I.U.T. de Brest Département GMP Connaissances de base Trigonométrie 1. Cercle trigonométrique 1 cos2 x + sin2 x = 1 M sin x tan x = x −1 π sin x pour x 6= + kπ (k ∈ Z) cos x 2 cos x 1 0 −1 Valeurs remarquables x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 cos x 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 − 12 sin x 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 tan x 0 √ 3 3 1 imp. √ − 3 −1 √ 3 1 3π 4 − √ 2 2 5π 6 − − √ 3 2 π −1 1 2 0 √ 3 3 0 √ axe des sinus 3 axe des tangentes π 2 √ 3 2 √ 2 2 3π 4 1 π 3 1 2π 3 π 4 √ 3 3 π 6 5π 6 1 2 axe des π − √ 3 2 − √ 2 2 0 − 12 1 2 √ 2 2 − 21 − 5π 6 − π6 √ 2 2 √ − 23 − − 3π 4 − 2π 3 √ 3 2 1 cosinus − √ 3 3 − π4 − π3 − π2 −1 √ − 3 2 2. La fonction cosinus Pour tout réel x, cos0 (x) = − sin x (dérivée) cos(x + 2π) = cos(x) cos(−x) = cos x (fonction périodique de période 2π) (fonction paire) Tracé de la fonction cosinus : 1 − 3π 2 − π2 y = cos x π 2 0 −1 3 π 3π 2 5π 2 3. La fonction sinus Pour tout réel x, sin0 (x) = cos x (dérivée) sin(x + 2π) = sin(x) sin(−x) = − sin x (fonction périodique de période 2π) (fonction impaire) Tracé de la fonction sinus : y = sin x 1 −2π −π π 2 0 −1 4 π 2π 4. La fonction tangente Pour tout réel x différent de tan(x) = sin(x) cos(x) π + kπ (avec k ∈ Z quelconque), 2 (définition) tan0 (x) = 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) (dérivée) tan(x + π) = tan(x) (fonction périodique de période π) tan(−x) = − tan(x) (fonction impaire) Tracé de la fonction tangente : y = tan x − 5π 2 −2π − 3π 2 −π − π2 3π 2 π 2 π 0 5 5π 2 2π 5. Formulaire Relations fondamentales 2 1 + tan2 x = 2 cos x + sin x = 1 1 cos2 x Fonctions de l’arc double cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x sin(2x) = 2 sin x cos x tan(2x) = 2 tan x 1 − tan2 x Formules d’addition cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan a + tan b tan(a + b) = 1 − tan a tan b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a − tan b tan(a − b) = 1 + tan a tan b Équations trigonométriques I cos x = cos α ssi ( x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ avec k ∈ Z). I sin x = sin α ssi ( x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ avec k ∈ Z). I tan x = tan α ssi ( x = α + kπ avec k ∈ Z). Formule de transformation de produit en somme 1 cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 Formule de transformation de somme en produit p+q p−q cos 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2 p+q p−q sin 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2 sin cos 2 2 cos p + cos q = 2 cos cos p − cos q = −2 sin 6 6. Compléments 1 cos(−x) = cos(x) −1 sin(−x) = − sin(x) M sin x x −x 0 tan(−x) = − tan(x) cos x 1 − sin x −1 1 cos(x + π) = − cos(x) −1 − cos x sin(x + π) = − sin(x) M sin x x+π tan(x + π) = tan(x) x cos x 1 0 − sin x −1 1 cos x π ) = − sin(x) 2 π sin(x + ) = cos(x) 2 cos(x + M sin x x −1 − sin x 0 cos x 1 −1 7