Chapitre 2 Entraînement avec machine DC - HEIG-VD

HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Chapitre 2
Entraînement avec machine DC
2.1
Introduction
La machine à courant continu à collecteur à excitation séparée (ci-après machine DC) a été longtemps le type d’entraînement le plus utilisé pour les applications à vitesse variable. Son côté attractif provient en grande partie de la
simplicité de sa commande, ce qui a une incidence directe sur le niveau des performances, que l’on parle en termes d’asservissement ou en termes économiques.
Dans une plage de puissance allant de 500 [W] à 50 [kW], la machine DC est
désormais très fortement concurrencée et de plus en plus souvent remplacée par
des entraînements AC sans balais, i.e. "à courant alternatif", de types synchrones
auto-commutés ou asynchrones (chap. 3 et 4).
Néanmoins, l’étude détaillée de la commande des servo-entraînements DC
et de quelques problèmes particuliers garde tout son sens : la facilité avec laquelle un tel entraînement peut être commandé en couple constitue en effet un
avantage déterminant sur les performances obtenues, au point que l’on cherchera
ultérieurement à appliquer la même stratégie de commande à des entraînements
AC synchrones auto-commutés et asynchrones. Ceci pourra se faire au moyen
d’une stratégie de pilotage évoluée qu’est la commande vectorielle, permettant
en quelque sorte d’émuler la machine DC partant d’un machine synchrone au
asynchrone.
L’objectif principal de ce chapitre est de présenter une solution d’asservissement en vitesse et en couple (figure 2.2 page suivante) de la machine DC permet-
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Fig. 2.1 – Symbole d’une machine DC à collecteur (fichier source).
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Fig. 2.2 – Structure de l’asservissement de vitesse d’une machine DC : un asservissement de couple/courant est également nécessaire (régulation cascade de
vitesse et couple/courant) (fichier source).
tant d’atteindre les performances exigées d’un servo-entraînement, au sens de ce
qui a été présenté au chap.1. On abordera successivement la modélisation la machine DC à collecteur avant d’étudier son alimentation par variateur de courant
continu. Un modèle dynamique de ce dernier sera obtenu. Il sera alors possible
de se pencher sur la question de l’asservissement de couple puis enfin sur celui
de vitesse / position pour lequel la solution classique de régulation cascade sera
proposée.
2.2
2.2.1
Modélisation mathématique
Rappel : construction et fonctionnement du moteur
DC
La figure 2.3 page ci-contre montre un entraînement DC à excitation séparée
de l’entreprise Maxon. Pour l’essentiel, on rappelle que le moteur DC à collecteur
est constitué d’une partie fixe (le stator ) et d’une partie tournante (le rotor ). Ce
dernier comporte un circuit électrique (l’induit) alors que le stator peut être muni
soit également d’un circuit électrique, soit d’un aimant permanent. Le stator joue
le rôle d’inducteur, sa fonction étant de créer un flux magnétique d’excitation Φf
(ou de manière équivalente un champ d’induction d’excitation Bf ) dans lequel
seront plongées les spires du circuit d’induit. Si celles-ci sont parcourues par un
~ × B~f
courant (le courant d’induit ia (t)), la force de Laplace F~L (t) = ia (t) · L
~ est la longueur active d’un conducteur de l’induit), et un couple
intervient (L
d’origine électromagnétique est alors produit.
L’excitation Φf créée par l’inducteur peut être réalisée de 2 manières :
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Fig. 2.3 – Moteur DC à excitation séparée de la firme Maxon (fichier source).
– elle est produite par un bobinage, auquel cas elle peut être ajustée à un
niveau dépendant du courant d’excitation if (t) traversant le circuit. On
a alors Φf (t) = k · if (t). Lorsque le bobinage d’excitation est électriquement indépendant de celui de l’induit, on parle de moteur DC à excitation
séparée ;
– elle est créée au moyen d’un aimant permanent. Dans ce cas Φf = const. et
l’on parle de moteur DC à excitation séparée constante.
Le schéma technologique d’un entraînement DC à excitation séparée est représenté sur la figure 2.4 page suivante. Les signaux y intervenant sont les suivants :
– la tension aux bornes de l’induit ua (t) (l’indice a correspond à Anker, i.e.
induit en langue allemande) ;
– le circuit électrique de l’induit, faisant apparaître :
– la résistance de l’induit Ra ;
– l’inductance de l’induit La ;
– une contre-tension em (t) appelée FEM (Force Electro-Motrice), proportionnelle à la vitesse angulaire ω(t) ;
– le courant traversant le circuit d’induit ia (t) ;
– le couple électromagnétique instantané Tem (t) produit ;
– l’inducteur, fixé au stator, créant un flux magnétique d’excitation Φf ;
– la charge mécanique, dépendante de l’application (inertie J, frottement visqueux, élasticité de la transmission, etc) ;
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Fig. 2.4 – Schéma technologique d’un entraînement DC à excitation séparée
(fichier source).
– la vitesse ω(t) du rotor du moteur.
Comme l’induit de la machine est physiquement lié au rotor, i.e. à la partie
tournante, cela constitue bien sûr un inconvénient pratique important, expliquant pourquoi l’on a tendance a vouloir remplacer de tels entraînements par
des moteurs AC : l’alimentation de l’induit, i.e. la transmission de la puissance
pa (t) = ua (t) · ia (t), doit en effet s’effectuer en faisant passer le courant d’induit
ia (t) de la partie fixe à la partie mobile au moyen d’un dispositif mécanique relativement complexe, le collecteur. Celui-ci est constitué de balais solidaires du
stator et néanmoins en contact mécanique par frottement avec la partie mobile
afin de conduire le courant électrique ia (t) entre le stator et le rotor. L’usure en
résultant fait que les balais doivent être plus ou moins fréquemment remplacés,
selon les conditions de travail du moteur. Cette même usure entraîne l’apparition
de poussières et dégrade le contact électrique, ce qui se traduit par une augmentation de la résistance du circuit d’induit, un échauffement supplémentaire voire
des arcs électriques. En effet, les microcoupures du contact électrique peuvent
provoquer des chutes de tension inductive La · didta importantes, sachant que ia (t)
est typiquement un courant constant 6= 0 [A].
2.2.2
Equations caractéristiques
Prenant en compte la résistance Ra et l’inductance La du circuit d’induit, du
collecteur, des balais et des connexions, et en les supposant toutes deux constantes
(pas de variation due à l’échauffement ni à la saturation magnétique), l’équation
de tension induite s’écrit :
dΨ
d(N · Φf )
= Ra · ia (t) +
dt
dt
dia
= Ra · ia (t) + La ·
+ em (t)
dt
ua (t) = Ra · ia (t) +
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La tension induite em (t), appelée FEM ("force électro-motrice" dans l’optique
de l’exploitation en générateur) est proportionnelle à la vitesse angulaire ω(t) et
au flux inducteur Φf (t) :
em (t) = k · Φf (t) · ω(t)
(2.2)
k est une constante dépendant de la construction de la machine. La première équation montre que em (t) s’oppose à ua (t), i.e. le moteur réagit en créant une FEM
em (t) tendant à équilibrer à ua (t). Cet effet correspondra à une contre-réaction
bien visible dans le schéma fonctionnel du moteur (figure 2.5 page suivante).
Le couple électromagnétique Tem (t) développé a pour expression :
Tem (t) = k · Φf (t) · ia (t)
(2.3)
On constate ici un fait très important : le couple électromagnétique Tem (t) est
exactement proportionnel au courant d’induit ia (t).
Tem (t) ∝ ia (t)
(2.4)
Les trois équations ci-dessus, complétées par l’équation de la dynamique,
dω
= Tem (t) − Rf t · ω(t) − Tres (t)
(2.5)
dt
où Jt est l’inertie totale entraînée (moteur Jm et charge Jch ), décrivent complètement le comportement dynamique de la machine DC. Aucun des signaux n’est
supposé constant, ce qui permettra l’étude du régime transitoire.
Jt ·
2.2.3
Schéma fonctionnel
Les équations ci-dessus peuvent être avantageusement représentées graphiquement sous forme de schéma fonctionnel. On s’est restreint ici au cas où l’excitation
Φf est constante (comme par exemple dans le cas d’une excitation par aimant
permanent). De ce fait, le produit k · Φf est constant et l’on pose :
KT = KE = k · Φ f
(2.6)
En faisant l’hypothèse d’une excitation constante, on observe très clairement
sur ce schéma le rôle de la FEM em (t), qui opère en fait une contre-réaction interne
à la machine. Elle s’oppose aux variations de la tension d’alimentation ua (t). A
l’équilibre, la vitesse est constante et la FEM est telle que le courant d’induit ia (t)
crée le couple électromagnétique Tem (t) compensant le couple résistant Tres (t).
Cette contre-réaction explique pourquoi la machine atteint une vitesse constante
stable dès qu’elle est alimentée par une tension constante. On voit que d’une
certaine manière, on peut, à l’aide de la tension ua (t), imposer la vitesse ω(t).
Cependant, il ne s’agit pas d’un système asservi : le moteur reste en boucle ouverte, et si un couple résistant Tres (t), tel que du frottement sec, agit sur l’arbre,
la vitesse en régime permanent aura une valeur inférieure à sa valeur à vide ω0i
(§ 2.2.6 page 61).
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Fig. 2.5 – Schéma fonctionnel d’un moteur DC à collecteur, à excitation séparée
constante. A noter la contre-réaction due à la FEM em (t) = KE · ω(t) (fichier source).
2.2.4
Modèle électrique de la machine DC
Du point de vue électrique, l’induit de la machine DC peut être vu comme une
résistance Ra et une inductance La en série avec une source de tension commandée
em (t) proportionnelle à la vitesse (figure 2.6). Si l’on pense à l’exploitation de cette
machine en régime transitoire, comme c’est très souvent le cas en entraînements
réglés (succession d’accélérations et de freinages), il est important de relever ici
le caractère inductif du circuit d’induit.
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Fig. 2.6 – Schéma électrique équivalent d’un moteur DC à collecteur, à excitation
séparée constante (fichier source).
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Réponse du moteur à un saut de tension de 1[V]: allure de l a vitesse pour Tm =0.038609 [ms] >> Te=0.0046935 [ms]
1.4
1.2
0.8
a
u (t), ω (t)
1
0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
t [s]
0.2
0.25
f_ini_cc_1_2.eps
Fig. 2.7 – Réponse indicielle d’un moteur DC, la constante de temps électrique
Te étant négligeable devant la constante de temps mécanique Tm (fichier source).
2.2.5
Constantes de temps mécaniques et électriques ([6])
Partant du schéma fonctionnel de la figure 2.5 page précédente, la fonction
de transfert entre la tension et la vitesse du moteur seul, i.e. sans charge (Jch =
0 [kg · m2 ] ⇒ Jt = Jm , Rf t = Rf ) peut être calculée dans le cas d’une excitation
constante. On a :
Ga (s) =
Ω(s)
=
Ua (s)
1
Ra
La
1+s· R
a
1+
1
Ra
La
1+s· R
a
· KT ·
1
Rf
1+s· JRm
f
· KT · K E ·
1
Rf
1+s· JRm
f
=
KT
·
Ra · Rf 1 +
=
KT
·
R a · R f + KT · KE 1 + s ·
KT ·KE
Ra ·Rf
1
La
+ s · (R
+
a
Jm
)
Rf
La ·Jm
+ s2 · ( R
)
a ·Rf
1
La ·Rf +Jm ·Ra
Ra ·Rf +KT ·KE
+ s2 ·
La ·Jm
Ra ·Rf +KT ·KE
(2.7)
En négligeant le frottement visqueux (Rf = 0
fert devient :
Ga (s) =
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Ω(s)
1
=
·
Ua (s)
KE 1 + s ·
59
h
N·m
rad
s
i
), cette fonction de trans-
1
Jm ·Ra
KT ·KE
+ s2 ·
La ·Jm
KT ·KE
(2.8)
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Fig. 2.8 – Schéma fonctionnel d’un moteur DC à collecteur, à excitation séparée constante, lorsque l’inductance La est faible, ou que la constante de temps
électrique Te est beaucoup plus petite que la constante de temps mécanique Tm :
La
m
Tm = KRTa ·J
(fichier source).
Te = R
·KE
a
En définissant respectivement les constantes de temps mécanique Tm et électrique Te comme suit,
R a · Jm
KT · KE
La
Te =
Ra
Tm =
(2.9)
(2.10)
la fonction de transfert prend la forme :
Ω(s)
1
1
1
1
=
·
≈
·
2
Ua (s)
KE 1 + s · Tm + s · Tm · Te
KE (1 + s · Tm ) · (1 + s · Te )
(2.11)
La constante de temps électrique Te indique la rapidité avec laquelle le courant
d’induit ia (t) peut être établi. Elle est souvent négligeable devant la constante de
temps mécanique Tm , laquelle indique la rapidité avec laquelle la vitesse s’établit
suite à une variation de la tension d’induit ua (t) (voir figure 2.7 page précédente).
Dans le cas où Te Tm , soit pour La négligeable, on a
Ga (s) =
Ga (s) =
Ω(s)
1
1
≈
·
Ua (s)
KE 1 + s · Tm
(2.12)
et le schéma fonctionnel de la figure 2.5 page 58 se réduit à celui de la 2.8.
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[ V
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Fig. 2.9 – Caractéristique couple-vitesse d’un moteur DC à excitation séparée
constante (fichier source).
