1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) = (11 21 Di ) et 0 1 i dF1 (1 2 C ) = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ) = (11 21 Di ). Preuve : On va démontrer que gN1 est injective. Soient i, i0 ∈ {1, ..., k} avec i 6= i0 ,tel que On a : h i h i (21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) h i 0 1 1,1 0 1 1,1 = (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B i ) = id20 (11 20 B i ) = (11 20 B i ). et h i h i 0 0 (21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) h i 0 = (20 21 G1,1 )(20 21 G1,1 ) (11 20 B i ) 0 = id20 (11 20 B i ) 0 = (11 20 B i ). 81 0 gN1 (11 20 B i ) = gN1 (11 20 B i ) Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro 0 1 0 i 1 0 i gN h 1 (1 2 B ) = igN1 (1 2 B ) alors, h i 0 (21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) Comme i0 (11 20 B i ) = (11 20 B ) ce qui gN1 (11 20 B i ) = (11 21 Di ) . D'autre part, dF1 est injective. 0 0 Soient i, i ∈ {1, ..., d} avec i 6= i , tel donne que que c.à.d, gN1 est injective et 0 dF1 (10 21 C i ) = dF1 (10 21 C i ) h i 0 1 i 1 0 1,1 dF1 (1 2 C )(1 1 G ) = (1 2 C )(1 1 G ) (10 11 G1,1 ) h i = (10 21 C i ) (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 ) 0 1 i 0 1 1,1 = (10 21 C i )id10 = (10 21 C i ), et i (10 21 C i )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 ) h i 0 1 i0 1 0 1,1 0 1 1,1 = (1 2 C ) (1 1 G )(1 1 G ) 0 dF1 (10 21 C i )(10 11 G1,1 ) = h 0 = (10 21 C i )id10 0 = (10 21 C i ). 0 (10 21 C i ) = (10 21 C i ), 0 dF1 (10 21 C i ) = (11 21 Di ). Donc ce qui donne que dF1 est injective et Lemme 7.1.4 : Soit A f / B une application injective telle que A,B soient deux ensembles nis alors : Pour tout X, Y ⊂ A alors X ' f (X) ce qui donne Card(X)= Card(f(X) et Card(X − Y ) = Card(X) − Card(X ∩ Y ) = Card(f (X)) − Card(f (X ∩ Y )). En eet : La restriction de f sur X est une application bijective donc Card(X)=Card(f(X)) et Card(X − Y ) = Card(X) − Card(X ∩ Y ) = Card(f (X)) − Card(f (X ∩ Y )). Théorème 7.1.5 1 e Soit M = 0 0 b f 0 0 c d k l , avec b,c,d,e,f,k,l,x,q et m ∈ N∗ et M réduite alors ; 1 x q m 82 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro f ≥ be + 1 m ≥ xq + 1 k, d, l ≥ c on a Cat(M) 6= ∅ si et seulement si l≥k l≥d l ≥k+d−c ⇒) Preuve : On pose Cat(M) 6= ∅, car les deux blocs A qui est dénie Cat(41 ) 6= ∅ et Cat(42 ) 6= ∅ alors il existe une catégorie nie dans la notation précédente voir (7.1), et on a 41 et 42 qui sont dénis au dessus voir (7.1) sont des sousM voir le théorème (3.3.3), ces qui donne f ≥ be + 1 matrices réguliérs de et m ≥ xq + 1 voir le théorème (6.3.9). Il reste à démontrer les inéquations suivantes : k, d, l ≥ c, l ≥ k , l ≥ d et l ≥ k + d − c. 0 00 On pose k < c , alors il existe au moins p ∈ {1, ..., k} et u , u ∈ {1, ..., c} 00 avec u 6= u tel que : 0 0 u0 1 0 1,1 0 0 u00 1 0 1,1 1 0 p (1 h 2 A )(1 1 G ) = i (1 2 A )(1 h1 G ) = (1 2 B ), ce i qui donne : 0 0 u0 1 0 1,1 0 1 1,1 0 0 u00 1 0 1,1 (1 2 A )(1 1 G ) (1 1 G ) = (1 2 A )(1 1 G ) (10 11 G1,1 ). D'autre part ; h i h i 0 0 (10 20 Au )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 ) = (10 20 Au ) (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 ) 0 = (10 20 Au )id10 0 = (10 20 Au ) h i 00 = (10 20 Au )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 ) h i 0 0 u00 1 0 1,1 0 1 1,1 = (1 2 A ) (1 1 G )(1 1 G ) 00 = (10 20 Au )id10 00 = (10 20 Au ). 0 00 (10 20 Au ) = (10 20 Au ) ce qui donne u0 = u00 contradiction, donc k ≥ c. Encore, nous avons d ≥ c et l ≥ c soit la même idée que précédemment. 0 00 Par ailleurs, on pose l < k , alors il existe au moins p ∈ {1, ..., l} et u , u ∈ {1, ..., k} avec u0 6= u00 tel que : 1 0 u0 0 1 1,1 1 0 u00 1 1 p (20 21 G1,1 )(1 h 2 B ) = (2 2 G i)(1 2 B ) =h(1 2 D ), ce qui donne i : 0 1 0 1,1 0 1 1,1 1 0 u 1 0 1,1 0 1 1,1 1 0 u00 (2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) = (2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) . Alors 83 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro D'autre part ; h i h i 0 0 1 1,1 1 0 u0 1 0 1,1 0 1 1,1 (2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) = (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B u ) 1 0 1,1 0 = id20 (11 20 B u ) 0 = (11 20 B u ) h i 00 = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B u ) h i 00 = (21 20 G1,1 )(20 21 G1,1 ) (11 20 B u ) 00 = id20 (11 20 B u ) 00 = (11 20 B u ). 0 00 (11 20 B u ) = (11 20 B u ) ce qui donne u0 = u00 contradiction, donc l ≥ k . Nous avons aussi l ≥ d la même idée que précédemment. Il reste à démontrer l ≥ k + d − c. D'abord on va démontrer que (C − A) ⊂ D et (B − A) ⊂ D sont disjoints Alors entre eux, ce qui conduit à l'inégalité. D'après le lemme (7.1.3) on a gN1 et dF1 sont injectives avec : gN1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) = (11 21 Di ), dF1 (10 21 C i ) = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ) = (11 21 Di ). D'autre part, soit le diagramme suivant : A dF1 B où les èches verticales sont dF1 gN1 / gN1 / C dF1 D et les eches horizontales sont gN1 . Le diagramme est commutatif car dF1 gN1 (u) = dF1 (N1 .u) = N1 uF1 = gN1 dF1 (u). Aussi les èches sont tous injectives (comme ci-dessus). dF1 (gN1 (A)) ⊂ D et dF1 (C) ⊂ D, noté par C.F1 , gN1 (B) = N1 .B ⊂ D. On peut donc considérer on notera cela par N1 .A.F1 . On a également similairement On peut maintenant dire plus précisément ce que l'on veut démontrer que : ( C.F1 − N1 .A.F1 ) ⊂ D et (N1 .B − N1 .A.F1 ) ⊂ D. sont disjoints entre eux. Par l'absurde, supposons qu'il existe y ∈ (C.F1 −N1 .A.F1 )∩(N1 .B−N1 .A.F1 ) 84 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro y ∈ (C.F1 − N1 .A.F1 ) donc il existe u ∈ (C − N1 .A) tel que y = dF1 (u) = uF1 car dF1 injectif y ∈ (N1 .B −N1 .A.F1 ) donc il existe v ∈ (B −A.F1 ) tel que y = gN1 (v) = N1 v car gN1 injectif y = uF1 = N1 v On considere alors : gN1 .gM1 (u) = = = = = = N1 M1 u N1 M1 uF1 G1 N1 M1 N1 vG1 N1 vG1 uF1 G1 u. u ∈ (C − N1 .A) c.à.d u ∈ C alors il existe a tel que u = (10 21 C a ). 1 0 1,1 0 1 a 0 0 a D'autre part, gM1 (u) = (2 2 G )(1 2 C ) = (1 2 A ) ce qui donne gM1 (u) ∈ A alors gN1 .gM1 (u) = u ∈ N1 .A ; une contradiction. On a alternativement, de façon similaire dF1 .dG1 (v) = = = = = = vG1 F1 M1 N1 vG1 F1 M1 uF1 G1 F1 M1 uF1 M1 N1 v v 1 0 b alors il existe b tel que v = (1 2 B ). 1 0 b 0 1 1,1 D'autre part, dG1 (v) = (1 2 B )(1 1 G ) = v∈B (10 20 Ab ) ce qui donne dG1 (v) ∈ dF1 .dG1 (v) = v ∈TA.F1 , encore une contradiction. − N1 .A.F1 ) (N1 .B − N1 .A.F1 ) = ∅. Comme gN1 et dF1 sont injectives voir le lemme (7.1.3) alors A alors Donc, (C.F1 Card(N1 .A.F1 ) = = = = on a : Card(gN1 (dF1 (A))) Card(dF1 (A)) Card(A) c Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 )) = Card(N1 .A.F1 ) = c Card(C.F1 ) = Card(dF1 (C)) = Card(C) = d et 85 car (N1 .A.F1 ) ⊂ (C.F1 ). Dénition d'une matrice acceptable Card(N1 .B) = Card(gN1 (B)) = Card(B) = k. D'autre part : Card(D − N1 .A.F1 ) = Card(D) − Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 )) = l − c, Card(C.F1 − N1 .A.F1 ) = Card(C.F1 ) − Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 )) = d − c, et Card(N1 .B − N1 .A.F1 ) = Card(N1 .B) − Card((N1 .B) ∩ (N1 .A.F1 )) = k − c, C.F1 ⊂ D alors (C.F1 − N1 .A.F1 ) ⊂ (D − N1 .A.F1 ) (a) et N1 .B ⊂ D alors (N1 .B − N1 .A.F1 ) ⊂ (D − N1 .A.F1 ) (b) les équations (a)+(b) donnent : − N1 .A.F1 )+ Card(N1 .B − N1 .A.F1 )≤ Card(D − N1 .A.F1 ) (k − c) + (d − c) ≤ (l − c) donc d+k-c≤ l. ⇐) Nous verrons la démonstration en bas dans le cas général. Card(C.F1 c.à.d 7.2 Dénition d'une matrice acceptable Dénition 7.2.1 : Soient M = (mij )1≤i,j≤n ) ∈ Mn (N), et A une catégorie nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }. On dénit deux relations sur Ob(A) par rapport à M par : 1. xi GM xj si mij > 0. 2. xi RM xj si xi GM xj et xj GM xi . Nous disons que M est acceptable si et seulemnt si la relation GM est à la fois réexive, transitive et la relation RM est équivalenve. Si M est acceptable λ, µ, . . .. et les objets RM λ . . . etc. alors, les classes d'equivalence de i de ces classes seront notées seront notées D'autre part, on dénit la relation d'ordre sur les classes d'équivalence par : 86 Dénition d'une matrice acceptable λ≥µ λi GM µj pour λ ≥ µ et λ 6= µ. si et seulement si On note λ>µ si Exemple 7.2.2 tous λi ∈ λ et µj ∈ µ. : 1. Les matrices strictement positives qui ont des catégories sont des matrices acceptables. b, c, d, e, f, k, l, x, q 1 b e f matrice M = 0 0 0 0 2. Soient La ≥1 et m ∈ N∗ c d k l , 1 x q m alors ; est une matrice acceptable. Théorème 7.2.3 : Soit M une matrice triangulaire supérieure, alors Cat(M) 6= ∅ ⇔ M est acceptable. En eet : ⇒)On démontrera ce résultat au début du théorème (7.3.1). ⇐) Soit M = (mij )1≤i,j≤n mi,j = 1∀i ≤ j , alors M est est une matrice triangulaire supérieure tel que acceptable. A a n objets {x1 , ..., xn } idxi si i=j {fij } si i < j A(xi , xj ) = ∅ si i > j On peut considérer une catégorie sont dénis par : et le morphismes la composition est dénie car il n'y a qu'un seul choix a chaque fois, donc est associée à A M. En enlevant les identites sur M 0 = M − Idn×n . A, on obtient une sémi-categorie A0 associée à 0 est une matrice acceptable et soit N := N − Idn×n , d'après la tech0 0 nique de rajouter des morphismes sur A on obtient une sémi-catégorie B 0 0 associée à N . Ensuite on pose B = B + les identites, donc on a bien Soit N B ∈ Cat(N ). Corollaire 7.2.4 : Si M est triangulaire supérieure d'ordre n avec entrées strictement positives dans le triangle supérieure, alors Cat(M) 6= ∅. Preuve : Soit A = {a1 , ..., an } on va étudier la relation ≤ sur A voir la ≤ dans (7.2.1). i ∈ {1, ..., n} alors mii > 0 c.à.d ai ≤ ai donc ≤ est réeive. Soient i, j, k ∈ {1, ..., n} tel que ai ≤ aj et aj ≤ ak alors mij > 0 dénition de Soit 87 et mjk > 0, Classication d'une matrice réduite d'ordre n i ≤ j ≤ k car M est triangulaire supérieure alors ai ≤ ak d'où l'associativité, donc M est acceptable. M est acceptable et triangulaire supérieure ce qui donne Cat(M) 6= ∅ voir ce qui donne le théorème (7.2.3). 7.3 Classication d'une matrice réduite d'ordre n M = (mij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) tel que Cat(M) 6= ∅, et soit i j dont l'ensemble des objets dénit est {λ , ..., β , ...etc}. i i 0 j 0 j On pose : a(λ ) := M (λ , λ ) et b(λ ) := M (λ , λ ). Soit Théorème 7.3.1 : Soit M une matrice réduite d'order n M acceptable i i M (λ , λ ) ≥ a(λi )b(λi ) + 1 M (λi , λj ) ≥ a(λi )b(λj ) M (λi , µj ) ≥ M (λi , µ0 ) Cat(M ) 6= ∅ ⇔ M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 ) −M (λ0 , µ0 ) A ∈ Cat(M) alors on a : ∀λ ∈ U, i ≥ 1 ∀λ ∈ U ∀λ > µ, µ ∈ U ∀λ > µ, λ ∈ U ∀λ ≥ µ ∈ U Preuve : ⇒) On pose Cat(M ) 6= ∅ M une catégorie associé à M alors il existe A {λ , ....., µj , ....., ........etc} on a d'après la partition de i dont les objets sont Donc M sera : M= [ Mλ M[ Mµ M[ µ∈V λ∈U On va démontrer que M est acceptable. i λ En eet soit λ ∈ Ob(A) comme M > 0 alors alors ≥ Mλ,µ . λ∈U µ∈V |A(λi , λi )| ≥ 1 donc λi ≥ λi est reexive. φk trois objets telque λi ≥ µj et µj ≥ φk . i j a j k b alors il existe deux morphismes F=(λ µ , H ) et G=(µ φ , J ). j k b i j a i k c i k On a K=(µ φ , J )(λ µ , H ) = (λ φ , M ) donc λ ≥ φ alors ≥ est transiPour la transitivité soient λi ,µj et tive. D'autre part, le résultat de (6.3.9) s'applique à chaque sous-matrice diagoλ µ λ,µ nale à coecients strictement positifs M ,M . Pour les sous-matrices M 88 Classication d'une matrice réduite d'ordre n quand ⇐) λ>µ la condition est tirée du théorème (7.1.5) ci-dessus. Cat(M) 6= ∅. le cas où λ, β, ... ∈ U On va démontrer que On travaille d'abord sur tités, donc M et après on ajoutera les iden- devient : M= [ λ∈U S Mλ M V [ λ,µ∈U S M λ,µ V semi-catégorie partiellement unitaire avec condition d'unité seulement sur les A(λ0 , λ0 ) i j i j pour λ ∈ U , et en supposant que M (λ , λ ) = a(λ )b(λ ) pour λ ∈ U . 