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1
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Synthèse de cours sur l’analyse réelle
Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle non réduit à un point. On note I l’intervalle I
auquel on a ajouté ses bornes réelles (on dit que c’est l’adhérence de I). Par exemple ]2, 3] = [2, 3]
et ]2, +∞[ = [2, +∞[.
1
Généralités sur les fonctions réelles
1.1
Opérations sur les fonctions
On note RI l’ensemble des applications de I dans R. Soit f et g dans RI et λ un réel. On
définit :
• la fonction f + g de RI par : ∀x ∈ I, (f + g)(x) = f (x) + g(x).
• la fonction λ.f de RI par : ∀x ∈ I, (λ.f )(x) = λf (x).
• la fonction f × g de RI par : ∀x ∈ I, (f × g)(x) = f (x)g(x).
• si g ne s’annule pas sur I, la fonction
f
g
de RI par : ∀x ∈ I, fg (x) =
f (x)
.
g(x)
L’ensemble (RI , +, .) sera un R-espace vectoriel de référence et l’ensemble (RI , +, ×) un anneau
commutatif.
1.2
Relation d’ordre
Définition 1 Soit f une fonction de I dans R. On dit que f est :
• majorée s’il existe un réel M tel que pour tout x ∈ I, f (x) 6 M . Dans ce cas on pose
sup f = sup{f (x) | x ∈ I}.
• minorée s’il existe un réel m tel que pour tout x ∈ I, f (x) > m. Dans ce cas on pose
inf f = inf{f (x) | x ∈ I}.
• bornée s’il existe un réel M tel que pour tout x ∈ I, |f (x)| 6 M , c’est à dire si f est
minorée et majorée. On note alors kf k∞ = sup |f | (norme infinie).
Exemple : la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) =
pas majorée car limx→0 x1 = +∞.
1
x
est minorée et inf f = 0 mais n’est
Définition 2 Soit f et g deux fonctions de I dans R. On note
• |f | la fonction définie sur I par |f |(x) = |f (x)|.
• sup(f, g) la fonction définie sur I par sup(f, g)(x) = max(f (x), g(x)).
• inf(f, g) la fonction définie sur I par inf(f, g)(x) = min(f (x), g(x)).
2
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Remarque : il est utile de connaître les formules suivantes : pour tous réels a et b, on a
max(a, b) =
a + b + |a − b|
2
et
min(a, b) =
a + b − |a − b|
.
2
Ces formules sont «naturelles» avec la vision suivante : «la borne supérieure du segment»
d’extrémités a et b c’est à dire max(a, b) est égale au «milieu de ce segment» a+b
auquel on
2
|a−b|
ajoute la demi-longueur du segment, c’est à dire 2 .
1.3
Monotonie
Définition 3 Soit f une fonction de I dans R. On dit que f est :
• croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I, x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y).
• décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I, x 6 y ⇒ f (x) > f (y).
• strictement croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I, x < y ⇒ f (x) < f (y).
• strictement décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I, x < y ⇒ f (x) > f (y).
Proposition 4 (Opérations sur la monotonie)
1. Une somme de fonctions croissantes (res. décroissantes) est une fonction croissante (resp.
décroissante).
2. La composée de deux applications monotones de même sens est croissante et la composée
de deux applications monotones de sens contraire est décroissante.
Preuve :
1. Supposons f et g croissantes sur I. Soit x, y dans I avec x 6 y. Alors (f + g)(y) =
f (y) + g(y) > f (x) + g(x) = (f + g)(x). Donc f + g croissante.
2. Prenons par exemple f : I → J croissante et g : J → K décroissante et montrons que
g ◦ f est décroissante sur I. Soit x et y dans I avec x 6 y. Comme f croissante sur I,
f (x) 6 f (y) puis comme g est décroissante sur J, g(f (x)) > g(f (y)), d’où le résultat.
1.4
Symétrie
Définition 5 Soit une fonction de I dans R et T > 0. On dit que f est T -périodique si :
∀x ∈ I,
x+T ∈I
et f (x + T ) = f (x).
On appelle période de f , lorsqu’elle existe la borne inférieure de l’ensemble des reéls T tels que
f est T -périodique.
Par exemple, pour tout réel ω > 0, la fonction t 7→ cos(ωt) a pour période T =
2π
.
ω
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Définition 6 Soit une fonction de I dans R. On dit que f est paire (resp. impaire) si :
et ∀x ∈ I, f (−x) = f (x) (resp. f (−x) = −f (x)).
∀x ∈ I, −x ∈ I
On rappelle que toute fonction f de I dans R s’écrit de façon unique comme somme d’une
fonction paire sur I et d’une fonction impaire sur I puisque
∀x ∈ I, f (x) =
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
.
2
2
Définition 7 Soit une fonction de I dans R. On dit que la courbe de f admet le point Ω de
coordonnées (a, b) pour centre de symétrie si
∀x ∈ R,
(a + x ∈ I ⇒ a − x ∈ I) et
f (a + x) + f (a − x)
= b.
2
Explication : le point Ω(a, b) est le milieu des points M (a + x, f (a + x)) et N (a − x, f (a − x)
donc son ordonnée b est la moyenne des ordonnées f (a + x) et f (a − x).
