2 Cas d`un dipôle RC

C
Evolution des systèmes électriques
1
Notions d’électricité générale
Par convention, on utilise les lettres minuscules pour les grandeurs variables avec le temps et les lettres
majuscules pour les grandeurs indépendantes du temps.
L’orientation d’un circuit est indiquée par une flèche sur un fil de jonction,
surmontée de i. Si le courant passe dans le sens de la flèche, alors i est
positif. Si le courant passe en sens opposé, alors i est négatif.
1.1
i
Quantité d’électricité
Une particule est caractérisée par sa masse et sa charge électrique. La quantité d'électricité q mesure la
charge globale apportée par un ensemble de particules. Sa valeur est donc égale a un nombre entier de
fois la charge élémentaire :
q = n .e
(n un entier)
1.2
Caractéristiques tension intensité de dipôles électriques
C'est la courbe représentant les variations de la tension aux bornes du dipôle en fonction de l'intensité du
courant qui le traverse.
Les dipôle linéaires
Leur caractéristique tension intensité est linéaire (dipôle non linéaire dans le cas contraire)
u
u
u = R.i
(loi d’Ohm)
i
Exemple
le résistor
i
R
Les dipôles actifs
Leur caractéristique tension-intensité ne passe pas par l'origine (dipôle passif dans le cas contraire)
Exemples
u
u
i
E
i
le générateur réel
u
u
i
l'électrolyseur
E’
i
i
E
i
u=E
u
u
le générateur de courant
u = E’ + r.i
u
u
le générateur de tension
u = E – r.i
i
E
I0
i
i = I0
Remarques
Le générateur de tension est un générateur particulier dont la résistance interne est nulle. Quelle que soit
l’intensité du courant qu’il débite, la tension à ses bornes est constante.
Le générateur de courant est générateur particulier dont la résistance interne est infinie. Quelle que soit la
tension à ses bornes l’intensité du courant qu’il débite est constante.
1.3
Puissance mise en jeu dans un circuit électrique
Par définition la puissance électrique instantanée aux bornes d'un dipôle est :
p  u. i
1.4
Les dipôles générateurs ou récepteurs
Dans la convention récepteur la flèche tension et la flèche intensité ont des sens contraires.
Dans la convention générateur la flèche tension et la flèche intensité ont même sens.
i
Pour le montage ci-contre, l'expérience montre que u et i ont le même signe :
Le dipôle est un générateur si u .i > 0 dans la convention générateur
Le dipôle est un récepteur si u .i > 0 dans la convention récepteur
u
Remarques
Il est commode d’adopter la convention récepteur aux bornes d’un récepteur et la convention générateur
aux bornes d’un générateur. Certains dipôles assument les deux fonctions ; ils sont dit réversibles (une
bobine, un condensateur, ...). Si un dipôle réversible passe continûment d’un fonctionnement à l’autre,
une convention n’est pas meilleure que l’autre.
2
Cas d’un dipôle RC
2.1
Le condensateur
Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices séparées par un isolant. Les surfaces
conductrices sont les armatures ; l’isolant est le diélectrique.
u
i
q désigne la charge du condensateur
q
-q
Remarques
On adopte la convention récepteur aux bornes du condensateur.
+ q est la charge électrique de l’armature qui reçoit i (l’autre armature porte la charge – q).
2.2
Relation charge intensité pour un condensateur
L’intensité est un débit de charges électriques. Si pendant la durée dt, une armature reçoit une quantité
d'électricité dq, l'intensité i du courant est :
i
2.3
dq
dt
(1)
Relation charge tension pour un condensateur
On charge un condensateur à l’aide un générateur de courant et on relève la tension u à ses bornes.
u
u = a.t
A
+
D
I0
u
t
0
–
0
-
La tension « u » et la quantité d’électricité positive « q » reçue par l’armature D croissent
proportionnellement au temps :
I
a
u  .q
u = a.t
et
q = I0.t

