1 La division dans tous ses états

1
La division dans tous ses états
De quoi as-tu besoin ?
Sommaire
•
•
•
•
•
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
livre d’algèbre p. 7-30
livre d’exercices p. 5-26
calculatrice
crayons et feutres
marqueurs fluo
La division des entiers
p. 8
Le signe d’une fraction
p. 12
La division euclidienne
p. 14
Encadrer une fraction
p. 16
Propriétés de la division des entiers
p. 20
Factorisation – PGCD – PPCM
p. 22
Propriété de la divisibilité
p. 26
Algèbre et divisibilité
p. 28
7
A1
La division des entiers
Exploration
a
Diviser un entier positif par un entier positif
Une tablette de chocolat est formée de 24 petits rectangles.
Tu dois la partager avec 2 amis. Combien de petits rectangles
allez-vous recevoir tous les trois ?
•
Écris l’opération et le résultat.
Tu disposes d’un panneau de bois de 240 cm sur 120 cm.
Combien de mètres d’étagère de 30 cm de large peux-tu
découper hors de ce panneau ? (On néglige l’épaisseur de la scie.)
•
24 : 3 = 8
120 : 30 = 4
× 240 cm = 960 cm = 9,6 m � � � � � � � � � � � � � � � �
4
� ��
� � � � � � � � � � � � ��
� ��
� � � � � � � � � � � � ��
•
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
•
Les entiers et le quotient sont
positifs.
� � � � � � � � � � � � ��
� ��
Diviser un entier négatif par un entier positif
La dette publique de la Belgique s’élevait au 31.05.2012 à
368,8 milliards euros.
Le solde du compte bancaire de l’état belge était donc de
−368 800 000 000 €.
Si on parvenait à diviser cette dette par deux, quel serait le
nouveau solde bancaire ?
•
Écris l’opération et le résultat.
En janvier 2012, un vent et une température de (−28) °C
ont bloqué de nombreux automobilistes sur les bords
du lac Léman. Le mois suivant, la température était
devenue 4 fois moins froide. Quelle température faisait-il
en février 2012 ?
•
•
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
Les entiers sont de signes contraires
est négatif.��
et
� � � � � � �le
� � � � �quotient
��
� � � � � � � � � � � � ��
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
Écris l’opération et le résultat.
−28° : 4 = −7°
−368 800 000 000 € : 2 =
400 000 000 €
−184
� � � � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � � ��
8
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
Les entiers et le quotient sont
positifs.
� ��
� � � � � � � � � � � � ��
b
Écris l’opération et le résultat.
� ��
� ��
•
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
Les entiers sont de signes contraires
le quotient est négatif.
et
� ��
��
� ��
c
Diviser un entier négatif par un entier négatif
Le sous-marin du réalisateur canadien James Cameron est
descendu à (−11 000) m de profondeur dans la fosse des
Mariannes dans le Pacifique.
La profondeur du lac de l’Eau d’Heure approche les (−50) m.
Combien de fois la fosse des Mariannes est-elle plus profonde
que le lac de l’Eau d’Heure ?
•
•
Écris l’opération et le résultat.
La température estimée à la surface de Jupiter est de (−164) °C.
En 1983 on a relevé une température de
(−82) °C à Vostok au pôle Sud.
Combien de fois la température à la surface de Jupiter est-elle
plus froide que celle relevée à Vostok ?
•
Écris l’opération et le résultat.
� � � � � � � � � � � � ��
−11 000 : (−50) = 220
� ��
� � � � � � � � � � � � ��
� ��
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
Les entiers ont le même signe et
est positif. ��
le
� � � � � �quotient
� � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
−164 : (−82) = 2
•
Compare le signe des entiers avec le signe du quotient.
Les entiers ont le même signe et
est positif.
le quotient
� ��
��
� ��
Règle de calcul – division d’un nombre entier par un autre nombre entier
Les règles des signes pour la division dans ℤ sont les
mêmes que celles pour la multiplication dans ℤ.
Pour diviser un nombre entier par un nombre entier
non nul,
• détermine le signe du quotient :
– si les 2 entiers ont le même signe,
le quotient est positif.
– si les 2 entiers ont des signes contraires,
le quotient est négatif.
(+…) : (+…) donne (+…)
(+6) : (+3) = +2
(−…) : (−…) donne (+…)
(−6) : (−3) = +2
(−…) : (+…) donne (−…)
(−6) : (+3) = −2
(+…) : (−…) donne (−…)
(+6) : (−3) = −2
• effectue la division comme dans ℕ.
CONTRÔLE 1
Calcule.
12 : (−2) = −6
��
2
−14 : (−7) = ��
−2
−10 : 5 = ��
4
32 : 8 = ��
−6
18 : (−3) = ��
3
−3 : (−1) = ��
0
0 : (−5) = ��
−17
17 : (−1) = ��
1
−1 : (−1) = ��
9
A1
La division des entiers (suite)
d
Divisions successives contenant plusieurs nombres entiers
•
Complète le tableau.
Règle de priorité des opérations : les divisions s’effectuent de gauche à droite.
36 : 4 : 3
−36 : 4 : 3
−36 : (−4) : 3
−36 : (−4) : (−3)
= .9
.............. : 3
= −9
. . . . . . . . . . . . . . . : 3
=9
. . . . . . . . . . . . . . . : 3
=9
. . . . . . . . . . . . . . . : (−3)
=3
...............
= −3
...............
=3
...............
= −3
...............
Nombre d’entiers négatifs
dans l’énoncé
��
0
��
1
��
2
��
Signe du quotient
��
+
��
−
��
+
��
•
Quel serait le signe d’une division successive contenant 5 entiers négatifs ?
•
Quel serait le signe d’une division successive contenant 50 entiers négatifs ?
•
Dans quel cas une division successive est-elle positive ?
•
Dans quel cas une division successive est-elle négative ?
3
−
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
....................................................................................................................
quand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . le
. . . . . .nombre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’entiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .négatifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est
. . . . . . . . pair
..............
quand
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . le
. . . . . .nombre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’entiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .négatifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est
. . . . . . . . impair
..............
Règle de calcul – divisions successives contenant plusieurs nombres entiers
Pour diviser successivement un entier par d’autres
entiers non nuls,
• détermine le signe du quotient :
– si la division contient un nombre pair d’entiers
négatifs, le quotient est positif.
– si la division contient un nombre impair d’entiers
négatifs, le quotient est négatif.
• effectue la division comme dans N.
(−64) : (−2) : (−2) : (−2) : 2 = +4
(−64) : (−2) : (−2) : (−2) : (−2) = −4
64 : 2 : 2 : 2 : 2 = 4
CONTRÔLE 2
1
3
45 : (−3) : (−5) = ��
1
−28 : (−4) : 7 = ��
1
72 : (+3) : (−4) : (−6) = ��
−2
−36 : (−9) : (−2) = ��
+2
24 : (−2) : (+2) : (−3) = ��
1
−18 : (−9) : 2 = ��
2
10
Calcule.
Détermine le signe des divisions successives si tu sais :
–
–
qu’elle contient 5 entiers positifs et 3 entiers négatifs
......................
–
qu’elle contient 14 entiers négatifs et 5 entiers positifs
......................
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
+
Application
1
2
Colorie en bleu les calculs qui donnent un résultat positif.
(+4) : (+2)
(−200) : (50)
−50 : (−5)
0 : (−20)
125 : (−25)
−6 : (−3)
−24 : (+6)
(+9) : (+1)
+99 : (−11)
+45 : (−15)
−16 : 8
−221 : 17
−481 : (−37)
3840 : (−256)
a : (−a)
Les quotients suivants sont-ils positifs ou négatifs ? Coche la bonne case.
quotient positif
quotient négatif
X
13 860 : (−3) : (+7) : (−11) : (−10)
X
−13 860 : (−3) : (−7) : (+11) : (−10)
3-4
5
−13 860 : (+3) : (−7) : (+11) : (−10)
X
−13 860 : (−3) : (−7) : (−11) : (−10)
X
X
13 860 : 3 : 7 : 11 : 10
3
1-2
Détermine par calcul la profondeur à laquelle chaque animal souligné peut être observé.
Un cachalot peut vivre à −3000 m.
a
6
une étoile de mer vit à une profondeur 100 fois plus petite que le cachalot.
−3000 m : 100 = −30 m
��
b
7
un requin gris descend à une profondeur 3 fois moindre que celle du cachalot.
−3000 m : 3 = −1000 m
��
c
un tourteau descend 10 fois moins profondément qu’un cachalot.
−3000 m : 10 = −300 m
��
d
un manchot empereur nage à la moitié de la profondeur d’un requin gris.
−1000 m : 2 = −500 m
��
4
Calcule de gauche à droite, en partant de la dernière solution trouvée.
a
: (−2)
512
5
:2
: (−4)
: (−16)
:2
b
−256 ��
−128 ��
32 ��
−2 ��
−1
:3
: (−9)
: (−3)
: (−3)
81
�� −27
�� 3
�� −1
�� 0,33…
��
243
��
: (−3)
8
Complète les séries.
a
b
c
............
1000 −200 40 −8
−10 000 −1000 −100 .−10
. . . . . . . . . . . .−1
...........
256 −128 64 .−32
...........
d
e
f
24 −23 22 . .−2
. . . . . . . . . . .2
. . . . . .=1
.....
1
0
1
−10 10 −10 10 .−10
...........
1    .___
__
  1   __
  1     __
  . . 1. . . . . . . . . . .___
  . .1. . . .  .  . . .
2
4
8
16
32
5
4
3
9
2
10
Tu es capable de
ττ déterminer le signe d’un quotient
ττ utiliser les règles de calcul pour diviser un nombre entier par un autre
11
A2
Le signe d’une fraction
Exploration
a
Utilise l’écriture fractionnaire pour illustrer les situations suivantes :
• Nous avons eu une panne de courant et le thermomètre du
surgélateur qui affichait −18 °C affiche maintenant la moitié de ce nombre.
Quelle température affiche le thermomètre ?
Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse?
•
Le solde de mon compte en banque était de −150 € mais
une rentrée imprévue d’argent m’a permis de diviser ma dette par 3.
Quel est mon nouveau solde bancaire ?
Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse?
•
La semaine dernière le thermomètre affichait −24 °C.
Aujourd’hui je peux lire −6 °C. Combien de fois faisait-il
plus froid la semaine dernière ?
Écris le calcul sous la forme d’une fraction Quelle est la réponse?
b
−150  
 _____
. . . . . . . . .  
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−50
. . . . . . . . . . . .€
................
−24 
 ____
. . . . . . . . . . 
−6 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. . . . .fois
.......................
Traduis les phrases suivantes en langage mathématique en utilisant l’écriture fractionnaire :
• Le quotient de l’opposé de 5 par 3
Traduction en langage mathématique :
Quel est le signe du quotient ?
•
L’opposé du quotient de 5 par 3
Traduction en langage mathématique : Quel est le signe du quotient ?
•
Le quotient de l’opposé de 5 par l’opposé de 3
Traduction en langage mathématique :
Quel est le signe du quotient ?
•
Le quotient de 5 par l’opposé de 3
Traduction en langage mathématique :
Quel est le signe du quotient ?
c
____
 .−18
 