1 1 Pour λ ∈ V on peut prendre M(λ , λ ) = 1. i Soit A une semi-catégorie donts les objets sont {λ avec λ ∈ A/R} et les Comme dans [2], il sut de considérer la construction d'une morphismes n sont : Ob(A)= Ici (λi , λj , (u, v))/λ ∈ U ∪ V o n o ∪ (λi , µj , k)/λ, µ ∈ U ∪ V . 1 ≤ u ≤ a(λi ) et 1 ≤ v ≤ b(λj ), en mettant (λ1 , λ1 , (u, v)) = idλ1 Pour λ > µ, si λ∈V. on notera |µ0 , λ0 | := {1, 2, . . . , M(µ0 , λ0 )}, |µ0 , λi | := {1, 2, . . . , M(µ0 , λi )}, mais en revanche |µn , λ0 | := {1 + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ), . . . , 0, 1, 2, . . . , M(µ0 , λ0 )}, et enn |µn , λi | := {1 + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ), . . . , 0, 1, 2, . . . , h}, où h = M(µn , λi ) + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ). De cette façon, #|µ0 , λ0 | = M(µ0 , λ0 ), #|µ0 , λi | = M(µ0 , λi ), #|µn , λ0 | = M(µn , λ0 ), et #|µn , λi | = M(µn , λi ). D'autre part, |µ0 , λi | ∩ |µn , λ0 | = |µ0 , λ0 |. 89 Classication d'une matrice réduite d'ordre n On notera souvent par H 0 (µn , λi ) le complémentaire H 0 (µn , λi ) := {M(µ0 , λi ) + 1, . . . , h} ayant #H 0 (µn , λi ) = M(µn , λi ) − M (µ0 , λi ) − M (µn , λ0 ) + M(µ0 , λ0 ) éléments. L'hypothèse dit que ce nombre d'éléments est ≥ 0. n i Ainsi |µ , λ | est la réunion disjointe des quatre parties suivantes : |µ0 , λ0 | |µ0 , λi | − |µ0 , λ0 | |µn , λ0 | − |µ0 , λ0 | H 0 (µn , λi ). On dénit la loi de composition interne par quatre équations : i j n i 0 n j 1. (λ ,µ ,k)◦(ϕ ,λ ,k )=(ϕ ,µ ,1) (l'utilisation des symboles diérents l'hypothèse ϕ 6= λ 6= µ, ϕ, λ, µ ici cela veut dire qu'on a une convention en rigeur partout). i j n i 0 0 n j 0 2. (λ ,λ ,(u,v))◦(λ ,λ ,(u , v ))=(λ ,λ ,(u , v )). 3. (λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k 0 ). On a dans ce cas 2 possibilités : (λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , 1) (a) Si λ∈V alors (b) Si λ∈U alors on a 2 cas : i. Si i=0 alors, ii. Si i6= 4. 0 (λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k ). (λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k 0 ). k si k ∈ |µ0 , λ0 | 1 si k ∈ |µ0 , λi | − |µ0 , λ0 | 0 avec k = k si k ∈ |µn , λ0 | − |µ0 , λ0 | 1 si k ∈ H 0 (µn , λi ) alors, (λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k 0 ) On a dans ce cas 2 possibilités : (a) Si λ∈V alors (λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , 1) 90 Classication d'une matrice réduite d'ordre n (b) Si λ∈U on a 2 cas : i. Si j=0 alors, ii. Si j6= 0 (λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k). (λj , µn , k 0 ) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k 0 ), k si k ∈ |λ0 , µ0 | 1 si k ∈ |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | k0 = k si k ∈ |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | 1 si k ∈ H 0 (µn , λi ) alors, Pour l'unité partielle : 0 Comme k = k pour i = 0 voir (3(b)i) ou i i (λ λ (1, 1)) agit comme une l'identité. j =0 voir(4(b)i) quand λ ∈ U, Pour l'associativité : soient λ,µ,ϕ,φ ∈ A/ ∼ alors il y a 8 formes des équations associatives : 1) λi / µj / φt 2) λi / µj / µt / φn 3) λi / µj / φt / φn 4) λi / λj / µt / φn 5) λi / λj / µt / 6) λi / λj / λt 7) λi / µj / 8) λi / λj / λt Rappelons que les symboles / ϕn / µn µn / µt µn / λn λ, µ, φ, ϕ distincts représentent par convention des classes diérentes. Équation 1 h i (φt ϕn , a)(µj φt , b) (λi µj , c) = (µj ϕn , 1)(λi µj , c) = (λi ϕn , 1). D'autre part, h i j t i j (φ ϕ , a) (µ φ , b)(λ µ , c) = (φt ϕn , a)(λi φt , 1) t n = (λi ϕn , 1). Donc, h i h i (φt ϕn , a)(µj φt , b) (λi µj , c) = (φt ϕn , a) (µj φt , b)(λi µj , c) Alors l'équation 1 est associative. 91 Classication d'une matrice réduite d'ordre n Équation 2 t n j (µ φ , a)(µ µt , (1, 1))(λi µj , b) On a 3 cas : 1. Si j=t=0, c.à.d l'identitée : h i 0 n 0 0 (µ φ , a)(µ µ , (1, 1)) (λi µ0 , b) = (µ0 φn , a)(λi µj , b) = (λi φn , 1). D'autre part, h i 0 0 i 0 (µ φ , a) (µ µ , (1, 1))(λ µ , b) = (µ0 φn , a)(λi µ0 , b) 0 n = (λi φn , 1). Donc, h i h i i 0 0 n 0 0 i 0 (µ φ , a)(µ µ , (1, 1)) (λ µ , b) = (µ φ , a) (µ µ , (1, 1))(λ µ , b) . 0 n 0 0 µ ∈ U , et (j, t) 6= (0, 0) alors, l'équation 2 devient (µ , φn , a)(µj µt , (u, v))(λi µj , b) h i t n j t (µ φ , a)(µ µ , (u, v)) (λi µj , b) = (µj φn , c)(λi µj , b) 2. Si t = (λi φn , 1). D'autre part, h i j t i j (µ φ , a) (µ , µ (1, 1))(λ µ , b) = (µt φn , a)(λi µt , d) t n = (λi φn , 1). Donc, h i h i (µt φn , a)(µj , µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µt φn , a) (µj µt , (1, 1))(λi µj , b) . µ ∈ V avec (j, t) 6= (0, 0) alors : h i (µt φn , a)(µj µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µj φn , 1)(λi µj , b) 3. Si = (λi φn , 1). D'autre part, h i (µt φn , a) (µj µt , (u, v))(λi µj , b) = (φt ϕn , a)(λi µt , 1) = (λi φn , 1). Donc, h i h i (µt φn , a)(µj µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µt φn , a) (µj µt , (u, v))(λi µj , b) . 92 Classication d'une matrice réduite d'ordre n Alors l'équation 2 est associative. Équation 3 t n (φ φ , (u, v))(µj φt , a)(λi µj , b) t = n = 0, 1. Si h 0 c.à.d pour l identité : i (φ0 φ0 , (1, 1))(µj φ0 , a) (λi µj , b) = (µj φ0 , c)(λi µj , b) = (λi φ0 , 1). D'autre part, h i j 0 i j (φ φ , (1, 1)) (µ φ , a)(λ µ , b) = (φ0 φ0 , (1, 1))(λi φ0 , 1) 0 0 = (λi φ0 , 1). Donc, h i h i [(φ0 φ0 , (1, 1))(µj φ0 , a) (λi µj , b) = (φ0 φ0 , (1, 1)) (µj φ0 , a)(λi µj , b) . (t, n) 6= (0, 0) : i t n j t (φ , φ (u, v))(µ φ , a) (λi µj , b) = (µj φn , k)(λi µj , b) 2. Si h φ ∈ U, avec = (λj φn , 1). D'autre part, h i (φt φn , (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) = (φt φn , (u, v))(λi φt , 1) = (λi φn , 1). Donc, h i h i i j t n j t i j (φ φ , (u, v))(µ φ , a) (λ µ , b) = (φ φ , (u, v)) (µ φ , a)(λ µ , b) . t n 3. Si h φ∈V j t (t, n) 6= (0, 0) : i (φt φn , (u, v))(µj φt , a) (λi µj , b) = (µj φn , 1)(λi µj , b) avec = (λj φn , 1). D'autre part, h i (φt φn , (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) = (φt φn , (u, v))(λi φt , 1) = (λi φn , 1). Donc, h i h i (φt φn , (u, v))(µj φt , a) (λi µj , b) = (φt , φn (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) . 93 Classication d'une matrice réduite d'ordre n Alors l'équation 3 est associative. Par ailleurs, l'équation 4 est comme l'équation 3 voir (7.3). équation 5 : t n (µ µ , (a, b))(λj µt , k)(λi λj , (c, d)). On a quatre cas : 1. Si µ∈U et λ∈V. On a 3 possibilitées : t = n = 0,et i, j 6= 0 Q = (µ0 µ0 , (1, 1))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µ0 , k 0 )(λi λj , (c, d)) = (λi µ0 , 1). (a) Si D'autre part, Q0 = (µ0 , µ0 (1, 1)) (λj µ0 , k)(λi λj , (c, d)) = (µ0 µ0 , (1, 1))(λi µ0 , 1) = (λi µ0 , 1). Donc,Q = Q0 . i = j = 0, et t, n 6= 0 h i Q = (µt µn , (a, b))(λj µt , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k 0 )(λi λj , (c, d)) (b) si = (λi µn , 1). D'autre part, h i Q0 = (µt µn , (a, b)) (λ0 µt , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , 1) = (λi µ0 , 1). Donc,Q = Q0 . i, j, t et n 6= 0 h i Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µn , 1)(λ0 λ0 , (1, 1)) (c) si = (λ0 µn , 1). D'autre part, h i 0 t 0 0 Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , 1) 0 t n = (λ0 µn , 1). Donc,Q = Q0 . 94 Classication d'une matrice réduite d'ordre n 2. Si 3. Si µ∈V µ∈V et et λ ∈ U, ce cas est le même que le cas précédent. λ∈V alors, on a 2 cas ici : (a) t = n = 0 et i, j 6= 0 h i Q = (µ0 µ0 , (1, 1))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µ0 , 1)(λi λj , (c, d)) = (λi µ0 , 1). D'autre part, h i Q0 = (µ0 µ0 , (1, 1)) (λj µ0 , k)(λi λj , (c, d)) = (µ0 µ0 , (1, 1))(λi µ0 , 1) = (λi µ0 , 1). Donc,Q (b) = Q0 . i, j, t et n 6= 0 h i t n j t Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , 1)(λi λj , (c, d)) = (λi µn , 1). D'autre part, h i Q0 = (µt µn , (a, b)) (λj µt , k)(λi λj , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , 1) = (λi µn , 1). = Q0 λ∈U Donc,Q 4. Si µ∈U et On a 2 possibilités : (a) i = j = 0, dans ce cas on a deux possibilités : i. t = 0 h i Q = (µ0 µn , (a, b))(λ0 µ0 , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µ0 , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µn , k). D'autre part, h i Q0 = (µ0 µn , (a, b)) (λ0 µ0 , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µ0 µn , (a, b))(λ0 µ0 , k) = (λ0 µn , k). Donc,Q = Q0 . 95 Classication d'une matrice réduite d'ordre n t 6= 0 h i Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µn , k 0 )(λ0 λ0 , (1, 1)) ii. Si = (λ0 µn , k 0 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | H 0 (λ0 , µt ) D'autre part, h i Q0 = (µt µn , (a, b)) (λ0 µt , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) = (λ0 µn , k 0 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | H 0 (λ0 , µt ) k 0 = k sur |λ0 , µt |, ce qui donne Q = Q0 . Si (i, j) 6= (0, 0) on prend i 6= 0, donc on a 4 possibilités sur j, t : i. Si t = j = 0, on a h i 0 n 0 0 Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, d)) Donc (b) = (λi µn , k). D'autre part, h i 0 0 i 0 Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µ0 µn , (a, b))(λi µ0 , k) 0 0 n = (λi µn , k). Q0 = Q sur |λ0 , µ0 |. Si j = 0 et t 6= 0, on a : h i Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k 0 )(λi , λ0 , (c, d)) Donc ii. = (λi µn , k 0 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λ0 , µt ) 96 = k 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | Classication d'une matrice réduite d'ordre n D'autre part, h i 0 t i 0 Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , k) 0 t n = (λi µn , k 00 ). k 1 k 00 = k 1 avec Donc Q = Q0 sur |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λi , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λi , µt ) |λ0 , µt |. j 6= 0 et t = 0, on a : h Q = (µ0 µn , (a, b))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d)) iii. Si = (λi µn , k 00 ), avec k 1 k 00 = k 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µn ) D'autre part, h i j 0 i j Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µ0 µn , (a, b))(λi µ0 , k 0 ) 0 0 n = (λi µn , k 0 ), avec Alors k 1 k0 = k 1 Q = Q0 sur |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µ0 ) = k 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λj , µ0 |. j, t 6= 0, on a : h i t n j t Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d)) iv. Si = (λi µn , k 00 ), avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µt ) 97 Classication d'une matrice réduite d'ordre n et avec 0 k 1 k 00 = k0 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µn ) 00 On va verier que k = 1 sur 00 0 On a k = k = 1 c'est à dire i n 00 Alors Q = (λ µ , k ) avec 00 k = k 1 = k 1 1 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µt ) |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | k 00 = 1 sur |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µ0 | |λj , µt | − |λ0 , µ0 | D'autre part, h i Q0 = (µt µn , (a, b)) (λj µt , k)(λi λj , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , k 0 ) = (λi µn , k 00 ), avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µt ) et avec 0 k 1 k 00 = k0 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λi , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λi , µt ) = k 1 1 1 |λ0 , µ0 | |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | H 0 (λi , µt ) 00 j 0 0 0 On va verier que k =1 sur |λ , µ | − |λ , µ |. 