Marché : rencontre Demande / Offre, où Offre = agrégation Chapitre II : Le producteur et la fonction d’offre des offres individuelles L’offre individuelle = comportement sous contraintes des producteurs de B&S : - le marché : concurrence, D (hyp : atomicité) - les technologies disponibles : fonctions de production - le coût des combinaisons technologiques disponibles Microéconomie - 1ère année Gif – Voie 2 Cours de Sébastien Bréville ⇒ Objectif : maximiser le profit (sym. max U) Support : S. Bréville – D. Namur 1 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 2 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Plan du chapitre L’entreprise dans la théorie microéconomique La contrainte technologique, la fonction de A l’intérieur de cette boîte noire production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur se déroule une activité productive associant les inputs afin d’obtenir un output. Inputs Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Entreprise = Boîte noire premières, capital financier, 44 Outputs Production : processus transformant des inputs en outputs Inputs : travail, terre, matières capital physique (machines…). En général, on considère 2 inputs (capital et travail) 3 3 Contrainte technologique Contrainte technologique Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Ensemble et fonction de production Propriété des fonctions de production Ensemble de production : ensemble des combinaisons [ input / output ] potentiellement réalisables Fonction de production : frontière de l’ensemble de production = la relation entre la quantité de facteur(s) et le niveau maximum de produit qu’elle permet d’obtenir y = f(x) Y=output les fonctions de production sont croissantes et concaves f’(x)>0 : une plus grande quantité de facteurs de production permet de produire plus f’’(x)<0 : e produit marginal du facteur est positif mais il décroît avec la quantité de facteur utilisée – Hypothèse discutable Frontière = fonction de production • Y = f(X) Les fonctions de production sont monotones si augmentation de la quantité d’au moins un input, il reste possible de produire au moins la même quantité initiale d’output y Ensemble de production fonctions de production sont supposées être continues et dérivables. Les fonctions de production sont supposées continues : les inputs et les outputs sont donc considérés comme parfaitement divisibles X = input 5 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 6 5 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 6 Courbes d’iso-produit ou isoquantes Exemple de fonction de production à deux facteurs y = f ( x1 , x2 ) = x11/ 4 x2 = x11/ 4 x1/2 2 Définition : on appelle isoquante ou courbe d’iso-produit, l’ensemble de toutes les Avec 16 unités de facteur 1 et 16 unités de facteur 2, le producteur ainsi modélisé produit ( y) combinaisons possibles d’inputs 1 et 2 qui sont juste suffisante pour produire un niveau donné de production une quantité de 8: y = f (16,16) = 161/ 4161/ 2 = 2 × 4 = 8. Vérification des propriétés : x2 = input 2 ∂y 1 (1/ 4) −1 1/ 2 1 −3/ 4 1/ 2 = x1 x2 = x1 x2 ∂x1 4 4 ∂2 y 3 = − x1/2 2 x1−7 / 4 ∂x12 16 ∂y 1 −1/ 2 1/ 4 = x2 x1 ∂x2 2 Isoquante : y = f(x1, x2) ∂2 y 1 = − x2−3/ 2 x11/ 4 ∂x22 4 Ensemble de production x1 = input 1 7 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 7 8 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 8 Exemple d’isoquante Facteurs complémentaires et facteurs substituables Prenons un niveau donné de production, par exemple y =4. On peut obtenir l’équation de On dit que deux facteurs sont complémentaires lorsqu’ils ne peuvent être combinés que dans l’isoquante dans le plan ( x2 0 x1). Il ressort : x11/ 4 x1/2 2 = 4 ⇒ x1/2 2 = X1 1 4 16 4 16 ⇒ x2 = 1/ 2 x11/ 4 x1 yϮ X2 16 8 4 des proportions fixes (un homme sur une machine). Le rapport de l’un à l’autre doit rester constant La forme de la fonction de production permettant de modéliser cela est une fonction dite de type Léontieff f ( K , L) = min(aK , bL) a>0 et b>0 L ϭϲ ϭϰ isoquantes ϭϮ ϭϬ ϴ ϲ ϰ Ϯ Ϭ 9 K ϮϰϲϴϭϬϭϮ ϭϰϭϲyϭ Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 10 10 9 