. . . . . . . 
2 ....................
−9
. . . . . . . . .°C
...................
Convertis les divisions suivantes en écriture fractionnaire :
• 5 : (−2)
−5 
 ___
. . . . . . 
3......................
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5  
–. . . . . . __
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.–
...........................
−5
___
.  . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−3
+
............................
5
 ___
. . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−3
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
___
−2
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conversion  . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quel est le signe du quotient ?
•
−5 : 2
−5
___
2
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conversion  . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quel est le signe du quotient ?
12
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
•
−(5 : 2)
5
__
2
Conversion −  
. . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quel est le signe du quotient ?
•
Quelle conclusion peux-tu en tirer ?
La
signe moins dans une fraction ne change pas le signe du quotient.
. . . . . . . .place
. . . . . . . . . . . . . . . .du
. . . ��
Convention d’écriture
__
  3   est une fraction positive.
4
2     = −  __
2  
___
  −2   =  ___
3 −3
3
Pour indiquer qu’une fraction est positive,
aucun signe n’est requis.
Pour indiquer qu’une fraction est négative, un seul signe
« moins » doit être présent.
sont des fractions négatives égales.
Pour faciliter les calculs futurs, on évitera d’avoir un
dénominateur négatif.
CONTRÔLE 3
Écris sous la forme d’une fraction et détermine son signe.
−5
___
6
–12 
12  ____
___
–
12 : (−5) = .  . . . . . . . .  . .= . . . . . . . . . . . . .  
−5
5 . . . . . Signe : ��
–
(−5) : 6 =..  . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signe : ��
5 ___
–5
___
−6 6
−12  = ___
____
  : ��
 12 Signe
+
−12 : (−5) = .  .........................
5
−5
      =      Signe : ��
–
5 : (−6) = ...............................
−5 __
5
___
−6 6
−12
____
 
 
−12 : 5 =  ................................
5
  =      Signe : ��
+
−5 : (−6) =  ............................
–
Signe : ��
Application
6
Complète le tableau par le signe qui convient.
a
−2   est . . . . .+
Le signe de  ___
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . . b
−5
)
−( −2 
Le signe de  ______
 est . . . . –
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� .
  
−5
c
Si a > 0 et b < 0 alors
e
a   est . . . . .–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
le signe de  __
b
d
)
−( −1 
 est . . . .+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� .
Le signe de −  ______
  
−3
Si a < 0 et b < 0 alors
f
Si a < 0 et b < 0 alors
a   est . . . . .+
le signe de  __
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . . . .
b
7
11
12
a   est . . . .–
le signe de −  __
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� .
b
Relie les écritures qui désignent le même nombre.
______
  (−2 )  
−  −3 
−2 : (−3)
−(−2)
_____
     