1.5
Notion de propriété locale
Définition 8 (Voisinage de a) Si a est un réel, on appelle voisinage de a, toute partie de
R qui contient un intervalle ouvert centré en a, i.e. un intervalle du type ]a − r, a + r[ avec
r > 0. Si a est infini, on appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) toute partie de R qui contient
un intervalle de la forme ]c, +∞[ (resp. ] − ∞, c[).
Soit f : I → R et a ∈ I ∪ {±∞}. Une propriété concernant la fonction f est dite vraie au
voisinage de a si elle est vraie sur l’intersection de I et d’un voisinage de a.
2
Les limites
2.1
Neufs limites
Définition 9 (Neuf limites) Soit f une fonction de I dans R, a ∈ I∪{±∞} et l ∈ R∪{±∞}.
On dit que f admet l pour limite en a si :
1. Cas où a ∈ R et l ∈ R.
lim
f =l
a
⇔
∀ε > 0, ∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f (x) − l| 6 ε.
2. Cas où a ∈ R et l = +∞.
lim
f = +∞
a
⇔
∀A > 0, ∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ f (x) > A.
∀A < 0, ∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ f (x) 6 A.
3. Cas où a ∈ R et l = −∞.
lim
f = −∞
a
⇔
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4. Cas où a = +∞ et l ∈ R.
lim f = l
+∞
∀ε > 0, ∃B > 0 |
⇔
∀x ∈ I,
x > B ⇒ |f (x) − l| 6 ε.
5. Cas où a = +∞ et l = +∞.
lim f = +∞
+∞
⇔
∀A > 0, ∃B > 0 |
∀x ∈ I,
x > B ⇒ f (x) > A.
∀A < 0, ∃B > 0 |
∀x ∈ I,
x > B ⇒ f (x) 6 A.
6. Cas où a = +∞ et l = −∞.
lim f = −∞
+∞
⇔
7. Cas où a = −∞ et l ∈ R.
lim f = l
−∞
⇔
∀ε > 0, ∃B < 0 |
∀x ∈ I,
x 6 B ⇒ |f (x) − l| 6 ε.
8. Cas où a = −∞ et l = +∞.
lim f = +∞
−∞
⇔
∀A > 0, ∃B < 0 |
∀x ∈ I,
x 6 B ⇒ f (x) > A.
∀A < 0, ∃B < 0 |
∀x ∈ I,
x 6 B ⇒ f (x) 6 A.
9. Cas où a = −∞ et l = −∞.
lim f = −∞
−∞
⇔
Remarque : il est possible d’unifier ces neuf définitions à l’aide du concept de voisinage :
Définition 10 Soit f : I → R, a ∈ I et l ∈ R ∪ {±∞}. On dit alors que f admet l pour limite
en a si pour tout voisinage Vl de l, il existe un voisinage Va de a tel que : ∀x ∈ I ∩Va , f (x) ∈ Vl .
Proposition 11 (Unicité de la limite) Soit f : I → R.
1. Si f admet une limite en a, celle-ci est unique.
2. Si f admet une limite l en a et a ∈ I, alors l = f (a).
Preuve :
1. similaire à celle pour les suites. En exercice.*
2. On a ∀ε > 0, ∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f (x) − l| 6 ε.
Comme a ∈ I, on a toujours a ∈ I∩]a − α, a + α[ et donc |f (a) − l| 6 ε. Ainsi pour tout
n ∈ N∗ avec ε = n1 , on a
1
∀n ∈ N∗ , |f (a) − l| 6 .
n
En faisant tendre n vers +∞, on obtient |f (a) − l| = 0 puis f (a) = l.
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2.2
Limites à gauche et à droite
Définition 12 Soit f : I → R et a ∈ I. On dit que f admet une limite l à gauche (resp. à
droite) en a si la restriction de f à I∩] − ∞, a[ (resp.I∩]a, +∞[ admet une limite l. On note
alors
lim f (x) = l (resp. lim f (x) = l).
x→a,x<a
x→a,x>a
Exemples :
• la fonction inverse en 0
• la fonction indicatrice f = 1{2} admet 0 pour limites à gauche et à droite en 2 mais
n’admet pas de limite en 2. On comprend ainsi mieux l’intérêt de la proposition suivante :
Proposition 13 Soit f : I → R et a ∈ I et l ∈ R ∪ {±∞}.
1. Si a ∈ I, on a lim
f =l⇔
a
2. Si a ∈
/ I, on a lim
f =l⇔
a
2.3
lim f (x) =
x→a,x<a
lim f (x) =
x→a,x<a
lim f (x) = l
et f (a) = l .
x→a,x>a
lim f (x) = l .
x→a,x>a
Comportement local
Proposition 14 Si f admet une limite finie l en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Preuve : On suppose que a ∈ R (le cas a ∈ {±∞} se traite de la même façon). Pour ε = 1,
∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f (x) − l| 6 1.
D’où |f (x)| = |f (x) − l + l| 6 |f (x) − l| + |l| 6 1 + |l|. Ainsi f est bornée sur I ∩ [a − α, a + α],
donc au voisinage de a. Proposition 15 Si f admet une limite finie l > 0 en a, alors f est strictement positive au
voisinage de a.
Preuve : On suppose que a ∈ R (le cas a ∈ {±∞} se traite de la même façon). Pour ε = 2l ,
∃α > 0 |
D’où f (x) > l − ε = l − 2l =
l
2
l
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f (x) − l| 6 .
