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Bureaux d’étude Régulation Numérique
IEE, 2ième année
BE 03-07
Commande d’un système de conversion de
l’énergie éolienne de faible puissance
5 séances
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1. Objectifs
L’objectif de ce bureau d’étude est de concevoir un système de commande d’un système éolien
de faible puissance qui alimente une charge résistive isolée, en décomposant le problème en
sous-problèmes.
Des méthodes de réglage non empiriques de différents correcteurs numériques devront être
mises en œuvre pour que la tension aux bornes de la charge reste constante en dépit des
perturbations. Ces perturbations sont liées d’une part aux variations de la vitesse du vent et d’autre
part aux variations de la charge.
L’objectif global de commande sera décomposé en sous-objectifs :
- la commande de la partie de « conversion mécano-électrique »
- et la commande de la partie « alimentation de la charge »,
chacun des deux comportant la conception d’une structure de régulation en cascade.
2. Description du système physique
On donne la configuration suivante d’un système de conversion de l’énergie éolienne de faible
puissance :
Générateur à
courant continu
Vitesse
du vent
v
α1
DC
DC
R
24 V
DC
Turbine
éolienne
α2
Hacheur
élévateur
H1
DC
Hacheur
abaisseur
H2
Charge
isolée
variable
FIG. 1: Système de conversion éolienne de faible puissance
Cette configuration permet d’alimenter une charge isolée en courant continu. La turbine
éolienne est couplée directement à un générateur à courant continu.
La partie "conversion mécano-électrique" est séparée de la partie électrique permettant
l’alimentation de la charge par l’intermédiaire d’une batterie. Les deux parties sont contrôlées
séparément par deux convertisseurs continu-continu, à savoir un hacheur élévateur H de rapport
1
cyclique α et un hacheur abaisseur H de rapport cyclique α .
1
2
2
Les deux rapports cycliques α et α sont les degrés de liberté du système - ils seront
1
2
les grandeurs de commande.
Afin d’étudier et de contrôler le système, les équations dynamiques sont obtenues à partir du
schéma électrique équivalent de la Fig. 2.
Les hypothèses de modélisation sont les suivantes :
– La batterie est supposée idéale, c’est-à-dire la tension V est considérée constante et la
B
résistance interne de la batterie est négligeable.
– La force électromotrice du générateur est donnée par E=k Ω, où Ω est la vitesse de rotation
0
de l’arbre générateur.
– Le couple du générateur à courant continu est T =k i .
m Tm
– L’inertie de l’arbre du générateur est J .
m
– Pour des raisons de simplicité, le couple éolien est supposé linéaire : Te = kv v + ke Ω .
– r et L sont respectivement la résistance et l’inductance de la bobine du hacheur
m
m
élévateur.
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– r et L sont respectivement la résistance et l’inductance de la bobine du hacheur abaisseur.
h
h
– La charge variable est assimilée à une résistance de valeur R=R +∆R où R est constante
0
0
et ∆R représente les variations de la charge autour de R .
0
im
rm
Lm
Source
variable
E
D1
T1
VB
T2
ih
rh
vC
24 V
D2
Ω
im
α1
Lh
α2
C0
ih
R
vC
FIG. 2: Schéma équivalent
Objectif de commande pour la partie "conversion mécanique-électrique" (sous-système 1) : réguler
la vitesse de rotation Ω en dépit des variations de la vitesse du vent v. La sortie de ce soussystème est donc Ω et la variation du vent est considérée comme une entrée de perturbation.
Objectif de commande au niveau de la charge (sous-système 2) : réguler la tension V aux bornes
C
de la charge en dépit des variations de la charge ∆R. La sortie de ce sous-système est donc V et
C
la variation de la charge est considérée comme une entrée de perturbation.
3. Modélisation
Question 1* : Montrer que les équations dynamiques qui régissent le système sont données par :
Sous-système 1
k0 Ω = VB (1 − α1 ) + Lm
J
dim
+ rm im
dt
dΩ
= kv v + ke Ω − kT im
dt
Sous-système 2
VB α 2 = vC + Lh
dih
+ rh ih
dt
dvC vC
+
dt
R
Question 2* : Expliquer pourquoi nous pouvons contrôler le sous-système 1 indépendamment du
sous-système 2.
