Colonnes de Taylor-Proudman et couche d’Ekman dans un fluide visqueux en rotation Réouven Assouly Arnault Raymond Cours de physique numérique (M1) 2016-2017 Sommaire 1 Introduction Colonnes de Taylor-Proudman Couche d’Ekman 2 Problème 2D Objectifs et approximations Géométrie et perturbation Calcul de la pression Observation de la couche d’Ekman Bilan du modèle 2D 3 Problème 3D Différences avec le modèle 2D Traitement du Laplacien Complexité des calculs Bidimensionalisation de l’écoulement Limites du modèle et alternatives 4 Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Introduction Figure – 2 phénomènes caracéristiques des fluides en rotation Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Colonnes de Taylor-Proudman I Dans le référentiel en rotation : ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t ∂u −1 + (u · ∇)u + Ω × (Ω × r) = ∇P + ν∇2 u − 2Ω × u − g ∂t ρ Après adimensionnement : ∂ ũ −1 Ek 2 2 + (ũ · ∇)ũ = ∇P 0 + ∇φ̃0 + ∇ ũ − Ω̃ × ũ ∂t ρ Ro Ro Hypothèses : Ek Ro 1 Fluide incompressible Introduction Problème 2D Problème 3D Colonnes de Taylor-Proudman II On obtient alors : 1 2 − ∇P 0 = Ω̃ × ũ − ∇φ̃0 ρ Ro ∇ · ũ = 0 On prend le rotationnel de l’équation. Théorème (Taylor-Proudman) Un fluide incompressible non visqueux vérfie ∂ ũ =0 ∂z dans la limite Ro 1. Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Couche d’Ekman I Hypothèses Ro ≈ Ek 1 Fluide incompressible Quite à redéfinir la pression, on peut inclure le terme d’énergie potentielle dans la pression. 1 ∂P 0 Ek ∂ 2 u˜x + ρ ∂x̃ Ro ∂z̃ 2 0 1 ∂P Ek ∂ 2 u˜y 2u˜x = − + ρ ∂ỹ Ro ∂z̃ 2 1 ∂P 0 0=− ρ ∂z̃ −2u˜y = − Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Couche d’Ekman II Conditions aux limites ∂ũx = τx et ∂z̃ ũx (z) −−−−→ 0 et z→−∞ ∂ũy = τy ∂z̃ ũy (z) −−−−→ 0 z→−∞ Solution √ 2 z/d e [τx cos(z/d − π/4) − τy sin(z/d − π/4)] 2d √ 2 z/d ũy = e [τx sin(z/d − π/4) + τy cos(z/d − π/4)] 2d ũx = Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Couche d’Ekman III Théorème (Taille de la couche d’Ekman) Pour un fluide visqueux en rotation très rapide soumis à une excitation en surface, il se forme une couche d’Ekman d’épaisseur r Ek d= Ro Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Objectifs et approximations Objectif : observer la couche d’Ekman et les colonnes de Taylor-Proudman avec les déviations suivantes par rapport aux cas idéaux : Domaine 2D : pas de dépendance en y Ek 6= 0 Le terme non-linéaire est négligé mais pas le terme de variation temporelle (approximation des petites vitesses) Équation : ∂ ũ −1 Ek 2 2 = ∇P 0 + ∇ ũ − Ω̃ × ũ ∂t ρ Ro Ro Introduction Problème 2D Problème 3D Géométrie et perturbation Vitesse 3C2D + conditions aux bords périodiques pour x et non-glissement pour z. Pas de dépendance de la vitesse en y. 2 types de pertubations : Forces volumiques Simples à implémenter Peuvent varier dans le temps Conditions aux bords Plus compliqué à implémenter Plus proche de la réalité Moins de problèmes liés à la périodicité en x. Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Calcul de la pression Équation de la pression couplée à celle de la vitesse Dans le cas d’un fluide incompressible, la pression est un multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte ∇ · u = 0. 2 solutions : Projection sur les champs à divergence nulle (projecteurs de Leray). Méthode plus adpatée aux méthodes spectrales Résolution en trois étapes : 1 2 3 Calcul d’un champ de vitesse u∗ en supposant P = 0. On a ∇ · u∗ 6= 0. Calcul de la pression grâce à u∗ . Étape de projection : on soustrait ∇P à u∗ pour obtenir un champ de vitesse à divergence nulle. Introduction Problème 2D Problème 3D Couche d’Ekman 2D Figure – Courbe : ũx (x̃ = 5, z). Paramètres : ũx (z̃ = 100) = 1, Ek = Ro = 0.001 Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Bilan du modèle 2D Avantages : Plus simple que le modèle 3D. Temps de calcul réduit Discrétisation plus fine en conséquence Plus simple à visualiser et à developper Inconvénients : Le phénomène attendu n’est pas observé (colonnes de Taylor-Proudman) Le modèle est trop éloigné de l’expérience en termes de géométrie et d’hypothèses pour être sûr qu’il soit suffisant pour observer des colonnes de Taylor-Proudman Il faut donc aller plus loin et se rapprocher de l’expérience en modélisant le problème en 3D. Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Différences avec le modèle 2D Différences fondamentales : Couplage des vitesses selon x, y et z dans le terme de force de Coriolis. Équation 2D, projetée sur z : ∂ũz −1 ∂P 0 Ek 2 2 ∂uy = + ∇ ũz − Ω̃ ∂t ρ ∂z Ro Ro ∂x En 3D : ∂ũy ∂ũz −1 ∂P 0 Ek 2 2 ∂ũx = + ∇ ũz − Ω̃( − ) ∂t ρ ∂z Ro Ro ∂x ∂y Possibilité de contournement de l’obstacle (mécanisme d’apparition des colonnes) Implémentation, décomposition et inversion du Laplacien Complexité des calculs et pas de discrétisation Introduction Problème 2D Problème 3D Traitement du Laplacien I Cas d’une dimension : On discrétise le Laplacien : ∆un = un+1 +un−1 −2un . h2 En posant u = −2 1 0 0 1 1 −2 1 0 ∆u = 2 h ... ... ... ... 1 ... 0 0 u1 u2 ... , on a ... un ... 1 ... 0 ·u ... ... 1 −2 On peut donc exprimer le Laplacien sous forme matricielle Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Traitement du Laplacien II Cas de plusieurs dimensions : u1,1,1,...,1 u2,1,1,...,1 ... ... un,1,1,...,1 On écrit u = ui1 ,i2 ,...,in sous la forme u = u1,2,1,...,1 u2,2,1,...,1 ... ... un,n,n,...,n Le Laplacien doit agir séparément sur les différentes coordonnées Conclusion Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Traitement du Laplacien III On utilise le produit de Kronecker [A ⊗ B]qn+i,pn+j = aq,p bi,j où 1 ≤ q ≤ m, 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n avec m la taille de A, n la taille de B, i.e. a1,1 B a1,2 B ... ... a1,n B a2,1 B a2,2 B ... ... a2,n B A⊗B = ... ... ... ... ... an,1 B an,2 B ... ... an,n B La matrice Laplacien totale est alors ∆ = ∆1 ⊗IN2 ⊗...⊗INn +IN1 ⊗∆2 ⊗...⊗INn +IN1 ⊗IN2 ⊗...⊗∆n Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Complexité des calculs I Dans le cas 2D, pour 100 points dans chaque direction : 10 000 points d’espace ⇒matrice Laplacien de taille 108 Dans le cas 3D : 1 000 000 points d’espace ⇒matrice Laplacien de taille 1012 Heureusement, les coefficients sont presque tous nuls, on utilise les matrices de type sparse de scipy Problème : les matrices sparse ne sont pas enregistrables ... ⇒diminution du nombre de points. On passe à un espace 50x × 50y × 30z Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Complexité des calculs II Utilisation d’un protocole ssh pour disposer de plus de puissance de calcul Inconvénients : résultats non visualisables directement obligation d’enregistrer les tableaux de vitesse dans un fichier et de les réimporter sur les machines locales Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Bidimensionalisation de l’écoulement I Observation à grand Ekman : Figure – La vitesse suivant x au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.01 et Ro = 0.001 Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Bidimensionalisation de l’écoulement II À faible Ekman : Figure – La vitesse suivant x au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.002 et Ro = 0.0002 Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Bidimensionalisation de l’écoulement III Malheureusement, la vitesse selon y ne semble pas bidimensionelle : Figure – La vitesse suivant y au-dessus de l’obstacle pour Ek = 0.002 et Ro = 0.0002 Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Limites du modèle et alternatives I Le modèle est discutable : système éloigné des conditions expérimentales réelles conditions fortes sur la vitesse à cause de la géométrie périodique On envisage un passage en géométrie particulière Avantages : proche des conditions expérimentales ⇒de grandes chances de pouvoir observer les colonnes exploite la symétrie de rotation du système (géométrie cylindrique) Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Limites du modèle et alternatives II Inconvénients : force le choix d’une position d’axe de rotation complexification des équations, apparition de dépendances en coordonnées choix de la discrétisation en géométrie cylindrique conditions fortes imposées sur la vitesse (non-glissement aux bords) Passage éventuel en spectral pour exploiter la périodicité Problème : asymétrie horizontale/verticale Introduction Problème 2D Problème 3D Conclusion Conclusion Problème théoriquement simple Implémentation difficile : complexité des calculs choix d’un modèle pertinent interaction entre différents phénomènes (couches d’Ekman 3D + colonnes) Débuts de résultats, asymétrie de bidimensionalisation Possibilité d’une amélioration/modification du modèle