2.2.6
Caractéristique couple-vitesse de la machine à excitation séparée en régime permanent constant
Partant des équations de la machine ou du schéma fonctionnel, on peut extraire la caractéristique couple-vitesse en régime permanent constant (ia =
const.). On a :
u a = R a · ia + L a ·
dia
+em
dt
|{z}
0[A
]
s
= Ra ·
d’où :
Tem (ω) =
(2.13)
Tem
+ k · Φf · ω
k · Φf
k · Φf
(k · Φf )2
· ua −
·ω
Ra
Ra
(2.14)
On voit qu’un couple peut être produit à n’importe quelle vitesse pour autant
que la tension d’alimentation ua soit ajustée en conséquence (figure 2.9).
A vide, pour une tension d’alimentation nominale uaN et une excitation Φf N
nominales, le couple est nul et la machine tourne à sa vitesse idéale à vide (nov.1.6
61
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Entraînements réglés (MET2)
minale) ω0iN :
ω0iN =
uaN
k · Φf N
(2.15)
Au point de fonctionnement nominal, le moteur tourne à la vitesse ωN et absorbe
une puissance électrique pel égale à sa valeur nominale pelN :
pelN = uaN · iaN = Ra · i2aN + TemN · ωN
| {z } | {z }
pJN
(2.16)
pmecN
Le bilan de puissance ci-dessus ne fait intervenir que les pertes Joule pJN = Ra ·
i2aN . Les autres pertes, comme celles dues au frottement, aux courants de Foucault,
etc, sont ici négligées. Les pertes Joule pJN atteignent leur valeur nominale et
sont évacuées par le système de refroidissement "nominal" (convection naturelle,
ventilation). Si l’on part de l’hypothèse que celles-ci sont maintenues constantes en
imposant ia = iaN = const., le moteur reste donc en équilibre thermique. Le bilan
de puissance montre alors qu’il est possible, dans ces conditions, d’augmenter la
vitesse du moteur au-delà de sa vitesse nominale ωN , à condition de diminuer le
couple Tem . En effet, en imposant ua = uaN , on a pel = pelN = constante. Et
par conséquent pmec est aussi maintenue constante et égale à sa valeur nominale
pmecN à condition de faire varier le couple en raison inverse de la vitesse :
Tem = TemN ·
1
ωN
∝
ω
ω
(2.17)
Le courant ia étant constant, on voit qu’il est nécessaire de diminuer KT , i.e.
de démagnétiser la machine, en réduisant le flux d’excitation Φf selon une loi
identique :
1
ωN
∝
(2.18)
Φf = Φ f N ·
ω
ω
Il est donc possible avec la machine DC à excitation séparée ajustable, moyennant
une commande appropriée mais avec la même électronique de puissance, d’avoir
deux modes de fonctionnement (figure 2.10 page ci-contre) :
t
– de 0 min
à vitesse nominale : couple constant en variant la tension ua
en fonction de la vitesse et en maintenant le flux l’excitation Φf constant ;
– à partir de la vitesse nominale : puissance constante en variant le flux
d’excitation Φf et en maintenant la tension d’alimentation ua (t) constante.
Cela n’est bien sûr possible que si l’excitation est ajustable, i.e pour une machine
DC à excitation séparée par un enroulement et non par un aimant.
La limite supérieure de la vitesse est alors en principe donnée par la tenue
des roulements. Ce type de caractéristique est notamment intéressant pour les
applications de traction électrique ainsi que pour l’entraînement de broches de
machine-outil (broches haute vitesse par exemple). Cette caractéristique apparaît
sur la figure 2.10 page suivante.
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Fig. 2.10 – Mode d’utilisation de la machine DC à excitation séparée ajustable,
en fonction de la vitesse : couple constant jusqu’à vitesse nominale, puissance
constante au-delà (fichier source).
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Fig. 2.11 – Pont en H (fichier source).
2.3
Alimentation par variateur de courant continu
([7], [8])
On propose de restreindre l’étude de l’alimentation du moteur DC au variateur de courant continu à pulsation. D’autres types d’alimentation, tel
que l’amplificateur linéaire, réservé aux basses puissances (< 500 [W], petits moteurs et applications audio) et le convertisseur de courant, adapté aux puissances
élevées, sont traités dans le cadre de cours d’électronique de puissance.
2.3.1
Fonctionnement
Pour pouvoir faire varier à sa guise la vitesse d’une machine DC et l’exploiter
dans les quatre quadrants, il est nécessaire de pouvoir lui imposer n’importe quels
tension ua (t) et courant ia (t) d’induit. Ceci est usuellement fait au moyen d’un
étage de puissance de type pont en H, composé principalement de quatre transistors T1, T1’, T2 et T2’ (figure 2.11) en antiparallèle desquels sont branchées les
diodes de roue libre D1, D1’, D2 et D2’.
Les éléments de commutation sont soit des transistors de type bipolaire, MOSFET ou IGBT, selon les niveaux de tensions et de courants en jeu. Pour les
grandes puissances, on a souvent recours à des thyristors GTO. Le pont en H
est formé de quatre voies, deux voies hautes (Ti) et deux voies basses (Ti’).
Une branche est constituée d’une voie haute et d’une voie basse. Le pont en H
comporte donc deux branches.
Pour des raisons énergétiques, ce dispositif fonctionne normalement en commutation (forcée pour un entraînement performant), i.e. en hâchage, chaque élément T1, T1’, T2, T2’ étant utilisé comme interrupteur commandé en mode
tout-ou-rien : les transistors sont soit en mode de conduction maximum (saturation), soit en mode de blocage. L’état saturation/blocage de chaque élément
du pont est imposé par les signaux logiques c1, c1’, c2 et c2’. Ce type de comv.1.6
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. e p
s
Fig. 2.12 – Pont en H ayant pour charge l’induit d’un moteur DC (fichier source).
mande ne s’applique qu’à des charges fortement inductives pour des raisons qui
apparaîtront ci-dessous.
Grâce au mode de commutation, chaque élément en conduction a une tension
quasi-nulle à ses bornes, alors que les éléments en blocage sont traversés par un
courant nul. La puissance électrique instantanée p(t) = u(t) · i(t) dissipée par les
éléments de commutation est donc toujours nulle dans le cas d’un fonctionnement idéal du variateur, hypothèse impliquant la possibilité d’une commutation
instantanée des composants de puissance. Le mode de commutation est préféré
au mode linéaire, lequel provoquerait une dissipation énergétique inacceptable
par les éléments de puissance.
Selon les signaux de commandes binaires c1, c1’, c2 et c2’ des voies, la tension
continue Ue du circuit intermédiaire est ainsi hachée et appliquée avec la polarité
souhaitée à la charge, en l’occurrence le circuit d’induit du moteur DC, lequel est
donc alimenté par une tension instantanée ud (t).
La tension continue Ue est par exemple fournie par le réseau alternatif via un
redresseur (figure 2.13 page suivante) ou provient d’une batterie. Le pont en H
permet d’imposer la tension ud (t) aux bornes du moteur en faisant conduire les
voies correspondantes. Dans un cas simplifié (en négligeant le temps de sécurité
anti-chevauchement, voir annexe), les signaux de commande c1, c1’, c2 et c2’ des
transistors des voies hautes (Ti) et basses (Ti’) sont logiquement complémentaires
l’un de l’autre, et l’on a :
v.1.6
c1 = c10 = d
(2.19)
c2 = c20 = d
(2.20)
65
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.13 – La tension du circuit intermédiaire de tension continue peut être
obtenue du réseau d’alimentation triphasé à l’aide d’un redresseur. Sur la figure
sont définies les tensions de branche u10 (t) et u20 (t) (fichier source).
Cas de commutation
Voies en conduction
Voies en blocage
I
II
III
IV
1, 2’
1’, 2
1, 2
1’, 2’
1’, 2
1, 2’
1’, 2’
1, 2
ud (t)
(valeur instantanée)
+Ue
−Ue
0 [V]
0 [V]
Tab. 2.1 – Tension instantanée ud (t) délivrée par le variateur selon les voies en
conduction/blocage.
Selon les voies qui conduisent et celles qui sont bloquées, la tension instantanée
ud (t) appliquée à la charge ne peut prendre que l’une des trois valeurs
+Ue
0 [V]
−Ue
(2.21)
comme l’indique le tableau 2.1.
Par convention, la tension ud (t) est mesurée entre les branches 1 et 2, i.e.
elle est égale à la différence de potentiel entre lesdites branches. Le courant id (t)
v.1.6
66
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Fig. 2.14 – Allures typiques de la tension ud (t) et du courant id (t) produits par
le pont en H fonctionnant en mode de commutation (fichier source).
produit par le variateur est quant à lui compté positivement lorsqu’il sort de la
branche 1 pour rentrer dans la branche 2.
En conséquence, l’allure de la tension ud (t) aux bornes du moteur est donc
typiquement celle donnée sur la figure 2.14. Il s’agit donc d’une allure très "chahutée", discontinue, de type tout-ou-rien, ud (t) ne pouvant prendre que trois
valeurs (deux, i.e. ±Ue dans le cas illustré à la figure 2.14). Sur la figure, la
tension aux bornes de la charge est égale à +Ue pendant te et à −Ue pendant
td . Le courant augmente donc pendant te et décroît pendant td et présente ainsi
une certaine ondulation. Fort heureusement, le caractère inductif de la charge
(typiquement l’induit du moteur) lisse le courant qui présente une ondulation
d’amplitude limitée, ayant une forme grosso modo triangulaire. Celle-ci s’observe
bien sûr également sur le couple électromagnétique puisque Tem (t) = KT · ia (t).
Au cas où l’ondulation est trop élevée, on peut rajouter une inductance en série avec le moteur, compensant ainsi la faiblesse de l’inductance du moteur (par
exemple avec certains moteurs DC à rotor disque ou rotor sans fer).
v.1.6
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Fig. 2.15 – Selon le sens du courant (ici id < 0 [A]), la commutation des transistors
ne provoque pas leur conduction mais celle des diodes de roue libre. Bien que T1
et T2’ soient saturés, ce sont les diodes de roue libre D1 et D2’ qui vont conduire
car id < 0 [A]. La tension instantanée ud est donc ici −Ue ! (fichier source)
Remarque Le tableau 2.1 page 66 fait référence à l’état des voies et non pas
à celui des transistors. En effet, la connaissance seule de l’état ON/OFF de ces
derniers est insuffisante pour calculer ud (t), le signe du courant id (t) devant être
pris en compte (pour des raisons qui seront détaillées en annexe) pour déterminer
son cheminement exact. Par exemple (figure 2.15), dans le cas de commutation
I, c’est la diode de roue libre D1 et non le transistor T1 qui conduit si le courant
id (t) est négatif. Les diodes de roue libre ont donc un rôle très important dans le
fonctionnement même du variateur. Leur fonction ne se limite ainsi pas, comme
on l’entend parfois, à la protection du transistor.
2.3.2
Caractéristique statique ([7], §2.5.4)
On recherche dans ce paragraphe la relation mathématique liant les durées
d’enclenchement/déclenchement des voies à la tension moyenne de sortie ud (t) du
variateur. Grâce à la présence de l’inductance de la charge Ld (celle de l’induit
La dans le cas où la charge est un moteur DC), tout se passe grosso modo comme
si la charge voyait à ses bornes, pendant la période de pulsation
Tp = te + td
v.1.6
68
(2.22)
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Fig. 2.16 – Caractéristique statique idéale du variateur de courant continu : on
peut facilement modifier udi = ud en agissant sur te (fichier source).
la tension continue idéale udi = ud , que produirait par exemple un amplificateur
de puissance linéaire parfait :
td
te
· (+Ue ) +
· (−Ue )
te + td
te + td
te − td
=
· Ue
Tp
2 · te − Tp
=
· Ue
Tp
ud = udi =
(2.23)
La caractéristique statique idéale du variateur de courant continu est donc linéaire, représentée sur la figure 2.16 en fonction du rapport cyclique Ttep . On
remarque que lorsque le rapport cyclique est de 50%, la tension moyenne est bel
et bien nulle, alors qu’elle vaut respectivement −Ue et +Ue et pour des rapports
cycliques de 0 et 100%.
A noter que du point de vue de la croissance du courant id (t), on obtient
le même résultat en calculant la tension constante ud qu’il faudrait appliquer
pendant Tp aux bornes de la charge purement inductive Ld pour obtenir la même
variation de courant ∆id (figure 2.17 page suivante) :
– variation de courant due à l’application pendant Tp d’une tension constante
v.1.6
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Fig. 2.17 – Le courant id subit pendant Tp la même variation ∆id si l’on applique
p)
ud (t) ou sa valeur moyenne calculée ud = (2·teT−T
· Ue (fichier source).
p
ud
∆id =
ud
· Tp
Ld
(2.24)
– variation de courant due à l’application pendant te d’une tension +Ue et
pendant td d’une tension −Ue , avec Tp = te + td
∆id =
Ue
Ue
Ue
Ue
· te −
· td =
· (te − td ) =
· (2 · te − Tp )
Ld
Ld
Ld
Ld
(2.25)
– les deux variations étant égales, on a :
ud · Tp = Ue · (2 · te − Tp )
(2.26)
– d’où :
ud =
v.1.6
(2 · te − Tp )
· Ue
Tp
70
(2.27)
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.18 – Principe de réalisation d’un modulateur PWM à porteuse de type
"dent de scie" (fichier source).
