PROPORTIONS (3) CALCUL ALGEBRIQUE (1) Priorités opératoires

PROPORTIONS (3)
CALCUL ALGEBRIQUE (1)
Représentation graphique
Si on représente des suites de nombres
par un graphique, on reconnaît des
suites proportionnelles au fait que les
points sont alignés avec l'origine.
Ex
x
y
4
3,2
5
4
8
6,4
Priorités opératoires
∗ Ordre de priorité dans un calcul sans parenthèses :
1) Puissances
2) Multiplications et divisions
3) Additions et soustractions
∗ Ex : 3 - 5× 23 = 3 - 5× 8 = 3 - 40 = -37
10
8
Fractions et proportions
Si deux suites de nombres sont proportionnelles, on peut écrire des égalités de
fractions :
Le tableau de
a
b
c
a b c
donne l'égalité = =
proportion
d
e
f
d e f
Problèmes de vitesse
A vitesse constante, distance parcourue et temps sont proportionnels.
d
Formules d = vt ou v =
(d = distance, v = vitesse, t = temps)
t
Unités : une vitesse peut se compter en km/h (ou km.h-1), m/s (ou m.s-1)…
Exemple 1 : à la vitesse de 5 km/h, calculer la distance parcourue en 40 min
∗ Méthode 1
1 h ou 60 min
→
10 min
→
40 min
→
5 km
∗ Suppression de parenthèses précédées d'un signe - :
Première méthode : - A = -1× A
Ex : a - (b-c) = a -1× (b - c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a -1× (-b + c) = a + b c
Deuxième méthode : - A = + Opp (A)
Ex : a - (b-c) = a + (-b + c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a + (b - c) = a + b - c
∗ Sommes : 2a + 3a = 5a ; 2a + 3b ne peut pas s'écrire plus simplement
∗ Produits : 2a× 3a = 6a² ; 2a× 3b = 6ab ; 2y× 3y = 6y² ;
40
40
h d = vt = 5×
≈ 3,3 km
60
60
Exemple 2 : J'ai parcouru 12 km en 2h 40min. Calculer la vitesse moyenne en
km/h et en m/s.
2h 40 min = 120 min + 40 min = 160 min
12 km
→ 160 min
12 000 m
→
160 min
0,75 km
→ 1 min
750 m
→
1 min
4,5 km
→ 60 min
12,5 m
→
1s
On obtient 4,5 km/h
∗ Suppression de parenthèses précédées d'un signe + : on ne change
aucun signe.
Ex : a + (b - c) = a + b - c ; a + (-b + c) = a - b + c
Calcul littéral
5
km
6
5
4× km ≈ 3,3 km
6
∗ Méthode 2 : 40 min =
∗ Méth 1
Suppression de parenthèses
On obtient 12,5 m/s
d 12000
∗ Méth 2 : avec d = 12000 m et t = 9600 s (160× 60) ; v = =
= 12, 5 (en
t
9600
m/s)
Distributivité et développement
∗ a× (b + c) = a× b + a× c
Ex : a× (a + 3) = a× a + a× 3 = a² + 3a
∗ Double distributivité : (a + b)× (c + d) = a× c + a× d + b× c + b× d
Ex : (x + 1)(y + 3) = xy + 3x + y + 3
(a - 7)(a - 8) = a² - 8a - 7a + 56 = a² - 15a + 56
(3x + 2)(5x - 7) = 15x² - 21x + 10x - 14 = 15 x² - 11x - 14
Distributivité et factorisation
∗ a× b + a× c = a× (b + c) On a mis "a" en facteur
Ex : 3a + 3b = 3(a + b) ;
6x² - 8x = 2x(3x - 4)
RACINES CARREES
CALCUL ALGEBRIQUE (2)
Distributivité et factorisation (suite)
4x(x-5) + (2x+1)(x-5) = (x-5)[4x+(2x+1)] = (x-5)(4x+2x+1) = (x-5)(6x+1) :
on a mis (x-5) en facteur.
