Propriétés de simplification, (S) et (I) sur les modules

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
THESE DE DOCTORAT DE 3ème CYCLE
SPECIALITE : ALGEBRE
PROPRIETES DE SIMPLIFICATION, (S) ET (1)
SUR LES MODULES
Présenté et soutenu publiquement le 03/12/2002 - A7
Par
HORMA OULD HAMOUD
Sous la direction de Monsieur Mamadou SANGHARE
Devant le Jury composé de :
Président:
Chérif
Membres:
Mamadou SANGHARE
Maître de Conférences UCAD
C. Thiécoumba GUEYE
Maître - Assistant
BADJI
Professeur
/
UCAD
UCAD
Oumar DIANKHA
. Maître - Assistant
UCAD
Mamadou BARRY
Maître - A$sistant
UCAD
Année Universitaire 2001 - 2002
A ma mère
IRIEMIEIRc=nIEMIE~lf§
Je tiens à remercier vivement Monsieur Chérif BAD..II qui m'honore en
acceptant de présider le jury de soutenance de ma thèse.
Je remercie sincèrement Monsieur Mamadou SANGHARE qui a dirigé
ce travail et à travers sa personne toute l'équipe d'Algèbre et tout le personnel
relevant du département de Mathématiques et Informatique, qu'il trouve ici ma
profonde gratitude pour la pertinence de ses remarques, sa rigueur et pour sa
disponibilité malgré ses occupations multiples.
Je tiens à remercier aussi Messieurs Oumar DIANKHA, Cheikh
Thiécoumba GUEYE et Mamadou BARRY pour avoir accepté de faire partie
du jury de ma soutenance.
Je ne peux terminer sans remercier sincèrement Madame Seynabou
MBAYE et Madame Marième Soda NDIAYE, secrétaires au département de
Mathématiques et Informatique pour leur efficacité, leur promptitude et pour leur
soin qu'elles ont apporté à la mise en forme de cette thèse.
TABLE DE MATIERES
pages
INTRODUC110N
1
CHAPITRE 1- Préliminaires.................................
3
1 - Modules Noethériens et Modules Artiniens.................
3
2 - Modules se mi-simples - Anneaux semi-simples...........
8
3 - Radical de Jacobson - Radical premier.....................
10
4 - Anneaux primitifs - Anneaux semi-primitifs..................
13
5 - Anneaux semi-parfaits.............................................
14
6 - Modules projectifs...................................................
16
CHAPITRE Il - CARACTERISATION DES ANNEAUX REGULIERS
1 - Généralités sur les anneaux réguliers..........................
20
2 - Anneaux réguliers commutatifs..................................
23
CHAPITRE III : MODULES AYANT LA PROPRIETE DE
SIMPLIFICATION SUR UN ANNEAU REGULIER
1 - Introduction.............................................................
26
2 - Définitions et résultats de base....................................
26
3 - Anneaux pleinement idempotents.................................
29
4 - Anneaux fortement n-régulier......................................
33
5 - Propriété de simplification pour les modules sur un
anneau reguller......................................................... 38
6 - Modules héréditairement projectifs................................ 40
CHAPITRE IV: MODULES VERIFIANTS LA PROPRIETE (S)
SUR UN ANNEAU REGULIER
1 - Introduction...............................................................
42
2 - Modules vérifiant la propriété (S) sur un anneau régulier
43
3 - FGS-anneaux réguliers...........
47
4 - I-anneaux, S-anneaux et F-anneaux réguliers...................
49
BIBLIOGRAPHIE......................................................................
52
INTRODUCTION
L'origine de ce travail est la proposition suivante:
Soit A un anneau
commutatif, M un A-module de type fini.
Alors tout endomorphisme surjectif de M est un isomorphisme.
Soit A un anneau'
On dit que
commutatif, M un A-module.
M vérifie la propriété (S) (resp. (1)) si tout A-endomorphisme
surjectif (resp. injectif) de M est un isomorphisme.
On dit que M possède la propriété de simplification si M Et> H == M Et> K
implique H == K pour tout A-modules H et K.
W.V Vasconcelos a démontré que si l'anneau A est commutatif, alors
tout A-module de type fini vérifie la propriété S.