(on pose 0  C )
I0
a
C est une constante caractéristique appelée capacité du condensateur. Elle dépend de la forme et des
dimensions du condensateur ainsi que la perméabilité électrique  du diélectrique.
On en déduit la relation charge tension pour un condensateur :
q  C.u
(2)
2.4
Dipôle RC
Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
Un générateur de tension soumet un circuit RC à un échelon de tension. En pratique, on bascule
l’interrupteur K d’un circuit alimenté par un générateur de tension continue :
E
–
-
+
YA
-YB
i
uR
K
uC
A l’aide d’un oscilloscope à mémoire (ou d’un ordinateur) dont la masse est flottante, on suit les
évolutions de la tension aux bornes du condensateur et de l’intensité du courant dans le dipôle :
cas n°1
cas n°2
tension aux bornes
du dipôle RC
E
E
0
0
tension aux bornes
du condensateur
temps
uC (t)
uC (t)
0
0
temps
0
temps
intensité du courant
dans le dipôle
i (t)
0
i (t)
On se propose d’effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur lorsque le
dipôle RC est soumis à un échelon de tension :
- loi d’additivité des tensions :
U = uR + uC
- loi d’Ohm :
U = R .i + uC
dq
U = R.
+ uC
dt
du
U = R.C. C + uC
dt
- relation charge intensité (1) :
- relation charge tension (2) :
(U = 0 ou E)
(3)
(4)
On obtient une équation différentielle du premier ordre. Sa résolution permettra d’anticiper l’évolution de
uC en fonction du temps. On cherchera une solution de la forme :
t 

u C  A. exp  
+ B
 R.C 
(5)
Les valeurs de A et B seront déterminées compte tenu des conditions de l’expérience :

Avant le basculement de l’interrupteur ou quand le temps tend vers l’infini, les variables électriques
ne dépendent pas ou plus du temps (le régime est dit stationnaire). En particulier, la charge électrique
q du condensateur est constante.
(1) :

i=0
(3) :
uC = U
(5) :
B = uC (t  ∞)= U
On a vu ci-dessus que les tensions aux bornes du condensateur et du générateur sont égales en régime
stationnaire. A l’instant initial uC (t = 0) = E ou 0 :
(5) :
uC (t = 0) = A + U
L’intensité du courant parcourant le dipôle s’en déduit aisément
iC
(1) et (2) :
du C
dt
On met en évidence deux solutions analytiques pour la tension aux bornes du condensateur et l’intensité
du courant :
cas n°1
U=E
cas n°2
U=0

t 

u C  E 1  exp  

 R.C 

t 

u C  E . exp  

 R.C 
i
E
t 

.exp  

R
 R.C 
i
E
t 

.exp  

R
 R.C 
Constante de temps d’un dipôle RC
Le temps de charge et de décharge du condensateur dépend des valeurs de R et de C :
tension


tension


temps
0

 très élevé
 élevé
 peu élevé
temps
0
charge d’un dipôle RC
loi d’Ohm : R 




décharge d’un dipôle RC
uR
i
(2) : C 
A l’évidence [uR] = [uC],
[dq] = [q] et
d’où
R.C  
q
uC
(1) : dq  i. dt
[dt] = [t]
 u R q   q   i.dt 
.         [t]
 i uC   i   i 
L’analyse dimensionnelle ci-dessus confirme que le produit R.C à les dimensions d’un temps noté 
Remarque
Le calcul montre que  représente le temps au bout duquel la charge et la décharge sont réalisées à 63%
tension
tangente à la courbe de décharge du
condensateur à l’instant t = 0
E
0,37.E
0
temps

