Quels nombres sont somme de deux carrés ?

Quels nombres sont somme de deux carrés ?
Bruno Martin
Juin 2012
1
Début de la séance
Le problème est formulé de manière ouverte, mais voici quelques pistes, en vrac, pour
guider la séance. On note S l'ensemble des entiers naturels n pour lesquels il existe a ∈ N
et b ∈ N tels que n = a2 + b2 .
1. Le nombre 1500 est-il dans S ? 1501 ? Plus généralement, quelle méthode peut-on
employer pour déterminer si un nombre donné est dans S ?
2. Comment obtenir la liste de tous les éléments de S inférieurs à 100 ? à 1000 ?
3. Cette liste est-elle stable par addition ? par produit ? par multiplication par 2 ? par
3?
4. Montrer que S est stable par produit.
5. Quels sont les nombres qui permettent de retrouver tous les autres en eectuant des
produits ? Parmi eux, lesquels appartiennent à S ? Distinguer suivant la congruence
modulo 3. Puis modulo 4.
6. A partir de là, on peut voir que l'ensemble S contient :
les carrés parfaits ;
les nombres premiers de la forme 4k + 1 ;
les produits de ces nombres ;
les doubles des nombres obtenus.
7. A-t-on oublié des éléments ? Peut-on vérier que tous les éléments de S inférieurs
ou égaux à 100 sont bien de cette forme ?
8. Quels sont les éléments qui ne sont pas dans S ? On peut parvenir à conjecturer puis
démontrer que si n est de la forme 4k + 3, il n'est pas dans S (mais ce ne sont pas
les seuls).
1
À partir de là, on peut conjecturer le théorème des deux carrés : un entier naturel est
la somme de deux carrés si, et seulement si,
c'est un carré parfait,
ou c'est un nombre premier de la forme 4k + 1,
ou si c'est un produit de plusieurs carrés parfaits et de plusieurs nombre premiers
de la forme 4k + 1,
ou si c'est le double d'un nombre des formes précédentes.
2
Suite de la séance
On peut se poser la question suivante : si l'on s'autorise désormais non plus deux carrés,
mais trois carrés, peut-on maintenant obtenir tous les nombres entiers en eectuant leur
somme ? La réponse est non. En fait un nombre est somme de trois carrés si et seulement
si il n'est pas de la forme 4q (8k + 7) (Théorème de Gauss). Mais avec quatre carrés, on
peut retrouver tous les nombres entiers : c'est le théorème de Lagrange.
Maintenant, on peut se poser la question pour les cubes. Existe-t-il un nombre s, tel
que tout entier naturel est somme de s cubes ? La réponse est oui. Le plus petit nombre
possible est 9.
Plus généralement, on peut se poser cette question pour les puissances k -ièmes et
déterminer le plus petit entier g(k) tel que tout entier naturel est somme de g(k) puissances
k -ièmes. C'est ce que l'on appelle le problème de Waring. Hilbert a démontré l'existence
de g(k) pour tout k . On dispose maintenant de formules pour g(k).
3
Fin
On voit que ces problèmes sont à la fois de nature additive (on regarde la somme
de deux carrés) mais également de nature multiplicative (l'ensemble S est stable par
produit). Ce genre de problème est souvent extrêment dicile. En voici un très célèbre
et toujours non résolu à ce jour : la conjecture de Goldbach. Une conjecture plus faible,
appelée problème de Goldbach ternaire, semble être sur le point d'être résolue, mais la
preuve est extrêmement sophistiquée et ne peut être rapidement comprise que par très
peu de personnes.
2