2
> 0. Ainsi f > 0 sur I ∩ [a − α, a + α], donc au voisinage de a. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
2.4
6
Opérations sur les limites
C’est très similaire aux suites, le seul point nouveau que nous détaillerons est la composée de
limites. Nous ne détaillerons pas cette section.
1. algébriques : combinaison linéaire, produit, quotient, composée.
2. relation d’ordre : comparaison, théorème des gendarmes.
Proposition 16 Soit f : I → J, g : J → R, a ∈ I, b ∈ J et c ∈ R ∪ {±∞}. On suppose que
lima f = b et limb f = c. Alors lima g ◦ f = c.
Preuve : Pour éviter les nombreux cas, on va utiliser la notion de voisinage. Soit Vc un
voisinage de c. Comme limb f = c, il existe un voisinage Vb un voisinage de b, tel que pour tout
y ∈ J ∩ Vb , g(y) ∈ Vc . De plus lima f = b, donc il existe Va un voisinage de a, tel que pour tout
x ∈ I ∩ Va , f (x) ∈ Vb . Mais alors, en posant y = f (x) ∈ J ∩ Vb , on a g(y) = g(f (x)) ∈ Vc . 2.5
Caractérisation séquentielle d’une limite de fonction
Proposition 17 (Caractérisation séquentielle d’une limite de fonction) Soit f une fonction de I dans R et a ∈ I ∪ {±∞} et l ∈ R ∪ {±∞}. On a lima f = l si et seulement si pour
tout suite (un )n de points de I qui tend vers a, la suite (f (un ))n tend vers l.
Preuve : (⋆) Nous allons faire la démonstration dans le cas où a et l sont des réels, mais on
pourrait faire cette démonstration dans le cas général en utilisant la notion de voisinage.
1. On suppose que lima f = l. Soit (un )n une suite qui tend vers a. Soit ε > 0 fixé. Comme
lima f = l, il existe α > 0 | ∀x ∈ [a − α, a + α] ∩ I, |f (x) − l| < ε. De plus comme la
suite (un )n tend vers a, il existe n0 ∈ N | ∀n > n0 , |un − a| 6 α. Cela implique que
pour tout n > n0 , |f (un ) − l| < ε.
2. On suppose que pour tout suite (un )n qui tend vers a, la suite (f (un ))n tend vers l.
Raisonnons par l’absurde et supposons que l’assertion «lima f = l» est fausse. On a
alors :
∃ε > 0, ∀α > 0, ∃x ∈ [a − α, a + α] ∩ I, |f (x) − l| > ε.
En particulier pour tout n ∈ N∗ (avec α = n1 ), il existe xn ∈ [a− n1 , a+ n1 ]∩I, |f (xn )−l| > ε.
On a ainsi défini une suite (xn )n de points de I telle que ∀n ∈ N∗ , |xn − a| 6 n1 , donc
(xn )n tend vers a. De plus pour tout n ∈ N∗ , |f (xn ) − l| > ε, ce qui donne par passage à
la limite 0 > ε, contradiction.
Application : la fonction cos n’admet pas de limite en +∞. En effet les suites de terme général
un = 2nπ et vn = (2n + 1)π tendent vers +∞ mais les suites de terme général f (un ) et f (vn )
ne tendent pas vers la même limite puisque f (un ) = 1 et f (vn ) = −1.
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2.6
7
Théorème de la limite monotone
Proposition 18 (Théorème de la limite monotone) Soit f : I → R une fonction monotone et a ∈ I
1. Cas de la borne droite (limite à gauche).
On suppose que a n’est pas la borne gauche de I (il y a ainsi de la place à gauche de a)
(a) si f est croissante et majorée, alors f admet une limite finie à gauche en a qui vaut
L = sup f .
(b) si f est croissante et non majorée, alors lima− f = +∞.
(c) si f est décroissante et minorée, alors f admet une limite finie à gauche en a qui
vaut l = inf f .
(d) si f est décroissante et non minorée, alors lima− f = −∞.
2. Cas de la borne gauche (limite à droite)
On suppose que a n’est pas la borne droite de I (il y a ainsi de la place à droite de a)
(a) si f est croissante et minorée, alors f admet une limite finie à droite en a qui vaut
l = inf f .
(b) si f est croissante et non minorée, alors lima+ f = −∞.
(c) si f est décroissante et majorée, alors f admet une limite finie à droite en a qui vaut
L = inf f .
(d) si f est décroissante et non majorée, alors lima+ f = +∞.
Preuve :
1. Pour a) et b), similaire à celle des suites, conséquence de la propriété de borne supérieure.
Pour c) et d), on travaille avec g(x) = −f (x) qui est croissante...
2. On se ramène au cas de la borne de droite en posant g(x) = f (−x).
Exemple : la fonction φ : x 7→
Rx
1
2
e−t dt admet une limite finie en +∞.
Corollaire 19 Soit f : I → R monotone.
1. La fonction f admet des limites (éventuellement infinies) à gauche et à droite en tout
point adhérent à I (c’est-à-dire de I).
2. La fonction f admet des limites finies à gauche et à droite en tout point intérieur à I.
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La continuité
3.1
Généralités
Définition 20 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I de R et a ∈ I. On dit que
f est continue en a si lim
f = f (a), i.e.
a
∀ε > 0, ∃α > 0 |
∀x ∈ I, |x − a| 6 α ⇒ |f (x) − f (a)| 6 ε.
La fonction f est dite continue sur I, si elle est continue en tout point de I.
