Examen de MHT761- Alg`ebre Les deux exercices sont indépendants.

M1 ENSM
2010-2011
MHT761- Algèbre
Renaud Coulangeon
Université Bordeaux 1
Examen de MHT761- Algèbre
Durée 4 heures. Documents et calculatrices interdits
Le 21 décembre 2010
Les deux exercices sont indépendants.
Exercice 1. Dans tout cet exercice, K désigne un corps commutatif de caractéristique 0 et E
un K-espace vectoriel de dimension finie. On note End(E) l’anneau des endomorphismes de E,
c’est-à-dire les applications linéaires de E dans lui-même. Un élément p non nul de End(E) est
un idempotent ou un projecteur s’il vérifie la relation p2 = p. Le but de l’exercice est de montrer
que la somme de k projecteurs est un projecteur si et seulement les produits deux à deux de
ces k projecteurs sont nuls.
1. Résultat préliminaire : soient F1 , F2 , . . ., Fk des sous-espaces de E, et F = F1 + · · · + Fk
leur somme. Montrer que dim F ≤ dim F1 + · · · + dim Fk , avec égalité si et seulement si
F = F1 ⊕ · · · ⊕ Fk .
2. Montrer que si p est un projecteur alors E = Ker p ⊕ Im p. Inversement, si E admet une
décomposition en somme directe E = F ⊕G, avec G , {0}, montrer qu’il existe un projecteur
p tel que Ker p = F et Im p = G.
3. Montrer que tout projecteur est diagonalisable. Montrer en outre que si p est un projecteur
différent de l’identité alors il admet exactement deux valeurs propres que l’on précisera.
4. Montrer que pour tout projecteur p, on a la relation
dim Im p = Trp.
5. Étant donnés des projecteurs p1 , . . . , pk , on souhaite montrer que leur somme p1 + · · · + pk
est un projecteur si et seulement si pi ◦ p j = 0 pour tous i , j.
(a) On suppose tout d’abord que pi ◦ p j = 0 pour tous i , j. Montrer que p1 + · · · + pk est
un projecteur.
(b) On suppose, inversement, que p = p1 + · · · + pk est un projecteur.
Lk
i. Montrer que Im p = i=1 Im pi (on utilisera la relation entre la trace et le rang
d’un projecteur établie précedemment, ainsi que le résultat préliminaire établi à
la question 1)
ii. En déduire que pi ◦ p j = 0 pour tous i , j (remarquer tout d’abord, en utilisant
la question précédente, que Im pi ⊂ Im p pour tout i).
1
Exercice 2. (d’après CAPES 2002 (extrait)) On note K[X] le K-espace vectoriel des polynômes
en une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K et, pour tout entier naturel n,
K[X]n le sous-espace de K[X] constitué des polynômes de degré au plus n. Si E et F sont deux
parties de K, on définit
PK (E, F) = {P(X) ∈ K[X] | P(E) ⊂ F}
c’est-à-dire l’ensemble des polynômes de K[X] dont la valeur en chaque élément de E appartient
à F.
Dans la suite, on note R le corps des nombres réels, Q le corps des rationnels, Z l’anneau
des entiers relatifs, N l’ensemble des entiers naturels, R+ l’ensemble des réels positifs ou nuls et
Q+ l’ensemble des rationnels positifs ou nuls.
1. Caractérisation de PR (Q, Q)
(a) Soient n un entier naturel et q0 , . . ., qn , une famille de n + 1 éléments de Q deux
à deux distincts. Montrer que pour j = 0, . . . , n, il existe un unique polynôme L j (X)
(que l’on explicitera) dans Q[X]n tel que