Kaïdi El Amin et Sangharé Mamadou ont donné l'exemple d'un module
sur un anneau commutatif qui vérifie la propriété S et qui n'est pas de type fini.
Armandariz a étudié la propriété S dans le cas des anneaux réguliers,
et a démontré
que si
End(M)
est n-régulier (à
gauche)
alors
tout
endomorphisme surjectif ou injectif de M est un isomorphisme.
Armandariz a posé la question suivante:
Soit M un module à droite artinien de type fini sur un anneau régulier. Est-ce
que tout endomorphisme surjectif de M est injectif?
P. Menai a étudié la propriété de simplification pour les modules sur un
anneau régulier. Il a démontré que: Si End(M) est régulier, alors M possède la
propriété de simplification si et seulement si End(M) est stable de rang 1.
Kaplansky a démontré que si A est un anneau stable de rang 1, alors il
en est de même pour l'anneau des endomorphismes End(M) de tout A-module
M projectif de type fini.
1
D'autres résultats plus généraux ont été trouvés par Goodearl , Warfield
et L. Fuchs.
Notre travail est de caractériser les modules sur un anneau régulier
vérifiant la propriété S et d'étudier le cas d'un module sur un anneau régulier
vérifiant la propriété de
simplific~!ion.
Pour aborder cette étude nous avons divisé cette thèse en quatre
chapitres:
Le Chapitre 1 est un rappel de résultats. 1/ contient en outre des
définitions, des notations que nous utiliserons tout au long de ce travail.
Le Chapitre Il contient particulièrement des rappels sur les anneaux
réguliers.
Dans le Chapitre 1", nous faisons une synthèse des différents résultats
que nous avons pu recueillir d'articles étudiant les modules ayant la propriété
de simplification sur un anneau régulier, notamment "Cancellation modules over
regular rings" de P. Menai; "On injective and surjective endomorphisms of
finitely generated modules" de E. P. Amandariz, J. W. Fisher et R. L. Snider ; et
"Cancellation property for modules" de L. Fuchs.
Nous donnons une condition nécessaire et suffisante sur un A-module
projectif pour avoir la propriété de simplification si l'anneau A est noethérien,
commutatif, régulier.
Le Chapitre IV est consacré à la caractérisation des modules vérifiant la
propriété S sur un anneau régulier. En particulier nous utiliserons les résultats
de M. SANGHARE sur les I-anneaux, S-anneaux et F-anneaux et les résultats
de C. T. GUEYE et M. SANGHARE sur les FGS-anneaux ; pour apporter une
modeste contribution dans le cas des anneaux réguliers.
2
CHAPITRE 1: PRELIMINAIRES
§1 - MODULES NOETHERIENS ET MODULES ARTINIENS
Définition 1.1 [16 p. 62]
On dit qu'un module M sur un anneau A est noethérien (resp. artinien)
s'il vérifie les conditions équivalentes suivantes:
1) Tout ensemble non vide de sous-modules de M, ordonné par l'inclusion,
possède un élément maximal (resp. minimal).
2) Toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-modules de M est
stationnnaire.
Définition 1.2 [1 p. 129]
Un anneau A est dit noethérien (resp. artinien) si A considéré comme
un A-module est noethérien (resp. artinien).
Proposition 1.3 [1 p. 128]
Etant donné une suite exacte de A-modules:
O~N~M~K~O
Le A-module M est artinien (resp. noethérien) si et seulement si les modules
K et N sont artiniens (resp. noethériens).
Preuve
On peut supposer que N est un sous-module de M et que K := MIN. Si
M est artinien, il en est de même que N car les sous-modules de N sont des
sous-modules de M . Et MIN est artinien car la famille des sous-modules de
3
MIN est en bijection avec celle des sous-modules de M qui contiennent N;
cette bijection conseNe le sens de l'inclusion.
Réciproquement: si N et MIN sont artiniens, soit
(1 )
une suite de sous-modules de M décroissante. Alors il existe un entier no à
partir duquel la suite
I\J
= Mo
n N d N n M 1 d ... d N n
M d , , ' est
stationnaire et il existe un entier mo à partir duquel la suite
M/I\J
= MJN
d (M 1 + N)
IN :2 ... d (M + N)/N d ...
est stationnaire.
Posons q = sup(m o. no), alors N n Mn = N n Mq et (N + Mn) IN= (N +M q ) IN
pour tout n
~
q.