00 0 00 j 0 0 0 logiquement k = k ou k = 1 sur |λ , µ | − |λ , µ | 00 si k = 1 vrai. 00 0 j 0 0 0 00 0 si k = k sur |λ , µ | − |λ , µ | alors k = k = 1 00 j 0 0 0 i n 00 alors k = 1 sur |λ , µ | − |λ , µ | ce qui donne Q'=(λ , µ , k ) avec Donc 00 k = Q = Q0 k 1 sur |λ0 , µ0 | |λj , µt | − |λ0 , µ0 | |λj , µt |. Donc léquation 5 est associative. équation 6 : t n j (λ , µ , k)(λ , λt , (a, b))(λi , λj , (c, d)). On a deux cas : 98 Classication d'une matrice réduite d'ordre n λ ∈ V alors on a : h i t n j t Q = (λ µ , k)(λ λ , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , 1)(λi λj , (c, d)) 1. Si = (λi , µn , 1). D'autre part ; h i Q0 = (λt µn , k) (λj λt , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b)) = (λi , µn , 1). Donc, Q = Q0 λ ∈ V alors on a 4 possibilités : (a) Si t = j = 0, alors h i Q = (λ0 µn , k)(λ0 λ0 , (a, b)) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, d)) 2. Si = (λi µn , k). D'autre part, h i 0 0 i 0 Q = (λ , µ , k) (λ , λ , (a, b))(λ , λ , (c, d)) = (λ0 , µn , k)(λi , λ0 , (c, b)) 0 0 n = (λi µn , k). Donc Q = Q0 . t = 0 et j 6= 0, alors : h i Q = (λ0 µn , k)(λj λ0 , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d)) (b) Si = (λi µn , k 0 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µn ) i n Donc Q=(λ , µ , k) sur |λ0 , µn |. D'autre part, h i Q0 = (λ0 µn , k) (λj λ0 , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, b)) = (λi µn , k). Alors Q = Q0 sur |λ0 , µn |. 99 Classication d'une matrice réduite d'ordre n j = 0 et t 6= 0, alors : h i Q = (λt µn , k)(λ0 λt , (a, b)) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k 0 )(λi λt , (c, b)) (c) Si = (λi µn , k 0 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λt , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λt , µn ) h i Q0 = (λt µn , k) (λ0 λt , (a, b))(λi , λ0 , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b)) = (λi µn , k 0 ). avec Donc k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λt , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λt , µn ) Q = Q0 . t, j 6= 0 alors : h i Q = (λt µn , k)(λj λt , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k 0 )(λi λj , (c, b)) (d) Si = (λi µn , k 00 ). avec k 1 k0 = k 1 |λ0 , µ0 | |λt , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λt , µn ) et avec 0 k 1 k 00 = k0 1 |λ0 , µ0 | |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λj , µn ) = k 1 k 1 |λ0 , µ0 | |λt , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λt , µn ) D'autre part, h i Q0 = (λt µn , k) (λj λt , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b)) = (λi µn , k 0 ). 100 Classication d'une matrice réduite d'ordre n avec Alors k 1 k0 = k 1 Q = Q0 sur |λ0 , µ0 | |λt , µ0 | − |λ0 , µ0 | |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 | H 0 (λt , µn ) |λt , µn | Par ailleurs, on remarque que l'équation 7 est semblable à léquation 6 t n j t i j équation 8 : (λ , λ , (a, b))(λ , λ , (c, d))(λ , λ , (e, f )) h i Q = (λt λn , (a, b))(λj λt , (c, d)) (λi λj , (e, f )) = (λj λn , (c, b))(λi λj , (e, f )) = (λi , λn , (e, b)). D'autre part, h i j t i j Q = (λ λ , (a, b)) (λ λ , (c, d))(λ λ , (e, f )) = (λt λn , (a, b))(λi λt , (e, d)) 0 t n = (λi , λn , (e, b)). Donc Q = Q0 On a vérié toutes les égalites de l'associativité alors, associée à M, donc A est une catégorie Cat(M) 6= ∅. Théorème 7.3.2 :Soit M = (mij )1≤i,j≤n une matrice triangulaire supérieure avec mii > 0 ∀i. Alors Cat(M) 6= ∅ ⇔ M est acceptable. En eet : ⇒) On suppose Cat(M) 6= ∅ alors M est acceptable voir le théorème (7.3.1). ⇐) On pose M est acceptable comme M est triangulaire supérieure. Lemme 7.3.3 : Soit M = (mij )i,j ∈ Mn (N) une matrice positive, alors ; Cat(M ) 6= ∅ si et seulement si pour toute N sous-matrice régulière d'ordre ≤ 4, Cat(N ) 6= ∅. Preuve :⇒) voir (3.3.3). (⇐ M est acceptable à cause de l'hypothèse. D'autre part, on pose que ≤ 4. i 6= j , Cat(N ) 6= ∅, pour toute N sous-matrice régulière d'ordre Soient 1. Si alors il y a deux cas : M >0 voir le lemme (6.3.12). 2. S'il existe au moins d'une coecient nulle, alors et d'après la partition de la matrice M il existe au moins deux classes Ici, on a deux cas sur n : 101 λ, µ ∈ S . Classication d'une matrice réduite d'ordre n (a) Si n ≤ 4, (b) Si n > 4. alors N On prend, Cat(M ) 6= ∅ voir l'hypothèse. la sous-matrice régulière d'ordre 1 M (λ0 , λi ) M (λ0 , µ0 ) M (λi , λ0 ) M (λi , λi ) M (λi , µ0 ) N = 0 0 1 0 0 M (µj , µ0 ) Comme N d'ordre 4, alors 4 : M (λ0 , µj ) M (λi , µj ) . M (µ0 , µj ) M (µj , µj ) Cat(M ) 6= ∅. La théorème (7.3.1) donne les propriétés suivants : i. ii. M (λi , λi ) ≥ M (λ0 , λi )M (λi , λ0 ) + 1 M (λi , λj ) ≥ M (λ0 , λj )M (λi , λ0 ) iii. M (λi , µj ) ≥ M (λi , µ0 ) iv. M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) v. M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µ0 ). Ces derniers sont vrais pour tous i 6= j , (7.3.1). 102 donc Cat(M ) 6= ∅ voir le théorème Chapitre 8 Classication de Monoïde 8.1 Dénition d'un Monoïde Dénition 8.1.1 : Soit A une catégorie nie, on dit que A est une catégorie monoïde si Ob(A) est un singleton. Par ailleurs, on dit que M ∈ Mn (N) est une matrice monoïde si n = 1, il est évident la matrice de catégorie monoïde est une matrice monoïde. Exemple 8.1.2 Soit N : un ensemble non vide dans objets sont Ob(A) = {N } N, on prend A une catégorie dont les et les morphismes sont les appliication injectives ou surjectives ou encore bijectives avec la loi de composition usuelle, donc A est bien une Monoïde dans les trois cas. Proposition 8.1.3 : Soit M = (n) une matrice monoïde avec n ∈ N∗ , alors Cat(M) 6= ∅. Preuve : On dénit une sémi-catégorie partiellement unitaire, avec 0 l'identite de λ mais que A n'a pas l'identite A monoïde dont l'objet est x avec l'ensemble des morphismes est déni par : Hom(A) = n x fi /X /fi 6= idx et Pour la loi de composition, si on a o 1 ≤ i ≤ (n − 1) . deux èchess fi et fj loi par ; fi ◦ fj = fM in{i,j} = Soient fi , fj et fk ∈ Hom(A) fi fj si si i<j i≥j alors ; (fi ◦ fj ) ◦ fk = fM in{i,j} ◦ fk = fM in{i,j,k} . 103 alors on dénit la Classication d'un Monoïde (2) D'autre part ; fi ◦ (fj ◦ fk ) = fi ◦ fM in{j,k} = fM in{i,j,k} . ◦ est associative, alors A est une sémi-catégorie associée à une matrice monoïde (n − 1), ce qui donne A + idx est bien une catégorie associée à monoïde (n) voir (2.5.7), donc Cat(M) 6= ∅. Donc 8.2 Classication d'un Monoïde (2) D'après la proposition (8.1.3) On a Cat(M = (2)) 6= ∅, alors on va classier toutes les catégories qui sont associées à la matrice monoïde M = (2). Notation :On note Cat12 ={A Cat22 ={A catégorie monoïde / catégorie monoïde / Théorème 8.2.1 En eet : Hom(A) = {idx , f } Hom(A) = {idx , f } avec avec f 2 = idx } f 2 = f }. : Cat(M = (2)) = Cat12 ∪ Cat22 . A ∈ Cat(M = (2)) alors A est une catégorie nie d'ordre 1 dont les objets x, et l'ensemble des morphismes est {idx , f }. 2 1 2 Comme A est une catégorie alors f ∈ {idx , f }, ce qui donne A ∈ Cat2 ∪ Cat2 1 2 donc Cat(M(2)) ⊂ Cat2 ∪ Cat2 . Soit A est une catégorie monoïde avec l'objet x et l'ensemble des morphismes est deni {idx , f } alors on a deux cas : 2 1 1. Si f = idx , donc A ∈ Cat2 . 2 2 2. Si f = f , donc A ∈ Cat2 . 1 2 D'où Cat(M = (2)) ⊂ Cat2 ∪ Cat2 . Soit 8.3 Classication d'un Monoïde (3) On a Cat(M = (3)) 6= ∅ voir la proposition (8.1.3), alors on va classier toutes les catégories qui sont associées à la matrice monoïde 104 M = (3). Classication d'un Monoïde (3) Notation :On note ; Cat13 n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g = g, f = 1 n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = f, g 2 = f 2 = g n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = g n o 2 2 A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = 1 n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g} , gf = f g = f 2 = g 2 = f n o 2 2 Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = g = g, gf = f = f n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f 2 = f, g 2 = g n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g, g 2 = f 2 = f n o 2 2 Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g = g, f = f n o Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = g 2 = g, f g = f 2 = f n o A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = 1, g 2 = f, f 2 = g . = Cat33 = Cat43 = Cat53 = Cat63 = Cat73 = Cat83 = Cat93 = Cat10 = 3 Cat11 = 3 Cat23 = 2 2 On remarque : Cat13 = Cat53 , Cat33 = Cat93 Cat43 = Cat63 , Cat83 = Cat10 3 . Alors 11 P 11 Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10 3 ∪ Cat3 . i=1 Théorème 8.3.1 Cat(M) = 11 P : Soit M = (3) une matrice monoïde alors : 11 Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10 3 ∪ Cat3 . i=1 Preuve : ⇐) Soit A∈ 11 P Cati3 alors A est une catégorie monoïde qui a trois èches, i=1 A est bien une catégorie A ∈ Cat(M). 11 P Donc Cati3 ⊆ Cat(M). alors associée à la matrice monoïde, ce qui donne i=1 105 Classication d'un Monoïde (3) ⇒) A ∈ Cat(M) alors A est une catégorie monoïde dont est Ob(A) = {x} et les morphismes sont {idx , f, g}. Soit objets l'ensemble des Pour la loi de composition on a quatre formules dénies par le tableau suivant : ◦ f g f ∈ {idx , f, g} gf ∈ {idx , f, g} f g ∈ {idx , f, g} g 2 ∈ {idx , f, g} 2 f g On va étudier les possibilitées de 2 f 2 ∈ {idx , f, g} 2 f = idx alors gf = f g = g = g (a) si gf = idx alors : 1. Si (gf )f = = = = = Don : idx f f g(f 2 ) gidx g. f =g contradicition, ce qui donne gf = f alors : (gf )f = = = = = f2 idx g(f 2 ) gidx g. (b) Si en eet : gf 6= idx . g = idx contradicition, ce qui donne gf 6∈ {idx , f } alors gf = g ,la même idée pour démontrer que f g 6∈ {f, idx } donc il reste f g = g . Donc (c) Si g 2 = idx g(gf ) = = = = = alors : g(g) idx (g 2 )f idx f f. 2 contradicition, ce qui donne g 6= idx . 2 2 2 La même idée g 6= f donc g 6∈ {idx , f } alors g = g . Donc f = idx 106 Classication d'un Monoïde (3) Finalement, on va étudier les équations d'associativité avec 2 et f g = gf = g = g : f 2 = idx (f g)f = gf = g et f (gf ) = f g = g alors, (f g)f = f (gf ) la même l'équation (gf )g = g(f g). (f 2 )g = idx g = g et f (f g) = f g = g alors, (f 2 )g = f (f g)la même 2 l'équation (gf )f = g(f ). (g 2 )f = gf = g et g(gf ) = g 2 = g alors, (g 2 )f = g(gf ) la même 2 l'équation f (g ) = (f g)g . 2 2 1 Donc si f = idx alors f g = gf = g = g ce qui donne A ∈ Cat3 . f 2 = g alors f g = gf en eet : gf = f 2 f = f 3 et f g = f f 2 = f 3 , pour pour pour 2. Si ce qui donne gf = f g , donc on a trois cas ; f g = gf = idx g = f. (a) Si 2 Dans ce cas on a alors gf 2 = g 2 = (gf )f = idx f = f f 2 = g ,g 2 = f et ce qui donne f g = gf = idx , ensuite la loi 2 de composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 . 2 2 2 (b) Si f g = gf = f alors gf = g = (gf )f = f = g ce qui donne 2 g = g. 2 2 Dans ce cas on a f = g = g et f g = gf = f , ensuite la loi de 3 composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 . 2 2 (c) Si f g = gf = g alors gf = g = (gf )f = gf = g ce qui donne g2 = g. 2 2 Dans ce cas on a f = g = g et f g = gf = g , ensuite la loi de 4 composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 . 4 3 2 2 Alors dans le cas f = g on a A ∈ Cat3 ∪ Cat3 ∪ Cat3 , c.à.d 11 P Cat(A) ⊆ Cati3 i=1 f 2 = f alors f g 6= idx et gf 6= idx en eet : 2 On pose f g = 1 alors idx = f g = f g = f (f g) = f contradiction donc f g 6= idx . 