2.3.3
Commande du variateur de courant par modulation
de largeur d’impulsion (PWM) ([7], §2.6)
Pour contrôler la valeur moyenne ud = udi de la tension aux bornes du moteur,
plusieurs stratégies de commutation des transistors sont possibles. En plus de la
commande directe du variateur par régulateurs à action à deux positions (voir
le § 2.5 page 86 consacré à la régulation de courant), la stratégie de commande
plus fréquemment rencontrée est la modulation de largeur d’impulsion (PWM :
Pulse Width Modulation). Elle consiste à enclencher pendant te , respectivement
déclencher pendant td = Tp − te les branches 1 et 2 du variateur. Tp est la période
de découpage, i.e. une grandeur constante représentant l’inverse de la fréquence
de découpage fp = T1p . La durée te est déterminée selon la relation idéale
udi
2 · te − Tp
ud
=
=
Ue
Ue
Tp
(2.28)
afin d’ajuster la tension moyenne de sortie udi à la valeur souhaitée. La relation
ci- dessus montre qu’il suffit simplement de choisir te en fonction de udi selon une
relation linéaire dans le cas idéal (figure 2.16 page 69).
Avec cette manière de faire, les éléments de puissance ne sont mis en saturation
(conduction) et blocage exactement qu’une fois par période de découpage et que
de ce fait, la fréquence de commutation est contrôlée précisément, ce qui est
nécessaire pour garantir la sécurité du variateur.
Afin de pouvoir déterminer puis imposer facilement la durée d’enclenchement
te (t) en fonction de la tension idéale udi (t) souhaitée, on construit un dispositif
faisant office de modulateur PWM ayant pour entrée un signal de commande
v.1.6
71
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
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Entraînements réglés (MET2)
ucm (t) (figure 2.18 page précédente) représentatif (à un gain Kcm près) de la
tension udi que l’on souhaite appliquer aux bornes de la charge. La tension de
commande ucm (t) est modulée en largeur d’impulsion par comparaison avec un
signal de type dent de scie ou triangulaire, le signal uh (t) de fréquence fp .
Il en résulte le signal logique d à partir duquel les quatre signaux de commande
c1, c1’, c2 et c2’ des transistors sont générés, après avoir inséré le temps de sécurité
anti-chevauchement ta .
Caractéristique statique du variateur de courant continu commandé en
PWM
La durée d’enclenchement commandée te , i.e. celle obtenue sans prendre en
compte les phénomènes liés aux temps de commutation des transistors et à la
sécurité anti-chevauchement, est alors simplement donnée par (cf triangles semblables de la figure 2.19 page ci-contre) :
te =
ucm + ûh
· Tp
2 · ûh
(2.29)
alors que la tension continue idéale udi , égale à la valeur moyenne ud (t) est :
2·
2 · te − Tp
· Ue =
ud = udi =
Tp
ucm
=
· Ue
ûh
ucm +ûh
2·ûh
· Tp − Tp
Tp
· Ue
(2.30)
La relation entre la tension de commande ucm , qui est un signal de basse puissance,
et udi , signal amplifié en puissance, est donc linéaire dans le cas idéal et l’on a
en régime statique :
ud udi Ue =
=
= Kcm |en régime statique
ucm en régime statique
ucm en régime statique
ûh en régime statique
(2.31)
Kcm est donc constant et égal au rapport entre Ue et ûh . Par exemple, pour
Ue = 311 [V] (≈ 3 × 220 [Veff ] redressé) et ûh = 15 [V], on a Kcm = 20.73.
Caractéristique dynamique du variateur de courant continu commandé
en PWM
Le comportement statique du variateur de courant commandé en modulation de largeur d’impulsion étant maintenant connu, on doit encore s’intéresser à
son comportement dynamique, qu’il est nécessaire de modéliser dans l’optique
de l’asservissement du courant (§ 2.5 page 86) produit par le variateur. Prenant
l’exemple de la modulation par un signal de type dent de scie, on constate (figure 2.20 page 74) qu’une variation du signal de commande ucm ne prend effet à
v.1.6
72
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.19 – Génération des 4 signaux de commande c1, c1’, c2 et c2’ à partir du
signal logique d, déterminé par la comparaison entre la porteuse en dent de scie
et la tension de commande ucm représentative au gain Kcm près de la tension de
sortie du variateur (fichier source).
v.1.6
73
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Fig. 2.20 – Retard entre une variation de ucm (t) et l’effet sur ud (t) (fichier source).
la sortie du variateur qu’une durée située entre 0 et Tp plus tard, puisqu’il faut
attendre la montée de uh pour que la commutation ait lieu, i.e. pour qu’un effet
soit observable.
Ce retard est donc variable en fonction de l’instant auquel la tension de commande ucm subit une variation. En se contentant d’une valeur moyenne, ce retard
sera admis constant et égal à
Tr = Tcm =
Tp
2
(2.32)
La fonction de transfert du variateur de courant continu commandé en PWM
est finalement :
Gcm (s) =
Ud (s)
Udi (s)
Ue −s· Tp
=
=
· e 2 = Kcm · e−s·Tcm
Ucm (s)
Ucm (s)
ûh
(2.33)
Dans le cas où le signal de modulation est triangulaire (figure 2.22 page suivante),
on peut montrer que ce retard se monte à Tr = T3p ([7], §2.6.3).
v.1.6
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.21 – Modèle du variateur de courant continu commandé en PWM
(fichier source).
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Fig. 2.22 – Retard entre une variation de ucm (t) et l’effet sur ud (t) lorsque la
porteuse est triangulaire (fichier source).
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.23 – Un modulateur PWM dont la tension de commande ucm ne peut varier
qu’aux instants d’échantillonnage se comporte exactement comme un élément de
maintien (fichier source).
Cas particulier : régulation numérique
Le retard moyen Tcm calculé au paragraphe 2.3.3 page 72 n’existe bien sûr que
si la tension de commande ucm est susceptible de varier pendant Tp . Ceci n’est
pas le cas lorsque le dispositif ajustant ucm ne peut le faire qu’à intervalles fixes,
par exemple seulement au début de chaque période de découpage Tp comme ce
serait le cas avec un régulateur numérique de courant (figure 2.23).
Cette observation apporte un avantage certain pour la modélisation. En effet,
lorsque le signal de commande ucm est numérique, sa valeur ne peut évoluer
qu’aux instants d’échantillonnages 0, 1, . . . k, . . .. Si la période d’échantillonnage
h est égale à celle de découpage Tp , ucm reste ainsi constant pendant Tp et le
modulateur PWM peut être représenté par un simple bloqueur d’ordre 0, i.e. un
convertisseur D/A à élément de maintien (figure 2.24 page ci-contre).
Cette observation peut être utile si l’on souhaite obtenir la fonction de transfert exacte du système numérique ayant pour entrée ucm (k) et pour sortie y(k),
cette dernière étant souvent le courant mesuré idm (k) (figure 2.25 page 78). On
a, dans le cas linéaire (quantification d’amplitude due au convertisseur A/D négligée, [26]),
Ga (s)
Idm (z)
−1
−1
= (1 − z ) · Z L
H(z) =
Ucm (z)
s
v.1.6
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(2.34)
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Entraînements réglés (MET2)
u
( k
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k
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Fig. 2.24 – Elément de maintien ou bloqueur d’ordre zéro : le comportement
d’un tel élément est identique à celui d’un modulateur PWM dont la tension de
commande ucm est numérique (fichier source).
où, selon le paragraphe 2.5.1 page 90
Ga (s) =
Idm (s)
= Ka ·
Ucm (s)
1+s·
s
Ra ·Jm
KT ·KE
m
+ s2 KLTa ·J
·KE
(2.35)
Connaissant H(z), la synthèse du régulateur de couple/courant amont pourra
se faire sur la base d’un modèle exact du système à régler échantillonné (pas
d’approximation !)
D’autre part, la modèle obtenu est extrêmement avantageux en simulation : si
l’examen du comportement des tension et courant durant la période de découpage
n’est pas demandé, il n’est pas nécessaire construire un schéma de simulation
comportant un ’vrai’ modulateur PWM, un simple élément de maintien, i.e. un
bloqueur d’ordre 0 étant suffisant (figure 2.26 page suivante). Il en résulte une
vitesse de simulation beaucoup plus élevée.
v.1.6
77
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Entraînements réglés (MET2)
Tension de commande brute ucm(t) et sa version ayant traversé un élément de maintien
ucm(t), ucm(k)
250
200
150
0
0.5
400
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Tension ud(t) de sortie fournie par le convertisseur et sa valeur moy enne
5
−4
x 10
ud(t)
300
200
100
0
0
0.5
80
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Courant réel instantané id(t) et courant produit le modèle ’élément de maintien’
5
−4
x 10
id(t), id(k)
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s], k
3
3.5
4
4.5
5
−4
x 10
f_pwm_num_1.eps
Fig. 2.25 – Le ’vrai’ modulateur PWM et sa modélisation par élément de maintien
produisent les mêmes résultats aux instants d’échantillonnage k = 0, 1, . . . k, . . ..
L’élément de maintien est donc un excellent modèle, dans le cas où un modèle
échantillonné, i.e. valable uniquement aux instants d’échantillonnage, est recherché (fichier source).
u_d(t)
u_{cm}(t=kh)
u_{cm}(t)
in_1
out_1
Zero−Order
Hold
modulateur
PWM
(triangle)
1/Ra
La/Ra.s+1
1/Ra
La/Ra.s+1
i_d(t)
i_d(t_kh)
s_pwm_num_02.eps
Fig. 2.26 – Aux instants d’échantillonnage, le courant réel et celui produit par le
modèle sont identiques. Le ’vrai’ modulateur PWM et sa modélisation par élément
de maintien produisant les mêmes résultats aux instants d’échantillonnage, on
peut se contenter de ce dernier. Le gain en durée de simulation est important
(fichier source).
v.1.6
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Entraînements réglés (MET2)
t
=
0
0
t
t
T
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=
- i
R
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t
0
=
0
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0
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Fig. 2.27 – Mouvement bang-bang, cas particulier où les accélération et décélération sont identiques (en valeurs absolues), et où il n’y a pas de palier de vitesse
(fichier source).
2.4
Récupération d’énergie ([9])
Lorsqu’au cours d’un mouvement, le moteur doit décélérer parce qu’il est dans
la phase de freinage, le sens du couple électromagnétique Tem qu’il produit et par
conséquent celui du courant sont inversés par rapport à la phase d’accélération
et l’énergie mécanique peut être restituée en partie à l’alimentation sous forme
électrique. Si, immédiatement avant le freinage, le courant ia est positif, il faut,
pour l’inverser, faire en sorte que la tension ua (t) devienne inférieure à la FEM
em (t) (figures 2.27 et 2.28 page suivante). En faisant l’hypothèse que la charge
mécanique est une inertie pure de valeur Jt , le maximum d’efficacité au freinage
est atteint lorsque le couple est constant et aussi élevé que possible. Dans ce cas,
la vitesse décroît donc linéairement (Jt · ω̇ = Tem = constante) ; il en va de même
de la FEM em (t) et, comme on va le voir, de la tension d’alimentation ua (t).
La charge étant une inertie pure et l’excitation Φf étant supposée constante
(⇒ KE = KT = k·Φf = const.), une décélération constante s’obtient en imposant
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Fig. 2.28 – Allures des couple électro-magnétique Tem (t), vitesse ω(t) et FEM
em (t) dans le cas d’un mouvement bang-bang et d’une charge purement inertielle
(fichier source).
un courant de freinage ia = −iR constant (figure 2.27 page précédente), négatif
si l’on se trouve initialement dans le premier quadrant (couple et vitesse positifs,
figures 2.29 page suivante et 2.30 page 82). Partant de la vitesse initiale ω(t−
0)
et négligeant l’inductance La puisque le courant est essentiellement constant, la
tension ua (t) est subitement abaissée de
−
−
ua (t−
0 ) = KE · ω(t0 ) + Ra · ia (t0 )
(2.36)
ua (t0 ) = KE · ω(t0 ) − Ra · iR
(2.37)
à
puis linéairement jusqu’à l’arrêt, où elle vaut
ua (tf ) = KE · ω(tf ) −Ra · iR = −Ra · iR
| {z }
0 [ rad
s ]
(2.38)
ua (t+
f ) = 0 [V]
(2.39)
avant d’être annulée
Auparavant, la tension ua (t) aura changé de polarité en t = tz et continué à
décroître de façon à garantir un courant de freinage constant. Entre tz et tf ,
l’énergie n’est pas restituée à l’alimentation mais c’est cette dernière qui la fournit
puisqu’elle travaille dans le 3ème quadrant (ua (t) et iR sont de mêmes signes pour
tz ≤ t ≤ tf , voir figure 2.29 page suivante). L’expression de la tension ua (t) pour
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Fig. 2.29 – Les quadrants de fonctionnement, des points de vue mécanique et
électrique (fichier source).
t0 ≤ t ≤ tf est donc, admettant que t0 = 0 [s],
ua (t) = −
KE · ω(t0 )
· t + KE · ω(t0 ) − Ra · iR
tf
dont on peut déduire l’instant tz auquel elle s’annule :
R a · iR
tz = tf · 1 −
KE · ω(t0 )
(2.40)
(2.41)
Le bilan énergétique de toute la phase de freinage (durée tf − t0 ) s’exprime
comme la somme de l’énergie restituée à l’alimentation (durée tz − t0 ) et de
l’énergie consommée (durée tf − tz ) et a pour expression (pour t0 = 0 [s])
Z tf
Z tf KE · ω(t0 )
· τ + KE · ω(t0 ) − Ra · iR · (−iR ) · dτ
ER =
ua (τ ) · ia (τ ) · dτ =
−
tf
0
0
tf
1 KE · ω(t0 ) 2
= − ·
· τ + KE · ω(t0 ) · τ − Ra · iR · τ
· (−iR )
2
tf
0
1
= − · KE · ω(t0 ) · tf + KE · ω(t0 ) · tf − Ra · iR · tf · (−iR )
2
1
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= − · KE · ω(t0 ) · iR + Ra · iR · tf
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(2.42)
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Fig. 2.30 – Freinage d’un moteur DC (fichier source).