Energie emmagasinée dans un condensateur
Pour charger un condensateur de la quantité d’électricité dq, un générateur fournit le travail électrique
dWe
- relation charge intensité du courant :
i.dt = dq
- on multiplie les deux membres par u :
u.i.dt = u.dq
- définition du travail électrique :
u.i.dt = p.dt = dWe = u.dq
1
.C.d (u²)
2
u
1
1
- la tension aux bornes du condensateur croit de 0 à u durant la charge : We   . C. d (u²)  . C. u²
2
2
0
Ainsi, le condensateur stocke de l’énergie potentielle électrostatique :
- relation charge tension pour un condensateur :
dWe = u.dq = u.d (C.u) =
1
Ep (électrosta tique )  . C. u²
2
Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément. Ainsi l’énergie
potentielle électrostatique est une grandeur continue. Donc la tension aux bornes d’un condensateur n’est
jamais discontinue.
3
Cas du dipôle RL
3.1
La bobine
Elle est constituée d’un fil de cuivre, enrobé d’un vernis isolant, bobiné sur un axe cylindrique évidé.
On adopte la convention récepteur aux bornes de la bobine :
u
i
Un circuit est alimenté par un générateur qui débite un courant en dents de scie.
i
uL
uG
i
i (t)
0
uL
0
temps
uL (t)
temps
On constate expérimentalement qu’une bobine s’oppose aux variations de courant dans le circuit où elle
se trouve.
3.2
relation tension courant
Par ailleurs, la tension u L aux bornes de la bobine est proportionnelle à la dérivée de l’intensité du
di
courant par rapport au temps
. On note L le coefficient de proportionnalité appelé inductance de la
di
bobine. On en déduit la relation tension courant pour une bobine idéale :
u  L.
di
dt
(7)
Une bobine réelle possède toujours une résistance interne r. On généralise donc la relation ci-dessus :
u  r.i  L.
3.3
di
dt
Le dipôle RL
Réponse en courant d’un dipôle RL soumis à un échelon de tension
Un générateur de tension soumet un circuit RL à un échelon de tension. La bobine est idéale. En pratique,
on bascule l’interrupteur K d’un circuit alimenté par un générateur de tension continue :
E
+
YA
–
-
-YB
i
K
uL
uR
A l’aide d’un oscilloscope à mémoire (ou d’un ordinateur) dont la masse est flottante, on suit les
évolutions de l’intensité du courant dans le dipôle :
cas n°1
cas n°2
tension aux bornes
du dipôle RL
E
E
0
0
temps
i (t)
intensité du
courant dans
le dipôle
i (t)
0
0
temps
On se propose d’effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant quand le dipôle RL est
soumis à un échelon de tension :
- loi d’additivité des tensions :
U = uR + u L
- loi d’Ohm :
U = R .i + u L
(U = 0 ou E)
- relation tension intensité (7) :
U = R .i + L.
di
dt
(8)
On cherche une solution de l’équation sans second membre :
t 

i SSM  A. exp  

 L/R
La solution de (8) s'obtient en ajoutant une constante B :
t 

i  A. exp  
+ B
 L/R
(9)
Les valeurs de A et B seront déterminées compte tenu des conditions de l’expérience :

Avant le basculement de l’interrupteur ou quand le temps tend vers l’infini, le régime est dit
stationnaire. En particulier, l’intensité i du courant est constante.
i
Loi d’Ohm :

U
R
(9) :
B = i (t  ∞) 
U
R
L’intensité est la même en tout point d’un circuit série. A l’instant initial i (t = 0) = E/R ou 0.
(9) :
i (t = 0) = A +
U
R
On met en évidence deux solutions analytiques pour l’intensité du courant traversant le dipôle
cas n°1
U=E
cas n°2
U=0
E
t 