Question 3* : Expliquer pourquoi le système complet décrit par les équations ci-dessus est
nonlinéaire.
ih = C0
4. Linéarisation en vue de la commande
Les équations nonlinéaires qui régissent le système seront linéarisées autour d’un point de
fonctionnement. A cet effet, on posera :
im=im0+∆im,
Ω=Ω0+∆Ω,
v=v0+∆v,
α1=α10+∆α1,
V =V +∆V ,
C C0
C
R=R +∆R,
0
α =α +∆α
2 20
2
i =i +∆i
h h0 h
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où l’indice « 0 » correspond au point de fonctionnement – imposé par vC0=vC*, la valeur de
référence de la tension de la charge, Ω0=Ω*, la valeur de référence de la vitesse de rotation, v0, la
valeur moyenne, très lentement variable, de la vitesse du vent et R0, la valeur nominale de la
charge. Le symbole « ∆ » signifie les variations autour de ce point de fonctionnement.
Le modèle linéarisé du sous-système 1 est :
d∆im
+ rm ∆im − k0 ∆Ω = VB ∆α1
dt
d∆Ω
J
− ke ∆Ω + kT ∆im = kv ∆v
dt
Lm
(1)
Le modèle (1) sera utilisé pour la conception de la commande. Le modèle linéarisé du soussystème 2 utilisé pour la commande est :
d∆ih
+ rh ∆ih + ∆vC = VB ∆α 2
dt
d∆vC ∆vC
v
C0
+
= ∆ih − C20 ∆R
R0
dt
R0
Lh
(2)
Dans la suite le symbole « ∆ » sera omis pour simplifier l’écriture, mais il ne faut pas oublier
qu’il s’agit des modèles linéaires en variations.
Pour les applications numériques, on donne en USI :
J=0.1
kt=1.2
kv=2
ke= – 0.2
k0=0.5
Lm=25⋅10–3
rm=0.5
Lh=5⋅10–3
C0=220⋅10–3
rh=0.1
VB=24
R0=1.5
Ω0=33 rad/s
v0=10 m /s
VC0=15 V
5. Synthèse de correcteurs numériques de type PI
Pour le sous-système 1 l’objectif est de réguler la vitesse de rotation de la turbine, Ω, à une
valeur de référence Ω* en dépit des variations de la vitesse du vent v. Cela se réalise à travers une
structure de régulation en cascade avec 2 boucles :
- une boucle interne pour asservir le courant im
- une boucle externe pour réguler Ω.
Pour le sous-système 2 l’objectif est de réguler la tension de la charge, vC, à une valeur de
référence vC* en dépit des variations de la charge. Cela se réalise toujours à travers une structure
de régulation en cascade avec 2 boucles :
- une boucle interne pour asservir le courant ih
- une boucle externe pour réguler vC.
Pratiquement, les correcteurs sont réalisés par un calculateur numérique (un PC). Pour
chaque boucle de commande la mesure de la sortie arrive sur un convertisseur analogique
numérique (CAN) délivrant une information à chaque période d’échantillonnage. Un convertisseur
numérique analogique (CNA), de type bloqueur d'ordre 0, est placé au niveau de la consigne de
chaque boucle.
Les schémas de commande avec correcteurs numériques sont donnés en annexe pour les
deux sous-systèmes respectivement. La fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est
notée B0 ( s) .
Remarque :
À noter que la régulation en cascade permet le contrôle d’une variable interne – le courant –
en particulier la limitation de la sortie du correcteur de niveau supérieur.
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Hypothèses :
Les structures de régulation en cascade proposées se basent sur les hypothèses suivantes :
a. le courant im (boucle interne) varie beaucoup plus rapidement que la vitesse de
rotation (boucle externe) dans le cas du sous-système 1
b. le courant ih varie beaucoup plus rapidement que la tension de la charge dans le
cas du sous-système 2.
Ces hypothèses seront prises en compte lors de la formulation du cahier de charges pour les
boucles fermées.
Pour tout le problème, la période d’échantillonnage Te est prise égale à 4 ms.
5.1 Commande du sous-système 1
1. Commande de la boucle interne im (sous-système 1)
Dans cette partie, on ne s’intéresse qu’à la boucle interne du sous-système 1.
Le schéma de régulation numérique de la boucle interne du courant im a la structure donnée à la
Fig. 3.
Gi ( z)
H PI _ i ( z −1 )
ref (k) +
Σ
−
e(k )
Correcteur PI u (k ) CNA +
BOZ
numérique
Procédé
Ki
Gi ( s ) =
1 + τi s
y (k )
im
CAN
FIG. 3. Schéma de régulation numérique d’un système continu d’ordre 1
Question 4* : Expliquer pourquoi le terme k0Ω peut être considéré comme une perturbation variant
lentement.