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Le temps de décélération tf est facilement calculable à partir de l’équation de
mouvement :
dω
= Tem (t)
dt
ω(t0 )
Jt · −
= −KT · iR
tf
Jt ·
(2.43)
(2.44)
d’où
1
Jt · ω(t0 )
∝
(2.45)
K T · iR
iR
En tenant compte de l’expression de tf dans celle de ER , on obtient une première
expression
tf =
1
Jt · ω(t0 )
ER = − · KE · ω(t0 ) · iR ·
+ Ra · i2R · tf
2
K T · iR
1
= − · Jt · ω(t0 )2 + Ra · i2R · tf
|2
{z
} | {z }
(2.46)
EJ (tf )
Ecin (t0 )
montrant que l’énergie cinétique Ecin (t0 ) initiale (en t = t0 = 0 [s]) est partiellement récupérée, dans une proportion dépendant des pertes Joule EJ . En se
référant à l’expression de tf donnée ci-dessus, une seconde expression montrant
que ER est linéaire avec le courant de freinage peut être établie :
1
Jt · ω(t0 )
ER = − · Jt · ω(t0 )2 + Ra · i2R ·
2
K ·i
| T{z R }
tf
(2.47)
1
Ra · Jt · ω(t0 )
= − · Jt · ω(t0 )2 +
· iR
2
KT
Le tracé de l’énergie ER en fonction du courant de freinage ia = −iR montre
qu’aucune énergie n’est restituée lorsque
1 KT · ω(t0 )
ia = −iR = − ·
2
Ra
(2.48)
t
ce qui correspond au cas où la tension ua (t) s’annule en 2f . On observe également que plus le courant de freinage tend vers zéro, plus l’énergie restituée à
l’alimentation s’approche de l’énergie cinétique de départ :
Ecin (t0 ) =
1
· Jt · ω(t0 )2
2
(2.49)
L’énergie récupérée est stockée dans le condensateur tampon Ct , celui-ci étant
chargé pendant la durée du freinage par le courant ia = −iR . De ce fait, la tension
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Fig. 2.31 – Proportionnalité entre l’énergie de freinage et courant de freinage
iR : plus le freinage est violent, i.e. plus on s’arrête rapidement, moins il y a
récupération d’énergie (fichier source).
du circuit intermédiaire Ue (t) augmente et afin d’éviter qu’elle atteigne des valeurs
inacceptables (pouvant créer la destruction des composants de puissance), il est
nécessaire de dériver le courant sur une résistance appelée résistance de freinage
Rb . Celle-ci de dissipe ainsi l’énergie de freinage dès le moment où la tension
Ue (t) est trop élevée. Un dispositif compare une mesure de Ue (t) à une valeur
sur la figure 2.32 page ci-contre) et commute un
maximale de référence ( Uemax
2
transistor, provoquant la dissipation dans la résistance.
Il faut remarquer que par le fait que Ue (t) varie, notamment en cas de freinage
brusque, la caractéristique statique
Kcm =
ud
Ue
=
ucm
ûh
(2.50)
(§ 2.3.3 page 72) du variateur de courant continu est modifiée : si Ue augmente,
un même rapport cyclique provoquera l’application d’une tension moyenne plus
élevée aux bornes de la charge. Ce fait n’est pas anodin du point de vue de
l’asservissement de courant (§ 2.5 page 86 ), le régulateur de courant ayant un
système à régler dont de gain permanent, proportionnel à Kcm peut ainsi varier.
v.1.6
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Fig. 2.32 – Variateur de courant continu comprenant un dissipateur : l’énergie de
freinage est dissipée dans la résistance de freinage Rb dès le moment où la tension
Ue (t) du circuit intermédiaire devient trop élevée (fichier source).
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Fig. 2.33 – Régulation cascade de vitesse / couple : le régulateur de vitesse traite
l’erreur de vitesse et forme une commande u(t) = Temc (t) représentant le couple
électromagnétique Tem (t) qu’il est souhaitable d’appliquer à la charge mécanique
pour diminuer l’erreur de vitesse. Le couple électromagnétique Tem (t) n’étant
pas aisé à mesurer, on réalise en fait un asservissement du courant d’induit ia (t)
sachant que Tem (t) = KT · ia (t) (fichier source).
2.5
Régulation de courant
Comme indiqué au chapitre 1, il est essentiel, dans le cadre des servo-entraînements,
de pouvoir contrôler le couple. Ce dernier n’étant pas facilement mesurable (capteurs coûteux, encombrants, ne fonctionnant souvent qu’en régime statique), on
profite du fait que pour la machine DC à excitation séparée (et aussi pour les machines synchrones auto-commutées et asynchrones selon le type de commande), le
couple électromagnétique Tem (t) est directement proportionnel au courant ia (t)
traversant l’induit. En conséquence, l’asservissement de couple peut être réalisé
indirectement par un asservissement de courant (figure 2.33).
Plus précisément, on peut mentionner deux raisons principales à la présence
d’un asservissement de couple/courant :
– d’une part, les applications des entraînements réglés sont souvent très exigeantes en termes de performances dynamiques, i.e. on a fréquemment à
faire à des systèmes devant être rapides. Dans la structure de régulation
cascade de la figure 2.33, le fait de contrôler le couple avec un asservissement ad hoc relativement performant permet d’imposer le comportement
(s)
(s)
dynamique de GwT (s) = IIdm
∝ TTem
, ce qui facilite l’ajustage du réguemc
dc (s)
lateur (amont) de position/vitesse Gc (s) (§ 2.6 page 97), et autorise par-là
même des gains plus élevés (voir exercice). L’asservissement de courant permet donc d’imposer de manière indirecte le couple électromagnétique Tem
et de rendre l’entraînement plus dynamique, pour autant bien sûr que les
performances du régulateur de courant soient à la hauteur.
– d’autre part, il est pour des raisons de sécurité absolument indispensable
de pouvoir contrôler et le cas échéant de limiter le courant délivré par l’amv.1.6
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Fig. 2.34 – Pointe de courant dans l’induit d’un moteur DC suite à l’application
d’un saut de tension : le moteur et sa charge mécanique ayant une certaine inertie,
la vitesse n’évolue pratiquement pas pendant les premiers instants suivant l’application du saut de tension, i.e. pour t Tm , Tm étant la constante de temps
mécanique. La FEM em (t) reste donc constante pendant une durée de l’ordre de
Tm (ici em (t) = 0 [V]) et le courant ia (t) croît très (trop) fortement (fichier source).
plificateur de puissance, les sur-courants pouvant être extrêmement dommageables pour le moteur (figure 2.34). Le bon fonctionnement de l’asservissement de courant étant supposé garanti, il est facile de faire cette
limitation en agissant sur la consigne de courant iac = idc (figure 2.35 page
suivante). Le fait de commander le moteur en courant plutôt qu’en tension permet d’éviter la forte pointe de courant d’amplitude approximative
+
ia (0+ ) = uaR(0a ) (l’inductance La étant négligée) qui se produirait aux premiers instants suivant l’application d’un saut de tension.
On propose ci-après deux solutions pour l’asservissement de courant, l’une
par régulateur tout-ou-rien et l’autre par régulateur de type PI. Pour le choix de
ce dernier, les modèles dynamiques du moteur (§ 2.2.5 page 59) et du variateur
(§ 2.3.3 page 72) précédemment obtenus seront mis à profit. Dans les deux cas, le
principe de fonctionnement du régulateur est le même (figure 2.36 page suivante) :
le régulateur de courant, constatant une erreur de courant, élabore une commande
corrective correspondant à la tension à appliquer à la charge en vue d’annuler
l’erreur.
v.1.6
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Fig. 2.35 – Limitation du courant idm = iam traversant l’induit par le biais de la
consigne de courant idclim = iaclim (fichier source).
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Fig. 2.36 – Schéma fonctionnel du système d’asservissement de courant d’un
moteur DC : idc = iac est la consigne de courant d’induit, id = ia le courant en
[A], et idm = iam la mesure (fichier source).
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Fig. 2.37 – Schéma fonctionnel du système d’asservissement de courant d’un
moteur DC : idc = iac est la consigne de courant d’induit, id = ia le courant en
[A], et idm = iam la mesure (fichier source).
2.5.1
Régulateur linéaire de type PI analogique
L’avantage d’un régulateur linéaire réside essentiellement dans la facilité avec
laquelle on modélise ses effets sur le système asservi. De plus, les performances
qu’il offre sont en principe indépendantes du point de fonctionnement.
Comme le système à régler, ici un variateur de courant continu et sa charge
électrique, comporte dans certains cas des non-linéarités, notamment celle due
au temps de commutation des transistors (influence des temps de sécurité antichevauchement, voir annexe), il est recommandable d’utiliser un régulateur à
action intégrale, de façon à améliorer la robustesse (au sens de performance robuste) du système asservi. Complété par une action proportionnelle, le régulateur
peut offrir de bonnes performances dynamiques et assurer ainsi une régulation
de couple/courant satisfaisante. Il est bon de se rappeler que l’asservissement de
courant, en sa qualité de boucle interne du système de régulation cascade de vitesse/courant (figure 2.2 page 54) se doit d’être plus dynamique que l’asservissement
de vitesse.
Le schéma fonctionnel de l’asservissement de courant par régulateur PI est
donné sur la figure 2.37.
Eu égard à la forme typique du courant délivré par une alimentation fonctionnant en mode de commutation (figure 2.14 page 67), une action D est à peine
envisageable ; si elle doit néanmoins être mise en oeuvre, il est quasi impératif
de restreindre son action à la grandeur réglée seule après filtrage. En effet, une
action D s’appliquant sur l’erreur e = idc − idm s’applique dans le même temps
sur la consigne de courant w = idc : or, celle-ci a dans le cas particulier des
entraînements souvent la forme d’un saut unité, puisque la plupart des mouvements sont du type triangle ou trapèze de vitesse (cf figure 2.38 page suivante).
En conséquence, les consignes (implicites) d’accélération et de couple ont l’allure
v.1.6
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Entraînements réglés (MET2)
Déplacement élémentaire de position angulaire de 1 [rad]
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0
0.5
1
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1
1.5
0
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1.5
1.5
ω
1
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0
4
α
2
0
−2
−4
t [s]
f_demo_bb_1.eps
Fig. 2.38 – Mouvement bang-bang sans palier de vitesse. Lorsque le mouvement
est très rapide, l’essentiel du couple électromagnétique Tem (t) est destiné à accé(t)
lérer l’inertie Jt en charge. Cette accélération dω
= Tem
= KT J·ita (t) faisant des
dt
Jt
sauts, il en est de même de la consigne de couple Temc (t) et par suite de celle de
courant idc (t) = iac (t) (fichier source).
d’un signal carré dont les transitions rapides provoqueraient inévitablement, avec
une action D, des saturations de la commande u(t) délivrée par le régulateur de
courant.
Ajustage du régulateur PI pour la magnétisation nominale
Afin d’ajuster les coefficients du régulateur PI, de fonction de transfert
Gc (s) =
Ucm (s)
1 + s · Ti
= Kp ·
E(s)
s · Ti
(2.51)
il faut au préalable obtenir la fonction de transfert du système à régler
Ga (s) =
Idm (s)
Ucm (s)
(2.52)
En admettant que le comportement du capteur de courant soit purement statique,
modélisable par un simple gain de valeur Kmi , le schéma fonctionnel détaillé du
système à régler vu par le régulateur de courant est celui de la figure 2.39 page
suivante, dans le cas d’une excitation constante.
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Fig. 2.39 – Schéma fonctionnel du système d’asservissement de courant d’un
moteur DC : idc = iac est la consigne de courant d’induit, id = ia le courant en
[A], et idm = iam la mesure (fichier source).
On observe que le courant id est bel et bien influencé par des perturbations
(mécaniques !) de charge (Tres ) agissant sur le système. Celui-ci étant supposé
linéaire, on a, en considérant
i que le moteur est seul (Jt = Jm ) et ne subit aucun
h
) ni couple résistant (Tres = 0 [N · m]) :
frottement (Rf t = 0 N·m
rad
s
Ga (s) =
Idm (s)
= Kcm · e−s·Tcm ·
Ucm (s)
1+
1
Ra
La
1+s· R
a
1
Ra
La
1+s· R
a
· Kmi
· KT · KE ·
1
s·Jm
1
s
·
· e−s·Tcm
·KE
L
Ra s · (1 + s · Ra ) + KRT ·J
a
a m
Jm
s
· e−s·Tcm
= Kcm · Kmi ·
·
m
2 · La ·Jm
KT · KE 1 + s · KRa ·J
+
s
KT ·KE
T ·KE
(2.53)
= Kcm · Kmi ·
On a finalement la fonction de transfert du système à régler :
Ga (s) =
Idm (s)
= Ka · e−s·Tcm ·
Ucm (s)
1+s·
s
Ra ·Jm
KT ·KE
+ s2 ·
La ·Jm
KT ·KE
(2.54)
Fait remarquable, cette fonction de transfert possède un comportement dérivateur, i.e. un gain statique nul, qui s’explique facilement : lorsque le moteur ne
subit aucun couple résistant et qu’on lui applique un saut de tension aux bornes,
un courant/un couple s’établissent et la vitesse du moteur augmente jusqu’à ce
qu’elle atteigne sa valeur idéale à vide ωoi . Cet équilibre est atteint grâce à la
v.1.6
91
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
contre-réaction naturelle de la FEM qui s’oppose à la tension ua de telle manière
que la vitesse soit constante. En conséquence, le couple électromagnétique ainsi
que le courant d’induit sont nuls (sans couple résistant, il suffit d’un couple nul
pour maintenir l’inertie Jm à une vitesse constante). On ne peut donc, à vide
en régime permanent constant, imposer un courant non-nul avec une tension
constante.