Exemples :
• la fonction partie entière est continue sur R \ Z.
• la fonction x 7→ ⌊x2 ⌋ est continue en 0 mais n’est pas continue en
√
2.
Remarque : si les limites de f à gauche et à droite de a sont égales à un même réel, cela
n’implique pas que f est continue en a. Ce réel doit être égal à f (a) !
Proposition 21 (Prolongement par continuité) Soit a ∈ I et f une fonction définie sur
I \ {a}. Si f admet une même limite finie l à gauche et à droite en a, alors on peut prolonger f
en une fonction fe définie sur I et continue en a en posant fe(a) = l. On dit que l’on a prolongé
f par continuité en a.
Preuve : Puisque limx→a,x<a f (x) = l
lim fe =
x→a,x<a
et
limx→a,x>a f (x) = l, on a
lim fe = l
x→a,x>a
et l = fe(a)
ce qui montre d’après la proposition 13 que limx→a fe(x) = l = fe(a) et donc que fe est continue
en a. Très souvent, par abus de langage, on note encore f le prolongement par continuité.
Exemples :
1. la fonction serpent x 7→ x sin x1 se prolonge par continuité sur R en posant f (0) = 0.
2. la fonction x 7→
1−cos x
tan2 x
ne se prolonge pas par continuité en π car elle tend vers +∞ en π.
Proposition 22 Soit f : I → R et a ∈ I. Si f (a) > 0 et f est continue en a, alors f > 0 au
voisinage de a.
Preuve : Comme f est continue en a, limx→a f (x) = f (a) > 0, donc f (x) > 0 au voisinage de
a d’après la propriété 15.
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3.2
Caractérisation séquentielle de la continuité
Proposition 23 (Caractérisation séquentielle de la continuité) Soit f une fonction de
I dans R et a ∈ I. La fonction f est continue en a si et seulement si pour tout suite (un )n de
points de I qui converge vers a, la suite (f (un ))n converge vers f (a).
Preuve : c’est une conséquence immédiate de la caractérisation séquentielle des limites. Cela s’utilise souvent de la façon suivante : si un tend vers a et que f est continue en a, alors
f (un ) tend vers f (a).
Applications :
1. Si une fonction continue sur R est nulle sur Q, alors elle est nulle sur R.
2. Une suite récurrente du type un+1 = f (un ) avec f : I → I continue et I fermé si elle
converge, converge vers un point fixe de f .
3. Déterminer toutes les fonctions f : R → R continues en 0 telles que pour tout x ∈
R, f (x) = f (2x) (réponse : les fonctions constantes).
3.3
Opérations sur les fonctions continues
Proposition 24 Soit f et g deux fonctions continues de I dans R et a ∈ I. Alors :
• ∀(λ, µ) ∈ R2 , la fonction λf + µg est continue en a.
• la fonction f g est continue en a.
• Si de plus, g(a) 6= 0, la fonction
f
est continue en a.
g
• Si h est une fonction continue de J dans R, et que f (I) ⊂ J alors la fonction h ◦ f est
continue en a.
On en déduit que l’ensemble des fonctions continues de I dans R noté C(I, R) est un sous-espace
vectoriel de l’espace RI des applications de I dans R.
Corollaire 25 Si f et g sont continues sur I, alors les fonctions |f |, sup(f, g) et inf(f, g) sont
continues sur I.
Preuve : Découle des formules
sup(f, g) =
f + g + |f − g|
2
et
inf(f, g) =
f + g − |f − g|
.
2
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3.4
3.4.1
Les grands théorèmes
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 26 (Le théorème des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I, f prend toutes les valeurs comprises entre
f (a) et f (b).
Le théorème des valeurs intermédiaires est souvent utilisé sous cette forme : une fonction continue sur un intervalle qui change de signe s’annule forcément.
Lemme 27 Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de
I, si f (a)f (b) 6 0, alors il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = 0.
Preuve : On va construire par un algorithme de dichotomie deux suites adjacentes qui
convergent vers une même limite c qui sera un zéro de f . On suppose par exemple que
a 6 b. Quitte à changer f en −f , on peut supposer que f (a) 6 0 6 f (b). On pose alors
0
a0 = a, b0 = b, c0 = a0 +b
et on construit par récurrence trois suites (an ), (bn ) et (cn ) définies
2
n
par : pour tout n ∈ N, on a d’une part, cn = an +b
,
2
d’autre part si f (cn ) > 0, alors an+1 = an et bn+1 = cn . Sinon, an+1 = cn et bn+1 = bn .
La définition de ces suites assure que (an ) est croissante et (bn ) décroissante.
De plus, ∀n ∈ N, bn+1 − an+1 =
0.
bn −an
2
donc bn − an =
b−a
,
2n
ce qui montre que bn − an tend vers
Les suites (an ) et (bn ) sont ainsi adjacentes et convergent donc vers une même limite c ∈ [a, b].
Montrons que f (c) = 0. On sait que ∀n ∈ N, f (an )f (bn ) 6 0 (†). Les suites (f (an )) et (f (bn ))
convergent toutes les deux vers f (c) car f est continue en c. Ainsi en passant à la limite dans
(†), on obtient f (c)f (c) 6 0 donc f (c)2 = 0 et f (c) = 0. Remarque : cette preuve fournit en fait un algorithme permettant d’approximer la racine c de
la fonction f . De plus comme pour tout n ∈ N, on a c compris entre an et bn , on a la majoration
du terme d’erreur lorsque l’on approxime c par an ou par cn :
∀n ∈ N, |cn − c| 6 |bn − an | 6
|b − a|
.