2 On pose gf = idx alors idx = gf = gf = (gf )f = idx f = f contradiction donc gf 6= idx . Alors on a deux cas sur gf : 3. Si (a) gf = f i. Si on a trois cas sur g 2 = idx A. fg = g g2 : on a deux cas sur alors fg : f = f g 2 = (f g)g = g 2 = idx alors ce cas n'existe pas. 107 contradiction Classication d'un Monoïde (3) B. Si fg = f alors la loi est associative facile à démontrer, 5 donc dans ce cas Cat(M) ⊆ Cat3 . g2 = f ii. Si A. on a deux cas sur fg = g alors fg : g = f g = (gf )g = g(f g) = g 2 = f contra- diction alors ce cas n'existe pas. B. Si fg = f alors la loi est associative facile à démontrer, Cat(M) ⊆ Cat63 . donc dans ce cas g2 = g iii. Si A. fg = g alors alors la loi est associative facile à démontrer, Cat(M) ⊆ Cat73 donc dans ce cas B. Si fg = f alors la loi est associative facile à démontrer, Cat(M) ⊆ Cat83 . 2 on a trois cas sur g : donc dans ce cas (b) gf = g i. Si g 2 = idx alors, g 2 f = f = g(gf ) = g 2 = idx contradiction, donc ce cas n'existe pas. ii. Si g2 = f A. Si alors on a deux cas sur fg = f alors fg : 2 f = f g = g g = gg 2 = gf = g contradic- tion donc ce cas n'existe pas. B. Si fg = g alors la loi est associative facile à démontrer, Cat(M) ⊆ Cat93 . donc dans ce cas iii. Si g2 = g A. Si alors on a deux cas sur fg = g fg : alors la loi est associative facile à démontrer, Cat(M) ⊆ Cat10 3 donc dans ce cas B. Si fg = f alors la loi est associative facile à démontrer, 11 donc dans ce cas A ∈ Cat3 . Alors dans le cas ce qui donne f2 = f Cat(M) ⊆ on a 11 P 11 A ∈ Cat53 ∪Cat63 ∪Cat73 ∪Cat83 ∪Cat93 ∪Cat10 3 ∪Cat3 , Cati3 . i=1 Donc Cat(M) = 11 P Cati3 . i=1 108 Chapitre 9 Classication des matrices 2 d'ordre n 9.1 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n Dénition 9.1.1 : Soit M = (mij ) une matrice carrée d 0 ordre n, on dit que M est une matrice 2 d0 ordre n si mij = 2, ∀1 ≤ i, j ≤ n, On note M par Mn2 . On note le nombre des catégories non-isomorphes qui sont associées à Mn2 par Card(Mn2 ), et on note Card(M2n , r) comme le nombre de catégories réduites. Card(Mn2 )≥ Card(M2n , r). Exemple 9.1.2 : La matrice monoïde (2) est une matrice 2 d'ordre 1. Lemme 9.1.3 : Cat(Mn2 ) 6= ∅ pour tout n ∈ N. Preuve : voir le théorème (5.3.2). Théorème 9.1.4 : Soit A une catégorie associée à M22 dont les objets sont {λ1 , λ2 } et les morphismes sont dénis par : A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ1 ) A(λ2 , λ2 ) = = = = {(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )} {(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )} {idλ1 = 1, (λ1 λ1 E) = e1 } {idλ2 = 1, (λ2 λ2 E) = e2 }. Alors : e21 = 1 ⇔ e22 = 1. 109 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n Preuve : D'abord on a deux remarques : Remarque 9.1.5 Si e21 = 1 alors on a deux résultats : 1. (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F j ), e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gj ) avec i 6= j 2. (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ2 λ2 F 2 ) 6= 2 1 2 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) = (λ2 λ1 G1 )(λ2 λ2 F 2 ). En eet : partie 1) Si (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 ) (λ1 λ2 F 2 )e21 = = = = = par exemple alors : (λ1 λ2 F 2 )1 (λ1 λ2 F 2 ) 1 2 2 (λ λ F )e1 e1 (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ1 λ2 F 1 ). (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) contradiction, alors (λ1 λ2 F 1 )e1 6= (λ1 λ2 F 2 )e1 . 1 2 1 1 2 1 D'autre part, si (λ λ F )e1 = (λ λ F ) alors il y a deux cas : Donc (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 alors, 2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1 = (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1. 1. Si Donc e1 = 1 contradiction. (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = = = = = 2. Si Donc e1 = 1 alors, e21 1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) e1 . contradiction. Dans les deux cas on arrive à une contradiction, ce qui donne : (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ1 λ2 F 2 ) et (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 ). 110 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n La même idée pour démontrer que partie 2) On a deux cas sur e1 (λ2 λ1 G) = (λ2 λ1 G0 ). (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) suivants : (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 alors ; 2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1 = (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ). 1. Si Donc (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1 6= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = = = = 2. Si Donc alors ; e21 1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ). (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1 6= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ). 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 Dans les deux cas on trouve que (λ λ G )(λ λ F ) 6= (λ λ G )(λ λ F ). 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 D'autre part, on a (λ λ G )(λ λ F ) = (λ λ G )(λ λ F ), alors il y a deux 2 1 1 1 2 1 cas sur (λ λ G )(λ λ F ) : (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 alors (λ λ G )(λ λ F ) = (λ λ G )(λ λ F ) = e1 e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 ) = (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 2 )2 = e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 ) = e21 = 1. 1. Si Donc 2. si donc ; (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 Dans les deux cas on arrive à La même démonstration ci-dessus. (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ). Remarque 9.1.6 : Si e21 = 1 alors, ∃(F, G) ∈ {F 1 , F 2 } × {G1 , G2 } tel que (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ) = e1 . Si e22 = 1 alors, ∃(F, G) ∈ {F 1 , F 2 } × {G1 , G2 } tel que (λ1 λ2 F )(λ2 λ1 G) = e2 . 111 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n En eet : On pose e21 = 1. (λ2 λ1 Gj )(λ1 λ2 F i ) = 1 pour toutes i, j ∈ {1, 2}, (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1, 2 1 1 1 2 1 alors (λ λ G )(λ λ F ) = e1 voir la remarque ci-dessus Si par exemple (9.1.5), donc avec l'hypothèse ce qui montre qu'il existe (F, G) ∈ 1 2 2 1 1 2 {F , F } × {G , G } tel que (λ λ G)(λ λ F ) = e1 alors on peut prendre (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 car F i , Gj sont des variables. 2 La même idée si e2 = 1. On a : contradiction 1 2 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1 et 2 1 2 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1. D'autre part, on va démontrer que : (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) = e2 et (λ2 λ1 Gi )e2 1 2 1 2 1 1 On pose (λ λ F )(λ λ G ) = 1 alors, 0 = (λ2 λ1 Gi ). 2 1 1 1 2 1 2 (λ λ G )(λ λ F ) = 1 = (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ). (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 (λ λ F 1 )(λ2 λ1 G1 ) = e2 . Donc 1 2 Contradiction avec ci-dessus, donc Par ailleurs ; 2 1 1 1 2 1 2 1 1 (λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) = = = = (λ2 λ1 G1 )e2 = (λ2 λ1 G2 ), (λ λ G2 )e2 = (λ2 λ1 G1 ). Donc 2 1 e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G2 ) (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G1 )e2 . la même méthode pour démontrer que On revient à la démonstration pour 2 Par l'absurde, si e2 = e2 alors : (λ2 λ1 G1 )e22 = = = = Ce qui donne voir la remarque (9.1.5) e22 = 1. (λ2 λ1 G1 )e2 (λ2 λ1 G2 ) 2 1 1 (λ λ G )e2 e2 (λ2 λ1 G2 )e2 = (λ2 λ1 G1 ). (λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 ) contradiction, donc 112 e22 = 1. Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n Lemme 9.1.7 : Soit A une catégorie d'ordre n associée à Mn2 matrice 2 d'ordre n, avec Ob(A) = {λ1 , ..., λn } et A(λi , λi ) = {1, ei }, ∀1 ≤ i ≤ n. Alors, s'il existe i tel que e2i = 1 alors e2j = 1 pour tout 1 ≤ j ≤ n. Preuve : On pose e2i = 1. j ∈ {1, ..., n} − {i} 2 qui donne ej = 1. Soit ce on applique la démonstration du théorème (9.1.4), Dénition 9.1.8 : On veut dire que (λ1 λ2 F ) et (λ2 λ1 G) sont semblables c.à.d (λ λ F ) ≡ (λ2 λ1 G) si on a F = F i ⇔ G = Gi . 1 2 Théorème 9.1.9 : Soit A une catégorie associée à M matrice 2 d'ordre 2, et s'il existe i tel que e2i = 1 alors A non-réduite avec i ∈ {1, 2}. En eet : S'il existe i ∈ {1, 2} tel que e2i = 1 alors e21 = e22 = 1 voir la théorème (9.1.4) et d'après la remarque (9.1.6) il existe deux morphismes F, G tel que (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ) = 1. 1 2 2 1 D'autre part, on pose (λ λ F )(λ λ G) = e2 alors : 1 2 (λ λ F )(λ2 λ1 G) (λ1 λ2 F ) = = = = = e2 (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F 0 ) F 0 6= F voir (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F )1 (λ1 λ2 F ). la remarque (9.1.5) (λ1 λ2 F ) = (λ1 λ2 F 0 ) alors F = F 0 contradicition, 1 2 2 1 2 1 1 2 d'où (λ λ F )(λ λ G) = 1 et (λ λ G)(λ λ F ) = 1, ce qui donne 1 2 objets λ et λ sont isomorphes entre eux, donc A non-réduite. Donc les deux Lemme 9.1.10 Soit A une catégorie associée à M matrice 2 d'ordre n et s'il existe ei tel que e2i = 1, alors A non-réduite avec i ∈ {1, 2, ...., n}. Preuve :La même idée de la démonstration que de la théorème (9.1.9) ci-dessus. 113 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 9.2 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 Soit A ∈ Cat(M22 ) dont les objets sont {λ1 , λ2 } et les morphismes sont dénis par : A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ1 ) A(λ1 , λ1 ) A(λ2 , λ2 ) = = = = {(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )} {(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )} {idλ1 = 1, (λ1 λ1 E) = e1 } {idλ2 = 1, (λ2 λ2 E) = e2 }. Théorème 9.2.1 : Card(M22 , r) = 1. Preuve : On pose e21 = 1 alors e22 part, =1 voir le théorème (9.1.4) d'autre A devient non-réduite voir le théorème (9.1.9), donc il faut étudier 2 2 l'autre cas où e1 = e1 et e2 = e2 . Remarque 9.2.2 : On a deux résultats : 1. Si e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F i ) ou (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) alors, (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 ∀i, j ∈ {1, 2}. 2. Si (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) ou e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) alors, (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 ∀i, j ∈ {1, 2}. 1 2 i En eet : Soit (λ2 λ1 G0 )e2 = (λ2 λ1 G0 ). (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 ) = 1 alors : 1 2 0 2 1 0 (λ λ F )(λ λ G ) e2 = e2 = (λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 )e2 = (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 ) = 1. On pose Donc e2 = 1 contradicition, ce qui donne 1 2 i On a 3 cas sur (λ λ F )e1 : (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e1 . (λ1 λ2 F )e1 = (λ1 λ2 F 0 ) avec F 6= F 0 1 2 1 (λ λ F )e1 e1 = (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 1 )(e21 ) = (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ1 λ2 F 2 ). 1. Si Donc (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) alors : contradiction. 