Egalités remarquables et développement
(a + b)2 = a² + 2ab + b²
(a - b)2 = a² - 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² - b²
Ex :
(x + 7)² = x² + 14x + 49
(3x – 1)² = 9x² - 6x + 1
(5x + 10) ( 5x – 10) = 25x² - 10
3
10
2=
9
100
∗ x doit être positif ou nul pour que x soit défini.
x est aussi un nombre positif ou nul.
x² = -5 : aucune solution
x² = 5 : deux solutions, x =
5 ou x = - 5
∗ Propriétés : Si a et b sont deux nombres positifs ou nuls,
a) 2 = a ;
a² = a ; (
Attention
a² + 2ab + b² = (a + b)2
a² - 2ab + b² = (a - b)2
a² - b² = (a + b) (a – b)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
4x² - 4x + 1 = (2x – 1)²
x² - 25 = (x + 5) (x – 5)
4x² - 7 = (2x + 7) (2x –
3
9
=
car
100 10
25 = 5 car 5² = 25 ;
∗ Equations de la forme x² = a
Egalités remarquables et factorisation
Ex :
∗ Exemples :
a×
a× b =
a + b n'est pas égal à
∗ Ecriture sous la forme a b :
a+
12 =
b
a
=
b
;
a
(b≠ 0)
b
b
4× 3 =
4×
3=2 3
∗ Additionner des racines :
7)
Produit nul
Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0 : si un produit est nul, alors un des
facteurs est nul.
Si A = 0 ou B = 0, alors A B = 0
300 + 3 12 =
= 10 3 + 3× 2
100× 3 + 3
4× 3 =
100×
3+3
4×
3
3 = 10 3 + 6 3 = 16 3
∗ Supprimer une racine carrée au dénominateur :
3× 2
3 2
3
=
=
2
2
2× 2
Application : résolution d'équation
Ex Si (3x + 2)(x – 4) = 0
alors 3x + 2 = 0 ou x – 4 = 0
2
x = - ou x = 4
3
L'équation admet deux solutions –
∗ Exemple de développement :
5 3(
2
et 4.
3
3+
2) = 5 3×
3 + 5 3×
2 = 5× 3 + 5
3× 2 = 15 + 5 6
STATISTIQUES
DIVISEURS
Exemple de série statistique (Notes obtenues lors d'un contrôle avec 17 élèves) :
5-7-8-8-10-10-12-13-13-13-14-14-14-15-15-17-17
(a et b sont ici des nombres entiers)
Diviseurs
Pour un note donnée, par exemple 14, on peut donner :
7 est un diviseur de 42 car 42 : 7 = 6 (ou 42 = 6× 7)
- son effectif : 3 (il y a 3 notes de 14)
a est un diviseur de b si le quotient de b par a est un nombre entier
- sa fréquence :
PGCD
3
≈ 0,18 ou 18%
17
Pour la série, on peut calculer :
(5 + 7 + 2× 8 + 2× 10 + 12 + 3× 13 + 3× 14 + 2× 15 + 2× 17)
- la moyenne :
≈ 12,1
17
- la médiane : 13 (note du 9ème élève ici)
- son étendue : 17 – 5 = 12
effectif
0≤n 5
5≤n 10
10≤n 15
0
4
9
15≤n 20
4
tableau 1
On peut calculer des effectifs cumulés croissants :
note
effectif
∗ Le PGCD de a et a est a. Ex PGCD (12 ; 12) = 12
∗ Si a est un diviseur de b, le PGCD de a et b est a
Ex : PGCD (6 ; 30) = 6
∗ Le PGCD de a et b est égal au PGCD du plus petit et de leur différence
On peut regrouper les notes n par "classe"
note
∗ PGCD = Plus Grand Commun Diviseur
n 5
n 10
n 15
n 20
0
4
13
17
tableau 2
Ex PGCD (100 ; 180) = PGCD (100 ; 80) = PGCD (80 ; 20) = 20
∗ Pour trouver le PGCD de deux nombres avec l'algorithme d'Euclide, on
cherche le PGCD du plus petit des nombres et de leur différence jusqu'à ce
que l'on obtienne un PGCD facile à trouver (lorsqu'un nombre est un
diviseur de l'autre).