Soit x E Mn . Si x EN alors x E Mq donc la suite est stationnaire. Si x E N
alors la classe de x modulo N est un élément de (N + Mn) IN
= (I\J + Mq) IN,
donc il existe y E M q tel que la classe de x modulo N est égale à la classe de y
modulo N ; donc
-x-y
-
=0
d'où x - YEN et puisqu'il appartient déjà à Mq
,
alors x - y E Nn Mn = N n Mq et par conséquent x E Mq •
La démonstration est homologue pour le cas noethérien. 0
Corollaire 1.4 [1 p. 125]
Soit M = M 1
seulement si
œ...œ Mn
. Alors M est artinien (resp. noethérien) si et
M est artinien (resp. noethérien) pour tout i E {1, ... , n }.
Corollaire 1.5 [16 p. 63]
Soit A un anneau artinien à droite (resp. noethérien à droite). Alors
tout A-module M de type fini est artinien (resp. noethérien).
4
Définition 1.6 [5 p. 37]
Un A-module M est dit simple s'il n'est pas réduit à 0 et s'il ne contient
aucun sous-module distinct de M et de {O}.
Un anneau A est dit simple si le A-module A est simple.
Définition 1.7 [16 p. 63]
On dit qu'un A-module M est de longueur finie s'il existe une suite
(0) c Mo
C
M1
C
.,.
c Mn
=M
de sous-modules tels que Mi+ 1/M j soit un A-
module simple pour 0 :$ i :$ n-1 .
L'entier n = f(M) qui est indépendant de la suite (M j ) (théorème de JordanHblder) s'appelle la longueur du module M.
Proposition 1.8 [16 p. 63]
Pour qu'un A-module M soit de longueur finie, il faut et il suffit qu'il soit
noethérien et artinien.
Preuve
La condition est nécessaire; soit n la longueur de M ; toute chaîne
décroissante (resp. croissante) de sous-modules de M a une longueur
inférieure ou égale à n (Théorème de Schreier).
Réciproquement, la condition artinienne permet de construire une suite
strictement croissante (0)
= M1 c. .. c M C M+1
telle que les modules quotient
M+1/M
soient simples; la condition noethérienne entraîne l'existence d'un
entier
n tel que Mn = M et par construction les (M) forment une suite de
Jordan-Hblder. 0
5
Proposition 1.9 [18 p. 2]
Soit
A
un anneau artinien. Pour tout A-module
M les conditions
suivantes sont équivalentes:
1)
M est de longueur finie.
2)
M est artinien .
3)
I\A est noethérien.
En particulier tout anneau artinien est noethérien.
Lemme 1.10 [18 p. 2]
Soit A un anneau, M un A-module et u un A-endomorphisme de M.
1) Si lm u = lm u2 ,alors M = lm u + Ker u.
2) Si Ker u = Ker u2 ,alors lm u n Ker u = {O}
Preuve
1) Soit x EMet soit y E M tels que u(x) = u2 (y).
On a alors u[x - u(y)]
.J
= O. Ce qui implique (x - U(Y))E Ker u d'où x E lm u + Ker u.
Soit x E lm u n Ker u, et soit y E M tel que x
Ce qui implique y E Ker u2
= Ker u.
= u(y). On a u2 (y) = u(x) = O.
Il en résulte que x
= u(y) = o. 0
Proposition 1.11 [18 p. 3]
Soient A un anneau et M un A-module.
1) Si
M
est artinien, alors tout endomorphisme injectif de
M est un
automorphisme de M.
2) Si
M
est noethérien, alors tout endomorphisme surjectif de
automorptlisme de M.
6
M est un
3) Si M est de longueur finie, alors tout endomorphisme injectif ou surjectif de
M est un automorpbisme de M.
Preuve
Soit f un endomorphisme de M. Considérons les suites:
M d f(M) d
d fn(M) d...
{a} ç;; Ker f ç;;
ç;; Ker fn ç;; ....
et
1) Si 1\11 est artinien, il existe n E IN* tel que fn(M) = en(M). /1 résulte alors du
lemme 1.10 précédent que; si f est injectif, on a :
M = fn(M)
= f(M).