114 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) 1 2 i bilités sur e2 (λ λ F ) : 2. Si (a) Si F ∈ {F 1 , F 2 }, avec e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 (F i )0 ) e22 (λ1 λ2 F 1 ) = = = = = Donc avec F i 6= (F i )0 (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) contradiction. e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F 2 ) avec F = F 1 e2 (λ1 λ2 F 1 )e1 = e2 (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) = e2 (λ1 λ2 F 1 ) e1 = (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 ). (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) 1 2 i alors : e2 (λ1 λ2 F 1 ) (λ1 λ2 F 2 ) e2 e2 (λ1 λ2 F 1 ) e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ). (b) Si Donc danc ce cas on a 4 possi- 1 2 ou F2 alors : contradiction. i (c) Si e2 (λ λ F ) = (λ λ F ) (d) Si e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F ). Donc dans ce cas on peut dire : Si (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) ⇒ e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) ou 1 2 e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ). 3. Si Si (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) i on a le même résultat, donc on peut dire : (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) ⇒ e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) ou 1 2 i e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ). Donc on a le résultat suivant : (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) ou (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) ⇒ e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) ou 115 1 2 i e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ). Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 Sur la formule (λ2 λ1 Gi )e2 (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) ou on a la même idée donc : (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G) ⇒ e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) ou e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G). (9.2)+(9.2) donne on a 16 cas à étudier : 1. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi ). 1 2 On prend par exemple F = F et G = G . 2 1 i 2 1 i 2 1 i 1 2 j Comme e1 (λ λ G ) = (λ λ G ) alors (λ λ G )(λ λ F ) voir la remarque (9.2.2). 1 2 i 1 2 i Encore e2 (λ λ F ) = (λ λ F ) donne = e1 ∀(i, j) (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 ∀(i, j) voir la remarque (9.2.2). D'autre part, on a : (λ1 λ2 F 2 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = = = = = Alors (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 )e1 (λ1 λ2 F 1 ) 1 2 2 2 1 1 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ). contradiction, alors ce cas ne marche pas. 2. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi ). On prend par exemple F 1 2 i L'équation e2 (λ λ F ) = = F 1 et G = G2 . (λ1 λ2 F i ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 . Voir la remarque(9.2.2). 116 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 2 1 j 1 2 i D'autre part, (λ λ G )(λ λ F ) = e1 ∀(i, j) sinon, alors il existe 2 1 0 1 2 0 tel que (λ λ G )(λ λ F ) = 1 on a : G0 , F 0 2 1 0 1 2 0 2 1 1 (λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) = (λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 ). (λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 ) e1 ∀(i, j). Donc contradiction, donc (λ2 λ1 Gj )(λ1 λ2 F i ) = Par ailleurs, on a : 1 2 1 2 1 1 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = = = = = Ce qui donne e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ1 λ2 F 1 ). (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) contradiction, donc ce cas ne marche pas. 3. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi ). Ce cas ne marche pas car il ressemble eu cas 3). 4. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 G). Par exemple F = F1 et G = G2 . On a : 2 1 2 (λ λ G )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 . 2 1 i 1 2 1 Soit i ∈ {1, 2} tel que (λ λ G )(λ λ F )=1 alors ; 2 1 i 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1 = (λ2 λ1 Gi ) (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 ) = 1. 117 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 Donc tout e1 = 1 contradiction, ce qui donne (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 pour i. 2 1 (λ λ G2 )(λ1 λ2 F 2 )=1 alors, e1 (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 2 ) = e1 = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1 = e1 (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1 . Si Donc e1 = 1 contradiction, alors (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 . La même chose pour démontrer : 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 (λ λ F )(λ λ G ) = (λ λ F )(λ λ G2 ) = (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G2 ) = e2 Il reste à étudier les possibilitées des formules suivantes : (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ). On a 4 cas : (a) Si (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = 1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1, et alors A de- vient non-réduite, alors ce cas ne marche pas. (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = 1 et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 alors ; 1 2 2 2 1 1 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = (λ1 λ2 F 2 ) = (λ1 λ2 F 2 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = (λ1 λ2 F 2 )e2 = (λ1 λ2 F 1 ). (b) Si Donc (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) contradiction, alors ce cas ne marche pas. (c) Si (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = e1 et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1 la même que précédement, ce cas ne marche encore pas. (d) Si λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = e1 et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 bien une catégorie. Alors dans ce cas on a 4 catégories. 5. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 Gi ). 118 alors A est Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 D'après la remarque (9.2.2) : e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) donne e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j) (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j) D'autre part ; (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 ) = = = = = Donc (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ1 λ2 F 1 ). contradiction, ce qui donne que ce cas ne marche pas. 6. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) On prend = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 G). F = F1 et G = G2 . D'après la remarque (9.2.2) : e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) donne 2 1 2 1 2 1 On pose (λ λ G )(λ λ F ) = e1 (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 1 ) = = = = (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j) 1 alors ; e1 e1 (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 1 ) 1. 2 1 2 1 2 1 contradiction, ce qui donne (λ λ G )(λ λ F ) 2 1 1 1 2 1 D'autre part, on a (λ λ G )(λ λ F ) = e1 , en eet : Donc e1 = 1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) e1 = e1 = (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ). D'où l'égalité. 119 = e1 . Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )=1, alors : 1 2 1 2 1 1 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = = = = Si e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ). 1 2 1 1 2 2 Ce qui donne (λ λ F ) = (λ λ F ) contradiction, 2 1 1 1 2 2 alors (λ λ G )(λ λ F ) = e1 . Par ailleurs ; 1 2 1 2 1 1 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = = = = = Donc (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ1 λ2 F 1 ). contradiction, ce qui donne ce cas ne marche pas. 7. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) On prend = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 Gi ). F = F1 et G = G2 . D'après la remarque (9.2.2) : (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j) (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j). D'autre part ; 2 1 1 1 2 1 2 1 2 (λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) = = = = = Donc (λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 ) e1 (λ2 λ1 G2 ) (λ2 λ1 G2 ) (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G2 ) (λ2 λ1 G1 )e2 (λ2 λ1 G1 ). contradiction, alors ce cas ne permet pas de construire une catégorie. 120 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 8. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) On prend = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 G). F = F1 et G = G2 . D'après la remarque (9.2.2) : (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) 2 1 1 1 2 1 Si (λ λ G )(λ λ F ) = 1 alors, (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) e1 = = = = Donc e1 = 1 = e2 , ∀(i, j) e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) 1. contradiction, donc (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 . D'autre part, on a ; (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 ) = = = = = Ce qui donne e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G2 ) (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G1 )e2 (λ2 λ1 G1 ). (λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 ) contradiction, alors ce cas ne marche pas. 9. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) On prend = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 Gi ). F = F1 et G = G2 D'après la remarque (9.2.2) : (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j) 121 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j). D'autre part ; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = = = = = Donc (λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) e2 (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) (λ1 λ2 F 1 )e1 (λ1 λ2 F 1 ). contradiction, alors ce cas ne permet pas de construire une catégorie. 10. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi ). Ce cas est ressemble au cas 5), donc il ne marche pas. 11. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 G). Ce cas est ressemble au cas 7), donc il ne marche pas. 12. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi ). Ce cas est ressemble le cas 6), donc il ne marche pas. 13. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 G). Ce cas est ressemble au cas 8), donc il ne marche pas. 122 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2 14. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 G). Ce cas est ressemble au cas 5), donc il ne marche pas. 15. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 Gi ). Ce cas est ressemble le cas 5), donc il ne marche pas. 16. Si on a : (λ1 λ2 F i )e1 e2 (λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )e2 e1 (λ2 λ1 Gi ) = = = = (λ1 λ2 F i ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi ) (λ2 λ1 G). Ce cas est ressemble au cas 6), donc il ne marche pas. Finalement on a 4 catégories dans le cas 4) sont dénis par : A(λ2 , λ2 ) A(λ1 , λ1 ) A(λ1 , λ2 ) A(λ2 , λ1 ) = = = = {1, (λ2 λ2 E) = e2 } {1, (λ1 λ1 E) = e1 } {(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )} {(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )}. La loi de composition est dènie pour toutes les catégories par : (λ1 λ2 F i )(λ1 λ1 E) (λ2 λ2 E)(λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )(λ2 λ2 E) (λ1 λ1 E)(λ2 λ1 Gi ) (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = = = = = = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 G) (λ1 λ1 E) (λ2 λ2 E). 123 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Catégorie 1 : 1 1 F=F ,G=G 1 2 2 2 1 (λ λ F )(λ λ G1 ) = e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 Catégorie 2 : 2 1 F=F , G=G 1 2 2 2 1 (λ λ F )(λ λ G1 ) = e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 Catégorie 3 : 1 2 F=F , G=G 1 2 2 2 1 (λ λ F )(λ λ G1 ) = e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 Catégorie 4 : 2 2 F=F , G=G 1 2 2 2 1 (λ λ F )(λ λ G1 ) = e1 (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 . On remarque que toutes ces catégories sont isomorphes entre elles, alors on répresente ces catégories par la catégorie suivante : (λ1 λ2 F i )(λ1 λ1 E) (λ2 λ2 E)(λ1 λ2 F i ) (λ2 λ1 Gi )(λ2 λ2 E) (λ1 λ1 E)(λ2 λ1 Gi ) (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = = = = = = F = F1 et Avec ou F2 (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 G) (λ1 λ1 E) (λ2 λ2 E). G = G1 ou G2 , donc Card(M22 , r) = 1. 