VECTEURS DU PLAN

Chapitre 05
Seconde
VECTEURS DU PLAN
I- Vecteurs et translations
1. Définition
Soit A et B deux points du plan.
Lorsque, à tout point M du plan, on associe le point M ′ tel que [AM ′ ] et [AB] ont le
−
−
→
même milieu, on dit que M ′ est l’image de M par la translation de vecteur AB.
B
A
b
b
b
b
b
M
M′
−
−
→
On représente le vecteur AB par une flèche. A est l’origine, B est l’extrémité du vecteur
−
−
→
AB.
−
−
→
Un vecteur AB est caractérisé par :
• une direction (celle de la droite (AB)) ;
• un sens (de A vers B) ;
• une longueur AB.
M ′ est l’image de M par la translation de vecteur AB si et seulement si le quadrilatère
ABM ′ M est un parallélogramme.
Remarque Si le point M est aligné avec A et B le parallélogramme est « aplati ».
M
M′
A
b
b
b
B
b
b
2. Egalité de deux vecteurs
Définition
−−
→
−−→
On dit que deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ils sont associés à
la même translation.
−
−
→ −−→
−−
→
AB = CD si et seulement si D est l’image de C par la translation de vecteur AB.
B
b
A
b
D
b
C
b
1
Chapitre 05
Seconde
Propriété
−
−
→
−−→
Les vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un
parallélogramme.
−→ −−→
On remarque que ABDC est un parallélogramme si et seulement si AC = BD.
B
b
A
b
D
b
C
b
On remarque que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction,
même sens et même longueur.
Propriété
Soit A et B deux points du plan.
−
→ −→
Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = IB.
I
A
b
b
B
b
→
3. Notation −
u
→
→
→
On notera avec une seule même lettre −
u (ou −
v, −
w , · · · ) tous lees vecteurs égaux à
−−
→
un vecteur AB.
−
−
→
→
u.
On dit que AB est un représentant du vecteur −
→
Un vecteur −
u est donc caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. (voir le
−
→
vecteur F en physique)
~u
~u
→
Propriété Soit −
u un vecteur du plan.
−−→
→
Pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM = −
u . M est
−
→
l’image de O par la translation de vecteur u .
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Chapitre 05
Seconde
~u
b
M
~u
Ob
Bb
A
b
Définition
Le vecteur dont l’origine et l’extrémité son confondues est appelé le vecteur nul. Il est
−
→
noté 0 .
Le vecteur nul n’a ni direction, ni sens.
4. Norme d’un vecteur
Définition
→
→
→
On appelle norme d’un vecteur −
u , notée k−
u k, la longueur de −
u.
−
−
→
−
→
kABk = AB et k 0 k = 0.
II- Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan.
Soit (O; I, J) un repère du plan.
−−→
Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique point M tel que ~u = OM .
Définition
Les coordonnées de ~u dans le repère (O; I, J) sont les coordonnées de M dans le repère
(O; I, J).
M
y
b
J+
b
O
+
I
x
Propriété 1
Soit deux points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) dans un repère (O; I, J) du plan.
−
−
→
Alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ).
Démonstration
−−→ −
−
→
Soit M (x; y) le point tel que OM = AB.
−
−
→
Les coordonnées de M sont les coordonnées de AB.
Le quadrilatère OABM est un parallélogramme donc ses diagonales [OB] et [AM ] ont
le même milieu.
 0 + xB = xA + xM
x = xB − xA
2
2
On en déduit :
⇐⇒
.
0
+
y
y
+
y
B
A
B
y
= yB − yA

=
2
2
−
−
→
On a bien : AB(xB − xA ; yB − yA ).
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Seconde
Exemple
Placer dans un repère (O; I, J) du plan les points A(1; 2), B(6; 3), C(−4; 2), D(−1; 1),
E(−4; 3) et F (2; 3).
−−
→ −−→ −−
→
Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, CD et EF :
• par le calcul ;
• par lecture graphique.
Propriété
Deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées
dans un repère du plan.
Exemple
Dans un repère (O; I, J), on considère les points A(1; 2), B(5; 4), C(2; 1), D(−2; −1)
et E(6; 2).
1) Montrer que le quadrilatère ABCD est un prallélogramme.
2) Calculer les coordonnées du point G tel que le quadrilatère CBEG soit un parallélogramme.
III- Somme de deux vecteurs
Définition 1
Soit ~u et ~v deux vecteurs. Le somme des vecteurs ~u et ~v , notée ~u + ~v, est le vecteur associé
à la translation résultant de la succession des translations de vecteurs ~u et ~v .
C
b
~u + ~v
A
~v
b
~u
b
B
B est l’image de A par la translation de vecteur ~u, C est l’image de B par la translation
de vecteur ~v .
C est l’image de A par la translation de vecteur ~u + ~v .
Propriétés
Pour tous points A, B, C et D du plan :
−
−
→ −−→ −→
• AB + BC = AC (relation de Chasles)
−
−
→ −→ −−→
• AB + AC = AD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (règle du parallélogramme).
b
Construction de la somme de deux vecteurs ~u et ~v
~u
b
~v
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b
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Seconde
• avec la relation de Chasles
−
−
→
On place un point A, on construit le point B tel que AB = ~u et le point C tel que
z}|{
BC = ~v .