Les pôles de Ga (s) sont complexes lorsque le déterminant de l’équation caractéristique est négatif, soit pour ∆ < 0. En faisant apparaître les constantes de
temps mécanique Tm et électrique Te , on a :
2
La · Jm
R a · Jm
−4·
<0
∆=
KT · KE
KT · KE
Ra · Jm
La
<4·
KT · K E
Ra
Tm < 4 · Te
La constante de temps mécanique Tm est en général beaucoup plus grande
que la constante de temps électrique Te et dans la plupart des cas les pôles de
Ga (s) sont donc soit réels (sa1 = − Ta1min , sa2 = − Ta 1max ),
p
−Tm ± Tm2 − 4 · Tm · Te
sa1,2 =
(2.55)
2 · Tm · Te
1
2·T ·T
p m e
Ta max = −
=−
(2.56)
sa1
−Tm + Tm2 − 4 · Tm · Te
1
2·T ·T
p m e
Ta min = −
(2.57)
=−
sa2
−Tm − Tm2 − 4 · Tm · Te
soit complexes mais en principe éloignés l’un de l’autre. En se restreignant au cas
de pôles réels :
Ga (s) =
Idm (s)
s
= Ka ·
· e−s·Tcm
Ucm (s)
1 + s · Tm + s2 · Tm · Te
s
= Ka ·
· e−s·Tcm
(1 + s · Ta min ) · (1 + s · Ta max )
s
≈ Ka ·
· e−s·Tcm
(1 + s · Tm ) · (1 + s · Te )
(2.58)
(2.59)
(2.60)
Le tracé du diagramme de Bode donne (figure 2.40 page ci-contre), pour les
valeurs numériques suivantes :
Moteur
Tm = 21.7 [ms]
Te = 4.2 [ms]
Jm = 0.0061 [kg · m2 ]
v.1.6
Variateur
311 [V]
15 [V]
Kcm =
Tcm = T2p = 62.5 [µs]
92
Capteur
Kmi = 1 V
A
KT = KE = 0.72 N·m
A
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Diagramme de Bode Ga(jω)=Idm(jω)/Ucm(jω)
gain [dB]
0
−20
−40
−60
1
10
100
1
10
100
1000
12856.0961
10000
100000
1000
12856.0961
10000
100000
90
phase [degré]
45
0
−45
−90
−135
−180
−225
−270
ω [rad/s]
f_ini_cc_0_2.eps
Fig. 2.40 – Réponse harmonique de Ga (s) : à noter le comportement dérivateur, qui n’existe que si le couple résistant global Tres est nul (frottements sec et
visqueux nuls, etc) (fichier source).
Pour l’ajustage du régulateur PI, on peut procéder de différentes manières.
Par la technique de la compensation pôle-zéro, la constante de temps dominante,
i.e. Ta max , est éliminée de la boucle par la constante de temps Ti du régulateur :
s
1 + s · Ti
· Ka ·
· e−s·Tcm
s · Ti
1 + s · Tm + s2· Tm · Te
1 + s · Ti
s
= Kp ·
· Ka ·
· e−s·Tcm
s · Ti
(1 + s · Ta min ) · (1 + s · Ta max ) Ti =Ta max
Go (s) = Gc (s) · Ga (s) = Kp ·
= Ko ·
e−s·Tcm
1 + s · Ta min
≈ Ko ·
1
(1 + s · Ta min ) · (1 + s · Tcm )
(2.61)
où l’on a approximé la fonction de transfert du retard pur e−s·Tcm par une petite
v.1.6
93
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
constante de temps de valeur Tcm . Pour calculer Ko et par suite Kp , plusieurs
méthodes sont envisageables [25]. On peut par exemple appliquer la méthode de
Bode ou celle d’Evans (lieu des pôles).
On propose dans le cas particulier de ce système d’ordre 2 de calculer explicitement la fonction de transfert en boucle fermée Gw (s), régulation de correspondance, et d’ajuster Ko en fonction du taux d’amortissement ζ souhaité pour les
pôles dominants. On a :
Ko · (1+s·Ta min1)·(1+s·Tcm )
Go (s)
Idm (s)
=
=
Gw (s) =
Idc (s)
1 + Go (s)
1 + Ko · (1+s·Ta min1)·(1+s·Tcm )
Ko
1
=
·
1 + Ko 1 + s · Ta min +Tcm + s2 · Ta min ·Tcm
1+Ko
1+Ko
(2.62)
Par comparaison avec la fonction de transfert d’un système fondamental du second ordre
K
(2.63)
2·ζ
1 + ωn · s + ω12 · s2
n
on voit qu’en posant :
r
1 + Ko
Ta min · Tcm
r
Ta min + Tcm
1 + Ko
Ta min + Tcm
· ωn =
·
1 + Ko =
2·ζ
2·ζ
Ta min · Tcm
2
1
(Ta min + Tcm )
Ko =
·
−1
2
4·ζ
Ta min · Tcm
ωn =
(2.64)
on peut imposer le taux d’amortissement ζ et par conséquent la forme du régime
transitoire. On en déduit les coefficients du régulateur PI :
1
Ko
Ko · Ti
=
Ka
Ti = Ta max
Kp =
z
K
{ z
}|a
{
1
(Ta min + Tcm )2
KT · KE
·
−1 ·
·Ti
4 · ζ2
Ta min · Tcm
Kcm · Kmi · Jm
}|
(2.65)
(2.66)
Dans le cas de l’exemple, la réponse harmonique en boucle ouverte Go (s) est
donnée sur la figure 2.41 page suivante alors que la réponse indicielle en boucle
fermée est sur la figure 2.42 page 96.
Il vaut la peine de relever la persistance d’une erreur statique malgré la présence de l’intégrateur du régulateur PI. Ce phénomène peu commun s’explique
par la nature du système à régler, lequel présente un comportement dérivateur
compensant le terme intégrateur.
v.1.6
94
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Diagramme de Bode Go(jω)
40
gain [dB]
20
0
−20
−40
1
10
100
1
10
100
1000
10000
16376.2407
100000
1000
10000
16376.2407
100000
phase [degré]
0
−45
−90
−135
−180
ω [rad/s]
f_ini_cc_0_3.eps
Fig. 2.41 – Réponse harmonique de Go (s), les paramètres Kp et Ti du régulateur
ayant été obtenus de manière algébrique (fichier source).
Dépassement de la réponse indicielle
Si dans la majeure partie des applications d’automatique, une consigne en
forme de saut unité n’a pas de sens d’un point de vue pratique (consigne physiquement impossible à poursuivre, saturation de la commande, système à régler
hors de contrôle, etc), il n’en est pas de même en régulation de courant où lors
d’un déplacement à couple constant (rampe de vitesse, figure 2.38 page 90 ), la
consigne de courant prend effectivement la forme d’un saut. Il faut alors être attentif au problème du dépassement de la réponse indicielle. En effet, si le courant
nominal du moteur est proche du courant maximal délivrable par le variateur
(cas d’un déplacement à couple constant égal au couple nominal TemN ), il se peut
que les 15 à 20% de dépassement, considérés comme usuels, soient trop élevés.
Le variateur écrêtera donc le courant, déformant ainsi cette réponse. Au besoin,
on fera la synthèse du régulateur en choisissant une plus grande marge de phase
ϕm , afin de diminuer le dépassement.
v.1.6
95
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspo ndance
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
idc=iac
idm=iam
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
1.2
1.4
1.6
1.8
2
−3
x 10
f_ini_cc_0_4.eps
Fig. 2.42 – Réponse indicielle de Gw (s) : il y a une erreur statique malgré le fait
qu’un régulateur PI de courant ait été utilisé (fichier source).
v.1.6
96
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
u
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S
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R
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i t e s s e
r
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0
2
_
b
_
1
1
_
0
3
. e p
s
Fig. 2.43 – Régulation cascade de vitesse / couple : le régulateur de vitesse traite
l’erreur de vitesse et forme une commande u(t) = Temc (t) représentant le couple
électromagnétique Tem (t) qu’il est souhaitable d’appliquer à la charge mécanique
pour diminuer l’erreur de vitesse (fichier source).
2.6
2.6.1
Régulation de vitesse
Structure du système de régulation de vitesse
Le schéma fonctionnel de l’asservissement de vitesse est donné sur la figure 2.43. On voit que l’on a affaire à deux systèmes de régulation superposés,
la commande formée par le premier régulateur représentant la consigne pour le
second : il s’agit de régulation cascade [[26], chap.7, chap_07.pdf].
Le régulateur de vitesse construit la commande u(t) à appliquer au système
à régler afin de corriger l’erreur e(t). La commande u(t) correspond en fait à
la consigne de couple Temc (t) destinée au régulateur de couple. Il est logique,
mais pas indispensable, d’organiser le système de régulation de cette manière : le
régulateur de vitesse, constatant une erreur de vitesse, "souhaite" que la charge
soit accélérée ou freinée selon sa stratégie de traitement de l’erreur. Pour ce faire,
il faut fournir le couple Tem (t) adéquat, dont la valeur souhaitée est Temc (t).
L’un des avantages de ce genre de structure est de pouvoir ajuster individuellement chacun des régulateurs, en commençant bien sûr par le régulateur
de couple. De plus, il est possible de limiter facilement le couple et la vitesse en
agissant sur leurs consignes respectives (§ 2.5 page 86), celles-ci étant directement
accessibles.
2.6.2
Modélisation du système à régler
Le couple électromagnétique Tem (t) étant directement proportionnel au courant d’induit ia (t) selon
Tem (t) = KT · ia (t)
(2.67)
et ce dernier étant dans le même temps beaucoup plus facile à mesurer (par
exemple avec une résistance shunt ou un capteur de courant de type LEM/Gev.1.6
97
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
nève), on ne réalise en pratique pas directement un asservissement de couple,
mais un asservissement de courant. Il faut donc convertir la consigne de couple
Temc (t) en une consigne de courant d’induit iac (t) = idc (t) à laquelle un régulateur
de courant (souvent de type PI ou à action à deux positions) asservit le courant
d’induit ia (t) = id (t).
En désignant par Gwi (s) la fonction de transfert en boucle fermée, régulation
de correspondance, de l’asservissement de courant, telle que
Idm (s)
courant du variateur mesuré
=
courant de consigne du variateur
Idc (s)
courant d’induit mesuré
Iam (s)
Kmi · Ia (s)
=
=
=
courant d’induit de consigne
Iac (s)
Iac (s)
Gwi (s) =
(2.68)
(2.69)
le système à régler (figure 2.44 page ci-contre) vu par le régulateur de vitesse a
pour fonction de transfert, en supposant que la charge mécanique est une inertie
pure de valeur totale Jt :
Ga (s) =
K0
Y (s)
= mi
· Gwi (s) ·
Temc (s)
KT0
1
Kmi
|{z}
· KT ·
1
· Kmω (2.70)
Jt · s
gain du capteur de courant
KT0 est ici un paramètre ayant idéalement la même valeur numérique que la
constante de couple KT nominale du moteur. Il permet de convertir la consigne
de couple Temc (t), dont la valeur numérique correspond au couple souhaité en
[N · m], en une consigne de courant donc la valeur numérique correspond au courant souhaité en [A], ces deux grandeurs étant directement proportionnelles tout
pendant que le flux d’excitation Φf est constant, i.e. en l’absence de saturation
du circuit magnétique ou de démagnétisation. Notons que l’unité physique de KT0
n’est pas connue, puisqu’elle dépend de la réalisation du système de régulation.
Dans un grand nombre de cas, ce gain est réalisé électroniquement et son unité
V
. Seule sa valeur numérique est d’importance.
physique est probablement des V
De ce fait, on doit normalement avoir :
KT
N·m
≈1
·?
(2.71)
KT0
A
Pour construire une consigne de courant iac (t) = idc (t) utilisable, physiquement
comparable à la grandeur réglée iam (t) et de même calibration, il faut encore tenir
0
compte de la valeur numérique nominale Kmi
du gain du capteur de courant Kmi ,
puisque iam (t) = Kmi · ia (t).
Un avantage d’ordre pratique de cette manière de faire est que l’on dispose sur
le circuit électronique ou dans le programme implantant le régulateur de vitesse
d’un signal analogique ou numérique représentant la valeur de la consigne de
couple Temc (t), grandeur dont la connaissance est appréciée par les spécialistes
des machines.
v.1.6
98
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
v.1.6
T
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idc= iac
G
R E G U L A T IO N
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idm = iam
1 /K
R E G U L A T IO N D E C O U P L E
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K
K
T
99
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id= ia
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R
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f _ 0 2 _ b _ 1 2 _ 0 1 .e p s
C H A R G E M E C A N IQ U E
w
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Fig. 2.44 – Schéma fonctionnel du système à régler vu par le régulateur de vitesse
(fichier source).