2n
Voici une fonction Python nommée dicho, modélisant l’approximation par dichotomie. Sa complexité est logarithmique.
def dicho(f,a,b,eps):
""" Entrées: f une fonction, a et b des flottants, eps un flottant
Résultat: un flottant, solution dans [a,b] à eps près de l’équation f(x) = 0
while b-a > eps:
m = (a+b)/2
if f(a)*f(m) > 0:
a = m
else:
b = m
return (a+b)/2
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On l’applique à la fonction f : x 7→ x2 − 2 avec [a, b] = [1, 2] pour approximer le réel
√
2.
def f(x):
return x**2 -2
print(dicho(f, 0,6, 10**(-10)))
Cela affiche 1.414213562340592.
Preuve : Retour à la preuve du TVI : soit a et b dans I avec par exemple f (a) 6 f (b). On
prend k dans [f (a), f (b)]. Chercher un antécédent de k par f revient à montrer que la fonction
φ : x 7→ f (x) − k s’annule. Or φ(a) 6 0 et φ(b) > 0, donc φ continue change de signe, donc
s’annule d’après le lemme. Exercices :
1. si f : [0, 1] → [0, 1] est continue, alors f admet un point fixe.
2. un polynôme P ∈ R[X] de degré impair admet au moins une racine réelle.
Corollaire 28 L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
3.4.2
Théorème des bornes atteintes
Théorème 29 (Théorème des «bornes atteintes») Soit f une fonction continue sur un
segment [a, b]. Alors f est bornée et atteint ses bornes.
Preuve : (hors-programme mais instructive)
1. Montrons d’abord que f est bornée. Sinon, ∀n ∈ N, ∃xn ∈ [a, b] |
|f (xn )| > n.
Cela implique par comparaison que la suite (|f (xn )|)n diverge vers +∞.
D’autre part, la suite (xn )n de points de [a, b] est bornée, donc d’après le théorème de
Bolzano-Weierstrass (BW), on peut en extraire une sous-suite (xσ(n) )n qui converge vers
un réel l ∈ [a, b]. Mais alors par continuité de |f | en l, la suite |f (xσ(n) )| tend vers |f (l)|.
Mais comme f (xσ(n) ) est une suite extraite de (|f (xn )|)n qui diverge vers +∞, elle diverge
vers +∞, contradiction.
2. Puisque f est bornée, les réels M = sup f et m = inf f sont bien définis. Il reste à prouver
qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = sup f (même raisonnement avec inf f ). D’après la
caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite (xn )n de réels de [a, b] telle que
la suite (f (xn ))n converge vers M . Mais par BW, on extrait de la suite (xn )n une suite
(xσ(n) )n qui converge vers un réel c ∈ [a, b]. D’une part la suite (f (xσ(n)) )n converge vers
M car extraite de la suite (f (xn ))n . D’autre part par continuité de f en c, on a (f (xσ(n)) )n
qui converge vers f (c). Par unicité de la limite, on en déduit que f (c) = M .
Remarques :
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• Le théorème «des bornes atteintes» est faux si f n’est pas continue ou si [a, b] n’est pas
un segment.
• Pour la culture : il existe des fonctions non continues vérifiant la propriété des valeurs
intermédiaires, à savoir transformant un intervalle en un intervalle. Plus précisément
le théorème de Darboux affirme qu’une fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires.
Exercices :
1. Soit f : [ 12 , 1] → R continue. Alors il existe un réel M tel que pour tout x ∈ [1, 2], f (x) 6
M x.
2. Soit f une fonction de R+ dans R continue telle que lim+∞ f = l ∈ R. Montrer que f est
bornée sur R+ . La fonction f atteint-elle nécessairement ses bornes ?
Corollaire 30 L’image d’un segment par une application continue est un segment
Preuve : On pose I = [a, b]. Comme f est continue, d’après le TVI, l’ensemble f (I) est un
intervalle, qui est de plus borné. La borne de droite de f (I) est donc sup f , et celle de gauche
inf I qui sont atteints d’après le théorème des bornes atteintes. Ainsi f (I) = [inf f, sup f ]. 3.4.3
Bijections continues
Théorème 31 (Théorème de la bijection monotone) Si f est une fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection de I sur l’intervalle
J = f (I). De plus l’application réciproque f −1 est aussi une application continue et strictement
monotone sur J et de même sens de variation que f .
Remarque : la partie difficile à prouver de ce théorème est que l’application f −1 est continue
sur J. Elle repose sur le résultat remarquable suivant, sorte de réciproque partielle du TVI :
une fonction réelle g monotone sur un intervalle J telle que g(J) est encore un intervalle, est
continue (Cf Denizet tome d’analyse p 247).
On admet enfin le résultat suivant qui nous dit qu’une bijection continue sur un intervalle est
nécessairement strictementmonotone.
Proposition 32 Soit f : I → R une fonction continue sur l’intervalle I. Si f est injective,
alors f est strictement monotone.
Corollaire 33 Si I est un intervalle, et que f : I → J est continue et bijective, alors f est
strictement monotone.
Exercice : soit f : R → R continue telle que pour tout réel x, on a f (f (f (x))) = x. Alors f = id.