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 fonction de production Cobb-Douglas Facteurs complémentaires et facteurs substituables Deux facteurs sont dits substituables lorsqu’il est possible de compenser la diminution d’une quantité de facteur par une augmentation de la quantité de l’autre facteur, cette compensation permettant de maintenir le niveau de production inchangé. Ex : L’électricité et le gaz sont donc parfaitement substituables dans les proportions suivantes : 1 unité de gaz pour dix unités d’électricité La fonction de production a la forme générique suivante Dans l’exemple, la fonction de production s’écrit donc : y = ax1 + bx2 avec a et b positifs En microéconomie, on suppose le plus souvent que les opérations de production utilisent des facteurs qui ne sont ni parfaitement substituables, ni totalement complémentaires. Les isoquantes prennent une forme intermédiaire aux deux précédentes. On obtient donc une isoquante de forme convexe qui est un intermédiaire entre les deux cas extrêmes présentés auparavant. y = f(x1,x2) = A. x1c .x2d yϮ y = 0.1x1 + x2 &ĂĐƚĞƵƌƐƐƵďƐƚŝƚƵĂďůĞƐ &ĂĐƚĞƵƌƐĐŽŵƉůĠŵĞŶƚĂŝƌĞƐ yϮсŐĂnj ϭŵϯ ϭϬŬǁŚ 11 11 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 &ĂĐƚĞƵƌƐĐŽŵƉůĠŵĞŶƚĂŝƌĞƐ yϭсĠůĞĐƚƌŝĐŝƚĠ 12 12 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 yϭ Taux de substitution technique : TST A partir d’un point précis d’une isoquante, nous envisageons de substituer un facteur à un autre Taux marginal de substitution technique : TMST Avec des fonctions de production continues et dérivables : c’est-à-dire par exemple diminuer le recours à l’un (le facteur 1, par exemple) et donc augmenter le recours à l’autre (le facteur 2) tout en conservant la même quantité d’output TMST ( x1 , x2 ) = yϮ dx2 dx1 Le TMST est donc la dérivée de l’équation de l’isoquante. En un point, le TMST représente la pente de l’isoquante ĠƉůĂĐĞŵĞŶƚĚĞůĂ ĐŽŵďŝŶĂŝƐŽŶƉƌŽĚƵĐƚŝǀĞ Exemple de TMST : Reprenons l’équation de l’isoquante pour y = 4 ∆x2 x2 = yϭ ∆x1 x2 de ∆x2 pour conserver inchangé le niveau de production. 13 13 l’expression du TMST est donc TMST ( x1 , x2 ) = dx2 = −8x1−3/ 2 = 8x1−3/ 2 dx1 On peut calculer sa valeur en un point, soit par exemple pour x1=4, x2=8. Une diminution du facteur x1 de ∆x1 doit être compensée par une augmentation du facteur 16 ⇒ x2 = 16 x1−1/ 2 x1/ 2 Il vient TMST(4,8) = 8*0,125=1 : pente de l’isoquante en ce point En ce point, une légère diminution de facteur 1 pourra être compensée par une augmentation de même montant (proportion de 1) du facteur 2. ∆x2 le taux de substitution technique de l’input 1 par de l’input 2 est TST ( x1 , x2 ) = ∆x1 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 14 14 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Représentation graphique et propriété du TMST Sous l’hypothèse de fonctions de production croissantes et concaves, les isoquantes sont de forme convexe. Si nous nous déplaçons vers la droite (augmentation du facteur 1 et diminution du facteur 2), le TMST va diminuer (la pente de l’isoquante est de plus en plus faible). On parle de décroissance du TMST yϮ ϭϲ ϭϰ ϭϮ La contrainte technologique, la fonction de production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur Croissance et concavité de la fonction de production conduisent à la décroissance du TMST ϭϬ ϴ ϲ Si les facteurs sont parfaitement substituables, ϰ Ϯ Ϭ 15 15 ϮϰϲϴϭϬϭϮ ϭϰϭϲyϭ les isoquantes sont des droites, on parle dans ce cas de constance du TMST. Dans l’exemple de la boulangerie, le TMST était égal à 0,1. Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 16 16 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Productivités moyennes et marginales L’hypothèse de décroissance du produit marginal Dans le cas d’une fonction de production croissante et concave, la fonction de productivité marginale est positive (dérivée première positive) mais comme la dérivée seconde de la fonction de production est négative, la fonction de productivité marginale est décroissante La fonction de productivité moyenne du facteur 1 est définie comme le rapport du produit total à la quantité de cet input PM ( x1 ) = y x1 Lorsque nous modifions successivement la La productivité marginale du facteur 1 est la variation de production résultant d’une Pm1 = ∆y ∆x1 ou pour des variations infimes Pm1 = lim ∆x1 → 0 ∆y ∂y = = f x'1 ∆x1 ∂x1 y = f ( x1 , x2 ) quantité de facteur de production x1 d’un montant identique, les autres facteurs étant fixes, on remarque que la production totale augmente mais de moins en moins. On a A>B>C… augmentation d’une unité supplémentaire de facteur 1. Autrement dit, la productivité marginale (Pm) est la quantité supplémentaire d’output par unité supplémentaire de l’input considéré. C’est l’hypothèse du produit marginal décroissant. Elle est la conséquence de la forme de la fonction de production yϭ La productivité marginale en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction de production au point considéré 17 17 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 18 18 18 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Productivité marginale et TMST De façon analogue au TMS, pour une isoquante donnée, la production est constante => toute modification marginale de la quantité d’un facteur est compensée par une modification de celles des autres facteurs, tel que : y = f(•) = constante : ∂y ∂y Soit la différentielle de la fonction de production dy = dx1 + dx2 ∂ ∂ x x2 1 productivité marginale: dy = Pm1dx1 + Pm2 dx2 Pm1 dx = − 2 = TMST ( x1 , x2 ). Pm2 dx1 Le produit marginal mesure d’une certaine façon la sensibilité de la production à la variation d’un facteur. On obtient la pente de la fonction de production pour un facteur donné. Il existe en fait un indicateur de sensibilité plus satisfaisant : l’élasticité. D’une manière générale, pour une fonction y = f(x1, …, xn), on définit l’élasticité de y par rapport à un facteur x1 comme la variation relative de y résultant d’une variation relative de x1 : ∆y y ∆y x , ou exprimée en Si l’on souhaite rester sur une isoquante, il faut que toute variation de la production consécutive à une variation d’un facteur soit exactement compensée par une autre variation de l’autre facteur, de sorte que dy=0 Pm1dx1 + Pm2 dx2 = 0 ⇒ Elasticités de production e( y x1 ) = ∆x1 x1 = ∆x1 × 1 y Interprétation : si le facteur varie de 1%, la production varie de e( y x1 ) %. Pour des fonctions continues : e( y x1 ) = ∂y x1 x Pm1 × = Pm1 1 = ∂x1 y y PM 1 Cette expression correspond à la définition du TMS. 19 19 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 20 20 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Elasticités de production : exemple Etude d’une fonction de production Cobb-Douglas (1/2) Si deux facteurs de production : y = ax1α x2β avec a, α , β des paramètres Supposons que le passage de 600 à 650 heures travaillées permette à la positifs et 0 < α < 1, 0 < β < 1. production de passer de 3800 à 4500 unités Calcul de l’élasticité de production : Fonctions de productivité marginale : avec 4500 − 3800 650 − 600 ∆y y = ≈ 18.421% et ∆x x = ≈ 8.333% 3800 600 d’où e( y / x ) ≈ Pm1 = aβ x1α x2β −1 > 0 ∂ 2 y ∂Pm2 = = aβ ( β − 1) x1α x2β − 2 < 0 ∂x22 ∂x2 18,4% ≈ 2,21 8,3% Fonction croissante à productivité marginale décroissante α −1 β Elasticité de production : e( y x1 ) = Pm1 x1 = aα x1 x2 .x1 = α y ax1α x2β et e( y x2 ) = β . Interprétation : lorsque le travail augmente de 1%, la production augmente d’environ 2,21 % 21 21 ∂ 2 y ∂Pm1 = = aα (α − 1) x1α − 2 x2β < 0 ∂x12 ∂x1 Pm1 = aα x1α −1 x2β > 0 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 22 22 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Etude d’une fonction de production Cobb-Douglas (2/2) TMST : TMST ( x1 , x2 ) = Pm1 aα x1α −1 x2β α x2 = = Pm2 aβ x1α x2β −1 β x1 Isoquantes pour un cas particulier : La contrainte technologique, la fonction de production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur 1 a = 1, α = β = . 