9.3 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Soit M une matrice 2 3 dénie par : 2 2 2 M32 = 2 2 2 . 2 2 2 d'ordre 124 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Théorème 9.3.1 Soit A Card(M32 , r) = 5. une catégorie associée à M, dont les objets sont {λ1 , λ2 , λ3 } et les morphismes sont : 1 1 1 1 A(λ , λ ) = {1, (λ λ E) = e1 } A(λ2 , λ2 ) = {1, (λ2 λ2 E) = e2 } A(λ3 , λ3 ) = {1, (λ3 λ3 E) = e3 } A(λ1 , λ2 ) = {(λ1 λ2 F 1 ) , (λ1 λ2 F 2 ) } A(λ1 , λ3 ) = {(λ1 λ3 L1 ) , (λ1 λ3 L2 ) } A(λ2 , λ1 ) = {(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 ) } A(λ2 , λ3 ) = {(λ2 λ3 K 1 ), (λ2 λ3 K 2 ) } A(λ3 , λ1 ) = {(λ3 λ1 M 1 ), (λ3 λ1 M 2 )} A(λ3 , λ2 ) = {(λ3 λ2 H 1 ), (λ3 λ2 H 2 ) } Pour la loi de composition il y a 27 formules. On organise les formules en deux types : i j (λ , λ ) (λi , λj , λk ) avec i 6= j 6= k 6= i (λ1 , λ2 ) (λ1 , λ3 ) (λ2 , λ3 ) (λ1 , λ2 , λ3 ) e21 e23 e22 (λ3 λ1 M i )(λ2 λ3 K j ) 2 1 i 3 1 i 3 2 i (λ λ G )e2 (λ λ M )e3 (λ λ H )e3 (λ2 λ3 K i ) (λ1 λ2 F j ) (λ1 λ2 F i )e1 (λ1 λ3 Li )e1 (λ2 λ3 K i )e2 (λ1 λ2 F i ) (λ3 λ1 M j ) e2 (λ1 λ2 F i ) e3 (λ1 λ3 Li ) e3 (λ2 λ3 K i ) (λ3 λ2 H i ) (λ1 λ3 Lj ) e1 (λ2 λ1 Gi ) e1 (λ3 λ1 M j ) e2 (λ3 λ2 H i ) (λ2 λ1 Gi ) (λ3 λ2 H j ) 2 1 i 1 2 j 1 3 i 3 1 j 3 2 i 2 3 j (λ λ G )(λ λ F ) (λ λ L )(λ λ M ) (λ λ H )(λ λ K ) (λ1 λ3 Li ) (λ2 λ1 Gj ) (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) (λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) (λ2 λ3 K i )(λ3 λ2 H j ) (λ1 λ3 Li ) (λ2 λ1 Gj ) 2 On pose : il existe i ∈ {1, 2, 3} tel que ei = 1, alors A est une catégorie réduite voir le lemme (9.1.10), donc on va classier les catégories dans les 2 cas où ei = ei , ∀i ∈ {1, 2, 3}. Dans la preuve du théorème (9.2.1)on a les résultats suivants : F ∈ {F1 , F2 }, G ∈ {G1 , G2 }, M ∈ {M1 , M2 }, L ∈ {L1 , L2 }, H ∈ {H1 , H2 } et K ∈ {K1 , K2 } tel que : Il existe 1. Si on a : e21 = e1 et e22 = e2 alors e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G) e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F ) 1 2 i (λ λ F )e1 = (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G) (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 1 2 i 2 1 j (λ λ F )(λ λ G ) = e2 125 ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2}. Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 2. Si on a : e21 = e1 et e23 = e3 alors e1 (λ3 λ1 M i ) = (λ3 λ1 M ) e3 (λ1 λ3 Li ) = (λ1 λ3 L) 1 3 i (λ λ L ) e1 = (λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M i )e3 = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) = e1 1 3 i 3 1 j (λ λ L )(λ λ M ) = e3 ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2}. alors e2 (λ3 λ2 H i ) = (λ3 λ2 H) e3 (λ2 λ3 K i ) = (λ2 λ3 K) 2 3 i (λ λ K )e2 = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H i )e3 = (λ3 λ2 H) (λ3 λ2 H i )(λ2 λ3 K j ) = e2 2 3 i 3 2 j (λ λ K )(λ λ H ) = e3 ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2}. 3. Si on a : e22 = e2 et e23 = e3 Notation : (F, G, L, K) ∈ {F1 , F2 } × {G1 , G2 } × {L1 , L2 } × {K1 , K2 }. F0 0 On veut dire G 0 On veut dire L 0 On veut dire K On veut dire c'est l'autre morphisme c.à.d (si c'est l'autre morphisme c.à.d (si c'est l'autre morphisme c.à.d (si c'est l'autre morphisme c.à.d (si F = Fi ⇒ F 0 = Fj avec i 6= j ) G = Gi ⇒ G0 = Gj avec i 6= j ) L = Li ⇒ L0 = Lj avec i 6= j ) K = Ki ⇒ K 0 = Kj avec i 6= j ). Donc il reste à étudier les formules qui dépendent des formes i 6= j 6= k 6= i, (λi , λj , λk ) avec voir la diagramme (9.3). Remarque 9.3.2 : ( λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F ) ( λ3 λ2 H) ( λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ3 K) ( λ1 λ3 L ) (λ2 λ1 G) ( λ2 λ1 G) (λ3 λ2 H) ( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M ) = = = = = = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ1 K)(λ1 λ2 F 0 ) = ( λ1 λ3 L ) (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L) = (λ3 λ2 H)(λ1 λ3 L0 ) = ( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K) = (λ3 λ1 M )(λ2 λ3 K 0 ) = ( λ2 λ1 G ) (λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G) = (λ1 λ3 L) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K) (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H) = (λ2 λ1 G ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M ) = (λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H). Preuve : on a ; 2 3 0 (λ λ K )e2 ) (λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K 0 ) e2 (λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ). 126 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ). Donc D'autre part, 2 3 (λ λ K)e2 (λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K) e2 (λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ). Par ailleurs, on a ; e3 (λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F ) = = = = Alors, Donc (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) e3 (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) e3 (λ1 λ3 Li ) (λ1 λ3 L). (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 ). (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ1 λ3 L). Pour démontrer les autres équations on fait la même idée. Donc il reste à chercher les égalites des formulaires suivants : 2 3 0 1 2 0 3 2 0 1 3 0 3 1 0 2 3 0 (λ λ K )(λ λ F ), (λ λ H )(λ λ L ), (λ λ M )(λ λ K ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) Alors on va étudier la discussion sur les formules suivantes : (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ). Remarque 9.3.3 : 1. On a : si (λ λ L )(λ λ G ) = (λ λ K ) 1 3 0 2 1 0 2 3 0 alors (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L). 2. On a : si (λ λ F )(λ λ M ) = (λ λ H ) 1 2 0 3 1 0 3 2 0 (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ). (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H). (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ1 K). alors 3. On a : si (λ λ G )(λ λ H ) = (λ λ M ) 2 1 0 3 2 0 3 1 0 alors 4. On a : si (λ λ M )(λ λ K ) = (λ λ G ) 3 1 0 2 1 0 2 1 0 127 alors Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 5. On a : si (λ λ K )(λ λ F ) = (λ λ L ) 2 3 0 1 2 0 1 3 0 (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K). (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H). alors 6. On a : si (λ λ H )(λ λ L ) = (λ λ F ) 3 2 0 1 3 0 0 1 2 alors En eet : (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ) alors ; 3 1 0 1 3 0 2 1 0 (λ λ M )(λ λ L ) (λ λ G ) = e1 (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ1 G) = (λ3 λ1 M 0 ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ). On pose Donc (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G) D'autre part ; 1 3 0 2 1 0 1 2 0 (λ λ L )(λ λ G ) (λ λ F ) = = = = = (λ2 λ1 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G) (λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )(λ1 λ2 F 0 ) (λ1 λ3 L0 )e1 (λ1 λ3 L). (λ2 λ1 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L). 1 2 0 3 1 0 3 2 0 pose (λ λ F )(λ λ M ) = (λ λ H ) Alors On 2 1 0 1 2 0 (λ λ G )(λ λ F )](λ3 λ1 M 0 ) = = = = Donc alors ; e1 (λ3 λ1 M 0 ) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ). (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) D'autre part, 1 2 0 3 1 0 1 3 0 (λ λ F )(λ λ M ) (λ λ L ) = = = = (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ1 λ3 L0 ) (λ1 λ2 F 0 )e1 (λ1 λ2 F ). 128 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ). 3 1 0 2 3 0 2 1 0 On pose (λ λ M )(λ λ K ) = (λ λ G ) alors : 3 1 0 2 3 0 3 2 0 (λ λ M )(λ λ K ) (λ λ H ) = (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 )e3 = (λ3 λ1 M ). Alors Donc (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ). Par ailleurs, 1 3 0 3 1 0 2 3 0 (λ λ L )(λ λ M ) (λ λ K ) = = = = e3 (λ2 λ3 K 0 ) (λ2 λ3 K) (λ1 λ3 L0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ). (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K). 2 1 0 3 2 0 3 1 0 On pose (λ λ G )(λ λ H ) = (λ λ M ) alors : 2 1 0 3 2 0 2 3 0 (λ λ G )(λ λ H ) (λ λ K ) = (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ3 K) = (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G0 )e2 = (λ2 λ1 G). Alors Donc (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G). D'autre part ; 1 2 0 2 1 0 3 2 0 (λ λ F )(λ λ G ) (λ λ H ) = = = = e2 (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ2 H) (λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ). (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ). 2 3 0 1 2 0 1 3 0 On pose (λ λ K )(λ λ F ) = (λ λ L ) alors : e2 (λ3 λ2 H 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = e2 (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ2 H) = (λ3 λ2 H 0 ) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ). Alors 129 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Donc (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ3 λ2 H). Par ailleurs ; (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 ) = = = = = (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H) (λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 ) (λ2 λ3 K 0 )e2 (λ2 λ3 K). (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K). 3 2 0 1 3 0 1 2 0 On pose (λ λ H )(λ λ L ) = (λ λ F ) alors : 2 3 0 3 2 0 1 3 0 (λ λ K )(λ λ H ) (λ λ L ) = e3 (λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ3 L) = (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ). Alors Donc (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L). D'autre part ; 3 2 0 1 3 0 3 1 0 (λ λ H )(λ λ L ) (λ λ M ) = = = = Ce qui donne, (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )(λ3 λ1 M 0 ) (λ3 λ2 H 0 )e3 (λ3 λ2 H). (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ). D'où la démonstration de la remarque. On a 4 cas : Cas (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) 1 (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) 2 (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) 2 3 0 3 (λ λ K ) (λ3 λ2 H) 4 (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H 0 ). On remarque les Cas 4 et Cas 3 sont semblables entre eux. Donc on a 3 Cas à étudier : (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K) et (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H), alors 2 3 0 1 2 0 2 1 0 3 2 0 on a 4 choix sur les formules (λ λ K )(λ λ F ) et (λ λ G )(λ λ H ). 1. Si Ces cas sont présents dans le diagramme suivant : 130 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Cas (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) 1 (λ1 λ3 L) 2 (λ1 λ3 L0 ) 3 (λ1 λ3 L0 ) 4 (λ1 λ3 L) (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M 0 ) (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M 0 ) (a) Dans le cas 1 on a 4 catégories : 3 2 0 1 3 0 1 2 1 2 (λ λ H )(λ λ L ) ∈ {(λ λ F ), (λ λ F 0 )} (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) ∈ {(λ2 λ1 G), (λ2 λ1 G0 )} (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ). (b) Dans cas 2 on a 2 catégories : (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ), 3 1 0 2 3 0 2 1 (λ λ M )(λ λ K ) ∈ {(λ λ G), (λ2 λ1 G0 )} (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L0 ), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ). (c) Dans cas 3 on a 2 catégories : (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G), 3 2 0 1 3 0 1 2 (λ λ H )(λ λ L ) ∈ {(λ λ F ), (λ1 λ2 F 0 )} (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ). (d) Dans cas 4 on a une seule catégorie : (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ) On remarque que dans ce cas qu'il y a 4 catégories distinctes non isomorphe entre elles, sont dénies par : La catégorie 1 est : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G ) ( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ). 