2) Si M est noethérien, il existe n E IN* tel que Ker fn
lemme 1.10 précédent que, si f est surjectif; alors
= Ker fn
; et il résulte du
(0) = Ker fn = Ker f
3) Conséquence immédiate de 1) et 2).0
Proposition 1.12 [15 p. 83]
Dans un anneau artinien, tout idéal premier est maximal.
Preuve
Il suffit, par passage au quotient, de démontrer qu'un anneau artinien
intègre est un corps.
Soit A un anneau artinien intègre. Si a est un élément non nul de A, il
en résulte que la suite {(an)}n~o d'idéaux est stationnaire, d'où il existe rEIN tel
que (a r)
= (ar+ 1).
Donc il existe b E A tel que ar
=b
ar+ 1 et donc 1
= ba,
puisque A est intègre; l'élément a est donc inversible; donc A est un corps.
7
0
§2 - MODULES SEMI-SIMPLES - ANNEAUX SEMI-SIMPLES
On rappelle qu'un module M est dit simple s'il n'est pas réduit à 0 et
s'il ne contient aucun sous-module distinct de M et de {O}. (cf. 1.7).
Proposition 1.13 [16 p. 74]
Soit M
un module somme d'une famille (M)iEI de modules simples.
Pour tout sous-module
N de M il existe une partie J de
1
telle que
Preuve
1/ suffit en effet de prendre pour J un élément maximal de la famille
des parties L de 1 telles que la somme N + (Et) Me) soit directe. 0
tEL
Corollaire 1.14 [16 p.74]
Pour un module M les conditions suivantes sont équivalentes:
1) M est somme de modules simples.
2) M est somme directe de modules simples.
3) Tout sous-module de M est facteur direct.
Preuve
La proposition précédente 1.13 montre que 1) => 2) et que 2) => 3) .
Supposons que M vérifie la propriété 3).
Soit xA
un sous-module monogène non nul de M ; xA
contient un sous-
module maximal F qui est facteur direct de M, donc de xA ; et xA contient un
sous-module simple. Si N est la somme des sous-modules simples de M, on
a, d'après ce qui précède F + N
= M.
8
Définition 1.15 [16 p.75]
On dit qu'un module est semi-simple s'il vérifie les conditions
équivalentes du corollaire 1.14.
i.e : Un module M est semi-simple si et seulement si M est somme directe de
modules simples.
Remarque
Tout sous-module (resp. tout quotient) d'un module semi-simple est un
module semi-simple.
Définition 1.16 [1 p.153]
Un anneau A est dit semi-simple si le A-module AA est semi-simple.
Proposition 1.17 [1 ] p. \s .~]
Tout anneau artinien simple est semi-simple.
Théorème 1.18 [Wedderburn - Artin] [1 p.154]
Un anneau A est semi-simple si et seulement si A est une somme
directe d'un nombre fini d'anneaux artiniens simples.
Proposition 1.19 [16 p. 76]
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
1) Le A-module A est semi-simple .
2) Tout A-module est semi-simple.
9
Preuve
1) => 2) Car tout module est isomorphe au quotient d'un module libre, et tout
quotient d'un module semi-simple est semi-simple.
2) => 1) Evident. 0
De cette proposition on peut tirer le résultat suivant:
Un anneau A est semi-simple si et seulement si tout A-module est
semi-simple.
§3 - RADICAL DE JACOBSON - RADICAL PREMIER
Définition 1.20 [16 p. 50]
On appelle radical (de Jacobson) d'un A-module M le sous-module
R(M) intersection des sous-modules maximaux de M. (On note R(M) ou J(M)
pour le radical de Jacobson de M).
Exemples:
1) Le radical R(A) d'un anneau A est l'idéal intersection des idéaux à droite
maximaux de A.
2) Soit
M un A-module n'admettant aucun sous-module maximal, alors
R(M)
= M.
Remarque
On dit que le module M est sans radical si son radical est nul.
10
Proposition 1.21 [4 p. 65]
Pour qu'un A-module M soit sans radical, il faut et il suffit qu'il soit
isomorphe à un sous-module d'un produit de A-modules simples.