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
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Entraînements réglés (MET2)
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K
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2
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b
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1
2
_
0
2
. e p
s
Fig. 2.45 – Détail de la régulation de couple/courant (fichier source).
K0
n’est cependant pas indispensable. On pourrait tout
La multiplication par Kmi
0
T
aussi bien s’en passer et dimensionner le régulateur de vitesse en conséquence (les
K0
gains de celui-ci seraient simplement K 0T fois plus petits). La commande issue de
mi
ce dernier ne représenterait alors plus une consigne de couple, mais directement
la consigne de courant idc (t) = iac (t).
On a admis que la charge mécanique est une inertie pure Jt et que le capteur de vitesse (par exemple une dynamo-tachymétrique) a un comportement
statique de gain Kmω . Il est vrai que si la charge mécanique est plus complexe et
présente notamment un caractère résonant (voir exercice), la modélisation présentée ci-après doit être adaptée à la fonction de transfert du système à régler
correspondant.
L’étude de l’asservissement de courant (§ 2.5.1 page 90) a montré que la
fonction de transfert Gwi (s) pouvait être modélisée par un système d’ordre 2 de
la forme :
Iam (s)
Idm (s)
=
Idc (s)
Iac (s)
1
Koi
=
=
·
1 + Koi 1 + s · Tamin +Tcm + s2 · Tamin ·Tcm
1+
Gwi (s) =
1+Koi
1+Koi
2·ζi
ωni
Kwi
·s+
1
2
ωni
· s2
(2.72)
La fonction de transfert du système à régler vu par le régulateur de vitesse a
donc pour expression :
Y (s)
K0
1
1
= mi
· Gwi (s) ·
· KT ·
· Kmω
0
U (s)
KT
Kmi
Jt · s
K0
Kwi
1
1
= mi
·
·
· KT ·
· Kmω
0
2·ζ
1
i
2
KT 1 + ω · s + ω2 · s Kmi
Jt · s
Ga (s) =
ni
=
v.1.6
Ka
·
s 1+
2·ζi
ωni
1
·s+
(2.73)
ni
1
2
ωni
· s2
100
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
avec
0
KT · Kmi
1
Ka = 0
·Kwi · · Kmω
K ·K
Jt
| T {z mi}
(2.74)
≈1
2.6.3
Choix et principe d’ajustage du régulateur de vitesse
Pour le régulateur, c’est à l’évidence un comportement intégrateur qui est
nécessaire, de façon à être insensible aux perturbations de couple constantes que
sont par exemple le frottement sec ou la gravité. L’examen de la fonction de
transfert en boucle ouverte ci-après montrera que pour des raisons de stabilité,
une action de type proportionnelle est également nécessaire. De plus, l’action P
améliorera le comportement dynamique.
La fonction de transfert de la boucle de régulation de vitesse a donc pour
expression, en tenant compte des résultats obtenus précédemment :
Go (s) =
1 + s · Ti Ka
Y (s)
= Gc (s) · Ga (s) = Kp ·
·
·
E(s)
s · Ti
s 1+
=
2·ζi
ωni
1
·s+
1
2
ωni
· s2
Ko
1 + s · Ti
·
i
s2 1 + 2·ζ
· s + ω12 · s2
ωni
ni
(2.75)
avec
0
Kp KT · Kmi
1
Ko =
· 0
· Kwi · · Kmω
Ti KT · Kmi
Jt
(2.76)
Comme on peut le voir, Go (s) est de type α = 2, i.e. double intégrateur,
et sa stabilisation doit être étudiée avec soin, tout se jouant sur la valeur de Ti .
La compensation pôle-zéro ne serait ici pas appropriée, puisqu’en un tel cas,
l’avance de phase créée par le terme (1 + s · Ti ) serait utilisée pour "gommer" une
constante de temps du dénominateur. La fonction de transfert en boucle ouverte
deviendrait :
Ko
1
Go (s) ≈ 2 ·
(2.77)
s 1+s·T
Un tel système est forcément instable en boucle fermée, sa phase étant inférieure à −180 [◦ ] dans toute la gamme des pulsations, i.e. sa marge de phase ϕm
est toujours négative (figure 2.46 page suivante). Pour des raisons de stabilité, il
faut donc envisager une autre méthode que la simple compensation pôle-zéro.
Le double intégrateur crée un déphasage de −180 [◦ ], et les constantes de
temps de la régulation de courant Gwi (s) aggravent encore le retard de phase à
plus haute fréquence (arg {Gwi (j · ω)} = −90 [◦ ] en ω = ωni , arg {Gwi (j · ω)} =
−180 [◦ ] pour ω → ∞). Afin de respecter le critère de stabilité de Nyquist et
garantir une marge de phase ϕm de l’ordre de 60 . . . 45 [◦ ], il faut que dans la
gamme de pulsations où le gain de boucle devra être unitaire, la phase soit dans
v.1.6
101
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
A
[ d
B
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G
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0
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G
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(
j × w
) }
f _
0
2
_
b
_
1
9
. e p
s
Fig. 2.46 – Diagramme de Bode de Go (j · ω) lorsque l’on compense un pôle de
Ga (s) : comme ϕm < 0 ∀ω, le système sera instable en boucle fermée (fichier source).
v.1.6
102
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
A
[ d
K
]
[ d
p
0
B
[ d
G
B
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B
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0
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1
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p
j × w
+
j × w
× T
× T
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1
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j
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T
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1
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w
[ r a d
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G
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j × w
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1
+
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j × w
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0
2
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b
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1
6
. e p
s
Fig. 2.47 – Diagramme de Bode de la réponse harmonique d’un régulateur PI :
lorsque l’action P domine l’action I, i.e. pour ω T1i , le déphasage tend vers 0 [◦ ]
(fichier source).
la zone −120 [◦ ] · · · − 135 [◦ ]. Il faut donc créer une avance de phase dans cette
zone. Cela ne peut se faire qu’au moyen du terme (1+s·Ti ) apparaissant au numérateur de Go (s). Cette avance de phase se montant asymptotiquement à +90 [◦ ]
(figure 2.47), on voit que Ti devra être choisi de façon à ce que T1i intervienne
bien avant la pulsation ωni .
Gardant à l’esprit l’effet d’avance de phase du terme T1i , la méthode de synthèse du régulateur PI proposée consiste de plus à s’arranger pour que la bande
passante en boucle fermée soit la plus élevée possible, ou, ce qui revient au même,
que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle en ouverte ωco soit aussi grande
que possible, ceci afin d’obtenir une durée de réglage Treg minimale, donnée approximativement par :
π
(2.78)
Treg =
ωco
Tout repose sur l’avance de phase de 90 [◦ ] résultant, asymptotiquement à partir
de la pulsation 0.1
, de l’effacement progressif de l’action I de régulateur PI au
Ti
profit de son action P (figure 2.47).
On s’arrange en fait pour que l’action proportionnelle et intégrale du régulateur PI passe d’un comportement plutôt intégrateur (phase → −90 [◦ ]) à un
comportement plutôt proportionnel (phase → 0 [◦ ]) à partir d’une gamme de
v.1.6
103
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
fréquences dans laquelle le gain de boucle sera rendu unitaire (figure 2.48 page
suivante). Sachant qu’une marge de phase minimum de 45 à 50 [◦ ] est de mise pour
obtenir un comportement suffisamment stable et bien amorti en boucle fermée,
on peut poser a priori que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte, ωco ,
à laquelle par définition on mesurera la marge de phase ϕm , devra être comprise
entre
– 0.1
où la contribution de (1 + s · Ti ) à la phase est (encore) quasi nulle
Ti
et
– ω10ni où la contribution de Gwi (j · ω) à la phase est (encore) quasi nulle
et l’on pose même qu’elle doit être égale à la moyenne géométrique de ces deux
limites (critère de l’optimum symétrique, [[12], §7.2]) :
r
1
· ωni
(2.79)
ωco =
Ti
Ce faisant, la phase, initialement à −180 [◦ ] "a le temps" de remonter suffisamment zone −150 [◦ ] à −90 [◦ ] avant de rechuter suite à l’intervention de la
pulsation propre ωni , représentant les limites de l’asservissement de courant.
2.6.4
Synthèse du régulateur pour la magnétisation nominale (Φf = Φf N )
La méthode de synthèse esquissée au paragraphe précédent est ici directement
appliquée. On étudie tout d’abord le cas où le flux d’excitation Φf est constant et
égal à sa valeur nominale Φf N (rappel : KT = KE = k · Φf ). De façon à obtenir la
bande passante maximale ωB en boucle fermée (soit la durée de réglage Treg la plus
faible), il faut repousser le plus possible vers les hautes fréquences la pulsation ωco
à laquelle le gain de boucle Go (j · ω) est unitaire. Cependant, il faut éviter de trop
se rapprocher de la pulsation propre non-amortie ωni de la fonction de transfert
Gwi (s) de l’asservissement de courant. En effet, à cette pulsation, le déphasage de
l’asservissement de courant est de 90 [◦ ] (puisque ωni est la pulsation de résonance
de phase de la fonction de transfert en régulation de correspondance de courant).
Ce dernier, ajouté aux 180 [◦ ] provoqués par le double intégrateur, rendrait la
synthèse du régulateur impossible, à moins de mettre en oeuvre un régulateur
PID, dont la sensibilité aux bruits de mesure rend l’utilisation délicate.
Afin de juger de l’effet de Ti , le tracé de la réponse harmonique de Go (s), pour
différentes valeurs de Ti , est donné sur la figure 2.49 page 106. Il y apparaît que
pour des raisons de stabilité, il y a intérêt à maintenir T1i suffisamment éloigné de
la pulsation ωni , de façon à ce que la phase puisse remonter suffisamment et que
le critère de Nyquist soit satisfait.
Dès le moment où l’action P du régulateur PI domine l’action I (le régulateur
est alors essentiellement un régulateur P), le déphasage initial de −90 [◦ ] dû à
l’action intégrale disparaît et la phase totale de Go (j · ω) monte, passant de
v.1.6
104
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
A
[ d
B
Entraînements réglés (MET2)
]
w
G
o
(
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0
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B
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0
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j × w
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B
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0
j
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{
G
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(
j × w
) }
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0
2
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b
_
1
7
. e p
s
Fig. 2.48 – Diagramme de Bode de la réponse harmonique en boucle ouverte,
Ti étant ajusté de façon à ce que la phase remonte asymptotiquement de +90 [◦ ]
(fichier source).
v.1.6
105
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Phases de Go(jω) et Gc(jω) en fonction de 1/Ti
0
−45
1/Ti=ωni/100
φ(ω) [degré]
−90
1/Ti=ωni/10
1/Ti=ωni
arg{Ga}
−135
1/Ti=ωni/100
1/Ti=ωni/10
−180
1/Ti=ωni
−225
−270
1
10
2
10
3
10
ω [rad/s]
4
10
5
10
f_ini_cc_0_6.eps
Fig. 2.49 – Phases de la réponse harmonique en boucle ouverte, du système à
régler et du régulateur pour différentes valeurs de Ti (fichier source).
−180 [◦ ] à une valeur pouvant approcher −90 [◦ ]. Il devient alors possible, dans
cette zone, d’ajuster le gain de boucle Ko de façon à ce qu’il soit unitaire en une
pulsation ω = ωco et ainsi pouvoir fermer la boucle dans de bonnes conditions, la
marge de phase ϕm étant selon l’ajustage comprise entre 45 et 60 [◦ ].
Usuellement, on choisit ωco d’après le critère de l’optimum symétrique ([[12],
§7.2]), méthode consistant à ajuster ωco comme la moyenne géométrique entre les
pulsations caractéristiques T1i et ωni . Ceci impose alors la valeur de Ti :
r
ωni
1
· ωni ⇐⇒ Ti =
(2.80)
ωco =
Ti
ωco 2
En tenant compte de la figure 2.49 on choisit ωco ≤ ω10ni , sans quoi il y a peu
d’espoir d’amener la phase à −135 [◦ ] . . . − 120 [◦ ], ce qui donne :
1
ωni
≤
Ti
100
100
Ti ≥
ωni
v.1.6
106
(2.81)
(2.82)
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Diagramme de Bode Go(jω)
80
60
gain [dB]
40
20
0
−20
−40
−60
−80
10
123.2847
100
1000
10000
100000
1000
10000
100000
phase [degré]
180
90
45
0
−45
−90
−135
−180
10
123.2847
100
ω [rad/s]
f_ini_cc_0_7.eps
Fig. 2.50 – Diagramme de Bode de la réponse harmonique en boucle ouverte,
. Avec ce choix, la phase remonte jusqu’à presque −90 [◦ ], ce qui
pour Ti = ω100
ni
permet de fermer la boucle dans de bonnes conditions (fichier source).
, le gain étant
La figure 2.50 illustre la situation lorsque l’on choisit Ti = ω100
ni
corrigé de façon à ce que la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte soit
égale à ωco = ω10ni , alors que la réponse indicielle correspondante en boucle fermée,
régulation de correspondance, est donnée sur la figure 2.51 page suivante.