131 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 La catégorie 2 est : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) ( λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) ( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L ) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ). La catégorie 3 est : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ). = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ1 G) (λ1 λ2 F 0 ). La catégorie 4 est : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) 2. Si (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ) alors : (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) ( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = ( λ2 λ1 G) ( λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M ) (λ1 λ2 F ). Voir la remarque (9.3.2). Donc on a une seule catégorie dans ce cas, mais on remarque ce catégorie est isomorphe à la catégorie 3 qui est dénie ci-dessus. 132 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 3. Si (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) alors , 3 1 (λ λ M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G) et(λ λ K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L) 2 1 Voir la remarque (9.3.2). Donc on a 4 cas : (a) Si on a : 2 1 0 (λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ), alors on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie 2 qui est dénie ci-dessus voir (1d). Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas. (b) Si on a : 2 1 0 (λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F 0 ), alors on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie 3 qui est dénie ci-dessus voir (1d). Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas. (c) Si on a : 2 1 0 (λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ), alors on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie 3 qui est dénie ci-dessus voir (1d). Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas. (d) Si on a : 2 1 0 (λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F 0 ), alors on aura une nouvelle catégorie qui est dénie par : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) 4. Si = = = = = = (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ). (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ), ce cas est ressemble le cas 3, donc il n'y a pas de nouvelle catégorie. Donc on a 5 catégories distinctes et non isomorphes entre elle, et ces catégories sont dénies par : 133 Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Les équations communes entre les quatre catégories sont : on a : ( λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F ) ( λ3 λ2 H) ( λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ3 K) ( λ1 λ3 L ) (λ2 λ1 G) ( λ2 λ1 G) (λ3 λ2 H) ( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M ) e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G) e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F ) (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G) e3 (λ1 λ3 Li ) = (λ1 λ3 L) (λ1 λ3 Li )e1 = (λ1 λ3 L) e2 (λ3 λ2 H i ) = (λ3 λ2 H) e3 (λ2 λ3 K i ) = (λ2 λ3 K) (λ2 λ3 K i )e2 = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H i )e3 = (λ3 λ2 H) (λ3 λ1 M i )e3 = (λ3 λ1 M ) e1 (λ3 λ1 M i ) = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ2 H i )(λ2 λ3 K j ) = e2 (λ2 λ3 K i )(λ3 λ2 H j ) = e3 (λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) = e1 (λ1 λ3 Li )(λ3 λ1 M j ) = e3 (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 = = = = = = ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2} ∀i, j ∈ {1, 2}. (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ1 K)(λ1 λ2 F 0 ) = ( λ1 λ3 L ) (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L) = (λ3 λ2 H)(λ1 λ3 L0 ) = ( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K) = (λ3 λ1 M )(λ2 λ3 K 0 ) = ( λ2 λ1 G ) (λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G) = (λ1 λ3 L) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K ) (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H) = (λ2 λ1 G ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M ) = (λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H). Les équations qui caractérisent la catégorie catégories sont : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ) (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G ) ( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ). 134 1 = A1 par rapport aux autres Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3 Les équations qui caractérisent la catégorie 2 = A2 par rapport aux autres 3 = A3 par rapport aux autres 4 = A4 par rapport aux autres 5 = A5 par rapport aux autres catégories sont : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) ( λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) ( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L ) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ). Les équations qui caractérisent la catégorie catégories : sont : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ). Les équations qui caractérisent la catégorie catégories : sont : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) (λ3 λ2 H) ( λ1 λ3 L) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ). Les équations qui caractérisent la catégorie catégories sont : ( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H) (λ1 λ3 L ) (λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ). 135 Les bornes de Card(M2n ) Donc on a 5 possibilitées sur la catégorie A1 , A2 , A3 ,A4 et A qui présentent dans les catégories A5 . Ces catégories ne sont pas isomorphes entre elles. En eet la fonction α qui sera dénie plus bas, est un invariant à permutations des objets près et leurs fonctions α sont diérentes. Dénition 9.3.4 : Soit A ∈ {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 }, on dit A marche avec le couple (ij) s'il existe k tel que (λk λj X 0 )(λi λk Y 0 ) = (λi λj Z 0 ), la même chose A marche avec (ij) + (kl) c.à.d A marche avec (ij) encore avec (lk). A1 marche avec aucun couple. A5 marche avec (31), (12) et (23). 9.4 Les bornes de Card(M2n) Soit Mn2 une matrice 2 d'ordre Mn2 = n avec n≥2 2 2 ... 2 . . . : . . . . . . . .. 2 2 ... 2 Dénition 9.4.1 : Soient M une matrice 2 d 0 ordre n et soit A une catégorie associée à M dont les objets sont {λ1 , ..., λn }. La composition des deux morphismes (λj λk Y b )(λi λj X a ) = (λi λk Z c ) sera dénie par une formule (c.à.d c en fonction de a et b) et l'ensemble des ces formules peut être considéré en les classiant par couple [λi , λj , λk ]. Si (i 6= j 6= k ) on dit le couple [λi , λj , λk ] est un couple distinct. Si (i = j = k) on dit le couple [λi , λj , λk ] = [λi ] est un couple identité. Si (i = j 6= k ) on dit le couple [λi , λj , λk ] = [λi , λk ] est un couple semidistinct. Exemple 9.4.2 : on a deux couples identités et un seul couple sémi-distinct : [λ , λ ] = n {e21 } et [λ2 , λ2 ] = {e22 }, o [λ1 , λ2 ] = (λ1 λ2 F )e1 , e2 (λ1 λ2 F ), e1 (λ2 λ1 G), (λ2 λ1 G)e2 , (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ), (λ1 λ2 F )(λ2 λ1 G) . Dans M22 , 1 1 Lemme 9.4.3 : Soit A une catégorie réduite associée à Mn2 dont les objets sont {λ , ..., λ } avec n≥ 3 alors les formules associées à des couples identités et semi-distincts sont données par : 1 n 136 Les bornes de Card(M2n ) 1. e2i = ei , ∀i ∈ {1, ..., n} 2. (λi λj X a )ei = (λi λj X) ej (λi λj Y b ) = (λi λj Y ) (λj λi W d )(λi λj Z c ) = ei ∀ a, b, c et d ∈ {1, 2} et i 6= j ∈ {1, ..., n} 3. (λj λk Y )(λi λj X) = (λj λk Y 0 )(λi λj X) = (λj λk Y )(λi λj X 0 ) = (λi λk Z), avec i 6= j 6= k . Preuve : ∈ {1, ..., n} tel que e2i = 1 alors A non-réduite voir le 2 lemme (9.1.10), donc ei = ei . Soit i 6= j ∈ {1, ..., n} on prend la sous-matrice régulière N{ i, j} ma0 i j trice 2 d ordre 2 donts les objets sont {λ , λ } et les morphismes sont n o ei , ej , (λi λj X a ), (λi λj Y b ) alors on a les égalites de partie 2) voir (9.2.1) soit i Le même pour la partie 3) voir (9.3.2). Remarque 9.4.4 : Après le lemme précédent il reste à étudier les formules des couples distingués, et surtout les formules de la forme (λj λk Y 0 )(λi λj X 0 ) qui s'appelle chacune formule distinguée. Voir la notation de X 0 et Y 0 dans la notation (9.3). Donc pour dénir une catégorie associée à Mn2 il sut à dénir les formules distinguées. Remarque 9.4.5 : Pour faciliter la procédure on va utiliser la notation suivante : si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z) on note cette égalite par 0 si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z 0 ) on note cette égalite par 1 Notation : Soit (λj λk Xa )(λi λj Yb ) = (i, j, k) une formule dans [λi , λj , λk ], on dénit la foncution α: α par : n o (i, j, k) ∈ [λi , λj , λk ] / (i, j, k) / {0, 1} α((i, j, k)) = 0 ou 1 α(i, j, k) = 0 si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z) b c 0 a b 0 a c 0 et α(i, j, k) = 1 si (λ λ X )(λ λ Y ) = (λ λ Z ). On trouve α(i, j, k) = 0 pour un triplet identité ou avec Exemple 9.4.6 Soit M : une matrice 2 d'ordre 3, alors : 137 semi-distingué. Les bornes de Card(M2n ) 1. La catégorie 1 devient denie par : ( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) 2. La catégorie 2 3 4 = = = = = = (λ2 λ3 K) = 0 (λ3 λ2 H) = 0 (λ1 λ3 L ) = 0 (λ3 λ1 M ) = 0 (λ2 λ1 G ) = 0 (λ1 λ2 F 0 ) = 1 α((2, 1, 3)) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0 c.à.d α((3, 2, 1)) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1. c.à.d devient denie par : ( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) 4. La catégorie (λ2 λ3 K) = 0 c.à.d α((2, 1, 3)) = 0 (λ3 λ2 H) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0 (λ1 λ3 L ) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0 (λ3 λ1 M ) = 0 c.à.d α((3, 2, 1)) = 0 (λ2 λ1 G ) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0 (λ1 λ2 F ) = 0 c.à.d α((1, 3, 2)) = 0. devient denie par : ( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) 3. La catégorie = = = = = = = = = = = = (λ2 λ3 K) = 0 (λ3 λ2 H) = 0 (λ1 λ3 L ) = 0 (λ3 λ1 M ) = 0 (λ2 λ1 G0 ) = 1 (λ1 λ2 F 0 ) = 1 α((2, 1, 3)) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0 c.à.d α((3, 2, 1)) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 1 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1. c.à.d devient denie par : ( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K) = 0 c.à.d α((2, 1, 3)) = 0 (λ3 λ2 H) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0 (λ1 λ3 L ) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0 (λ3 λ1 M 0 ) = 1 c.à.d α((3, 2, 1)) = 1 (λ2 λ1 G ) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0 (λ1 λ2 F 0 ) = 1 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1. 138 Les bornes de Card(M2n ) 5. la catégorie 5 devient denie par : ( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) ( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) ( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) ( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = = = = = = (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H ) (λ1 λ3 L ) (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ1 G ) (λ1 λ2 F 0 ) = 1 c.