Question 5* : Obtenir la fonction de transfert en z de la boucle ouverte interne.
Mettre la fonction Gi(z) sous la forme Gi ( z ) =
B( z )
.
A( z )
Question 6* : Calculer la fonction de transfert en z en boucle fermée
H BF _ i ( z ) =
Y ( z)
Ref ( z )
sachant que la fonction de transfert en z du correcteur PI numérique est de la forme :
H PI _ i
( )
( z ) = S z = r1+− rz z
( )
−1
R z −1
−1
0
−1
1
−1
Question 7* : Calculer les pôles discrets de la fonction de transfert désirée qui correspondent au
cahier des charges suivant :
-
le temps de réponse en boucle fermée est 2 fois plus petit que la constante de temps en
boucle ouverte,
le coefficient d’amortissement est ζ1 = 0.8 ( ω01 représentera par la suite la pulsation
naturelle en boucle fermée).
Calculer ensuite le correcteur numérique qui remplit le cahier de charges.
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Question 8 : Réaliser le schéma de simulation de la boucle interne de la Fig. 3 en utilisant des
blocs Simulink de type Zero-order Hold pour le bloqueur d’ordre 0 et pour le CAN. Pour les deux
blocs le paramètre « Sample time » prend la valeur de la période d’échantillonnage.
Lancer la simulation en appliquant à chaque fois un échelon de 1 A sur la valeur de référence du
courant im*, pour un horizon de temps suffisamment long afin d’observer les régimes transitoires.
Visualiser sur le même Scope les évolutions du courant et de sa référence et vérifier si le cahier de
charges en boucle fermée est respecté. Visualiser sur un autre Scope l’évolution de la commande,
le rapport cyclique α1, et vérifier qu’il ne dépasse pas les valeurs admissibles (en sachant que sa
valeur de régime établit vaut α10 = 0.55, qui correspond à Ω0=33 rad/s et v0=10 m /s). Commenter
les régimes dynamiques.
Question 9 : Compléter le schéma de simulation réalisé précédemment pour prendre en compte
le terme kOΩ. Lancer la simulation et visualiser sur le même Scope les évolutions de im et im* et
séparément l’évolution de la vitesse de rotation Ω. Commenter l’influence de la variation de Ω sur
celle de im.
2. Commande de la boucle externe Ω (sous-système 1)
Question 10* : En négligeant la dynamique de la boucle fermée interne de courant (càd, en
assimilant la boucle interne à son gain statique) montrer que la boucle externe (de vitesse de
rotation) peut se ramener au schéma de la Fig. 4 :
Ge (z)
H PI _ e ( z −1 )
ref (k) +
Σ
−
e(k ) Correcteur PI u (k ) CNA +
numérique
Procédé
Ke
Ge ( s) =
1 + τe s
BOZ
im
y (k )
CAN
FIG. 4.
Question 11* : Obtenir la fonction de transfert en z de la boucle ouverte externe Ge(z) ;
la mettre sous la forme Ge ( z ) =
B( z )
.
A( z )
Question 12* : Calculer la fonction de transfert en z en boucle fermée
H BF _ e ( z ) =
Y ( z)
Ref ( z )
Question 13* :
Calculer les pôles discrets de la fonction de transfert désirée qui correspondent au cahier des
charges suivant :
- le temps de réponse en boucle fermée est 2 fois plus petit que la constante de temps en
boucle ouverte,
- le coefficient d’amortissement est ζ 2 = 0.9 ( ω02 représente la pulsation naturelle en
boucle fermée).
Calculer ensuite le correcteur numérique qui remplit le cahier de charges.
Question 14 : Réaliser le schéma de simulation complet du sous-système 1, conformément à la
l’annexe. Lancer la simulation en appliquant un échelon de 5 rad/s sur la valeur de référence de
vitesse, Ω*(k) pour un horizon de temps bien choisi. Visualiser sur le même Scope les évolutions
des variables et de leurs références (Ω(k) et Ω*(k), ainsi que im(k) et im*(k)). Expliquer les régimes
dynamiques.
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Question 15 : Appliquer une perturbation en échelon de la vitesse du vent après 2 s, en
l’augmentant puis en la réduisant de 1 m/s. Visualiser les mêmes variables qu’à la question
précédente. Commenter le rejet de la perturbation.