2 yϮ y=x x 1/ 2 1/ 2 1 2 soit y = x1 x2 , nous aurons pour : y = 1 ⇒ 1 = x1 x2 ⇒ x2 = 1 x1 y = 2 ⇒ 2 = x1 x2 ⇒ x2 = 23 23 4 x1 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 yϭ 24 24 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Le choix du producteur en concurrence parfaite : la maximisation du profit (1/3) La notion de profit : différence entre la recette totale et le coût total. Ce qui reste de l’ensemble des recettes après que l’entreprise a rémunéré tous ses facteurs de production. Il est exprimé en unités monétaires. - Soit une entreprise qui fabrique un produit en quantité y à partir de n facteur de production x1, x2… xn. Soit p le prix de marché de l’output et p1, p2, … pn, les prix de marché des inputs. - Recette totale : RT = py - Coût total :CT = p1 x1 + p2 x2 + ... pn xn π = RT − CT = py − ( p1 x1 + p2 x2 + ... pn xn ) Le choix du producteur en concurrence parfaite : la maximisation du profit (2/3) Résolution du programme de maximisation du profit avec deux facteurs x1 , x2 s.c. y = f ( x1 , x2 ) 26 26 x1 , x2 pf x'1 − p1 = 0 soit pPm1 = p1 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Résolution du système : 25 −1/ 2 1/ 4 −3/ 4 1/ 2 K L L K = pK pL 2 25 soit = pK pL 2 2p p d'où : L−1/ 2 = K L 25 625 donc L = 4( pK pL ) 2 1/ 2 1/ 4 L - Les prix des facteurs sur le marché sont de pK = 5 et pL = 5 ; le prix de marché de l’output est p = 10 pf ( K , L) − KpK − LpL - Programme de maximisation du profit : max K ,L Fonction de demande de travail autrement dit : max 10 K 1/ 2 L1/ 4 − KpK − LpL K ,L - CPO : dérivée / K : 5 K −1/ 2 1/ 4 L = pK 5 dérivée / L : L−3/ 4 K 1/ 2 = pL 2 x1 , x2 s.c. y = f ( x1 , x2 ) La situation de la firme est optimale lorsque pour chaque facteur de production, la valeur du produit marginal est égale au prix du facteur Le choix du producteur en concurrence parfaite : la maximisation du profit (3/3) Exemple : f ( K , L) = K max py − p1 x1 − p2 x2 pf x'2 − p2 = 0 soit pPm2 = p2 production (biens fongibles, rémunération du capital, du travail, paiements d’intérêt, dividendes des actionnaires….) Le profit n’est pas assimilable à la notion de résultat proposé par la comptabilité générale. Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 max pf ( x1 , x2 ) − p1 x1 − p2 x2 CPO : - Remarquons que la définition économique du profit inclut le coût de tous les facteurs de 25 25 max π variables : 625 2 4( p K pL ) soit : 5 K −1/ 2 × 5 = pK (2 pK pL )1/ 2 pK (2 pK pL )1/ 2 25 25 = pK (2 pK pL )1/ 2 d'où : K −1/ 2 au final : K = 625 2 pK3 pL Fonction de demande de capital En utilisant pK et pL = 5, on trouve K= ½ et L= ¼ . La production est donc de et le profit pour p=10 1 f ( K , L) = K 1/ 2 L1/ 4 = est : 1 2 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 = pK soit encore : K −1/ 2 = 1 2 1 4 π max = × 10 − × 5 − × 5 = 1.25 27 27 1/ 4 Puis : 5 K −1/ 2 28 28 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 2 La fonction de coût mesure le coût minimum pour atteindre le niveau d’output , sachant que les prix des facteurs sont p1et p2. Principes de minimisation du coût 29 29 La contrainte technologique, la fonction de Soit 2 facteurs de production x1 et x2 dont les prix sont p1 et p2 production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur Pour maximiser son profit, le producteur doit minimiser son coût total étant Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 donné un niveau de production fixé : facteurs de production ou seulement certains d’entre eux fonction de coût à long terme : coût minimum de production pour un niveau d’output donné et lorsque les quantités consommées de chacun des facteurs de production peuvent être ajustées fonction de coût à court terme : coût minimum pour atteindre un niveau de Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 1 + x2 p2 s.c. f ( x1 , x 2 ) = y La solution de ce problème donne le coût minimum permettant d’atteindre le niveau de production y , il dépend de p1, p2 et y . Nous pouvons donc l’écrire sous la forme d’une fonction de coût : c = c( p1, p2 , y ) La fonction de coût mesure le coût minimum pour atteindre le niveau d’output y , sachant que les prix des facteurs sont p1et p2. 