à.d α((2, 1, 3)) = 1 = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0 = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0 = 1 c.à.d α((3, 2, 1)) = 1 = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0 = 1 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1. Théorème 9.4.7 : Si les conditions sur α sont vériées elle correspond a une catégorie unique et toutes les catégories réduites proviennent de cela. Donc la classication des catégories réduites est équivalente à la classication des fonctions α qui satisfont aux conditions suivantes : 1. soit [i, j, k] une couple distingue alors on a l'expression suivante : α((i, j, k)) = 1 alors α((i, k, j)) = 0 et α((j, i, k)) = 0. 2. Soient i, j, k, l des indices distingues alors on a l'équivalence suivante : α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1 m α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1. En eet : La démonstration de la condition 1 est analogue a celle de la remarque (9.3.3). Pour la condition ⇒) On 2 : α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1. j l 0 i j 0 i l pose α((i, j, l)) = 0 c.à.d (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ S) alors h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λi λl S) Si on a : = (λi λk T ) h i l k 0 j l 0 = (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 ) = (λj λk P 0 )(λi λj Z 0 ) = (λi λk T 0 ). Contadiction, donc α((i, j, l)) = 1 et α((i, j, l)) = 1. 139 Les bornes de Card(M2n ) ⇐) On α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1. l k 0 j l 0 j k pose α((j, l, k)) = 0 c.à.d (λ λ X )(λ λ Y ) = (λ λ P ) h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λi λl S 0 ) Si on a alors : = (λi λk T 0 ) h i = (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 ) = (λj λk P )(λi λj Z 0 ) = (λi λk T ). Contadiction, donc α((j, l, k)) = 1 α((i, j, k)) = 1. et D'autre part, si on a les conditions on va démontrer que l'associativité marche. Si α((i, j, l)) = 0 alors d'après la condition 1. α((i, j, l)) = 1 et α((j, l, k)) = 0 2. α((i, j, l)) = 0 et α((j, l, k)) = 1 3. α((i, j, l)) = 0 et α((j, l, k)) = 0 α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 1 h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) Si on a et 2 on a 3 cas : α((j, l, k)) = 0 alors, = (λl λk X 0 )(λi λl S) = (λi λk T ) d'autre part, h i (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 ) = (λj λk P )(λi λj Z 0 ) = (λi λk T ). Donc, h i h i j l 0 i j 0 l k 0 j l 0 (λ λ X ) (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 ) Si on a α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 0 et α((j, l, k)) = 1 la l k 0 même que précé- dante. Si on a α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 0 h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) et α((j, l, k)) = 0 alors, = (λl λk X 0 )(λi λl S) = (λi λk T ) d'autre part, h i (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 ) 140 = (λj λk P )(λi λj Z 0 ) = (λi λk T ). Les bornes de Card(M2n ) Donc, h i h i j l 0 i j 0 l k 0 j l 0 (λ λ X ) (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 ) Donc dans le cas où α((i, j, l)) = 0 alors l'associative est marche. La même preuve si α((i, l, k)) = 0. Donc il reste à vérier si α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1 alors on la condition 2 α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1 alors : h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λi λl S 0 ) 0 l k a d'après (λi λk T 0 ), = d'autre part, h i (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 ) = (λj λk P 0 )(λi λj Z 0 ) = (λi λk T 0 ). Donc, h i h i (λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 ) Donc, on a bien une catégorie réduite. Notation : On va dénit deux notations : 1. On veut dire σ la notation suivante : σ := lim Sup n→∞ log(Card(M2n , r)) . n3 2. On note le nombre des catégories réduites a isomorphisme ordonnée n n près qui sont associées à la matrice M2 par Card(M2 , r, o). n C3 Par exemple : on va voir dans le lemme (9.4.10) Card(M2 , r, o) ≤ 18 n ; cette borne étant atteinte dans les cas Lemme 9.4.8 n=2 et n = 3. : on a les inéglités suivantes : (Card(M2n , r, o)/n!) ≤ Card(M2n , r) ≤ Card(M2n , r, o). Preuve : Grâce à chacune des dénitions de (9.1) Card(M2n , r) et de Card(M2n , r, o), on arrive à l'inéquation (9.1). Théorème 9.4.9 : Le nombre de congurations de la fonction α : (i, j, k) 7→ 0 ou 1 sur ce triplet [λi , λj , λk ] , est 18. Preuve : On peut prendre ce triplet par exemple le triplet dans le cas de matrice On a trouvé 5 2 d'ordre [λ1 , λ2 , λ3 ] 3. catégories non isomorphes entre elles associées é théorème(9.3.1). 141 M23 voir le Les bornes de Card(M2n ) Maintenant on a besoin de savoir combien il y a d'isomorphisme ordonne pres, c'est a dire on ne confond pas ceux qui sont semblables. On peut les classier par leur classe d'isomorphisme A1 A2 1, 2, 3, A3 : Pour que cela marche on doit choisir un couple il y a 6 A4 distinct parmi (ij) mais (ij) = (ji), (ji)} , donc il y a 3 choix. : Pour que cela marche on doit choisir un couple {(ij) et : Pour que cela marche on doit choisir une suite de 3! = 6 distincts, il y a A5 : 2 (ij) choix. vu que l'ensemble des réponses est a A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . : il n'y a qu'une ici. 3 éléments choix. c'est un cycle, qui peut aller dans un sens ou dans l'autre, donc il y choix : (12) + (23) + (31) ou (13) + (32) + (21). A = 1 + 6 + 3 + 6 + 2 = 18 Au total on a possibilités ; le nombre des catégories non-réduites a isomorphisme ordonne pres est de fonctions α 18, et c'est le nombre 3 indices. Card(M23 , r, o) = 18. possible sur Donc on peut dire aussi Lemme 9.4.10 : Card(M2n , r, o) ≤ 18Cn . 3 [λi , λj , λk ] on a le nombre des catégories nonréduites à isomorphisme ordonne pres est 18 voir le théorème (9.4.9), alors C3 n C3 totalemnet on a 18 n ce qui donne Card(M2 , r, o) ≤ 18 n . En eet : Sur chaque triplet Corollaire 9.4.11 : La borne supérieure de Card(M2n , r) est 18Cn . 3 Preuve : le lemme (9.4.10) et le lemme (9.4.8) donnent : 3 Card(M2n , r) ≤ 18Cn . Notation : objets. Soit On considère P3 (X) X = {x1 , . . . , xn } l'ensemble (ordonnée) de n l'ensemble des parties a trois elements de X, et O3 (X) l'ensemble des triplets distincts (avec un ordre qui peut etre dierent de 142 Les bornes de Card(M2n ) l'ordre de X ). On a donc Card(O3 (X)) = 3!Card(P3 (X)) et Card(P3 (X)) = Cn3 . Un triplet (xi , xj , xk ) ∈ O3 (X) sera noté aussi (i, j, k), on a i 6= j , j 6= k et i 6= k . Dénition 9.4.12 : Soit H ⊂ O3 (X) un sous-ensemble. On dit que H est si : pour tout (i, j, k) ∈ H , il n'existe pas de (i, u, j) ∈ H ni de (j, v, k) ∈ H . non-interferant Lemme 9.4.13 Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interferant, alors pour tout H 0 ⊂ H , on a H 0 aussi non-interférant. Preuve : Soit H 0 un sous ensemble de H , on va démontrer H 0 est non- interférant. 0 0 Soit (i, j, k) ∈ H ⊂ H comme H est non-interferant alors il n'existe (i, u, j) ∈ H 0 ni de (j, v, k) ∈ H 0 , donc H 0 est aussi non-interférant. pas de Lemme 9.4.14 : Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interférant, il existe une catégorie AH ∈ M2n telle que (i, j, k) = 1 si (i, j, k) ∈ H et (i, j, k) = 0 si (i, j, k) 6∈ H . Preuve : On construit la catégorie B avec les conditions suivantes : 1. Si (i, j, k) ∈ H alors α((i, j, k)) = 1, et si (i, j, k) 6∈ H alors α((i, j, k)) = 0. i, u, j, k alors : α((i, u, j)) = 1 ⇔ α((i, u, k)) = 1 2. Pour tout quadruplet α((i, j, k)) = 1 et et α((u, j, k)) = 1, c'est analogue a la remarque(9.3.3) Alors B est bien une catégorie. Lemme 9.4.15 : Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interférant, alors il y a une catégorie diérente (réduite) AH 0 ∈ M2n pour chaque sous-ensemble H 0 ⊂ H . En conséquence, on a Card(M2n , r, o) ≥ 2Card(H) . En eet : Soit H 0 ⊂ H alors H 0 est non-interférant alors d'après le lemme (9.4.14) alors il existe une catégorie BH 0 , bien sur n Card(H) ce qui donne Card(M2 , r, o) ≥ 2 . Théorème 9.4.16 AH 6= BH 0 car H0 ⊂ H et : On peut déterminer des bornes (voir ci-dessous) pour la cardinalité de l'ensemble Card(M2n , r, o). 143 Les bornes de Card(M2n ) Preuve : Construction d'un sous-ensemble non-interferant : supposons X = X1 ∪ X2 ∪ X3 est une reunion avec X1 ∩ X2 = ∅, X1 ∩ X3 = ∅, et X2 ∩ X3 = ∅(c.à.d X est la reunion disjointe de X1 , X2 , X3 ). Alors si on que et pose H = {(i, j, k)/xi ∈ X1 , xj ∈ X2 et xk ∈ X3 }. H ⊂ O3 (X) est non-interferant. En eet, les conditions impliquent déjá que i 6= j , j 6= k et i 6= k , aussi qu'il ne peut pas y avoir d'elements (i, u, j) ni de (j, v, k) dans H . Cet ensemble a Card(H) = Card(X1 )Card(X2 )Card(X3 ). On peut prendre par exemple Card(X1 ) = [n/3], Card(X2 ) = [n/3] et Card(X3 ) = n − 2[n/3] ≥ [n/3]. Donc Card(H) ≥ [n/3]3 qui est de l'ordre 3 de n /27. On a la borne inférieure : Le sous-ensemble 3 Card(M2n , r, o) ≥ 2[n/3] . Donc log(Card(M2n , r, o)) ≥ n3 log(2)/27. La borne supérieure est 3 18Cn voir le lemme (9.4.10)c.à.d : 3 Card(M2n , r, o) ≤ 18Cn . Et Cn3 est de l'ordre de n3 /6, donc log(Card(M2n , r, o)) ≤ n3 log(18)/6. On a donc un encadrement de 3 un ordre de croissance de n . log(Card(M2n , r, o)) ou les deux termes ont Lemme 9.4.17 : On peut déterminer des bornes inférieures et supérieures (dont les valeurs ci-dessous) pour Card(M2n , r). En eet : Le lemme (9.4.8) et le théorème (9.4.16)donnet la borne supérieur de Card(M2n , r) qui est : 3 2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r, o)/n! ≤ Card(M2n , r). D'autre part, on a d'après le corollaire (9.4.11) 3 Card(M2n , r) ≤ 18Cn . Donc on peut dire : 3 3 2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r) ≤ 18Cn . 144 Les bornes de Card(M2n ) Théorème 9.4.18 : On peut borner σ par : log(2) log(18) ≤σ≤ . 27 6 preuve : D'après la preuve de le théorème (9.4.16) on a le résultat suivant : log(Card(M2n , r, o)) ≤ n3 log(18)/6. Alors log(Card(M2n , r, o))/n3 ≤ log(18)/6. Le lemme (9.4.8) donne : log(Card(M2n , r))/n3 ≤ log(Card(M2n , r, o))/n3 ≤ log(18)/6. σ ≤ log(18)/6. [n/3]3 D'autre part, on a 2 /n! ≤ Card(M2n , r) Donc 3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2[n/3] /n! n3 /27 log(2) − log(n!) log(2)/27 − log(n!)/n3 log(2)/27 − lim log(n!)/n3 n→∞ voir le lemme (9.4.16) alors : ≤ ≤ ≤ ≤ Card(M2n , r) log(Card(M2n , r)) log(Card(M2n , r))/n3 σ log(2)/27 − 0 ≤ σ log(2)/27 ≤ σ. Donc, log(18) log(2) ≤σ≤ . 27 6 145 Bibliographie [1] S. Allouch. Classication des catégories nies. http ://math.unice.fr/ carlos/documents/allouchJun07.pdf, Mémoire de M2, 15 juin(2007). [2] S. Allouch. Sur l'existence d'une catégorie ayant une matrice strictement positive donnée. Preprint arXiv :0806.0060v1 (2008). [3] S. Allouch. On the existence of a category with a given matrix. Preprint arXiv :1007.2884 (2010). [4] C. Berger, T. Leinster. The Euler characteristic of a category as the sum of a divergent series. Homology, Homotopy Appl. 10 (2008), 41-51. [5] G. Brinkmann, B. McKay. 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Mots-clès : Catégories nies, Sémi-catégorie, Sous-matrice régulière, Matrice d'une catégorie, Catégories nies associées à une matrice M, Caractéristique d'Euler, Monoïde. Key word : Categories nite Semi-category, Sub-regular matrix, matrix of a class, Categories associated with a nite matrix, Euler characteristic, Monoid. 148