5.2 Commande du sous-système 2
Question 16 : Reprendre la procédure précédente pour le sous-système 2 en respectant le cahier
des charges suivant :
boucle interne (ih) :
-
le temps de réponse en boucle fermée est 1.5 fois plus petit que la constante de temps en
boucle ouverte
le coefficient d’amortissement est ζ 3 = 0.8 ( ω03 représente la pulsation naturelle en
boucle fermée).
boucle externe (vC) :
-
le temps de réponse en boucle fermée est 1.5 fois plus petit que la constante de temps en
boucle ouverte
le coefficient d’amortissement est ζ 4 = 0.9 ( ω04 représente la pulsation naturelle en
boucle fermée).
Réaliser le schéma de simulation complet du sous-système 2. Lancer la simulation en appliquant
un échelon de 3 V sur la valeur de référence de tension, vC*(k) pour un horizon de temps bien
choisi. Visualiser sur le même Scope les évolutions des variables et de leurs références (vC(k) et
vC*(k), ainsi que ih et ih*). Commenter quant aux régimes dynamiques de poursuite de la référence.
Question 17 : Appliquer une perturbation en échelon de la charge après 2 s, en l’augmentant puis
en la réduisant de 0.75 Ω. Visualiser les mêmes variables qu’à la question précédente.
Commenter et expliquer les régimes dynamiques.
Question 18 : Justifier le choix de la période d’échantillonnage.
6. Synthèse de correcteurs numériques de type PID
L’objectif de cette partie est de réaliser un correcteur de type PID directement à partir de la
fonction de transfert H ( s ) =
∆Ω( s )
(sans le bouclage interne) pour contrôler la vitesse à partir du
∆α1 ( s )
rapport cyclique α1 .
Question 19* : A partir du modèle linéarisé du sous-système 1
d∆im
+ rm ∆im − k0 ∆Ω = VB ∆α1
dt
d∆Ω
J
− ke ∆Ω + kT ∆im = kv ∆v
dt
Lm
(3)
calculer la fonction de transfert du procédé
H (s) =
∆Ω( s )
∆α1 ( s )
(4)
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et montrer que celle-ci correspond à un système du deuxième ordre. Identifier son coefficient
d’amortissement ζ et sa pulsation naturelle, ωn.
Question 20* : Pour l’asservissement du procédé (4), on impose que la fonction de transfert en
boucle fermée ait la forme :
H 0 ( s) =
où on impose
T0 =
1
(1 + T0 s )
2
,
(3)
1
,
3ωn
avec ωn la pulsation naturelle du procédé H(s). Calculer la fonction de transfert H0(s).
Question 21 : Déterminer la bande passante du système en boucle fermée, ω0 , et choisir la
période d’échantillonnage Te telle que ω0Te = 0.25 .
Question 22 : Déterminer la fonction de transfert He(z) du procédé H(s) discrétisé avec un
bloqueur d’ordre 0 et période d’échantillonnage Te.
Question 23 : En vue de la conception d’un correcteur numérique pour l’asservissement on
demande que les mêmes performances imposées en temps continu restent valables en temps
discret. Calculer le polynôme caractéristique en temps discret désiré.
Question 24 : Calculer la fonction de transfert d’un correcteur numérique de type PID1 qui assure
les performances désirées en boucle fermée, notée par HPID1(z).
Question 25 : Réaliser le schéma de simulation en boucle fermée, conformément à la Figure 3.
Pour les deux blocs, le paramètre « Sample time » prend la valeur de la période d’échantillonnage
antérieurement calculée.
He (z) v perturbation
H PID1 ( z )
référence
Ω* (k )
+
Σ
−
e(k ) Correcteur PI u (k ) CNA +
numérique
BOZ
Procédé
im
H ( s)
y (k )
CAN
FIG. 3.
Question 26 : Lancer la simulation en appliquant un échelon de 5 rad/s sur la valeur de référence
de vitesse, Ω*(k) pour un horizon de temps bien choisi. Visualiser sur le même Scope les
évolutions des variables et de leurs références (Ω(k) et Ω*(k). Expliquer les régimes dynamiques et
vérifier si le cahier des charges a été respecté.
Question 27 : Sur le même schéma de simulation que celui de la Question 26, appliquer une
perturbation en échelon de la vitesse du vent après 2 s, en l’augmentant puis en la réduisant de
1 m/s. Visualiser les mêmes variables qu’à la Question 26. Commenter sur le régime dynamique
du rejet de la perturbation.
Question 28 : Proposer des améliorations sur la conception du correcteur numérique. Reprendre
si nécessaire les simulations et analyser les résultats.
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