 
3
2 : (−3)
2 : 3
(−2) : 3
13
14
___
  −2  
3
__
  2  
3
Tu es capable de
ττ déterminer le signe d’une fraction
ττ respecter les conventions d’écriture liées aux fractions
13
A3
La division euclidienne
Exploration
a
Comment partager équitablement un sac de 25 billes de cristal entre 6 personnes ?
•
Retire 6 billes du sac et donnes-en une à chaque personne.
Combien de billes reste-t-il dans le sac ? . . .19
.........................
Tu peux écrire que 25 = 1 × 6 + 19
.............................
•
Retire encore 6 billes du sac et donnes-en une à chaque personne.
Combien chaque personne a-t-elle de billes ? .2
...........................
Combien de billes reste-t-il dans le sac ? . . .13
.........................
Tu peux écrire que 25 = 2
. . . . . . . . . . . . × 6 + 13
............
•
Écris l’égalité après la 3e distribution.
25 = 3
. . . . . . . . . . . . × 6 + 7
............
•
Écris l’égalité après la 4e distribution.
25 = 4
. . . . . . . . . . . . × 6 + 1
............
•
Est-il possible de faire une 5e distribution ? non
...............................
Justifie ta réponse.
Car
le reste est inférieur au diviseur (ou il ne reste pas assez de billes).
��
b
Envisageons une autre façon de répartir équitablement.
•
Combien de sacs de 6 billes peux-tu remplir si tu disposes de 25 billes ? . 4
...........................
•
La question peut être posée autrement :
Combien de fois 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entre-t-il exactement dans 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? (Complète les pointillés.)
•
Reste-t-il des billes après avoir rempli les sacs ? .oui
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si oui, combien ?1
............................
Tu résumes en écrivant que 6 n’est pas . un
. . . . . . . . .diviseur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 25.
Règle de calcul – la division euclidienne – la relation d’Euclide
Lorsque tu divises un entier par un autre entier non
Si a, b, q et r ∈ ℤ et b ≠ 0
nul, tu obtiens un quotient et un reste.
a = b ∙ q + r et r < b
Il est interdit de diviser par 0 et le reste doit toujours
a est le dividende
être positif et plus petit que le diviseur.
b le diviseur
Une division est appelée exacte si le reste de la division
q le quotient
(euclidienne) est 0.
r le reste positif
CONTRÔLE 4
Utiliser la calculatrice
La relation euclidienne de 19 : 8 est
19 = 8 × 2 + 3
19 est le dividende
8 le diviseur
2 le quotient
3 le reste (3 < 8)
1
Quel est le quotient de la division de 42 par 5 ? 2
Quel est le reste de la division de 72 par 7 ? 3
Écris la relation euclidienne de la division de 48 par 5.
(à voir en fonction de la calculatrice utilisée)
Écris la séquence de touches qui permet d’effectuer la division euclidienne de 365 par 42 à la calculatrice.
3
6
5
_  . . R
8
,R
=
6
Qu’affiche la calculatrice ?
14
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
4
2
EXE
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
. . . . . . . .=
. . . . .5
. . . . .×
. . . . .9
. . . .+
. . . . .3
..........
Application
8
9
Écris la division euclidienne de :
a
85 par 8
85 = 8 × 10 + 5
5<8
b
72 par 9
72 = 9 × 8 + 0
0<9
c
112 par 11
112 = 11 × 10 + 2
2 < 11
d
900 par 125
900 = 125 × 7 + 25
25 < 125
e
x par y (z est le quotient et p le reste)
x=y∙z+p
p<y
15 - 16
17 - 18
Voici trois relations supposées d’Euclide.
Coche celles qui sont fausses et corrige-les.
92 = 7 × 11 + 15 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
92 = 7 × 13 + 1
19
72 = 8 × 9 + 0 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
20
65 = 3 × 20 + 2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
95 = 4 × 25 – 5 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
65 = 3 × 21 + 2
95 = 4 × 23 + 3
10 Complète ces divisions euclidiennes par le(s) nombre(s) manquant(s).
a
35 = . .3
. . . . . . . . . . × 11 + . .2
..........
21 - 24
. .76
. . . . . . . . . . = 8 × 9 + 4
24 = 23 × .1
. . . . . . . . . . . + .1
...........
123 = 11 × .11
. . . . . . . . . . . + .2
...........
. 191
. . . . . . . . . . . = 63 × 3 + 2
b
25 - 32
Détermine toutes les possibilités.
............
= 5 × 30 +
............
150
. . . . . . . . .=
.....5
. . . . .×
. . . . .30
. . . . . . . .+
. . . . .0
. . . . . . . �� . .
............
= 4 × . . . . . . . . . . . . +
3
7=4×1+3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
151
. . . . . . . . .=
.....5
. . . . .×
. . . . .30
. . . . . . . .+
. . . . .1
. . . . . . . �� . . 11
. . . . . . . .=
. . . . .4
. . . . .×
. . . . .2
....+
. . . . . .3
. . . . . . . . . . . �� . .
152
. . . . . . . . .=
.....5
. . . . .×
. . . . .30
. . . . . . . .+
. . . . .2
. . . . . . . �� . . 15
. . . . . . . .=
. . . . .4
. . . . .×
. . . . . .3
. . . . .+
. . . . .3
. . . . . . . . . . �� . .
153
. . . . . . . . .=
.....5
. . . . .×
. . . . .30
. . . . . . . .+
. . . . .3
. . . . . . . �� . . 19
. . . . . . . .=
. . . . .4
. . . . .×
. . . . .4
....+
. . . . . .3
. . . . . . . . . . . �� . .
154
. . . . . . . . .=
.....5
. . . . .×
. . . . .30
. . . . . . . .+
. . . . .4
. . . . . . . �� . . . ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . .
r. .<. . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� . . . Il. . . . .y. . . .a. . . . une
de solutions, car 3 < 4. . .
. . . . . . . . . . . .infinité
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ��
Tu es capable de
ττ écrire la relation d’Euclide
ττ reconnaître une relation d’Euclide correctement écrite
ττ compléter les éléments manquants d’une division euclidienne
15
A4
Encadrer une fraction
Exploration
a
b
Dans les calculs suivants, coche la case qui donne la meilleure approximation.
25 × 42 =
 100
 1000

 2000
 10 000
85 : 23 =
 2
 3
 4

 5
Après les moissons, une machine réalise des bottes de paille cylindriques.
Chaque botte est entourée d’un filet.
Si le filet a une longueur approximative de 300 cm, quelle est la longueur
approximative du diamètre ?
 50 cm
  100 cm
 150 cm
Montre ton calcul : ��
Circonférence = diamètre × π
⇒ diamètre = circonférence : π
⇒ 300 cm : π ≃ 100 cm
��
��
��
c
En quoi cette réponse est-elle approximative ?
On
a choisi une valeur de π égale à 3. On obtient un ordre de grandeur et non
��
une
réponse précise.
��
Tu as invité 27 personnes à ton anniversaire et tu vas préparer des gâteaux.
Si tu fais 6 portions par gâteau, combien de gâteaux dois-tu réaliser ?
––
Écris la fraction qui te permet de calculer le nombre de gâteaux ?
––
Quels sont les nombres entiers les plus proches de cette fraction ?
––
Lequel choisis-tu ?
Justifie :
27  
 ___
6
4. . . . .et
. . . . . .5
...............
..........................
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Car
pour servir tout le monde.
. . . . . . . . . . .4
. . . . gâteaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .seront
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . insuffisants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
.. .. ..
d
Le parking souterrain de la gare TGV de Liège a une surface utile de 12 740 m².
Il faut environ 15 m² pour garer une voiture. Combien de
voitures peut-on garer dans ce parking ?
______
 
 
 
  12 740
15
––
Écris la fraction dont tu as besoin :
––
Quels sont les nombres entiers les plus proches de
cette fraction ?.849
. . . . . . . . . . .et
. . . . . .850
.............
––
––
Lequel choisis-tu ?
Justifie :
................................
849
..........................
On
. . . . . . . . . .ne
. . . . . . . .gare
. . . . . . . . . . . . .que
. . . . . . . . . . .des
. . . . . . . . . . voitures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .entières.
................................................................................................................................
e
Place approximativement sur la droite graduée le point A dont l’abscisse est ___
 17 . 
5
A
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Comment as-tu procédé ?
J’ai
à l’aide de deux nombres entiers consécutifs (3 et 4).
. . . . . . . . . . encadré
. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .la
. . . . . . fraction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
15 _
<  17     < _
 20     ⇒ 3 < _
 17
     < 4
 _
. . . . .  . .  
5 . . . . . ... . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
5
16
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
f
Une voiture roule à une vitesse moyenne de 90 km par heure. La distance à parcourir est de 260 km.
Combien d’heures approximativement faudra-t-il pour parcourir cette distance à cette vitesse ? 3 heures
...............................................
Comment as-tu procédé ?
cherché le multiple de 90 km le plus proche de 260.
J’ai
��
Il.. . . .s’agit
il faut 3 heures de route.
. . . . . .. . . . . . . . . . .de
.. . . . . . .270
. . . . . . . . . . . .km
. . . . . . . . . . .pour
. . . . . . . . . . . . . . .lesquels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
......
Notion – encadrer un nombre
• Encadrer un nombre consiste à trouver deux nombres,
l’un plus petit et l’autre plus grand.
120  < 20
15 <  ___
7
• La différence entre le plus grand et le plus petit s’appelle
l’approximation de l’encadrement.
L’approximation de l’encadrement est de 5
(20 – 15)
• Encadrer peut se faire avec une approximation d’une
unité, d’un 10e,… tout dépend de la précision dont on a
besoin.
3<π<4
3,1 < π < 3,2
3,14 < π < 3,15
7  .
3 est une valeur approchée par défaut de  __
2
• Le petit nombre s’appelle « la valeur approchée par
défaut » et
le plus grand « la valeur approchée par excès ».
7  .
4 est une valeur approchée par excès de  __
2
arrondir
1,72 au 10e près donne 1,7.
2,86 au 10e près donne 2,9.
Une valeur approchée décimale (par défaut ou par excès)
la plus proche de la valeur exacte est aussi appelée « un
arrondi », d’où l’expression « arrondir au 100e près »
CONTRÔLE 5
1
2
3
23  < 6
5
<  ___
................................
4
Encadre 3,2657 au 100 près : .3,26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . < 3,2657 < .3,27
........................
27  ?
Entre quelles graduations entières consécutives se trouve  ___
 