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4
4.1
13
La dérivabilité
Généralités
Définition 34 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I de R et a ∈ I. On dit que
f (x) − f (a)
admet une limite finie en a. On
f est dérivable en a si le taux d’accroissement
x−a
appelle alors cette limite nombre dérivé de f en a, on la note f ′ (a).
La droite d’équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a) est alors appelée tangente à la courbe de f au point
d’abscisse a.
Une fonction réelle est dite dérivable sur une partie A de R si elle est dérivable en tout point
a de A.
Remarque : si la limite du taux d’accroissement est infini, il y a une tangente verticale (penser
à la fonction racine carrée en 0).
Proposition 35 Si une fonction f est dérivable en a, alors elle est continue en a, mais la
réciproque est fausse.
Preuve : Pour x au voisinage de a, on a f (x) − f (a) = f ′ (a)(x − a) + o(x − a), d’où le résultat
en faisant tendre x vers a. Attention : la fonction valeur absolue et la fonction racine carrée sont continues en 0 mais ne
sont pas dérivables en 0.
4.2
Opérations sur les dérivées
Proposition 36 Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit et d’un quotient et les formules associées.
Preuve : On peut démontrer ces résultats efficacement à l’aide des développements limités.
Par exemple, pour le produit : si f et g sont dérivables en a ∈ I, elles admettent un DL1 en a
et l’on a :
f (a+h)g(a+h) = (f (a)+hf ′ (a)+o(h))(g(a)+hg ′ (a)+o(h)) = f (a)g(a)+h(f ′ (a)g(a)+f (a)g ′ (a))+o(h)
Ceci prouve que f g admet un DL1 en a ∈ I, donc qu’elle est dérivable en a et que (f g)′ (a) =
f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). Proposition 37 (Dérivée d’une fonction composée) Soit f une fonction dérivable sur intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J tel que f (I) ⊂ J, alors la fonction
g ◦ f est dérivable sur I et on a pour a ∈ I, (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a))f ′ (a).
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Preuve : On a
g(f (a + h)) = g(f (a)) + hf ′ (a) + o(h))
|
{z
H
}
= g(f (a)) + Hg ′ (f (a)) + o(H)
= g(f (a)) + g ′ (f (a))(hf ′ (a) + o(h)) + o(h)
= g(f (a)) + hg ′ (f (a))f ′ (a) + o(h)
Remarques :
1. L’expression «la composée de deux fonctions dérivables est dérivable» est un abus de
langage, qui doit être utilisé avec prudence. En revanche l’expression «la composée de
deux √
fonctions dérivables sur ]0, +∞[ est dérivable» peut n’avoir aucun sens (penser à
x 7→ x − 4).
√
2. Sur quel ensemble est dérivable la fonction x 7→ x6 − x4 ?
Proposition 38 (Dérivée d’une fonction réciproque) Soit f une bijection continue (et
strictement monotone) de I dans un intervalle J.
Si f est dérivable en a et f ′ (a) 6= 0, alors la fonction réciproque f −1 est dérivable en b = f (a)
et
1
.
(f −1 )′ (b) = ′ −1
f (f (b))
(b)
x−a
= f (x)−f
. Lorsque y tend vers b, comme d’après
Preuve : soit y = f (x) ∈ J. On a f (y)−f
y−b
(a)
−1
le théorème de la bijection monotone, la fonction f est continue en b, on a f −1 (y) = x qui
tend vers f −1 (b) = a. Ainsi par composition des limites
−1
−1
f −1 (y) − f −1 (b)
x−a
1
= x→a
lim
= ′
y→b
y−b
f (x) − f (a)
f (a)
lim
puique f dérivable en a et f ′ (a) 6= 0. Remarque : si f ′ (a) = 0, alors la courbe de f admet une tangente horizontale en a, «donc» par
symétrie par rapport à la première bissectrice, la courbe de f −1 admet une tangente verticale
en b, et ainsi f −1 n’est pas dérivable en b.
Application aux fonctions usuelles arcsin, arccos, arctan, argsh,argch, argth (attention, ces
fonctions ne sont pas toutes dérivables sur tout leur ensemble de définition).
4.3
Fonctions de classes C k
Définition 39 Une fonction réelle est dite de classe C k (k ∈ N∗ ) sur I si elle est k fois
dérivable sur I et si sa dérivée k-ième est continue sur I.
Exercices :
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1. La fonction f définie par f (x) =
sin x
x
15
se prolonge en 0 en une fonction de classe C 1 .
2. il existe des fonctions dérivables mais pas de classe C 1 . Par exemple la fonction «serpent»
f définie sur [0, +∞[ par f (x) = x2 sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0 est dérivable en 0 mais
lim f ′ (x) n’existe pas donc f n’est pas de classe C 1 en 0.
x→0
3. si f : I → J est bijective et de classe C k en a et f ′ (a) 6= 0, alors f −1 est aussi de classe
C k en b = f (a).
Remarquons aussi qu’une fonction continue f peut être qualifiée de fonction de classe C 0 car
par convention f (0) = f .
Proposition 40 (Formule de Leibniz de la dérivée n−ième d’un produit) Soit f et g
deux fonctions n-fois dérivables sur I, alors
(n)
(f g)
=
n
X
k=0
!
n (k) (n−k)
f g
.
k
Exercice : calculer de deux façons différentes la dérivée n-ième de (X −1)2n = (X −1)n (X −1)n .