Preuve
Si M est sans radical, alors il existe une famille (Si )EI de A-modules
simples et une famille (fi )EI d'homomorphismes de M dans Si, telles que
les noyaux des. fi aient {O} pour intersection. On a donc le diagramme de
A-modules commutatif suivant:
f
M ------..~ TI Si , i E 1
En effet, si M est sans radical, alors il existe une famille (Ni) de sous-modules
à gauche maximaux de M. Pour tout i, MINi = Si est un A-module simple, et la
surjection canonique
est un homomorphisme de A-modules et
n
Ker fi
=
El
fi
= Pi 0
f et Ker f
=
n
Ni
={0 } .
El
n
Ker fi ; or n Ker fi ={0 } donc Ker f ={0 } ,d'où f est
El
El
une injection de M dans
U
Si. Par conséquent M == lm f, lm f étant un sous-
module du produit de A-modules simples
Tl
El
11
Si.
Réciproquement, si M est un sous-module d'un produit de modules simples
Il
Si, pour tout x "* 0 dans M, il existe un indice i E 1tel que Pi(X)
= Xi "* O.
El
Soit 9 la restriction de Pi à M ; 9 est un homomorphisme de M dans Si tels
que g(x)"* 0 ,donc M est sans radical. 0
Corollaire 1.22 [1 p. 121]
Tout module semi-"simple est sans radical.
On rappelle qu'un élément x d'un anneau A est dit nilpotent s'il existe
un entier n > 0 tel que x n
= O.
Un idéal (à droite) 1 est dit nilpotent s'il existe un entier n > 0 tel que
W) = o.
On appelle nilidéal (à droite) un idéal (à droite) dont tous les éléments sont
nilpotents.
Un anneau A est dit réduit s'il ne contient aucun élément nilpotent non nul.
Définition 1.23 [16 p. 45]
On appelle radical premier d'un anneau A, l'intersection des idéaux
premiers de A. On note rad A pour le radical premier de A.
Théorème 1.24 [16 p.46]
Dans un anneau, les ensembles suivantes sont égaux:
1) Rad A.
2) L'intersection J des idéaux bilatères J de A tels que A/J ne contienne
pas d'idéaux nilpotents non nuls.
12
3) L'ensemble
J 1 des éléments a de A tels que a appartienne à tout
ensemble semi-multiplicatif contenant a.
En particulier, rad A est nilidéal.
Proposition 1.25 [16 p. 47]
Pour un anneau A, les conditions suivantes sont équivalentes:
1) Rad A
= O.
2) A ne contient pas d'idéaux nilpotents non nuls.
3) A est isomorphe à un produit sous-direct d'anneaux premiers.
Proposition 1.26 [1 p. 170]
Soit A un anneau artinien. Alors A est semi-simple si et seulement si
A est de radical nul. En particulier A/R(A) est semi-simple.
§4 - ANNEAU PRIMITIFS - ANNEAUX SEMI-PRIMITIFS
Définition 1.27 [1 p.37]
Soit A un anneau et M un A-module à gauche et X une partie de M.
On appelle annulateur (à gauche) de X dans A l'ensemble
fA(X) = { a
E
A / ax =
a , (x E
X) }
On appelle annulateur (à droite) de Y dans M l'ensemble
rM(Y) = {x
E
M/ yx = a , (y
E
Y) }
Définition 1.28 [16 p. 50]
On dit qu'un idéal bilatère P est primitif (à droite) si P est l'annulateur
d'un A-module simple.
13
Remarques
1) Tout idéal bilatère maximal d'un anneau A est primitif,
2) Tout idéal primitif est premier.
3) Le radical R(A) d'un anneau A est j'intersection des idéaux primitifs de A.
Définition 1.29 [16 p. 50]
Un anneau est dit primitif (à droite) si l'idéal (0) est primitif.
Corollaire 1.30 [12 p. 189]
Tout anneau simple (non nul) est primitif.
Définition 1.31 [1 p. 169]
Un anneau A est dit se mi-primitif si le radical de A est nul.
Remarques
1) Tout anneau primitif est semi-primitif.
2) Ils existent des anneaux primitifs (se mi-primitifs) à droite qui ne sont pas
primitifs (semi-primitifs) à gauche.
§5 - ANNEAUX SEIVII-PARFAITS
Définitions 1.32 [1 p.21 , p. 72]
•
Un élément e d'un anneau A est dit idempotent si e2 = e.
•
On dit que deux idempotents
orthogonaux si e1 e2
= e2 e1 = O.