.entre
. . . . . . . . . . . . . . .13
. . . . . . . et
. . . . . . .14
........................................
2
23  à l’unité près :
Encadre  ___
4
.........................
e
4
3,14 < π < 3,15 est un encadrement de π avec une approximation de 1/100e ;
5
3,14
Il me faut 3,75 œufs pour réaliser ma recette. Combien d’œufs dois-je acheter ? .4
.............................................................
Comment s’appelle cette valeur ? . . .la
. . . . . .valeur
. . . . . . . . . . . . . . . . . .approchée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .par
. . . . . . . . . .excès
.....................................................................
-tu ?
quelle est la valeur approchée par défaut de π ?
Le savais
......................................................................
Archimè
de a che
rch
Il a écrit
un poèm é à mémoriser
les décim
e dont le
mot cor
ale
res
no
de dix le pond à une déc mbre de lettre s de π.
s de cha
ttres.
imale, 0
que
représen
En voici
tant les
les prem
m
ie
ot s
r
s
« Que j’a
vers :
im
Immorte e à faire appren
dre
la
Qui de to rchimède, artiste un nombre uti
le aux sa
n jugem
, ingénie
g es !
en
ur,
Pour mo
i ton pro t peut priser la v
blème eu
aleur,
t de pare
ils avanta
ges. (…)
»
17
A4
Encadrer une fraction (suite)
Application
11 Encadre les nombres suivants à l’unité près :
33 - 34
10
.............
7
< 85 : 8 <
............
35
11
.............
3
.............
31  < . .8
<  ___
...........
4
< 3,333 <
4
−24
.............
.............
−5 . . . . . . . . . . . .
−2
. . . . . . . . . . . . . <  ___  < .−1
3
< −23,35 <
.............
4
−23
.............
78   < .4
<  ___
............
23
12 Voici une approximation de π à 9 décimales près : 3,141592654.
36
37
3,141 < π < 3,142
Encadre π au 1000ème près
........................................................................
Encadre π au millionième près
........................................................................
Encadre π au 10 000ème près
........................................................................
3,141592 < π < 3,142593
3,1415 < π < 3,1416
13 Voici des encadrements de différents nombres.
Complète le tableau par les bonnes valeurs.
38
39
approximation
valeur approchée
par défaut
valeur approchée
par excès
22  < 3,2
3,1 <  ___
7
0,1
3,1
3,2
−20 < x < −10
10
−20
−10
z−x
x
z
x<y<z
14 Choisis une fraction et encadre-la avec une approximation au 100ème.
40 - 42
1 3,34
__
3,33
. . . . . . . . . . . . .<
. . . . . . . . .   .<
3 . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
−9  à l’aide de deux entiers consécutifs.
Encadre la fraction  ___
2
43
  −4
−5 < ___
 −9  <
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
Écris un nombre dont la valeur approchée par défaut pourrait être 4,27 et la valeur approchée par excès 4,28. Quelle est l’approximation de cet encadrement ?
44 - 46
47 - 49
4,276
..............................
e
le
. . . . . . 100
....................................
15 Le repère d’un graphique a été divisé en dix parties identiques.
Le segment déterminé par les points d’abscisse 0,2 et 0,3 a été
agrandi dix fois et à nouveau divisé en dix parties identiques.
Ce processus a été reproduit jusqu’à la dernière ligne.
Détermine l’abscisse du point G.
Écris les étapes de ta solution sur le schéma.
0,2748
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
0
0,2
0,2 0,3
0,3
1
0,27 0,28
0,2
0,3
0,3
Encadre le point G au 100e près.
0,27
. . . . . . . . . . . . .<
. . . . .G
.....<
. . . . . .0,28
. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .��
0,27
0,274
0,275
0,28
Quelle est la valeur approchée par défaut au 10e près du point G ?
0,2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��
0,274
0,2748
G
18
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
0,275
16 Pour construire un banc de jardin, il me faut 13 planches de 1 m de long. Au magasin de bricolage, je peux trouver des
planches de trois dimensions différentes : 2,4 m, 3,6 m et 4,2 m.
Détermine quelle longueur de planche m’évitera d’avoir trop de déchets si je n’achète que des planches de la même
dimension.
Écris tous tes calculs pour justifier ton choix et arrondis judicieusement.
50 - 53
a) À l’aide de planches de 2,4 m il me faut 7 planches (6 + 1).
1 m par planche et 13
m = 2 m × 6 + 1 m) valeur approchée par excès.
� � � � � � � � (2
� � � � � � �×
� � � � ��
��
��
sont 6 × 0,4 ��
m + 1 × 1,4 m = 3,8 m.
� � � � � � � � Les
� � � � � � � � � �déchets
� ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
b) À l’aide de planches de 3,6 m il me faut 5 planches (4 + 1).
1 m par planche et 13
m = 3 m × 4 + 1 m) valeur approchée par excès.
� � � � � � � � (3
� � � � � � �×
� � � � ��
��
��
sont 4 × 0,6 ��
m + 2,6 m = 5 m.
� � � � � � � � Les
� � � � � � � � � �déchets
� ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
c) À l’aide de planches de 4,2 m il me faut 4 planches (3 + 1).
1 m par planche et 13
m = 4 m × 3 + 1 m) valeur approchée par excès.
� � � � � � � � (4
� � � � � � �×
� � � � ��
��
��
sont 3 × 0,2 ��
m + 3,2 m = 3,8 m.
� � � � � � � � Les
� � � � � � � � � �déchets
� ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Exprime ta réponse à l’aide d’une phrase :
Je peux choisir des planches de 2,4 m ou 4,2 m, mais dans le cas des planches de
déchets sont plus exploitables
par la suite.
4,2
� � � � � � � � �m
� � � � � � �les
� � � ��
��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Tu es capable de
ττ encadrer un nombre avec une approximation donnée
ττ déterminer l’approximation d’un encadrement
ττ déterminer la valeur approchée par excès ou par défaut d’un nombre
ττ arrondir judicieusement un résultat dans un contexte donné
19
A5
Propriétés de la division des entiers
Exploration
a
Observe
• 2 élèves doivent se partager 3 pommes. Combien auront-ils de pommes chacun ?
3 : 2
Écris le calcul qui lie le nombre de pommes au nombre d’élèves : Réponse : •
3 élèves doivent se partager 2 pommes. Combien auront-ils de pommes chacun ?
Écris le calcul qui lie le nombre de pommes au nombre d’élèves : Réponse : •
Formule une conclusion
............................
1,5 pomme
...................................................
2:3
............................
0,6 pomme
...................................................
Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres.
� � � � � � � � � � � � ��
b
Calcule en respectant les priorités des opérations.
•
12 : ( 6 : 2) = 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelle conclusion tires-tu ?
(12 : 6) : 2 = 1
............................
•
Dans une division, le quotient dépend de la place des parenthèses.
0 : 5 = .0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 : 0 = impossible
..................................
Quelle conclusion tires-tu ?
� � � � � � � � � � � � ��
•
Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres mais 0 est
par tous les nombres.
�divisible
� � � � � � � � � � ��
��
5 : 1 = .5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 : 5 = 0,2
............................
Quelle conclusion tires-tu ?
� � � � � � � � � � � ��
Dans une division, le quotient dépend de la place des nombres mais 1 divise
les nombres.
�tous
� � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � ��
20
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
Dans la division dans ℤ
• la place des nombres a de l’importance ;
la division dans ℤ n’est pas commutative.
Si a et b ∈ ℤ
et b ≠ 0
et a ≠ b
alors a : b ≠ b : a
−8 : 4 = −2
et
4 : (−8) = −0,5
Si a, b, c ∈ ℤ
b et c ≠ 0
a ≠ b, b ≠ c et a ≠ c
alors a : (b : c) ≠ (a : b) : c
−36 : (−6 : 3) = −36 : (−2) = 18
(−36 : (−6)) : 3 = 6 : 3 = 2
• 0 est absorbant pour autant qu’il soit le
dividende de la division.
0 : a = 0
0 : (−5) = 0
• 1 est neutre pour autant qu’il soit le
diviseur de la division.
a : 1 = a
−15 : 1 = −15
a : b = 1
⇕
a=b≠0
−4 : b = 1
⇓
b = −4
a : b = 0
⇓
a = 0 et b ≠ 0
a : (−5) = 0
⇓
a=0
• la place des parenthèses a de
l’importance ; la division dans ℤ n’est
pas associative.
• Si un quotient vaut 1 alors le dividende
égal le diviseur.
• Si un quotient vaut 0 alors seul le
dividende égal 0.
CONTRÔLE 6
Illustre par un exemple numérique que la division dans ℤ n’est pas commutative.
1
10 : 5 = 2 et 5 : 10 = 0,5
��
2
Détermine la valeur de a ou de b :
−5 : b = 1 ⇒ b = .−5
................ a : (−12) = 0 ⇒ a = .0
. . . . . . . . . . . . . . . . a : b = 1 ⇒ a = .b
................
Application
17 Voici la résolution d’un exercice par Jacques. 4 : 100 : 25 = 4 : (100 : 25 ) = 4 : 4 = 1
Est-elle juste ? Justifie.
Non, on ne peut pas introduire des parenthèses dans une division successive.
� � � � � � � � � � ��
54 - 55
� � � � � � � � � � ��
18 Détermine la valeur des inconnues.
 __a   = 1 ⇒ a = .5
................
5
___
  −2  = 1
  ⇒ b = .–2
................
b
__
  xc    = 1 ⇒ x = .c
................
x – 1 = 5 ⇒ x = 5 + 1 ⇒ x = 6
__
  de  = −1
 