1 - exp  


R
 R.C 
E
t 

i  .exp  

R
 R.C 
i
Constante de temps d’un dipôle RL
On montre expérimentalement que le temps d’installation et d’annulation du courant dans une bobine
dépend des valeurs de R et de L :
intensité
E
R


intensité
E
R


temps
0
1
i

R uR
annulation du courant dans un
circuit RL
relation intensité tension : L  u L .
A l’évidence [uR] = [u L],
[di] = [i]
d’où
 L   i u L .dt 
 R    u . di   [ t ]
   R

et
[dt] = [t]

 très élevé
 élevé
 peu élevé
temps
0
établissement du courant dans un circuit
RL soumis à un échelon de tension
loi d’Ohm :




dt
di
relation charge intensité : dq  i. dt
L’analyse dimensionnelle ci-dessus confirme que le quotient
L
a les dimensions d’un temps noté 
R
Energie emmagasinée par une bobine
Pour augmenter l’intensité du courant dans le circuit de la quantité di le générateur doit fournir le travail
électrique dWe
- définition du travail électrique :
dWe = u.i.dt
di
1 di ²
1
i. dt  L
dt  L. di ²
dt
2 dt
2
i
1
1
- l’intensité du courant aux bornes de la bobine augmente de 0 à i :
We   . L. d (i²)  . L. i²
2
2
0
dWe = L
- relation intensité tension aux bornes de la bobine :
Ainsi la bobine stocke de l’énergie potentielle magnétique :
Ep (magnétique ) 
1
. L. i²
2
Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément. Par conséquent,
l’intensité du courant dans un circuit qui contient une bobine ne subit pas de discontinuité.
4
Oscillations libres dans un circuit RLC série
4.1
Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine
Un condensateur chargé (q D > 0) de capacité C est monté en série avec une bobine idéale d’inductance L
et un résistor de résistance R. On ferme l’interrupteur K.
K
i
uL
D
uC
uR
On constate expérimentalement que l’évolution de la tension aux bornes du condensateur dépend de la
valeur de la résistance R :
tension
tension
tension
uC (t)
uC (t)
uC (t)
temps
temps
R nulle
régime périodique
4.2
R faible
régime pseudo-périodique
temps
R forte
régime apériodique
Période propre et pseudo-période
La période ou la pseudo-période est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs d’une
grandeur physique variable par la même valeur avec le même sens de variation.
tension
tension
uC (t)
uC (t)
temps
4.3
Echanges énergétiques dans un circuit RLC
Le circuit RLC évolue sans apport énergétique. L’oscillateur ainsi réalisé est dit libre.
fermeture de l’interrupteur K
tension
uC (t)
0
temps
intensité
i (t)
0
temps
énergie
Ep (magnétique)
Ep (électrostatique)
0
temps
Observations
- Au cours des oscillations libres, il y a échange d’énergie entre la bobine et le condensateur
- L’énergie totale du circuit diminue progressivement par effet Joule
- Le régime périodique correspond au cas idéal pour lequel la résistance du circuit est nulle
4.4
Résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur
On se propose d’effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur (ou la
charge de celui-ci) soumis à un échelon de tension dans le cas d’un amortissement négligeable :
loi des d’additivité des tensions :
uL + uC = 0
relation charge tension pour un condensateur :
uL 
q
0
C
di q
 0
dt C
d ²q q
relation charge intensité pour un condensateur :
L
 0
dt ² C
d²u C
relation charge tension pour un condensateur :
LC
 uC  0
dt ²
relation intensité tension pour la bobine :
L
l’évolution de la tension aux bornes du condensateur est régie par l’équation différentielle du deuxième
ordre :
1
d²u C
avec  0 
 02 .u C  0
dt ²
LC
Cette équation différentielle admet pour solution la plus générale :
u C  A. cos ( 0 .t  )
A et  sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions de l’expérience.
L’intensité du courant parcourant le dipôle s’en déduit aisément :
(1) et (2) :
iC
du C
  C .A .0 .sin (0 .t  )
dt
La grandeur caractéristique de cet oscillateur est sa période propre :
T0 
4.5
1 2.