−→
AC est un représentant du vecteur ~u + ~v .
Cb
~v
~u + ~v
~u
b
B
b
A
• avec la règle du parallélogramme
−
−
→
On place un point A, on construit le point B tel que AB = ~u et le point C tel que
−→
AC = ~v . On construit ensuite le parallélogramme ABDC.
−−→
AD est un représentant du vecteur ~u + ~v .
D
b
C
b
~u + ~v
B
~v
b
~u
b
A
Propriétés de la somme
Pour tous vecteurs ~u, ~u et w,
~ on a :
• ~u + ~v = ~v + ~u ;
• ~u + ~0 = ~u ;
• ~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~ = ~u + ~v + w.
~
Définition 2 Opposé d’un vecteur
L’opposé d’un vecteur ~u est le vecteur noté −~u tel que ~u + (−~u) = ~0.
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Seconde
~u
−~u
−
−
→
−−
→
L’opposé du vecteur AB et le vecteur BA.
Définition 3 Différence de deux vecteurs
La différence de deux vecteurs ~u et ~v , notée ~u − ~v est la somme ~u + (−~v ).
~u
~u
−~v
~v
~u − ~v
Propriété Coordonnées
Soit deux vecteurs ~u(x; y) et ~v (x′ ; y ′ ) dans un repère (O; I, J).
Alors le vecteur ~u + ~v a pour coordonnées (x + x′ ; y + y ′ ).
Les coordonnées du vecteur −~u sont (−x; −y).
Exemple
Dans un repère (O; I, J), on considère les points A(4; 3) et les vecteurs ~u(−1; −2) et
~v (−2; 3).
1) Calculer les coordonnées du vecteur ~u + ~v .
−−→
2) Calculer les coordonnées du point M défini par AM = ~u + ~v .
IV- Produit d’un vecteur par un réel
Définition
• Si ~u = ~0, alors pour tout réel λ, λ~u = ~0 ;
• si λ = 0, alors pour tout vecteur ~u du plan, λ~u = ~0 ;
• si λ > 0, le vecteur λ~u a même direction, même sens que ~u et kλ~uk = λ~u ;
• si λ < 0, on a −λ > 0, le vecteur λ~u a même direction, même sens que ~u et kλ~uk = −λ~u.
Propriété Soit (O; I, J) un repère du plan, un vecteur ~u(x; y) dans ce repère et lambda un
nombre réel.
Le vecteur λ~u a pour coordonnées coordonnées (λx; λy) dans le repère (O; I, J).
Exemple 1
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Chapitre 05
Seconde
On donne ~u(2; −1). Déterminer les coordonnées des vecteurs 2~u, −3~u.
Tracer un représentant de chacun des vecteurs ~u, 2~u et −3~u dans un repère (O; I, J).
Exemple 2
Dans un repère, on donne les points A(2; 1), B(7; 1) et C(3, 3).
−
−
→
−→
Construire le point M tel que AB + 2AC puis calculer les coordonnées de M .
Règles de calcul
Pour tous vecteurs ~u et ~v , pour tous réels λ et µ :
• λ~u = ~0 ⇐⇒ λ = 0 ou ~u = ~0.
• λ(~u + ~v ) = λ~u + λ~v .
• (λ + µ)~u = λ~u + µ~u.
— λ(µ~u) = (λµ)~u.
Exemple
2
On donne deux vecteurs ~u et ~v . Réduire l’écriture de : 2(~u − 3~v ) − 3 ~u − ~v .
3
Définition 2
Soit deux vecteurs ~u et ~v non nuls. On dit que ~u et ~v sont colinéaires lorsqu’il existe un
réel λ tel que ~v = λ~u.
Conséquences
• Soit quatre points A, B, C et D distincts deux à deux. (AB) est parallèle à (CD) si
−
−
→
−−→
et seulement si les vecteurs (AB et CD sont colinéaires.
• Soit trois points A, B, C distincts deux à deux . A, B et C sont alignés si et seulement
−−
→ −→
si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Théorème Soit ~u(x; y) et ~v dans un repère (O; I, J).
Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si xy ′ − yx′ = 0.
Démonstration
Les vecteurs ~u et~v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ tel que ~u = λ~v , ce
x = λx′
qui équivaut à :
.
y = λy ′
x x′
est un tableau de proportionnalité.
y y′
C’est encore équivalent à xy ′ = yx′ ou encore xy ′ − yx′ = 0.
Ceci équivaut à dire que le tableau
Exemple 1
On donne les points A(−1; 3), B(7; −1), C(5; 0), D(4; 2) et E(0; 4).
1. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
2. Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
Exemple 2
4
; 0 et N (1; 1).
Dans un repère (O; I, J), on donne les points M
3
La droite (M N ) coupe l’axe des ordonnées en un point P . Déterminer les coordonnées de
P.
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