2
P
En déduire que nk=0 nk = 2n
.
n
Proposition 41 (Opérations sur les fonctions de classe C k ) Une combinaison linéaire,
un produit, un quotient, une composée de fonctions de classe C k est encore une fonction de
classe C k .
4.4
4.4.1
Les grands théorèmes
Problèmes d’extremum
Définition 42 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I et a un point de I. On dit
que f admet un maximum local en a, si au voisinage de a, f est majorée par f (a), i.e.
il existe r > 0 tel que pour tout x ∈ [a − r, a + r] ∩ I, f (x) 6 f (a).
Exemple : soit P ∈ R[X] et a ∈ R une racine double de P . Alors a est un extremum local pour
P.
Proposition 43 (Théorème du point critique) Soit f une fonction réelle dérivable sur un
intervalle I et a un point intérieur à I (a n’est pas une borne de I). Si f admet un extremum
local en a, alors f ′ (a) = 0 (on dit que a est un point critique).
Preuve : (⋆) Supposons par exemple que a est un maximum. Comme a n’est pas une borne
de I, il existe r > 0 tel que [a − r, a + r] ⊂ I et tel que pour tout x ∈ [a − r, a + r], f (x) 6 f (a).
(a)
Pour x ∈ [a, a + r], f (x)−f
6 0, ce qui donne en faisant tendre x vers a, f ′ (a) 6 0 car f est
x−a
(a)
dérivable en a. De même pour x ∈ [a − r, a], f (x)−f
> 0, ce qui donne en faisant tendre x
x−a
vers a, f ′ (a) > 0. Finalement f ′ (a) = 0. Remarques :
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1. Le résultat peut être faux si a est une borne de I. Par exemple si f (x) = x sur [0, 1], le
point 0 est un minimum mais f ′ (0) = 1.
2. La réciproque est fausse, penser à la fonction cube en 0.
Exercice : Soit f : I → R de classe C 2 avec a un point intérieur à I. On suppose que f ′ (a) = 0
et que f ′′ (a) > 0. Démontrer que a est un minimum local.
4.4.2
Théorème de Rolle
Voici une «machine à fabriquer des zéros» pour la dérivée.
Théorème 44 (Théorème de Rolle) Si f est une fonction réelle continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et si f (a) = f (b), alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Preuve : (⋆) Si f est constante, alors f admet un extremum local en un point intérieur, par
∈]a, b[, et donc f ′ (c) = 0 puisque le réel c est un point critique.
exemple en c = a+b
2
Si f n’est pas constante, d’après le théorème «des bornes atteintes», la fonction continue f
admet un maximum et un minimum sur le segment [a, b]. Comme f (a) = f (b), si les deux
extremum sont atteints en les bornes, alors f serait constante. Ainsi l’un de ces extremum
est atteint en un point intérieur c ∈]a, b[. Le point c est donc un point critique et par suite
f ′ (c) = 0. Interprétation cinématique : si on lance à la verticale, un point matériel, il va retomber, et à
un certain instant (le moment où il commence à retomber) sa vitesse sera nulle. En revanche,
faux pour un manège, donc si f est à valeurs dans R2 .
Exercices :
1. Soit f une fonction réelle dérivable sur [0, 2] telle que f (0) = 1, f (1) = 5, f (2) = −3.
Montrer qu’il existe c ∈ [0, 2] tel que f ′ (c) = 0.
2. On prend P (x) = (x − a)3 (x − b)2 . Démontrer que P ′ est scindé. Étudier ses extrema et
tracer l’allure locale.
3. On pose P = (X 2 − 1)n . Pour tout k ∈ J0, nK, P (k) admet au moins k racines distinctes
dans ] − 1, 1[.
4.4.3
Accroissements finis
Théorème 45 (Le théorème des accroissements finis) si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).
Interprétation graphique : il existe un point C de la courbe (d’abscisse c) où la tangente est
parallèle à la droite passant par les points A et B de Cf d’abscisse a et b.
(t0 )
Interprétation cinématique : si f (t) est la distance parcourue à l’instant t, le taux f (t1t1)−f
est
−t0
la vitesse moyenne entre les instants t0 et t1 . Le TAF indique qu’il existe un instant t2 entre t0
et t1 où la vitesse instantannée f ′ (t2 ) était égale à la vitesse moyenne.
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Preuve : (⋆) les points candidats pour C semblent être les points de la courbe où l’écart
«vertical» entre la courbe et le segment [AB] est maximal. Il est donc naturel d’étudier la
fonction ϕ : x 7→ f (x) − g(x) où g est la fonction affine dont le graphe est la droite (AB). La
fonction ϕ s’annule en a et b, on lui applique Rolle, d’où l’existence d’un réel c ∈]a, b[ tel que
(a)
.
ϕ′ (c) = 0 = f ′ (c) − g ′ (c), ce qui permet de conclure puisque g ′ (c) = f (b)−f
b−a
Corollaire 46 (L’inégalité des accroissements finis) Soit f une fonction dérivable sur I
telle que f ′ est bornée sur I par M . Alors pour tout a et b dans I, on a |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|.
Remarques :
• La morale de IAF pourrait être : «si je sais borner f ′ , alors je sais borner f ».