1 si i = j
∀0 ≤ i ≤ n , L j (qi ) = δi, j = 

0 sinon.
(b) Montrer que les L j (X) constituent une base de R[X]n et déterminer les coefficients
dans cette base d’un polynôme P(X) ∈ R[X]n , en fonction de P(q0 ), . . .P(qn ).
(c) En déduire que PR (Q, Q) = Q[X].
2. Caractérisation de PR (R, R+ )
(a) Pour tout anneau commutatif unitaire A, on considère l’ensemble S (A) des éléments
de A qui sont somme de deux carrés, autrement dit
n
o
S (A) = a ∈ A | ∃b ∈ A, ∃c ∈ A, a = b2 + c2 .
(1)
i. Si A = R, montrer que pour tous réels a, b, c, d, il existe des réels x et y, que l’on
explicitera, tels que
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = x2 + y2
[interpréter la quantité a2 + b2 (resp. c2 + d2 ) comme le carré du module d’un
nombre complexe]. En déduire que S (R) contient 0 et 1 et qu’il est stable par
multiplication.
ii. Montrer que le résultat précédent s’étend à n’importe quel anneau commutatif
unitaire, c’est-à-dire que pour un tel anneau A, l’ensemble S (A) contient 0 et 1
et est stable par multiplication.
(b) Soit P(X) un élément non nul de PR (R, R+ ) et
s
t
Y
Y
αi
P(X) = c (X − ai )
(X 2 + bi X + ci )βi
i=1
(2)
i=1
sa décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R[X]
(autrement dit les exposants αi et βi sont des entiers naturels non nuls, c est un réel
non nul, les ai sont des réels, et les polynômes du second degré apparaissant dans la
décomposition n’ont pas de racine réelle).
2
Montrer que le degré de P(X) est nécessairement pair. Que peut-on dire du signe
de c et de la parité des αi ? En déduire que P(X) est la somme des carrés de deux
polynômes à coefficients réels.
(c) Donner une caractérisation de PR (R, R+ ).
3. À propos de PQ (Q, Q+ )
(a) Montrer que PQ (Q, Q+ ) ⊂ PR (R, R+ ).
(b) Soit P(X) = 2X 2 + 4 ∈ Q[X].
i. Déterminer des réels a, b, c et d tels que
2X 2 + 4 = (aX + b)2 + (cX + d)2 .
(3)
ii. Si a, b, c et d sont des réels satisfaisant l’équation (3), montrer que la matrice
 a b
 √



2
M =  c2 d 


√
2
2
!
1 0
t
t
.
est une matrice orthogonale, c’est-à-dire MM = M M =
0 1
iii. Existe-t-il des rationnels a, b, c et d satisfaisant l’équation (3) ?
(c) En déduire qu’il existe des éléments de PQ (Q, Q+ ) qui ne sont pas somme des carrés
de deux polynômes à coefficients rationnels.
4. Caractérisation de PR (Z, Z)
Pour tout entier naturel non nul n, on pose
Γn (X) =
X(X − 1) · · · (X − n + 1)
.
n!
On définit également Γ0 (X) = 1.
(a) Montrer que Γn (X) ∈ PR (Z, Z) pour tout entier naturel n [pour k élément de Z, on
distinguera selon que 0 ≤ k < n, k ≥ n et k < 0].
(b) Montrer que, pour tout entier naturel m, les polynômes Γn (X), 0 ≤ n ≤ m constituent
une base de R[X]m .
(c) Soient m un entier naturel et P(X) ∈ R[X]m . On note d0 , . . ., dm les coefficients de
P(X) sur la base {Γn (X) , 0 ≤ n ≤ m}. Écrire, à l’aide des réels P(0), . . ., P(m) un système d’équations linéaires dont le (m + 1)-uplet (d0 , . . . , dm ) est solution, et calculer le
déterminant de ce système.
(d) Montrer que, pour un polynôme P(X) ∈ R[X]m , les assertions suivantes sont équivalentes :
i.
ii.
iii.
iv.
P(X) ∈ PR (Z, Z).
Les coefficients d0 , . . ., dm de P(X) sur la base {Γn (X) , 0 ≤ n ≤ m} sont entiers.
P(0), P(1), . . ., P(m) sont entiers.
P(X) prend des valeurs entières sur m + 1 entiers consécutifs.
3