14
e1
et e2
d'un anneau
A
sont
•
On dit qu'un idempotent e d'un anneau A est primitif lorsqu'il n'existe
pas deux idempotents orthogonaux e1 et e2 tels que e
= e1
+ e2 et
(e1'tO, e2:;t 0).
•
On dit qu'un ensemble.{ e1, e2,"" en} d'idempotents d'un anneau A est
un système complet d'idempotents si les idempotents sont deux à deux
orthogonaux et 1 = e1 + e2 + ... + en .
Définition 1.33 [1 p. 303]
Un anneau A de radical de Jacobson J est dit semi-parfait lorsqu'il
vérifie les conditions suivantes:
1) A/J est semi-simple.
2)
Pour tout idempotent
de l'anneau A tel que
x de l'anneau quotient A/J
il existe un idempotent e
x= e.
Exemple
Tout anneau artinien (à gauche ou à droite) est un anneau semi-parfait.
Remarque
Le radical d'un anneau semi-parfait est l'unique plus grand idéal ne
contenant pas d'idempotents non nuls.
Dans le paragraphe suivant nous allons avoir d'autres caractérisations
des anneaux semi-parfaits.
15
§6 - MODULES PROJECTIFS
Définition 1.34 [11 p. 190]
Un A-module M est dit projectif si tout diagramme de A-modules
M
g
L
---.. N
---.. 0
f
où f est surjectif, se plonge dans un diagramme commutatif de la forme:
M
g
h
L
---.. N
---+~
0
f
Théorème 1.35 [12 p.150]
Pour un A-module P les conditions suivantes sont équivalentes:
1) P est un module projectif.
2)
Toute suite exacte 0 ~ M ~ N ~ P ~ 0 est scindée.
3)
P est un facteur direct d'un module libre.
16
Proposition 1.36 [11 p. 193]
Soit
A
un anneau. La somme directe
des A-modules est
projective si et seulement si tout Pi est projectif.
Théorème 1.37 [11 p.191]
Tout module libre sur un anneau unitaire est projectif.
Proposition 1.38 [1 p. 193]
Un anneau
est semi-simple si et seulement si tout A-module à
A
gauche est projectif.
Définition 1.39 [1 p.71]
Un module M différent de zéro est dit indécomposable si 0 et M sont
les seuls facteurs directs de M.
i.e : M est indécomposable s'il n'existe pas deux sous-modules non nuls M 1 et
Définition 1.40 [18 p. 15]
Un sous-module N d'un module M est dit superflu dans M si, pour
tout sous-module L de M, la relation N + L = M implique L = M.
Définition1.41 [18p.15]
Soient M un module et P un module projectif.
On dit que
P
est une enveloppe projective de
M
s'il existe un
homomorphisme surjectif f de M sur M tel que Ker f soit superflu dans P.
17
On montre que si un module admet L1ne enveloppe projective, alors
cette enveloppe projective est unique à un isomorphisme près.
Les enveloppes projectives n'existent pas toujours.
A partir de cette notion d'enveloppe projective on définit l'anneau parfait
et l'anneau se mi-parfait.
Définition 1.42 [18 p. 15]
On appelle anneau parfait (à gauche), ou simplement, parfait tout
anneau A sur lequel tout module admet une enveloppe projective.
Définition 1.43 [18 p.16]
On dit qu'un anneau A est se mi-parfait si tout A-module à gauche de
type fini possède une enveloppe projective. Il en résulte que tout A-module à
droite de type fini possède une enveloppe projective, et que tout anneau parfait
et semi-parfait.
Définition 1.44 [15 p. 61]
On dit qu'un anneau A est local s'il admet un unique idéal maximal.
Définition 1.45 [16 p. 33]
On dit qu'un A-module M est local s'il possède un sous-module propre
maximal N. N est alors le radical de M et si x
E
M - N, on a M
= xA.
Le théorème suivant donne une caractérisation des anneaux semiparfaits:
18
Théorème 1.46 [1 p. 304]
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A est semi-parfait.
2) A
admet un système complet d'idempotents
{e1,"" en}
tel que tout
anneau ei A ei est local.
3) Tout A-module à gauche simple possède une enveloppe projective.
4) Tout A-module à gauche de type fini possède une enveloppe projective.