En résumé, l’ajustage du régulateur PI de vitesse s’effectuera de telle manière
que
1
ωni
=
(2.83)
Ti
100
et que le gain de boucle soit unitaire en
ωco =
v.1.6
ωni
10
=
10
Ti
107
(2.84)
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Réponse indicielle
1.4
1.2
D=7.4226%
1
yInf=1
y(t)
0.8
0.6
Tm=0.0013[s]
0.4
0.2
Treg+/−5%=0.0081[s]
T90%
T10%
0
0
Tdep
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
t [s]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
f_ini_cc_0_8.eps
Fig. 2.51 – Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ti =
v.1.6
108
100
ωni
(fichier source).
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
L
'
R
G
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_
b
_
0
8
_
0
1
. e p
s
Fig. 2.52 – Régulateur à action à deux positions sans hystérèse : structure du régulateur et allures typiques du courant (mesuré idm (t)) et de la tension appliquée
ud (t) lorsque la consigne de courant idc (t) est un saut (fichier source).
2.A
Régulateur de courant à action à deux positions avec hystérèse
On peut envisager une commande directe du variateur par un régulateur de
courant de type tout-ou-rien (régulateur à action à deux positions, figure 2.52).
Le régulateur à action à deux positions peut être vu comme un régulateur P
de gain infini avec limitation de la sortie à ±umax . De ce fait, il permet d’obtenir un très bon comportement dynamique, le maximum de la commande étant
systématiquement appliqué dans un sens ou dans l’autre selon le seul signe de
l’erreur.
Un problème apparaît néanmoins lorsque l’erreur est voisine de zéro (situation fréquente au vu des performances apportées par un gain infini), puisque la
fréquence de commutation fp tend alors théoriquement vers l’infini. D’un point
de vue thermique, c’est inacceptable par les composants de puissance. La valeur
v.1.6
109
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
L
R
G
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2
_
b
_
0
8
_
0
2
. e p
s
Fig. 2.53 – Régulateur à action à deux positions et hystérèse : structure du
régulateur et allures typiques du courant (mesuré idm (t)) et de la tension ud (t)
lorsque la consigne de courant idc (t) est un saut (fichier source).
maximale de fp peut toutefois être contrôlée en complétant la loi de commande
tout-ou-rien par un effet d’hystérèse de largeur Ih autour de zéro (figure 2.53).
La conséquence négative est observable sur la précision. L’erreur
statique
n’est
Ih
Ih
plus nulle, et l’erreur peut maintenant se situer dans la plage − 2 , + 2 sans
que le régulateur ne modifie sa commande. L’erreur oscille donc autour de zéro
avec une valeur crête-à-creux de Ih .
Malgré le fait que la commande produite par un tel régulateur soit plutôt
primitive (deux niveaux possibles seulement !), elle s’avère particulièrement bien
adaptée dans ce cas d’application. En effet, l’alimentation par variateur de courant continu fonctionnant en mode de commutation pour des raisons thermiques
(§ 2.3.1 page 64), sa tension de sortie ud est déjà par nature de type tout-ou-rien,
ne pouvant prendre que l’un des deux états +Ue ou −Ue . Un tel régulateur est
de plus très facilement mis en oeuvre, le seul paramètre à ajuster étant la largeur
Ih de l’hystérèse.
v.1.6
110
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
p
i
D
( t )
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:
D
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2
_
c _
0
2
. e p
s
Fig. 2.54 – Evolution du courant en présence de FEM em (t) constante, avec
régulateur à action à deux positions et hystérèse lorsque la valeur moyenne id
dudit courant est constante (fichier source).
Il est possible de calculer la fréquence de commutation fp dans le cas où
la charge est un moteur DC tournant à vitesse constante et dont la résistance
d’induit Ra est négligée (la fréquence de commutation fp est élevée, i.e. te et td
La
sont beaucoup plus petits que la constante de temps électrique Te = R
et donc
a
1
1
→ j·ω·La ). La valeur moyenne id du courant id étant supposée constante,
Ra +j·ω·La
on a :
Ue − Em
· te
Ld
−Ue − Em
= id1 +
· td
Ld
id (te ) = id1 = id0 +
(2.85)
id (td ) = id0
(2.86)
Or, la largeur de l’hystérèse est :
Ih = id1 − id0
v.1.6
111
(2.87)
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
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Entraînements réglés (MET2)
FREQUENCE DE COMMUTATION EN FONCTION DE EM
4
2.5
x 10
2
fp [Hz]
1.5
1
0.5
0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
em/Ue
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 2.55 – Fréquence de commutation en fonction de la valeur de la FEM em (t)
(Ue = 311 [V], Ld = 0.77 [mH], Ih = 10 [A]).
d’où
Ld
Ld
= Ih ·
Ue − Em
Ue − Em
Ld
Ld
td = (id0 − id1 ) ·
= Ih ·
−Ue − Em
Ue + Em
1
1
+
)
Tp = te + td = Ih · Ld · (
Ue − Em Ue + Em
1
= 2 · Ue · Ih · Ld ·
(Ue − Em ) · (Ue + Em )
te = (id1 − id0 ) ·
soit finalement :
fp =
1
1
1
(Ue − Em ) · (Ue + Em )
=
=
·
Tp
te + td
Ih · Ld
2 · Ue
(2.88)
Cette fréquence de commutation dépend du point de fonctionnement, i.e. de la
vitesse du moteur. On le constate dans la relation ci-dessus par la présence de Em ,
représentant la FEM du moteur et étant fonction de la vitesse (cf figure 2.55).
La fréquence de commutation est maximale lorsque la FEM est nulle. On a
alors :
1
Ue
fpmax =
=
(2.89)
Tpmin
2 · Ih · Ld
Ce résultat est logique : lorsqu’il n’y pas de FEM, la charge vue par le régulateur
de courant est essentiellement inductive et le maintien d’un courant de valeur
moyenne constante n’est guère problématique puisque la valeur moyenne de la
tension ud devrait être nulle. Il n’y a donc aucune raison d’appliquer à la charge la
v.1.6
112
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
+
u
U
d
( t )
e
e
t
0
- U
d
d
( t ) - e
m
( t )
e
( t )
( t )
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d
u
t
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m
t
e
T
p
d
f _
0
2
_
c _
0
3
. e p
s
Fig. 2.56 – La tension effectivement appliquée aux bornes de l’inductance Ld =
La étant ud (t)−em (t), les taux de croissance/décroissance du courant id (t) = ia (t)
sont différents (fichier source).
tension ±Ue pendant une durée prolongée au cours de laquelle aucune commutation n’aurait lieu. En présence d’une FEM non-nulle et par exemple positive, i.e.
lorsque l’on est à vitesse différente de zéro, il faut plus de temps pour faire monter
le courant et le faire sortir de l’hystérèse que pour le faire descendre, puisque les
tensions s’appliquant aux bornes de l’inductance sont respectivement (+Ue −Em )
et (−Ue − Em ) (figure 2.56). Ceci justifie que la fréquence de commutation soit
plus faible en présence de FEM non-nulle.
On doit garantir que fpmax n’excède pas la fréquence de commutation maximale admissible par les composants de puissance. Dans ce but, on peut agir sur la
largeur Ih de l’hystérèse ou sur l’inductance Ld vue par l’alimentation, au besoin
en rajoutant une inductance en série avec l’induit.
Un inconvénient de ce type d’asservissement est que la durée de réglage dépend
du niveau de courant souhaité ainsi que de la vitesse du moteur. La figure 2.57
illustre le problème à vitesse nulle en montrant que quelle que soit l’amplitude
v.1.6
113
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
U
Entraînements réglés (MET2)
e
/ R
a
i
i
i
d
c 1
i
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c 2
d
m
d
m
1
2
0
T
w
r 2
T
R
r 1
=
a
0
=
[ r a d
0
[ W
/ s ]
]
f _
0
2
_
c _
0
5
. e p
s
Fig. 2.57 – La tension appliquée aux bornes de l’induit étant soit +Ue , soit −Ue ,
−
± RUea ·(1−e
t
La
Ra
) (la constante de temps mécanique
le courant évolue toujours selon
Tm n’étant ici pas prise en compte). Ce n’est qu’au croisement avec la consigne
que l’on quitte cette trajectoire (fichier source).
du saut de consigne de courant, c’est la même tension Ue qui est appliquée aux
bornes de l’induit. Le courant monte donc avec le même taux de variation didta = LUae
et atteint ainsi la consigne à des instants différents selon l’amplitude de cette
dernière, phénomène caractéristique d’un système non-linéaire.
On reproche également à cette technique d’asservissement la dissipation thermique parfois importante due à l’ondulation de courant.
v.1.6
114
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Diagramme de Bode Go(jω), pour Φfn et Φfn/4
60
gain [dB]
40
20
0
Φf=Φfn
Φfn/4
−20
−40
0
10
1
10
1
10
10
2
3
10
3
10
10
4
10
5
4
10
0
phase [degré]
−45
−90
−135
−180
0
10
10
2
pulsation [rad/s]
10
5
f_demag_i_1.eps
Fig. 2.58 – Réponse harmonique de Go (s) pour différents niveaux de démagnétisation : l’influence sur la marge de phase ϕm est négligeable (fichier source).
2.B
2.B.1
Ajustage des régulateurs de courant et de vitesse en démagnétisation
Ajustage du régulateur PI en démagnétisation
Si le moteur est exploité en mode d’affaiblissement de champ, par exemple
dans le but d’atteindre des vitesses élevées selon une caractéristique à puissance
constante (§ 2.2.6 page 61), ce sont les constantes de couple KT et de FEM
KE qui diminuent d’un facteur équivalent au niveau de démagnétisation (KT =
KE = k · Φf ). En conséquence, le gain de boucle de l’asservissement de courant
est modifié et il est nécessaire de vérifier que la stabilité reste garantie. Afin de
juger de l’importance du problème, les diagrammes de Bode en boucle ouverte,
avec la magnétisation nominale et avec 25% (i.e. on a démagnétisé d’un facteur
4, dans le but de tourner à 4 fois la vitesse nominale) de celle-ci sont superposés
sur la figure 2.58.
On observe que l’influence sur la marge de phase ϕm est quasi-négligeable, ce
v.1.6
115
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspo ndance, pourΦfn et Φfn/4
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
1.2
1.4
1.6
1.8
2
−3
x 10
f_demag_i_2.eps
Φ
Fig. 2.59 – Réponse indicielle de Gw (s) en démagnétisation Φf = f4N : les performances sont quasi identiques à celles obtenues avec la magnétisation nominale
Φf = Φf N . On profite ici des propriétés de robustesse (au sens de la stabilité
robuste cette fois) apportées par la contre-réaction (fichier source).
qui permet d’utiliser en toute sécurité le régulateur précédemment dimensionné.
On peut le vérifier sur la réponse indicielle en boucle fermée (figure 2.59), très
semblable à celle obtenue avec la magnétisation nominale (figure 2.42). Il n’est
donc nul besoin de réajuster les paramètres du régulateur de courant lors d’un
fonctionnement en démagnétisation.
Ceci s’explique de manière relativement aisée en remarquant que les gains KT
et KE n’apparaissent pas directement, i.e. de manière multiplicative, en évidence
devant la fonction de transfert en boucle ouverte,
Go (s) = Ko ·
1 + s · Ti
m
1 + s · KRTa ·J
+ s2 ·
·KE
La ·Jm
KT ·KE
· e−s·Tcm
(2.90)
mais sont situés dans une boucle interne au moteur. En conséquence, leur influence est notablement diminuée par les propriétés d’insensibilité d’une fonction
de transfert en boucle fermée par rapport aux variations des gains de la boucle.
On peut le montrer de manière chiffrée en calculant la variation relative d’une
fonction de transfert quelconque en boucle fermée par rapport à celle de la fonction de transfert du système à régler Ga (s), on voit que cette variation, appelée
fonction de sensibilité S(s) [[26], chap.7, chap_07.pdf] grosso modo égale à l’inv.1.6
116
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
verse du gain de boucle :
Gw (s) =
S(s) =
Go (s)
Gc (s) · Ga (s)
Ga (s)
=
= Gc (s) ·
1 + Go (s)
1 + Gc (s) · Ga (s)
1 + Gc (s) · Ga (s)
dGw (s)
Gw (s)
dGa (s)
Ga (s)
=
dGw (s) Ga (s)
·
dGa (s) Gw (s)
dGw (s)
dGa (s)
(2.91)
z
}|
{
1 + Gc (s) · Ga (s) − Gc (s) · Ga (s) Ga (s)
= Gc (s) ·
·
(1 + Gc (s) · Ga (s))2
Gw (s)
Go (s)
1
· Go (s)
=
2
(1 + Gc (s) · Ga (s))
1+Go (s)
=
1
1 + Go (s)
Dans le cas de la régulation de vitesse étudiée au § 2.6 page 97, l’effet de la
variation de KE et KT se manifestera d’une manière beaucoup plus prononcée
(§ 2.B.2).