⇒ d = .−e
................
_
  x – 1 = 1
⇒
...............................................................................................................................................................................
_
  x + 3 = 0
⇒
...............................................................................................................................................................................
5
4
x + 3 = 0 ⇒ x = 0 – 3 ⇒ x = –3
56 -57
58
2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 3 – 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
_
  2x +  1 
= 1 ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Tu es capable de
ττ illustrer la non-commutativité de la division dans ℤ
ττ illustrer la non-associativité de la division dans ℤ
ττ déterminer dans quel cas un quotient vaut 0
ττ déterminer dans quel cas un quotient vaut 1
21
A6
Factorisation – PGCD – PPCM
Exploration
a
Voici quelques résultats d’un tirage au bingo.
1
27
41
53
14
26
67
Entoure les résultats qui sont des nombres premiers.
b
Écris l’ensemble des diviseurs des nombres suivants :
. . . . . 2,
. . . . . . 3,
. . . . . .4,
. . . . . .6,
. . . . . .9,
. . . . . .12,
. . . . . . . . .18,
. . . . . . . . .36
...................}
div 36 = {.1,
div 35 = {.1,
. . . . . 5,
. . . . . . 7,
. . . . . .35
.......................................................}
. . . . . 3,
. . . . . . 5,
. . . . . .9,
. . . . . .15,
. . . . . . . . . 45
........................................}
div 45 = {.1,
div 49 = {.1,
. . . . . 7,
. . . . . . 49
.............................................................}
1, 3, 9
Quels sont les diviseurs communs à 36 et 45 ? ............................
Quels sont les diviseurs communs à 36 et 49 ? ............................
Quels sont les diviseurs communs à 35 et 49 ? ............................
Quels sont les diviseurs communs à 35 et 36 ? ............................
1
1, 7
1
Dans chaque réponse aux questions précédentes, entoure le diviseur commun le plus grand.
PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
Par quelle abréviation remplace-t-on ce nombre ? ...............................................................................................
Quels sont les nombres qui ont 1 pour plus grand commun diviseur ? ...............................................................................................
36 et 49, 35 et 36
Notion – nombres premiers entre eux
• Deux nombres premiers entre eux sont des nombres dont le
seul diviseur commun est 1.
c
27 et 35 sont des nombres premiers entre eux
div 27 = {1, 3, 9, 27}
div 35 = {1, 5, 7, 35}
1 est le seul diviseur commun.
Factorisation première d’un nombre naturel
En 1ère, tu as appris à décomposer un nombre et à l’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. Tu as utilisé une
disposition pratique.
Décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers.
128
64
.32
....................
16
.....................
.8
....................
.4
....................
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1
....................
.....................
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2
....................
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2
....................
.2
....................
.2
....................
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128 = .2
.............................................
7
22
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
1260
630
.315
....................
105
.....................
.35
....................
.7
....................
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....................
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2
....................
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.3
....................
.5
....................
.7
....................
1260 = .2
. . . . . .×
. . . . .3
. . . . . . .×
. . . . .5
. . . .×
. . . . .7
.............
2
2
315
105
.35
....................
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1
....................
.....................
3
.3
....................
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.7
....................
.....................
315 = .3
. . . . . .×
. . . . .5
. . . . .×
. . . . .7
........................
2
d
PGCD – PPCM
•
Complète :div 360 = {1,
. . . . . . . .2,
. . . . . .3,
. . . . . .4,
. . . . . 5,
. . . . . . 6,
. . . . . .8,
. . . . . .9,
. . . . . .10,
. . . . . . . . .12,
. . . . . . . . .15,
. . . . . . . . .18,
. . . . . . . . .20,
. . . . . . . . .24,
. . . . . . . . .30,
. . . . . . . . .36,
. . . . . . . . .40,
. . . . . . . . .45,
. . . . . . . . . 60,
. . . . . . . . . 72,
. . . . . . . . . 90,
........... 120, 180, 360 }
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192 }
div 192 = ....................................................................................................................................................................
Détermine le Plus Grand Commun Diviseur de 360 et 192 : .24
...........................
.......................................................................................................................................................................
•
Décompose 360, 192 et le PGCD de 360 et de 192 en un produit de facteurs premiers.
360 = 2
. . . . . . .×
. . . . .3
. . . . . . .×
. . . . .5
. . . . 3
2
192 = 2
. . . . . . .×
. . . . .3
. . . . . . . . . . . . . . . . PGCD = 2
. . . . . . .×
. . . . .3
................
6
3
Formule un procédé pour obtenir le PGCD de deux nombres à partir de leur décomposition en facteurs premiers.
Le PGCD de deux nombres s’obtient en multipliant les nombres premiers
aux décompositions en tenant compte du nombre de fois qu’ils
�communs
� � � � � � � � � � � ��
��
simultanément dans les décompositions.
�apparaissent
� � � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
•
Applique ta règle : a = 2² x 3² x 7³ et b = 2³ x 3 x 5² ⇒ PGCD de a et b = .2
. . . . . . .×
. . . . .3
.......................................................................
2
Écris les 5 premiers multiples non nuls de 32 et de 24 : 32 ℕ = { 32,
. . . . . . . . . 64,
. . . . . . . . . .96,
. . . . . . . . .128,
. . . . . . . . . . . . 160…
.........................................................}
24 ℕ = { 24,
. . . . . . . . . .48,
. . . . . . . . .72,
. . . . . . . . .96,
. . . . . . . . . 120,…
............................................................}
Détermine le Plus Petit Commun Multiple de 32 et 24 : •
96
............................
Décompose 32, 24 et le PPCM de 32 et 24 en un produit de facteurs premiers.
32 = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
24 =
2. . . .3. . .×
. . . . .3
. . . . . . . . . . . . . . . . PPCM =
2. . . .5. . .×
. . . . .3
................
Formule un procédé pour obtenir le PPCM de deux nombres à partir de leur décomposition en facteurs premiers.
Le PPCM de deux nombres s’obtient en multipliant les nombres premiers
présents
dans toutes les��
décompositions en tenant compte du plus grand
��
� � � � � � � � � ��
��
nombre
de fois qu’ils apparaissent
dans une des décompositions.
��
� � � � � � � � � ��
��
��
��
��
Applique ta règle : a = 2² × 3² × 5³ et b = 2³ × 3 × 7² ⇒ PPCM de a et b =
•
Colorie en rouge les puissances reprises pour le calcul du PGCD ci-dessous et
colorie en vert les puissances reprises pour le calcul du PPCM.
22 × 3 × 52
3
2
3
b = 2³ × 3 × 5² ⇒ PPCM de a et b = .2
......×
. . . . . .3
. . . . . .×
. . . . .5
................................................................................
a = 2² × 3² × 5³ et b = 2³ × 3 × 5² ⇒ PGCD de a et b =
a = 2² × 3² × 5³ et
23 × 32 × 53 × 72
........................................................................
........................................................................................................
Formule une observation :
Toutes les puissances sont reprises une fois soit dans le PGCD soit dans le PPCM.
��
��
Si tu multiplies a et b, tu peux écrire : 2² × 3² × 5³ × 2³ × 3 × 5²
3
2
3
2
2. . . .2. . .×
. . . . .3
. . . . . .×
. . . . . .2
......×
. . . . . .3
. . . . . .×
. . . . .5
. . . . . . .×
. . . . .5
............................................................
Que constates-tu ? PGCD
. . . . . . . . . . . . . . . . . (de
. . . . . . . . . .a
. . . . .et
. . . . . .b)
......×
. . . . . .PPCM
. . . . . . . . . . . . . . . . .(de
. . . . . . . . .a
. . . . .et
. . . . . .b)
. . . . . . .=
. . . . .a
. . . . ∙. . .b
.................................................................
Que vas-tu écrire pour PGCD × PPCM de a et b :
23
A6
Factorisation – PGCD – PPCM (suite)
Définition – factorisation première – PGCD – PPCM
• La factorisation première d’un nombre est l’écriture du
nombre sous la forme d’un produit de facteurs premiers.
600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5
On utilise l’écriture en puissance si le produit contient
plusieurs fois le même facteur.
600 = 2³ × 3 × 5²
a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7
• Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres
s’obtient en reprenant une fois les puissances dont la base
intervient dans une des deux décompositions des nombres,
affectée du plus grand exposant et en effectuant le produit
de ces puissances.
a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7
• Le produit du PGCD et du PPCM de deux nombres est égal au
produit des deux nombres.
a = 2² × 3 × 5³ et b = 2³ × 5² × 7
PGCD de a et b = 2² × 5²
PPCM de a et b = 23 × 3 × 53 × 7
a ∙ b = 2² × 3 × 5³ × 2³ × 5² × 7
Le savais-tu ?
• Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres
s’obtient en effectuant le produit des puissances dont la base
est commune aux deux décompositions des nombres,
affectée du plus petit exposant.
PGCD (a, b) = 2² × 5²
PPCM (a, b) = 2³ × 3 × 5³ × 7
a ⋀ b se lit le PGCD de a et
b.
a ⋁ b se lit le PPCM de a et
b.
Propriétés – PGCD et PPCM de nombres particuliers
• Si deux nombres naturels sont premiers entre eux,
leur PGCD est 1 et leur PPCM est leur produit.
38 et 37 sont premiers entre eux
⇒ PGCD (37, 38) = 1
⇒ PPCM (37, 38) = 37 ∙ 38 = 1406
• Si un nombre naturel est multiple d’un autre,
leur PGCD est le plus petit et leur PPCM est le plus grand.
396 est multiple de 36
⇒ PGCD (36, 396) = 36
⇒ PPCM (36, 396) = 396
CONTRÔLE 7
1
Écris la factorisation première des nombres suivants :
3×5×7
2
3
1125 = .3
. . . . . .×
. . . . .5
...................................................................................................................................................................................
3
2
504 = .2
. . . . . . .×
. . . . .3
. . . . . .×
. . . . .7
.......................................................................................................................................................................
105 =
2
24
...............................................................................................................................................................................................
Détermine a ⋀ b , a ⋁ b et a ∙ b (sans effectuer les produits).
a=
b=
2³ × 3² × 7
2² × 3³ × 11
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
a⋀b
22 × 32
a⋁b
a∙b
23 × 33 × 7 × 11 25 × 35 × 7 × 11
Application
19 Écris la factorisation première des nombres suivants :
462 = .2
. . . .×
. . . . .3
. . . . .×
. . . . .7
....×
. . . . . .11
. . . . . . . . . . . . 900 = .2
. . . . . .×
. . . . .3
. . . . . .×
. . . . . .5
..................
2
2
2
83 = .1
. . . .×
. . . . . 83
................................
––
Calcule le PGCD de 462 et 900 .2
. . . .×
. . . . .3
. . . . .=
. . . . .6
...................................................................................................................................
––
Détermine le PPCM de 462 et 900. Écris ta réponse uniquement sous la forme d’un produit de puissances.
.2
. . . . .×
. . . . .3
. . . . . . .×
. . . . .5
. . . . . .×
. . . . .7
....×
. . . . . .11
...............................................................................................................................................................
2
––
2
2
59 - 60
61
Quels sont parmi ces trois nombres ceux qui sont premiers entre eux ? .83
. . . . . . . et
. . . . . . .462
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
. . . . . . . .et
. . . . . . 900
......................
20 Voici les factorisations premières de deux nombres :
a = 2² × 3² × 11
b = 2³ × 3³ × 13
Écris le produit qui correspond au PPCM de a et b : 2
......×
. . . . . .3
. . . . . .×
. . . . . 11
. . . . . . . .×
. . . . .13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3
3
Déduis-en le produit qui correspond au PGCD de a et b : 2
......×
. . . . . .3
..........................................................................................................
2
2
62 - 63
64
21 a « Le PPCM de deux nombres est toujours plus petit que le produit de ces deux nombres.»