30 30 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Minimisation du coût à long terme : approche graphique Droite d’isocoût : toutes les combinaisons possibles d’inputs qui correspondent à un certain niveau de coût C p C − 1 x1 Equation de la droite d’isocoût :C = x1 p1 + x 2 p 2ou x 2 = p2 p2 Cette équation est celle d’une droite de pente (- p1/p2) et d’ordonnée à l’origine (C/p2). Nous pouvons donc représenter cette droite dans le plan (x1, 0, x2). x 2 Tous les points d’une droite d’isocoût correspondent au même coût C. A mesure que le coût augmente, la droite se déplace vers le haut production donné et lorsque des facteurs de production sont fixes, c'est-à-dire que seuls les facteurs de production variables peuvent s’ajuster 31 31 1 x1 , x2 Minimisation des coûts à court ou à long terme les coûts minimums diffèrent selon que la firme puisse ou non ajuster tous ses min x p 32 32 C2/p2 Augmentation du coût Pente : -p1/p2 C1/p2 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 x1 Minimisation du coût à long terme le problème de minimisation du coût revient à trouver la combinaison Minimisation du coût à long terme Au point de tangence , la pente de l’isoquante doit être égale à celle de la optimale (x1*,x2*) pour un niveau donné d’output y Graphiquement : optimum = point de tangence entre la courbe d’isoquante permettant de produire un niveau d’output donné et la droite d’isocoût la plus basse permettant d’obtenir ce niveau de production x2 TMS ( x1* , x2* ) = f ' x ( x1 , x2 ) p1 Pm1 = = 1 p2 Pm2 f ' x2 ( x1 , x2 ) Le coût est minimum lorsque le taux marginal de substitution technique est Isoquante permettant d’atteindre le niveau de production désiré X 2* x1 yϭΎ Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 33 droite d’isocoût égal au rapport des prix. Autrement dit, le coût est minimum lorsque le rapport des productivités marginales des 2 facteurs de production est égal au rapport des prix de ces facteurs. Cette condition d’optimalité est valable sous l’hypothèse classique de croissance et de concavité de la fonction de production. 34 34 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Approche analytique de la fonction de coût à long terme (1/2) Le sentier d’expansion On peut représenter les isoquantes pour différents niveaux d’output et les points de tangence associés aux droites d’isocoût. Si on relie tous les points de tangence, on obtient une représentation graphique appelée sentier d’expansion. Problème de minimisation sous contrainte de technologie min CT ( x , x 1 2 ) x1 , x2 s.c. f ( x1 , x 2 ) = y Définition : On appelle džϭ sentier d’expansion, pour des prix de facteurs fixés, l’ensemble des facteurs permettant de produire au moindre coût lorsque le niveau de production varie. ^ĞŶƚŝĞƌĚ͛ĞdžƉĂŶƐŝŽŶ soit min x p 1 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 + x2 p2 s.c. f ( x1 , x 2 ) = y La solution de ce programme de minimisation donne le coût minimum pour atteindre le niveau de production y . La solution dépend alors des paramètres p1, p2 et y . Lagrangien : L = p1 x1 + p2 x2 − λ[ f ( x1 , x2 ) − y ] džϮ 35 35 1 x1 , x2 36 36 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 L = pKK + pLL – λ[K1/2L1/4 ] Approche analytique de la fonction de coût à long terme (2/2) Conditions de premier ordre : p1 − λf x' = 0 1 Minimisation du coût : application (1/2) Soit une fonction de production de type Cobb-Douglas à 2 facteurs de ' p2 − λf x2 = 0 f ( x1 , x2 ) − y = 0 production variables K et L dont les prix sont respectivement Résolution du système de 3 équations à 3 inconnues : f ' x1 p1 ∂f ( x1 , x 2 ) / ∂x1 Pm1 = = = = TMST p 2 ∂f ( x1 , x 2 ) / ∂x 2 f ' x2 Pm2 Condition d’optimalité : la combinaison optimale de facteurs qui minimise pK = 5 et pL = 5 : ƒ(K,L) = K1/2L1/4 Quel est le coût minimum pour atteindre y : Min KpK + LpL s.c. K1/2L1/4 = y Lagrangien : L = pKK + pLL – λ[K1/2L1/4 - y ] CPO : le coût total est celle qui égalise le rapport des productivités marginales des facteurs au rapport des prix de ces mêmes facteurs. 