• Dans le cas où f est C 1 , on peut prouver IAF par le calcul intégral
Z
∀x > y, |f (x) − f (y)| = y
x
Z
f (t) dt 6
y
x
|f ′ (t)| dt 6 M |x − y|.
• Penser à son utilisation pour des suites récurrentes du type un+1 = f (un ).
Définition 47 Une fonction f : I → R est dite k-lipschitzienne (en abrégé k-LIP) sur I s’il
existe un réel positif k tel que :
∀(x, y) ∈ I 2 ,
|f (x) − f (y)| 6 k|x − y|.
L’IAF est donc un outil à fabriquer des fonctions k − LIP . Lorsque que K ∈ [0, 1[, cela permet
d’étudier des suites du type un+1 = f (un ).
Exemple : f : x 7→
ln(1+x)
2
est 21 -LIP sur R+ .
Corollaire 48 (Lien entre variations et signe de la dérivée) Soit f une fonction réelle
dérivable sur un intervalle I. Alors on a :
1. f est constante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f ′ (x) = 0.
2. f est croissante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0.
3. f est strictement croissante sur I si et seulement si ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0 et l’ensemble
{x ∈ I | f ′ (x) = 0} ne contient aucun intervalle (on dit qu’il est d’intérieur vide).
En particulier, si ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0, alors f est strictement croissante sur I.
Preuve :
1. Supposons f constante sur I. Soit a ∈ I. Pour tout x 6= a dans I, on a
qui donne en faisant tendre x vers a, f ′ (a) = 0.
f (x)−f (a)
x−a
= 0, ce
Supposons que f ′ est nulle sur I. Soit x < y dans I. D’après TAF, il existe c ∈]x, y[ tel
que f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) = 0.
2. Supposons f croissante sur I. Soit a ∈ I. Pour tout x 6= a dans I, on a
qui donne en faisant tendre x vers a, f ′ (a) > 0.
f (x)−f (a)
x−a
> 0, ce
Supposons que f ′ > 0 sur I. Soit x < y dans I. D’après TAF, il existe c ∈]x, y[ tel que
f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) > 0.
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3. Supposons f strictement croissante sur I. Alors d’après le point précédent, f ′ > 0 sur I.
Si f ′ s’annule sur un intervalle inclus dans I, alors d’après le point 1, f est constante sur
cet intervalle, ce qui est impossible puisque f strictement monotone.
Supposons que ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0 et l’ensemble {x ∈ I | f ′ (x) = 0} ne contient aucun
intervalle. Alors d’après le point 2, f est croissante. Si f n’est pas strictement croissante,
il existe x < y dans I tel que f (x) > f (y). Mais alors comme f croissante, cela implique
que f est constante sur l’intervalle [x, y], donc d’après 1. que f ′ s’annule sur un intervalle
[x, y] inclus dans I, contradiction.
Remarques :
• si I n’est pas un intervalle, la proposition devient fausse.
• Dans la pratique, le point 3. s’utilise ainsi : si f ′ > 0 sur I sauf éventuellement en un
nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I.
4.5
Un outil pour montrer la dérivabilité
Théorème 49 (Le théorème de la limite de la dérivée) Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] et dérivable sur [a, b[.
• Si lim f ′ (x) = l ∈ R, alors f est dérivable en b et f ′ (b) = l (on a même f est de classe
x→b
C 1 en b).
• Si lim f ′ (x) = ±∞, alors f n’est pas dérivable en b, mais la courbe de f admet une
x→b
tangente verticale au point d’abscisse b.
• Si lim f ′ (x) n’existe pas, alors on ne peut rien conclure.
x→b
Preuve : (⋆)
(b)
• Soit x ∈ [a, b[. D’après TAF, il existe cx ∈]x, b[ tel que f (x)−f
= f ′ (cx ). D’après le
x−b
théorème des gendarmes, puisque x < cx < b, lorsque x tend vers b, on a cx qui tend vers
(b)
tend vers l.
b, donc par composition de limite, f ′ (cx ) tend vers l, i.e. f (x)−f
x−b
• Si la limite est infinie, on imite la preuve précédente.
Exemple : étudier la dérivabilité de la fonction x 7→ arcsin(1 − x2 ).
Remarque : ce théorème est une condition suffisante pour être dérivable mais pas nécessaire.
En effet, la fonction «serpent» f définie sur [0, +∞[ par f (x) = x2 sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0
est dérivable en 0 mais lim f ′ (x) n’existe pas.
x→0
Corollaire 50 (Prolongement de classe C 1 ) Soit a ∈ R et f une fonction de classe C 1 sur
I \ {a}. Si limx→a f (x) = l ∈ R et limx→a f ′ (x) = m ∈ R, alors f se prolonge en une fonction
de classe C 1 sur I en posant f (0) = l et on a f ′ (a) = m.
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Exemple : x 7→
sin x
x
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se prolonge en une fonction de classe C 1 sur R.
Une récurrence sur k permet de généraliser :
Corollaire 51 (Prolongement de classe C k ) Soit a ∈ R, k ∈ N et f une fonction de classe
C k sur I \ {a}. Si pour tout i ∈ J0, kK, f (i) admet une limite finie li en a, alors f se prolonge
en une fonction de classe C k sur I et on a pour tout i ∈ J0, kK, f (i) (a) = li .
Application
: existence de «fonctions plates», la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) =
−1
exp x se prolonge en une fonction de classe C k sur [0, +∞[ et ses dérivées successives en 0
sont nulles.