2.B.2
Ajustage du régulateur de vitesse en mode d’affaiblissement de champ (démagnétisation, Φf < Φf N )
Contrairement au cas le la régulation de courant (§ 2.B.1 page 115), l’influence
de la démagnétisation de la machine DC a un effet très net sur la fonction de
transfert de boucle du l’asservissement de vitesse, la constante de couple KT
intervenant directement comme facteur de Go (s) :
Go (s) =
Y (s)
= Gc (s) · Ga (s)
E(s)
1 + s · Ti
= Kp ·
·
s · Ti
0
KT ·Kmi
KT0 ·Kmi
· Kwi ·
s
1
Jt
· Kmω
·
1+
2·ζi
ωni
1
·s+
1
2
ωni
· s2
(2.92)
Se rappelant que KT = KE = k·Φf (t), on voit qu’en démagnétisant la machine
(figure 2.60 page suivante), la constante KT diminue, son effet sur le gain de boucle
étant direct. Les diagrammes de Bode de la figure 2.61 page 119 montrent la
réponse harmonique en boucle ouverte dans plusieurs de cas de démagnétisation,
avec le régulateur précédemment dimensionné pour la magnétisation nominale.
On observe selon les cas une diminution de la marge de phase ϕm , mais aussi et
surtout une baisse de la pulsation de coupure à 0 [dB] en boucle ouverte, ce qui
se manifestera sur la rapidité en boucle fermée.
v.1.6
117
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
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S
w
= w
c
A
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R
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V
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2
2
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s
w
Entraînements réglés (MET2)
Fig. 2.60 – Régulateur de vitesse incluant une commande de démagnétisation
telle que Φf ∝ ω1 , selon la figure 2.10 page 63 (fichier source).
v.1.6
118
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
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Entraînements réglés (MET2)
Diagramme de Bode Go(jω) pour Φf = ΦfN..ΦfN/8
80
60
gain [dB]
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
1
10
2
10
3
10
3
10
10
4
10
5
4
10
0
phase [degré]
−45
−90
−135
−180
−225
−270
1
10
2
10
10
ω [rad/s]
5
f_ini_cc_0_9.eps
Fig. 2.61 – Diagrammes de Bode en boucle ouverte pour différents niveaux de
démagnétisation (fichier source).
Les réponses indicielles en boucle fermée montrent que le degré de stabilité
peut devenir plus faible et que le dépassement peut être considérable (figure 2.62
page suivante). Une première solution consiste à faire un compromis et à ajuster
le régulateur avec un gain plus élevé pour compenser la diminution de KT pour
le cas le plus défavorable (forte démagnétisation). Ceci peut avoir pour désavantage de diminuer le degré de stabilité pour la magnétisation nominale, le gain
de boucle étant dans ce cas trop élevé d’un facteur KT . La figure 2.63 page 121
met clairement en évidence une diminution du degré de stabilité pour la magnétisation nominale, où l’on voit par ailleurs que le système devient plus rapide
en boucle fermée. Les performances, dont la stabilité, sont alors dépendantes
du point de fonctionnement (i.e. la vitesse) ce qui peut être inacceptable pour
certaines applications.
Une variante intéressante, implantable presque exclusivement si la régulation
de vitesse est numérique, consiste à adapter en cours de fonctionnement le gain de
boucle en selon le niveau de la magnétisation. C’est la technique dite de prévision
de gain ("gain scheduling"), laquelle peut être avantageusement mise en oeuvre
ici en modifiant le paramètre KT0 de manière adéquate, i.e. de sorte que l’on ait
toujours :
1
· KT (Φf (t)) ≈ 1
(2.93)
0
KT (Φf (t))
Grâce à cette compensation, la fonction de transfert de boucle est donc invariav.1.6
119
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
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Entraînements réglés (MET2)
Réponses indicielles en boucle fermée pour Φf = ΦfN..ΦfN/8
1.4
Φf = ΦfN/8
1.2
Φf = ΦfN
Φf = ΦfN/2
Φf = ΦfN/4
1
γ(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.005
0.01
0.015
t [s]
0.02
0.025
0.03
f_ini_cc_0_10.eps
Fig. 2.62 – Réponses indicielles en boucle fermée pour différents niveaux de
démagnétisation (fichier source).
blement égale à
Ga (s) =
0
KT · Kmi
Y (s)
1
= 0
· Kmω
·Gwi (s) ·
Temc (s)
KT · Kmi
Jt · s
| {z }
(2.94)
≈1
Avec cette manière de faire, les réponses harmoniques, de même que les réponses indicielles sont confondues, et leurs tracés sont identiques à ceux des figures 2.50 page 107 et 2.51 page 108 respectivement.
Lorsque l’on adapte KT0 au niveau de magnétisation, il faut souvent prendre
en compte le fait que le circuit magnétique est partiellement saturé. La constante
de couple KT dépend donc du courant if nécessaire à la magnétisation de la
machine selon une caractéristique non-linéaire relativement simple esquissée sur
la figure 2.64 page ci-contre.
Le système de régulation de vitesse devrait donc en tenir compte et en ajustant
la constante KT0 de manière non-linéaire, en fonction de la valeur du courant
d’excitation if . Le schéma fonctionnel du système complet est alors celui de la
figure 2.65 page 122, en tenant compte des non-linéarités et de la correction
évoquées.
v.1.6
120
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
Réponses indicielles en boucle fermée (magnétisation nomina le et démagnétisation 1/8) avec régulateur ajusté pourΦfN/8
1.5 Φ =Φ
f
fN
Φf=ΦfN/8
γ(t)
1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
t [s]
0.02
0.025
0.03
f_ini_cc_0_11.eps
Fig. 2.63 – Réponses indicielles en boucle fermée lorsque le régulateur PI de
Φ
vitesse est ajusté lorsque Φf = f8N . L’installation devient alors inutilisable si
l’on travaille avec la magnétisation nominale (fichier source).
K
T
=
K
E
=
k
F
f
0
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0
2
_
b
_
1
4
. e p
f
s
Fig. 2.64 – Caractéristique non-linéaire liant le courant d’excitation if au flux
d’excitation Φf et par suite aux constantes de couple et de FEM KT et KE
(fichier source).
v.1.6
121
MEE \cours_er.tex\6 mars 2006
w
= w
c
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122
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Entraînements réglés (MET2)
Fig. 2.65 – Compensation des non-linéarités dues à la saturation du circuit magnétique (fichier source).
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Entraînements réglés (MET2)
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1
9
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s
0
Fig. 2.66 – (fichier source).
2.C
Influence du temps de commutation des transistors ([[7]. §2.5.5-6], [[6], §13.6.5 et 8.5])
Lorsqu’à l’instant t = t0 le signal logique d de durée te est activé pour enclencher la voie haute et déclencher la voie basse de la branche i du variateur, les
signaux de commandes individuels ci et ci’ des deux voies sont formés (figure 2.66).
Pour exclure tout court-circuit, la voie basse est tout d’abord déclenchée et ce
n’est qu’après un certain temps de sécurité ta que l’ordre d’enclenchement de la
voie haute ci survient.
Le blocage effectif du transistor Ti’ n’intervient qu’après un temps tde variable
avec le niveau du courant à couper. La conduction du transistor Ti ne peut s’établir quant à elle qu’après un temps d’enclenchement ten . D’après ce qui précède,
il existe lors de la commutation une phase de durée à déterminer pendant laquelle
aucun des transistors ne conduit. Le courant traverse donc une des diodes de roue
libre et c’est celle-ci qui impose un potentiel dépendant du sens du courant.
2.C.1
Enclenchement et déclenchement lorsque id > 0 [A]
Si le courant id sort de la branche 1 au moment t0 de l’ordre d’enclenchement
d, c’est quoi qu’il en soit la diode de roue libre D1’ de la voie basse qui conduisait
à la fin de la période précédente (puisque le transistor T1 de la voie haute était
bloqué) (figure 2.67 page suivante). La diode D1’ continue donc provisoirement
à conduire le courant et à imposer le potentiel v1 = 0 [V]. Le déclenchement du
v.1.6
123
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Entraînements réglés (MET2)
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3
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s
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Fig. 2.67 – (fichier source).
transistor T1’ n’a donc ici aucune influence. Il faut attendre la conduction de T1
pour que le potentiel passe à +Ue . Depuis l’activation du signal d, il s’est alors
écoulé la durée (ta + ten ) pendant laquelle le potentiel v1 de la branche 1 est resté
à 0 [V].
Durant cette même phase d’enclenchement, le courant id qui rentre dans la
branche 2 est conduit par la diode de roue libre D2 comme durant la période
précédente. Le déclenchement du transistor T2 n’a donc aucune influence et il
faut attendre la conduction de T2’ pour que le potentiel v2 passe à 0 [V] . Depuis
l’activation du signal d, il s’est alors écoulé la durée (ta + ten ) pendant laquelle le
potentiel v2 de la branche 2 est resté à Ue [V].
Le bilan à l’activation du signal d montre donc que la tension ud = v1 −v2 entre
les deux branches n’est pas passée instantanément à +Ue comme le commandait
le signal d, mais s’est maintenue à Ue pendant (ta + ten ) ce qui est synonyme d’un
retard et surtout d’une diminution de (ta +ten ) la durée effective d’enclenchement.
La désactivation du signal d provoque le déclenchement du transistor T1 après
la durée tde ce qui force la conduction de la diode D1’. C’est celle-ci qui va dès
lors conduire le courant tout pendant qu’il sort de la branche. Le potentiel v1 ne
passe à 0 [V] qu’après le déclenchement du transistor T1, soit après tde . Dans ce
cas, on note que l’enclenchement de T1’ est inutile, la diode D1’ imposant elle
seule le bon potentiel.
Durant cette même phase de désactivation du signal d, le courant id rentre
dans la branche 2, et le déclenchement effectif du transistor T2’ après la durée tde
provoque la conduction de la diode D2. C’est celle-ci qui va conduire le courant
tout pendant qu’il rentre dans la branche. Le potentiel v2 ne passe à +Ue qu’après
le déclenchement du transistor T2’, soit après tde . En fait, l’enclenchement du
transistor T2 est ici inutile, puisque c’est la diode D2 qui conduit.
v.1.6
124
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.68 – (fichier source).
v.1.6
125
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Entraînements réglés (MET2)
+
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Fig. 2.69 – (fichier source).
La désactivation du signal d ne provoque donc pas un passage instantané de la
tension ud à la valeur commandée de Ue . ud reste à la valeur +Ue pendant tde , ce
qui correspond à une augmentation de tde de la durée effective d’enclenchement.
2.C.2
Enclenchement et déclenchement lorsque id < 0 [A]
Le raisonnement précédent peut être répété quasi tel quel lorsque le courant
id est négatif : les figures 2.69 et 2.70 condensent les résultats que l’on obtient.
2.C.3
Durée d’enclenchement effective et tension moyenne
correspondante
Lorsque que le courant dans la charge est positif (id > 0 [A]), il sort de la
branche 1 et rentre par la branche 2. Dans ce cas, le temps d’enclenchement
effectif ton est selon le §2.C.1 :
ton = te − (ta + ten ) + tde
La tension moyenne correspondante est alors :
−Tp
z }| {
2 · te − 2 · (ta + ten ) + 2 · tde −te − td
2 · ton − Tp
· Ue =
· Ue
ūd =
Tp
Tp
2 · ton − Tp
ta + ten − tde
=
· Ue − 2 ·
· Ue
Tp
Tp
|
{z
} |
{z
}
udi
décalage négatif
v.1.6
126
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Entraînements réglés (MET2)
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Fig. 2.70 – (fichier source).
v.1.6
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Entraînements réglés (MET2)
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b
_
1
. e p
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e
Fig. 2.71 – (fichier source).
On voit qu’elle est en retrait de la tension idéale udi .
Lorsque que le courant dans la charge est négatif (id < 0 [A]), il rentre par la
branche 1 et sort par la branche 2. Dans ce cas, le temps d’enclenchement effectif
est selon le §2.C.2 :
ton = te − tde + (ta + ten )
La tension moyenne ūd correspondante est :
2 · ton − Tp
2 · te − 2 · tde + 2 · (ta + ten ) − te − td
· Ue =
· Ue
Tp
Tp
2 · te − Tp
ta + ten − tde
=
· Ue + 2 ·
· Ue
Tp
Tp
|
{z
} |
{z
}
udi
décalage positif
ūd =
On voit qu’elle est supérieure à la tension idéale udi .
En résumé, la caractéristique statique du variateur liant le rapport cyclique
commandé Ttep et la tension moyenne de sortie udi est donc dépendante du sens
du courant id selon les relations :
(
ūd = udi − 2 · ta +tTenp−tde · Ue (id > 0 [A])
ūd = udi + 2 · ta +tTenp−tde · Ue (id < 0 [A])
Cette caractéristique est représentée graphiquement sur la figure 2.71.
v.1.6
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HEIG-Vd
Entraînements réglés (MET2)
CARACTERISTIQUE STATIQUE
1.2
1
id<0
0.8
0.6
ideal
ton/Tp
tde=2/4/6[mus]
0.4
id>0
0.2
tde=6/4/2[mus]
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
te/Tp
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 2.72 –
On peut encore tracer la caractéristique rapport cyclique effectif (équivalent
à tension moyenne effective
ūd =
2 · ton − Tp
· Ue )
Tp
en fonction du rapport cyclique idéal. Il faut toutefois prendre en compte le fait
que la durée de déclenchement tde d’un transistor varie approximativement linéairement avec le niveau du courant à bloquer, ce qui implique que l’on a pas
seulement deux courbes caractéristique mais plutôt un ensemble. La caractéristique cherchée est alors représentée sur la figure 2.72, pour les valeurs numériques
suivantes :
ta = 10 [µs] ten = 1 [µs] Tp = 100 [µs] tde = 2 . . . 6 [µs]
La non-linéarité de cette caractéristique peut poser quelques difficultés lorsqu’il s’agit d’inclure le variateur dans la boucle d’asservissement de courant.
v.1.6
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