3 - Monsieur CHAPON

3e
DEMONSTRATION
QUELQUES PROPRIETES POUR …
démontrer que deux droites sont parallèles :
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors ils sont définis par deux droites parallèles.
Si deux angles correspondants sont égaux, alors ils sont définis par deux droites parallèles.
Si une droite passe par les milieux de deux des côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
démontrer que deux droites sont perpendiculaires :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment.
Si une droite est la hauteur issue d'un sommet, alors elle est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Si une droite est la tangente à un cercle en un point, alors elle est perpendiculaire au rayon issu de ce point.
Si un quadrilatère est un losange (ou un carré), alors ses diagonales sont perpendiculaires.
démontrer que deux distances sont égales :
Si un quadrilatère est un rectangle (ou un carré), alors ses diagonales sont de la même longueur.
Si un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets du triangle.
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.
calculer la mesure d’un angle dans un triangle :
Si un polygone est un triangle, alors la somme de ses trois angles est égale à 180°.
démontrer que deux angles sont égaux :
Si un triangle est isocèle, alors les deux angles du côté opposé au sommet principal sont égaux.
Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles sont égaux.
Si un quadrilatère est un parallélogramme (ou un losange), alors ses angles opposés sont égaux.
Si un quadrilatère est un rectangle (ou un carré), alors tous ses angles sont égaux et mesurent 90°.
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
Si deux angles alternes-internes sont définis par deux droites parallèles, alors ils sont égaux.
Si deux angles correspondants sont définis par deux droites parallèles, alors ils sont égaux.
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils sont égaux.
Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est à égale à la moitié de
celle de l’angle au centre.
démontrer qu’un point est le milieu d'un segment :
Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un autre côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
démontrer qu’un triangle est isocèle :
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Collège Ambrussum
M. CHAPON
démontrer qu’un triangle est rectangle :
Si un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre d’un cercle et un point de ce cercle, alors il est rectangle en ce point.
démontrer qu’un triangle est équilatéral :
Si un triangle a tous ses angles égaux (à 60° …), alors il est équilatéral..."
démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme :
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés à la fois parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
démontrer qu’un quadrilatère est un losange :
Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leurs milieux, alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle :
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieux, alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
démontrer qu’un quadrilatère est un carré :
Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur, perpendiculaires, et qui se coupent en leurs milieux, alors c’est un carré.
REDIGER UNE DEMONSTRATION
Une démonstration se rédige en 3 étapes :
les données utiles
une propriété mathématique
la conclusion
Les données utiles
Une donnée est quelque chose dont on est sûr (pas dont on a l’impression). On trouve les données soit
dans l’énoncé, soit grâce au codage d’une figure.
Il arrive de ne pas utiliser toutes les données pour une démonstration. Il faut donc repérer les données utiles.
On écrit les données en commençant par « Je sais que » ou « Sachant que ».
Une propriété mathématique
C’est le lien entre les données et la conclusion : la propriété mathématiques sert à expliquer, connaissant
les données, comment on obtient la conclusion. On l’écrit en commençant par « Or » ou «Puisque».
La conclusion
C’est ce qu’il est demandé de démontrer dans l’énoncé. On l’écrit en commençant par « Donc » ou « J'en
déduis que » ou « J'en conclus que ».
Remarque : une conclusion devient alors quelque chose dont on est sûr. On peut donc la considérer
comme une donnée utile pour la suite !…
Figure à main levée :
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A et I est le milieu de [BC]. A’ est le
symétrique de A par rapport à I. Démontrer que ABA’C est un rectangle.
Je sais que I est le milieu de [BC]. Je sais aussi que I est le milieu de [AA']
puisque A' est le symétrique de A par rapport à I.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, alors
c'est un parallélogramme.
Donc ABA'C est un parallélogramme.
Je sais désormais que ABA'C est un parallélogramme et que l’ange a
BAC est un angle droit.
Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Donc ABA'C est un rectangle.
Collège Ambrussum
M. CHAPON