Corollaire 1.47 [1 p.305]
Si A est un anneau semi-parfait, alors tout facteur de A est semiparfait.
•
19
CHAPITRE Il
CARACTERISATION DES ANNEAUX REGULIERS
§1 - GENERALITES SUR LES ANNEAUX REGULIERS
Définition 2.1 [12 p. 196]
On dit qu'un élément a d'un anneau A est régulier (au sens de Von
Neumann) s'il existe b E A tel que a
=a b a.
On dit qu'un anneau A est régulier (au sens de Von Neumann) si tout
élément de A est régulier.
Dans tout ce qui suit, le terme anneau régulier désigne un anneau
régulier au sens de Von Neumann. Le mot radical désigne le radical de
Jacobson noté R ou J. On note Rad pour le radical premier.
La proposition suivante donne une caractérisation des anneaux
réguliers:
Proposition 2.2 [16 - p. 137]
.Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
1) Quelque soit a
E
A, a E a A a .
2) Tout idéal à droite (resp. à gauche) monogène est facteur direct de A.
3) Tout idéal à droite (resp. à gauche) de type fini est facteur direct de A.
Preuve
La condition
1) étant symétrique il suffit de se limiter à l'étude des
idéaux à droite de A.
20
1) ::::} 2). Soit aA un idéal à droite monogène de A; par hypothèse il existe
XE
A tel que a
=a x a
et par suite aA
= ax A
et l'assertion résulte du fait
que ax est un idempotent de A.
2) ::::} 3). Il suffit de montrer que la somme eA + fA de deux idéaux à droite
engendrés respectivement par des idempotents e et f est un idéal à droite
monogène. Or eA + fA
= eA
l'existence d'un idempotent
immédiatement eA + fA
3) ::::} 1) Soit a
E
+ (1 - e)f A
e'
tel que
= (e + e' -
et la propriété
2)
entraîne
e'A = (1 - e) f A, on en déduit
e'e)A d'où 3).
A ; comme aA est un facteur direct de A on a aA = eA où
e est un idempotent de A.
La propriété 1) résulte alors de la relation a = ea.
A partir de cette proposition on peut donner la définition suivante:
Définition 2.3 [16, p. 137)
On appelle anneau régulier un anneau A satisfaisant aux conditions
équivalentes de la proposition 2.2.
Corollaire 2.4 [16 p. 137]
Soit A un anneau régulier. On a les propriétés suivantes:
1) L'intersection de deux idéaux à droite (resp. à gauche), monogènes est un
idéal monogène.
2) Tout idéal à droite de type dénombrables est projectif.
21
Preuve
• Soient e et f deux idempotents de A; l'idéal à droite eA n fA est
l'annulateur à droite de l'idéal A(1 - e) + A(1 - f). La propriété 1) résulte alors
de la proposition 2.2.
• Soient
1
un idéal à droite de type dénombrable de A,
système générateur de 1; d'après la proposition 2.2. on a 1 =
désigne l'idéal à droite engendré par
Xl, ... , Xn .
Donc
1
(Xi)iEIN
~ ~n;{)
un
où ln
est projectif.
Proposition 2.5 [1 p. 175]
Tout facteur d'un anneau régulier est régulier.
Proposition 2.6 [16 p. 138]
1) Tout anneau quotient d'un anneau régulier est un anneau régulier.
2) Tout anneau produit d'anneaux réguliers est un anneau régulier.
3) Le centre Z d'un anneau régulier est un anneau régulier.
Proposition 2.7 [1 p.300] et [16 p. 139]
Tout sous module de type fini M d'un module projectif P sur un anneau
régulier A est facteur direct de P.
Comme conséquence de cette proposition 2.7
et du fait que les
catégories des A - modules et des Mn(A ) - modules sont équivalentes, on a le
corollaire suivant:
22
Corollaire 2.8 [16 p.140]
Pour un anneau A, les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A est régulier"
.
2) Mn(A) est régulier.
De plus, les propositions suivantes donnent une caractérisation des
anneaux réguliers:
Proposition 2.9 [1 p. 249]
Pour un anneau A, les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A est régulier
2) Tout A - module (à gauche) de présentation finie est projectif.
Proposition 2.10 [16 p. 140]
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A est régulier.
2) Tout A - module à droite (à gauche) est plat.