 2.. L.C
f 0 0
Entretien des oscillations du circuit RLC
Un circuit LC dépourvu de résistance est un cas idéal impossible à réaliser. Pour obtenir des oscillations
non amorties, on utilise un dispositif d’entretien :
énergie absorbée par la résistance pendant l’intervalle de temps dt :
dER = R. i² .dt
énergie fournie par le dispositif d’entretien pendant l’intervalle de temps dt :
dEG = uG. i .dt
Le dispositif qui entretient les oscillations fournit exactement l’énergie évacuée par transfert thermique
par la résistance :
dER = dEG

uG = R. i
Il délivre une tension proportionnelle à l’intensité du courant qu’il débite.
énergie
Ep (électrostatique)
Ep (magnétique)
énergie fournie par le générateur
temps
énergie absorbée par la résistance
L’oscillateur électrique ainsi réalisé est dit entretenu.
5 Notations, unités et valeurs
C
d
d/dt
e
E
E’
Ep
f0
i
I
capacité d’un condensateur. [ C ] = F
opérateur différentiel.
opérateur de dérivation.
charge électrique élementaire. e = 1,6.10-19 C
force électromotrice ou fém. d’un générateur actif. [ E ] = V
force contre électromotrice ou fcém. d’un récepteur actif. [ E ] = V
énergie potentielle. [ Ep ] = J
fréquence propre d’un oscillateur. [ f0 ] = Hz
intensité d’un courant électrique variable. [ i ] = A
intensité d’un courant électrique continu. [ I ] = A
L
p
q
r
R
T
T0
u
We


0
inductance d’une bobine. [ L ] = F
puissance électrique variable. [ p ] = W
charge électrique. [ q ] = C
résistance électrique interne d’un dipôle linéaire. [ r ] = 
résistance électrique d’un résistor. [ R ] = 
pseudo-période d’un oscillateur amorti. [ T ] = s
période propre d’un oscillateur. [ T0 ] = s
tension électrique variable. [ u ] = V
travail électrique. [ We ] = J
phase à l’origine du temps. [  ] = rad
constante de temps d’un oscillateur. [ ] = s
pulsation propre d’un oscillateur. [ 0 ] = rad.s-1
6 Connaissances et savoir-faire exigibles
2
Cas d’un dipôle RC
Connaître la représentation symbolique d’un condensateur.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes
flèches tension, noter les charges des armatures du condensateur.
Connaître les relations charge intensité et charge tension pour un condensateur en convention récepteur;
connaître la signification de chacun des termes et leur unité.
Savoir exploiter la relation q = Cu.
Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci
lorsque le dipôle RC est soumis à un échelon de tension.
En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.
Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur.
Savoir que la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.
Savoir exploiter un document expérimental pour :
- identifier les tensions observées,
- montrer l’influence de R et de C sur la charge ou la décharge,
- déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.
3
Cas du dipôle RL
Connaître la représentation symbolique d’une bobine.
En utilisant la convention récepteur, savoir orienter le circuit sur un schéma et représenter les différentes
flèches tension.
Connaître l’expression de la tension aux bornes d’une bobine; connaître la signification de chacun des
termes et leur unité. Savoir exploiter la relation.
Effectuer la résolution analytique pour l’intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de
tension.
En déduire la tension aux bornes de la bobine.
Connaître l’expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.
Connaître l’expression de l’énergie emmagasinée.
Savoir qu’une bobine s’oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que
l’intensité de ce courant ne subit pas de discontinuité
Savoir exploiter un document expérimental pour :
- identifier les tensions observées
- montrer l’influence de R et de L lors de l’établissement et de la disparition du courant
- déterminer une constante de temps.
4
Oscillations libres dans un circuit
Définir et reconnaître les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
Savoir tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour
les régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
Dans le cas d’un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes
du condensateur ou la charge de celui-ci.
En déduire l’expression de l’intensité dans le circuit.
Connaître l’expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.
Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l’énergie évacuée par transfert thermique.
Savoir interpréter en terme d’énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.
Savoir exploiter un document expérimental pour :
- identifier les tensions observées,
- reconnaître un régime
- montrer l’influence de R et de L ou C sur le phénomène d’oscillations
- déterminer une pseudo-période.