 faux
 vrai
Le
produit de deux nombres sauf dans le cas où les . . . . . .
. . . . . . .PPCM
. . . . . . . . . . . . . . .est
. . . . . . . .plus
. . . . . . . . . . .petit
. .. . . . . . . . . . . .que
. . . . . . . . . . .le
. . .......................................................................................................................................
sont premiers entre eux.
Dans ce cas le PPCM de a et b = a ∙ b car le PGCD� vaut
�nombres
� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � �1.
��
Justifie. 65 - 67
68 - 69
b « Le PPCM de 12 et 25 vaut 300. »

 vrai
 faux
Justifie. 12
eux, leur PPCM est leur produit (12 ∙ 25 = 300).
. . . . . . . et
. . . . . .25
. . . . . . .sont
. . . . . . . . . . . premiers
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . entre
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................
......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . .
c « Le PGCD de 40 et 80 vaut 60. »

 faux
 vrai
Justifie. 80
est le plus petit.
. . . . . . . est
. . . . . . . .multiple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de
. . . . . . ..40,
. . . . . . . . .leur
. . . . . . . . . . .PGCD
. . . . .......................................................................................................................................
......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . .
22 En utilisant les factorisations premières suivantes, réponds aux questions.
c = 2³ × 3² × 7
d = 2² × 3³ × 7²
Écris, sans le calculer, le produit de c et d : . 2
. . . . . .×
. . . . .3
. . . . . . .×
. . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................... . . . . . .
5
5
3
70 - 73
Détermine sans le calculer le PGCD de c et d : 2
......×
. . . . . .3
. . . . . .×
. . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................. . . . . . .
2
2
Quelles sont les puissances qui n’ont pas été utilisées pour la recherche du PGCD de c et d ? .2
. . . . . 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .7
.........................
3
3
2
Si tu multiplies ces puissances entre elles qu’obtiens-tu ? .Le
. . . . . . .PPCM
. . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .c
. . . .et
. . . . . .d.
........................................................................... .
23 À Noël, j’ai garni mon sapin et je l’ai entouré de 3 guirlandes lumineuses. La 1re clignote toutes les 3 secondes, la 2e toutes
les 5 secondes et la 3e toutes les 6 secondes. Au bout de combien de temps les trois guirlandes clignotent-elles en même
temps ?
Il faut calculer le PPCM de 3, 5 et 6.
30 secondes les guirlandes
clignotent en même temps.
Toutes
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �les
��
��
��
74 - 77
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
78 - 85
Tu es capable de
ττ écrire la factorisation première d’un nombre naturel
ττ calculer le PGCD de deux nombres naturels
ττ calculer le PPCM de deux nombres naturels
ττ reconnaître si un problème se résout à l’aide du PGCD ou du PPCM de nombres naturels
25
A7
Propriété de la divisibilité
Exploration
a
Arthur affirme que si un nombre est divisible par 3 et par 6 alors il est aussi divisible par leur produit 18. A-t-il raison ?
Justifie.
Non, car 12 est divisible par 3 et par 6, mais pas par 18.
� ��
� ��
b
c
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Tous les nombres divisibles par 4 et par 5 sont divisibles par 20.
Vraie  Fausse


Tous les nombres divisibles par 4 et par 8 sont divisibles par 32.
Vraie  Fausse 

Tous les nombres divisibles par 4 et par 16 sont divisibles par 64.
Vraie  Fausse 

Tous les nombres divisibles par 4 et par 7 sont divisibles par 28.
Vraie  Fausse


Tous les nombres divisibles par 4 et par 100 sont divisibles par 400.
Vraie  Fausse 

Détermine les diviseurs communs à 4 et 5
Détermine les diviseurs communs à 4 et 8
Détermine les diviseurs communs à 4 et 16 Détermine les diviseurs communs à 4 et 7
Détermine les diviseurs communs à 4 et 100 d
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1,
. . . . . . 2,
. . . . . .4
..............................
1,
. . . . . . 2,
. . . . . .4
..............................
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1,
. . . . . . 2,
. . . . . .4
..............................
Compare tes réponses de l’exercice b avec celles de l’exercice c.
Que constates-tu ? Formule une observation correcte en français.
Pour qu’un nombre soit divisible par le produit de deux autres nombres, il suffit
le seul diviseur commun
des deux autres nombres soit 1.
que
� ��
��
��
� ��
� ��
Propriété – divisibilité par plusieurs nombres
• Si un nombre possède deux diviseurs premiers entre
eux, alors il est divisible par le produit de ces diviseurs.
36 est divisible par 2 et 3.
36 est également divisible par 6 car 2 et 3 sont premiers entre eux.
• Si un nombre est divisible par plusieurs nombres, il
n’est pas toujours divisible par leur produit.
24 est divisible par 12 et 3 mais pas par 36.
CONTRÔLE 8
Parmi les affirmations suivantes, coche celles qui sont vraies ou fausses, sinon donne un contre-exemple :
tous les nombres divisibles par 5 et par 10 sont divisibles par 50.
Vraie  Fausse 

30 est divisible par 5 et par 10, mais pas par 50.
� � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � ��
tous les nombres divisibles par 3 et par 13 sont divisibles par 39.
Vraie  Fausse