37 37 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 38 38 Minimisation du coût : application (2/2) A partir des 2 premières équations, on retrouve la condition d’optimalité TMST = rapport des prix des facteurs : 3 1 1 −4 2 L K 5 4 = =1 1 1 1 4 −2 5 LK 2 ou 1 −1 L K =1 2 ou K = 1 ⇒ K = 2L 2L 1/ 2 1/ 4 En substituant dans la contrainte : K L − y = 0 − 2 4 ou 21/ 2 L3 / 4 = y ⇒ L = 2 3 y3 2 1 4 4 − 3 3 Comme K = 2L, on trouve K = 2.2 y 3 = 2 y 3 ( 2 L)1/ 2 L1/ 4 = y 1 −1/ 2 1/ 4 ' p K − λf K = 5 − λ 2 K L = 0 1 1 / 2 −3 / 4 ' p L − λf L = 5 − λ K L = 0 4 K 1/ 2 L1/ 4 − y = 0 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Minimisation du coût à court terme (1/2) A court terme, certains facteurs de production sont utilisés en quantités fixes. La fonction de coût de court terme est donc le coût minimum de production d’un niveau donné d’output quand on ajuste uniquement les facteurs de production variables. Par exemple, on suppose l’existence d’une seule machine à court terme qui permet de produire le niveau d’output y avec x1 travailleurs. La quantité de facteur 2 est fixé à court terme (x2 = x2 ) Min x1 p1 + x2 p2 x1 1 Pour un niveau d’output de y = la combinaison de facteurs qui minimise 2* * * * Programme de minimisation du coût : s.c. f ( x1 , x2 ) = y le coût total de production est (K , L ) avec K = ½ et L = ¼ 39 39 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 40 40 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Minimisation du coût à court terme (2/2) La contrainte technologique, la fonction de La quantité de facteur 1 demandée dépend de la quantité fixe de facteur 2 (si une seule machine, il faut un nombre limité de travailleurs) production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur La fonction de demande de facteur est donc : x1 = x1 ( p1 , p2 , x2 , y ) La fonction de coût est c( x2 , y ) = p1 x1 ,+ p2 x2 La résolution du programme de minimisation donne : f ' x1 = Pm1 = p1 La condition de choix optimal du facteur 1 qui minimise le coût lorsque le facteur 2 est fixe est donc que le prix du facteur 1 doit être égal à sa productivité marginale. Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 41 41 Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08 42 42 Les rendements d’échelle : définition Les rendements d’échelle = indicateur de variation de la production d’une entreprise relativement à celle de ses inputs. Variation de l’output suite à une modification de l’échelle de production. Détermination de la nature des rendements d’échelle : toutes les quantités d’inputs sont multipliées par un nombre quelconque λ > 1. Les rendements d’échelle sont : Croissants si la production est multipliée par un nombre strictement supérieur à λ : si Rendements d’échelle d’une fonction Cobb-Douglas a b Soit une fonction de type Cobb-Douglas : f ( x1 , x 2 ) = Ax1 x 2 Les rendements d’échelle sont en lecture directe : Si a+b = 1 rendements constants Si a+b < 1 rendements décroissants Si a+b > 1 rendements croissants f(λX) / f(X) > λ. L’augmentation de la production est plus que proportionnelle à l’accroissement des quantités d’inputs. offre infinie Décroissants si la production est multipliée par un nombre strictement inférieur à λ : f(λX) / f(X) < λ décomposition de la production en petites unités Constants si la production varie dans la même proportion que les inputs donc si f(λX)=λf(X). Ce cas de figure est le plus utilisé en théorie économique car il implique la réalisation d’un profit nul pour l’entreprise en concurrence pure et parfaite. 43 43 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 44 44 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Rendements d’échelle et fonction de coût • Rendements constants Rendements croissants Coût augmente moins que proportionnelement par rappport à l’augmentation de la produciton Coût augmente plus que proportionnelement par rappport à l’augmentation de la production Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 45 45 production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur LJ LJ LJ Doublement de la production doublement des coûts La contrainte technologique, la fonction de d d d Rendements décroissants Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08 46 46 La fonction de coût total : définition La fonction de coût total : application Soit la fonction de production Cobb-Douglas à 2 facteurs de production la fonction de coût total est une fonction qui fait correspondre, à tout niveau