Nombres premiers entre eux
On peut représenter graphiquement cette série (tableau 1) :
∗ Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1
(1 est alors leur seul diviseur commun).
- par un histogramme :
Fraction irréductible
- par un diagramme circulaire (∗ )
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont
premiers entre eux. On ne peut donc plus la simplifier.
(∗ ) Calculs pour le diagramme circulaire :
Nombre d'élèves
4
9
Angle
4
17
360°
INEQUATIONS
FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES
Fonctions linéaires
∗ Une fonction linéaire f est de la forme : f(x) = ax
ax
On peut aussi noter : x
∗ Remarque : si une fonction f est linéaire, alors f(x) est proportionnel à x.
∗ On peut multiplier ou diviser par un même nombre NEGATIF chaque
membre d'une inéquation A CONDITION de changer le sens de l'inégalité
(< → > et > → <).
∗ Ex
Fonctions affines
∗ Une fonction affine f est de la forme : f(x) = ax + b
ax + b
On peut aussi noter : x
∗ Remarques
Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines.
Si une fonction f est affine, alors les accroissements de f(x) sont
proportionnels aux accroissements de x.
f(x ) – f(x1)
Si f(x) = ax+b et si x1 et x2 sont deux nombres distincts : a = 2
x2 – x1
Représentations graphiques
∗ La représentation graphique d'une fonction linéaire
est une droite passant par l'origine du repère.
∗ La représentation graphique d'une fonction affine
est une droite.
Si f(x) = ax + b, l'équation de la droite est y = ax + b
a s'appelle le coefficient directeur de la droite (si x
augmente de 1, y varie de a)
b s'appelle l'ordonnée à l'origine.
∗ Pour tracer la représentation
graphique d'une application affine, il
suffit de déterminer les coordonnées de
deux points. Un troisième est conseillé
pour vérifier.
1
x
-4
0
6
Ex f(x) = x – 2
2
f(x) -4
-2
1
-3x < 30
30
x>
-3
x > -10
Les autres propriétés sont semblables à celles sur les équations.
∗ On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue comme une
équation SAUF si l'on doit diviser ou multiplier par un négatif.
∗ Exemple
3x + 7 < 5x + 1
3x – 5x < 1 – 7
-2x < -6
-6
x>
-2
x>3
∗ Représentation des solutions sur une droite graduée :
2x + 3y = 7
x–y = 6
SYSTEME DE DEUX EQUATIONS
A DEUX INCONNUES.
est un système de deux équations à deux inconnues.
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues c'est trouver le couple
(x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément.
Méthode de résolution par substitution
On exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) avec l'une des équations puis
on remplace x (ou y) par l'expression trouvée dans l'autre équation.
2x + 3y = 7 (1)
Exemple : résoudre le système x – y = 6 (2)
Dans l'équation (2), exprimons x en fonction de y :
x = 6 + y (3)
Dans l'équation (1) remplaçons x par (6 + y)
2(6 + y) + 3y = 7
12 + 2y + 3y = 7
12 + 5y = 7
5y = 7 - 12
5y = -5 d'où y = -1
Dans l'équation (3) remplaçons y par -1 : x = 6 - 1 = 5
Conclusion : x = 5 et y = -1
Vérifions :
Remplaçons x par 5 et y par -1 dans les deux équations.
2× 5 + 3× (-1) = 10-3 = 7 et 5 – (-1) = 5 + 1 = 6
Donc le couple (5 ; -1) est bien solution du système.
Interprétation graphique.
Résoudre graphiquement un système de deux équations c'est trouver le couple
(x ; y) coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des deux
fonctions affines associées à chacune des équations du système.
Ex : dans chacune des équations du système,
exprimons y en fonction de x :
2x + 3y = 7
3y = -2x + 7
y = -2x + 7/3
7
-2
y= x+
3
3
x–y=6
-y = -x + 6
y=x–6
Représentons les fonctions affines :
7
-2
f(x) = x + et g(x) = x – 6
3
3
Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites semblent être
(5 ; -1). On peut vérifier que le couple (5 ; -1) est solution du système.