3 et 13 sont des nombres premiers entre eux.
� � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � ��
26
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
Application
24 Un nombre est divisible par 4, 5 et 6.
Est-il nécessairement divisible par :
20 (4 x 5) ? Justifie.
oui
premiers entre eux.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..4
. . . . et
. . . . . . .5
. . . . .sont
. . . . . . . . . . . . . .des
. . . . . . . . . . .nombres
. . .......................................................................................................................................
......
24 (4 x 6) ? Justifie.
non
des nombres premiers entre eux.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..4
. . . . et
. . . . . . .6
. . . . .ne
. . . . . . . . sont
. . . . . . . . . . . . . . pas
. . . . . .......................................................................................................................................
......
86 - 87
88 - 89
30 (5 x 6) ? Justifie.
oui
premiers entre eux.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . car ..5
. . . . et
. . . . . . .6
. . . . .sont
. . . . . . . . . . . . . .des
. . . . . . . . . . .nombres
. . .......................................................................................................................................
......
25 Détermine l’ensemble des diviseurs de 36 : .div
. . . . . . . . .36
. . . . . . . .=
. . . . .{1,
. . . . . . . .2,
. . . . . .3,
. . . . . 4,
. . . . . . 6,
. . . . . . 9,
. . . . . .12,
. . . . . . . . . 18,
. . . . . . . . . 36}
...........................................................
L’affirmation suivante est-elle exacte ? –––
oui - non
« Si on calcule le produit de n’importe quelle paire de diviseurs de 36, on obtient soit un diviseur de 36, soit un multiple
de 36. »
90
Justifie ta réponse. . .La
. . . . . . . justification
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .peut
. . . . . . . . . . . . . se
. . . . . . .faire
. . . . . . . . . . . . .à
. . . . .l’aide
. . . . . . . . . . . . . . . de
. . . . . . . .contre-exemples.
...........................................................................
48 qui n’est pas un ��
diviseur ou un multiple de 36.
4
� � � � �x
� � � �12
� � � � � � �=
� � � ��
��
qui n’est pas un diviseur
ou un multiple de 36.
6
� � � � �x
� � � �9
� � � �=
� � � � �54
� ��
��
��
26 Un nombre «a» est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Détermine les autres diviseurs de «a» que tu déduis à partir de cette 1re série.
2 x 5 = 10 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 6 x 7 = 42 7 x 8 = 56
3 x 5 = 15 4��
x 7 = 28 5 x 7 = 35
2
� � � � �x
� � � �7
� � � �=
� � � � �14
� ��
��
3 x 7 = 21
5 x 8 = 40
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
��
3 x 8 = 24
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
91 - 92
27 Le nombre «b» est un nombre premier.
Ce nombre est-il divisible par le produit de ses diviseurs ?
Justifie :
oui
................................
93 - 94
Car ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même et sont donc premiers entre eux.
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
28 Le nombre «c» est divisible par 8 et 9.
Ce nombre est-il divisible par 6 ? .oui
...............................
Justifie :
95 - 96
Car s’il est divisible par 8, il l’est aussi par 2, et s’il est divisible par 9 il l’est aussi par 3.
sont des nombres premiers
entre eux et donc le nombre c sera
Or
� � � � � � � �2
� � � �et
� � � � � �3
� ��
��
��
par 2 × 3 = 6.
divisible
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Tu es capable de
ττ de déterminer dans quel cas un nombre est divisible par le produit de deux de ses diviseurs
27
A8
Algèbre et divisibilité
Exploration
a
Illustre par un exemple la phrase suivante : « Si un nombre divise un 2e alors le 2e est multiple du premier ».
3 divise 21 ce qui implique que 21est un multiple de 3.
��
b
En 1re tu as appris qu’il existe l’ensemble des nombres naturels. Ces nombres servent à compter des objets qui doivent
rester entiers.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … n …} dans lequel « n » est l’écriture générale des éléments de ℕ.
Tous ces nombres se suivent et chacun vaut le précédent augmenté de 1 (sauf 0).
Dans la liste, 3 suit 2 car 3 = 2 + 1.
Si n est un naturel, comment vas-tu écrire celui qui suit n ? Si n est un naturel, comment vas-tu écrire celui qui précède n ? n
. . . . .+
.....1
................................
n
. . . . .–
. . . . .1
................................
Détermine la somme du naturel n, de celui qui précède n et de celui qui suit n.
Réduis l’expression. n − 1 + n + n + 1 = 3n
.............................................................................................
Si
. . . . . .j’additionne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un
. . . . . . . . nombre,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .son
. . . . . . . . . . .précédent
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et
. . . . . .son
. . . . . . . . . . .suivant,
........................
j’obtiens un multiple de 3.
��
Formule une constatation : c
Voici les 5 premiers éléments de l’ensemble des multiples de 5 :
5ℕ = {0, 5, 10, 15, 20,…}
Quelle est l’écriture générale de ces éléments comparée à celle des éléments de ℕ ?
5n
..............................
Ajoute 3 à chaque multiple de 5. Tu obtiens la suite : {.3,
. . . . . .8,
. . . . . .13,
. . . . . . . . .18,
. . . . . . . . .23,
. . . . . . . . .…
...............}
Quelle est l’écriture générale de ces nombres ?
5n + 3
..............................
Multiplie par deux tous les éléments de ℕ. Comment s’appellent les nombres que tu obtiens ? .les
. . . . . . . .nombres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pairs
.......
Quelle est l’écriture générale de cet ensemble de nombres ? . 2n
.............................
Si deux nombres pairs se suivent dans la liste, quel écart y a-t-il entre les deux ? .2
.............................
Si deux multiples de 3 se suivent dans la liste, quel écart y a-t-il entre les deux ? .3
.............................
Propriété – somme de nombres, de multiples de nombres et écriture litterale
28
• Deux nombres qui se suivent dans ℕ sont appelés
consécutifs.
5 est le consécutif de 4 dans ℕ
• L’écriture générale de deux nombres naturels