d’output y, le coût minimum permettant d’atteindre cet output. A partir du coût total, on détermine le coût minimum pour un output qu maximise le profit La fonction de coût total se déduit du programme de minimisation du coût ; elle dépend donc de la forme de la fonction de production 3 étapes pour obtenir la fonction de coût : variables K et L dont les prix sont respectivement pK = 5 et pL = 5 : ƒ(K,L) = K1/2L1/4 La combinaison de facteurs qui minimise le coût total est : 1 4 2 4 − et (cf slides 38 et 39) K * = 23 y 3 L* = 2 3 y 3 En substituant ces résultats dans la fonction de coût total : CT CT(y, pK, pL) = pKK(y) + pLL(y) Programme d’optimisation (cf application slides 38 et 39) Exprimer les différentes quantités de facteur par rapport à l’ouput y Les substituer dans la fonction coût générique : CT (y, p1, p2,….pn) = p1x*1 + p2x*2 +…….+ pnx*n 4 1 4 −2 4 CT = 5 2 3 y 3 + 5 2 3 y 3 = y 3 5 * 21/ 3 + 5 * 2 − 2 / 3 ( CT (y) = 9,4494 y4/3 Courbe convexe (rendements décroissants) : 1/2 +1/4 = 0,75 <1 80 ) 60 40 20 y 1 47 47 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 48 48 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 2 3 4 5 Coûts fixes et coûts variables Existence de coûts quasi fixes à LT pour certains types d’industries Coûts fixes et monopole naturel Si coûts fixes importants et coûts marginaux faibles production effectuée de préférence par une seule entreprise (monopole naturel) Monopole naturel si la demande apparaît lorsque la demande ne suffit à amortir les coûts fixes de deux entreprises (transport ferroviaire, transport d’électricité…) car certains investissements (coûts) sont nécessaires avant de commencer à produire (Ex : construction et entretien du réseau électrique) Les coût fixes ne dépendent pas de la quantité produite. Si faible quantité produite coût unitaire élevé ( existence de seuil de prix de quantités produite pour amortir les coûts) Une fois le réseau installé, le coût d’une unité supplémentaire est faible 49 49 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Coûts fixes rendements d’échelle croissants. Le coût par unité produite diminue avec l’échelle (le niveau) de production Distinction coûts fixes et coûts variables : CT(y) = CV(y) + CF CT(y) = p1x1(y) + p2x2(y) +…….+ pnxn(y) + CF 50 50 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 La fonction de coût moyen La fonction de coût moyen mesure le coût par unité d’output. Le coût Fonction de coût marginal Le coût marginal mesure la variation du coût total engendrée par une moyen représente le coût unitaire de production CM ( y ) = variation de l’output c'est-à-dire la variation de coût résultant de la production d’une unité supplémentaire d’output : CT ( y ) y Cm = Le coût moyen peut être décomposé en coût fixe moyen et coût variable CV ( y ) CF moyen CM ( y ) = + = CVM + CFM y y Les CFM décroissent à mesure que y augmente ∆CT ( y ) ∆y ou Cm = ∂CT ( y ) ∂y Le coût marginal est la dérivée du CV car la dérivée du CF est nulle Les CVM décroissent en période de rendements croissants et deviennent croissants en période de rendements décroissants La courbe de CM diminue quand baisse des CFM puis augmente quand croissance des CVM courbe en U 51 51 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 52 52 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Coût marginal et maximisation du profit Représentation graphique des fonctions de coûts C 'M ( y ) = Soit CT ' ( y ) y − CT ( y ) C 'M ( y ) = y 2 = π = Max[ py − CT ( y )] Programme de maximisation du profit : Max y y ∂CT ( y ) = 0 ⇒ p = Cm( y ) CPO : π ' = p − ∂y Cm ( y ) y − CT ( y ) y 1 ( Cm ( y ) − C M ( y ) ) y 2 Coûts, prix sD Interprétation : le niveau de production y choisi par la firme est tel que le Cm est égal au prix de vente (déterminé par le marché) ŵ D En y3 , le coût d’une unité Cm La fonction de coût marginal coupe la fonction de coût moyen en son minimum p Cm π > 0 si p.y > CT c’est-à-dire si p > CM LJ0 53 53 p &D LJϭ Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 LJ y1 y4 y2 y3 54 54 y supplémentaire est supérieure au prix de vente, il faut baisser la production En y4 , coût