consécutifs est n et n + 1.
si n =20 alors n + 1 = 21
• La somme de deux nombres naturels consécutifs est
toujours un nombre impair.
n + (n + 1) = 2n + 1
• L’écriture générale des multiples d’un nombre est le
produit de ce nombre par n.
L’écriture générale des multiples de 6 est 6n ;
des nombres impairs est 2n + 1.
• Tout nombre peut être un multiple d’un autre
augmenté ou diminué d’une valeur.
27 est un multiple de 4 diminué de 1 (28 – 1)
27 fait partie de la famille des 4n – 1
27 est un multiple de 4 augmenté de 3 (24 + 3)
27 fait partie de la famille des 4n + 3
Chapitre 1 – La division dans tous ses états
CONTRÔLE 9
1
Quelle est l’écriture générale des multiples de 9 ? .9n
.............................
2
Si un nombre fait partie de la famille des 7n, comment s’écrit le consécutif de 7n ? 7n
. . . . . . . . .+
. . . . .7
................
3
4n et 4n + 5 sont-ils consécutifs dans la famille 4n ? .Non
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Justifie.
Car le consécutif de 4n est 4n + 4 ou 5 n’est pas un multiple de 4.
� � � � � � � � � � � � ��
Application
29 Dans la famille des nombres pairs, quel est le consécutif de 28 ? Dans la famille des multiples de 3, quel est le consécutif de 36 ? Cite deux multiples de 5 consécutifs : 30 Quelle est l’écriture générale des multiples de 8 ?
Quelle écriture générale vas-tu utiliser pour désigner
30
.39
.................................................................................
.25
. . . . . . . et
. . . . . . .30
...................................................................
...............................................................................
8n
...............................................................................
les multiples de 8 augmentés de 5 ?.8n
. . . . . . . .+
. . . . .5
....................................................................
les multiples de 8 diminués de 3 ?.8n
. . . . . . . .–
. . . .3
.....................................................................
8n
et
deux multiples de 8 consécutifs ?. . . . . . . . . . . . . . .8n
. . . . . . . .+
. . . . .8
......................................................
5, 6, 7
Additionne-les :
.18
.................................................................................
De quel nombre choisi, cette somme est-elle un multiple ? .6
.................................................................................
31 Choisis trois nombres naturels consécutifs :
97 - 101
102 - 103
104 - 105
106
...............................................................................
107
Justifie en utilisant l’écriture algébrique.
(n − 1) + n + (n +1) = 3n où n est le nombre du milieu.
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� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
32 Détermine le troisième nombre consécutif de 4n :
4n + 12
...............................................................................
108
33 Le nombre «a» fait partie de la famille des 4n + 1.
Le nombre «b» fait partie de la famille des 3n + 2.
Le nombre «c» fait partie de la famille des 5n + 3.
À quelle famille appartient d = a + b + c ?
Explique ton procédé.
12n + 6
109 - 110
..................................................................................
Il suffit d’additionner 4n + 1 et 3n + 2 et 5n + 3, on obtient 12n + 6 ou 6 ∙ (2n +1).
111 - 112
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Tu es capable de
ττ de reconnaître des nombres naturels consécutifs
ττ de reconnaître des multiples d’un nombre consécutifs
ττ de reconnaître une famille de nombre
ττ de déterminer à quelle famille un nombre appartient
29
Résolution de problèmes
34 Trois éoliennes distantes de 400 m tournent à des fréquences différentes.
La 1re effectue 1 tour en 10 secondes, la 2e 1 tour en 12 secondes et la 3e
1 tour en 15 secondes. Combien de temps s’écoule (si le vent ne change pas)
entre deux moments au cours desquels les éoliennes sont synchros ?
Utilise un tableau :
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
de tours
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11� � � � � � � � �12
� � � � � � � � � � �Nombre
� � � � � � � � � ��
��
1 (en sec) 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110� � � � � � � �120
� � �Temps
� � � � � � � � � � � � �éolienne
� � � � ��
��
2 (en sec) 12
24
36
48
60
72
84
96
108 120 132� � � � � � � �144
� � �Temps
� � � � � � � � � � � � �éolienne
� � � � ��
��
3 (en sec) 15
30
45
60
75
90
105 120 135 150 165� � � � � � � �180
� � �Temps
� � � � � � � � � � � � �éolienne
� � � � ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Toutes les 60 secondes les trois éoliennes seront synchros.
PPCM de 10, 12 et 15.
60
� � � � � � � �est
� � � � � � � � �le
� � � ��
��
qu’après 30 secondes la 1e et la 3e éolienne sont synchros car
Tu
� � � � � � � �remarqueras
� � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � �le
��
10 et 15 est 30.
PPCM
� � � � � � � � � � � � � � � � �de
� � � ��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
35 Un marbrier peut découper des carreaux de pierre naturelle à la taille demandée par le client.
Je souhaite couvrir une pièce de 4,5 m sur 3,5 m à l’aide des plus grands carreaux carrés
identiques sans avoir de découpe à effectuer. Quelle taille de carreaux dois-je commander à
mon marbrier ? (Il n’y aura pas de joints lors de la pose du carrelage.)
4,5 m = 450 cm et 3,5 m = 350 cm
de 450 et de 350 est
50.
Le
� � � � � � �PGCD
� � � � � � � � � � � � ��
��
commander des
carreaux de 50 cm de côté.
Je
� � � � � � �dois
� � � � � � � � � � � �donc
��
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
36 Un jardinier a reçu 140 plants de géranium et 105 plants de bégonia. Il désire réaliser un
maximum de jardinières identiques, c.-à-d. comprenant la même répartition de géraniums
et de bégonias, en utilisant tous les plants.
a
Détermine le nombre de jardinières identiques.
Le PGCD de 140 et de 105 est 35. Le jardinier
réaliser 35 jardinières.
�pourra
� � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
b
Détermine le nombre de géraniums et de bégonias que contiendra chaque jardinière.
Chaque jardinière contiendra 140 : 35 géraniums et
35 bégonias, soit 4 géraniums et 3 bégonias.
�105
� � � � � � � � � �:� ��
� � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � � � � ��
30
Résolution de problèmes