de production inférieur au prix de vente, on continue à produire Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 L’offre du producteur La contrainte technologique, la fonction de La courbe de coût marginale met en relation la quantité offerte par l’entreprise et le prix de vente, c’est donc une courbe d’offre production, le taux marginal de substitution technique Productivité et élasticité de production La maximisation du profit La minimisation des coûts Les rendements d’échelle Les fonctions de coûts L’offre du producteur 55 55 Chapitre II – Le producteur Supélec Gif - 2007/08 Pour maximiser son profit, la firme produit jusqu’à ce que p=Cm(y) (CPO) La condition de second ordre est : Π " ( y ) = −CT " ( y ) ≤ 0 soit C 'm ( y ) ≥ 0 Au niveau de production optimal, le Cm est croissant La quantité optimale produite est dans la partie croissante de la courbe de coût marginal (y2) 56 56 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Les seuils de prix : présentation Si l’entreprise décide y = 0, elle paie tout de même les CF et π = -CF L’entreprise ne produit que si son profit est au moins supérieur à –CF CV ( y ) soit : Π ' ( y ) = py − CF − CV ( y ) ≥ −CF cad ou p ≥ CVM ( y ) p≥ y Les seuils de prix : représentation graphique Surface hachurée : profit du producteur Lecture : si le prix est p il faut produire y(p) (on trace la parallèle à l’abscisse jusqu’à l’intersection avec le Cm) WƌŝdžͬĐŽƸƚ ŵ D Ɖ si p ≤ CVm( y ) les recettes p.y ne permettraient pas de couvrir les coûts variables CV(y) (salaires, matières premières…) le déficit s’aggraverait avec la production cessation d’activité Soit p0 le prix égal à la valeur minimale du coût variable moyen et p1 la valeur ^ĞƵŝůĚĞƌĞŶƚĂďŝůŝƚĠ Ɖϭ ^ĞƵŝůĚĞĨĞƌŵĞƚƵƌĞ Ɖ0 sD minimale du coût total moyen, avec p0<p1 p0 seuil de fermeture p1 seuil de rentabilité LJ LJ;ƉͿ 57 57 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 58 58 Les seuils de prix : définition analytique (1/2) L’entreprise réalise un profit positif qui est maximum lorsque le coût marginal est égal à p. Ceci est réalisé pour une production égale à y(p). Le profit Π est alors : Π ( y ) = py ( p ) − CT ( y ( p ) ) CT ( y ( p ) ) soit Π ( y ) = y ( p ) p − = y ( p ) p − CM ( y ( p ) ) y ( p ) Le profit est donc la quantité vendue y multipliée par la marge unitaire pCM (sur le graphique, le profit est donc positif) Si prix de vente inférieur au seuil de rentabilité mais supérieur au seuil de fermeture (p0<p<p1), le profit est toujours maximal au point où y(p) est t.q. p=Cm, mais il est négatif (p<CM marge < 0). Le prix restant > au CVM 59 59 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 Les seuils de prix : définition analytique (2/2) Si prix de vente inférieur au seuil de rentabilité mais supérieur au seuil de fermeture (p0<p<p1), le profit est toujours maximal au point où y(p) est t.q. p=Cm, mais il est négatif (p<CM marge < 0). Le prix restant > au CVM, l’entreprise minimise ses pertes en remboursant une partie de son coût fixe. Formellement : -CF <Π ( y ) = y ( p ) p − CVM ( y ( p ) ) − CF <0 Si prix inférieur au seuil de fermeture (p<p0), y(p)=0 Π ( y ) = y ( p − CVM ( y ) ) − CF 60 60 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 < -CF L’offre du producteur : représentation graphique L’élasticité prix de l’offre de l’entreprise La fonction y(p) qui associe au prix de vente la quantité produite est appelée la fonction d’offre d’entreprise : Élasticité prix : rapport de la variation relative de la quantité offerte par l’entreprise et la variation relative du prix de vente : WƌŝdžͬĐŽƸƚ ŵ D Ɖ sD Ɖ0 LJ;ƉͿ 61 61 Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08 LJ ∆y y ρ= ∆p p Prix < seuil fermeture offre nulle Prix > SF y t.q. p = Cm Fonction d’offre = partie de la courbe de Cm située au-dessus de la courbe de CVM (et segment vertical au point y = 0). Fonction d’offre croissante et discontinue au point p = p0 Mesure le pourcentage de variation de quantité offerte y quand le prix de vente augmente de 1% Pour des fonctions continues :ρ = 62 62 dy p y ' ( p ) p = dp y y ( p) Chapitre II – Le producteur - Supélec Gif - 2007/08