§2
~
ANNEAUX REÇULlERS COMIVIUTATIFS
Proposition 2.11 [16 p. 139]
Pour
un
anneau
commutatif,
les
propriétés
suivantes
équivalentes:
1) A est un anneau régulier.
2)
a) Tout idéal premier de A est maximal;
b) Le radical de A est nul.
3) Pour tout idéal maximal m de A, le localisé Am est un corps.
23
sont
Preuve
1)
~
R
2). 0 est le seul idempotent appartenant au radical R de A donc
= (0).
La propriété
a)
résulte du fait qu'un anneau régulier intègre est un
corps.
2)
~
3). Soit m un idéal maximal de A; A étant un anneau réduit, le
localisé
Am
est un anneau réduit dont le seul idéal premier est
mA m , Am est donc un corps.
3)
~
1). Désignons par f(a) l'annulateur d'un élément a de A. La
propriété 3)
implique que l'idéal
Aa + f(a)
n'est contenu dans
aucun idéal maximal; donc Aa +e(a) = A, ce qui prouve que aE aAa
et A est un anneau régulier.
Proposition 2.12 [16 p. 139]
Pour
un
anneau
commutatif,
les
propriétés
suivantes
sont
équivalentes:
1) A est un anneau régulier.
2) Tout A - module simple est injectif.
Remarque
Cette proposition ne s'étend pas aux anneaux non nécessairement
commutatifs comme le montre l'exemple suivant:
Soient K un corps, V un K - espace vectoriel de dimension infinie, A
l'anneau des endomorphismes de V. Alors V est un A - module à gauche
simple qui n'est pas injectif.
24
Notre modeste contribution dans ce chapitre est:
Proposition 2.13
Soit A
un anneau commutatif.
Les propriétés suivantes sont
équivalentes:
1) A est un anneau régulier.
2)
a) Tout idéal premier de A est maximal;
b) Tout idéal nilpotent de A est nul.
Preuve
D'après la proposition 1.25, on a rad A
=0
si et seulement si A ne
contient pas d'idéaux nilpotents non nuls. Ceci est équivalent à dire que tout
idéal nilpotent de A est nul.
Puisque tout idéal premier de
A
est maximal, donc le radical de
Jacobson de A est égal au radical premier donc le radical de A est nul si
rad A
= O. On achève la preuve en appliquant la proposition 2.11.
Proposition 2.14
Tout anneau artinien commutatif de radical nul est régulier.
Preuve
Soit A
un anneau artinien. D'après la proposition 1.12, tout idéal
premier de A est maximal. Si A est commutatif et de radical nul, on applique la
proposition 2.11, et on obtient que A est régulier.
25
0
CHAPITRE III
MODULES AYANT LA PROPRIETE DE
SIMPLIFICATION SUR UN ANNEAU REGULIER
Introduction
Dans ce chapitre, R est un anneau associatif unitaire et M un R-module
à droite.
Nous allons exposer quelques résultats connus sur la propriété de simplification pour les modules sur un anneau régulier, et nous donnons une
condition nécessaire et suHisante sur un R - module d'avoir la propriété de
simplification, si l'anneau R est régulier commutatif noethérien.
§1 - DEFINITIONS ET RESULTATS DE BASE
Définition 3.1 [13 p. 187]
Soit R un anneau et M un R - module à droite. On dit que M possède
la propriété de simplification si M EB A == M EB B implique A == B pour tout
R-modules à droite A et B.
Cette définition peut être formulée comme suit:
Définition 3.2 [7 p. 192 ]
Soit R un anneau et M un R - module. On dit que M possède la
propriété de simplification si (M EB A = N EB B avec M == N) implique A = B
pour tout R - modules A et B.
26
Définition 3.3 [13 p. 187]
On dit qu'un anneau
R est stable de rang 1 s'il vérifie la condition
suivante:
Si aR + bR
= R,
il existe c
E
R tel que a + bc
= 1.
Le théorème suivant est un résultat démontré dans [6] par E.G. Evans.
Théorème 3.4 [13 p. 187]
•
Si End R (M) est stable de rang 1, alors M possède la propriété de
simplification.
Il a démontré aussi que:
•
Tout module de type fini sur un anneau commutatif noethérien local
possède la propriété de simplification.
Précédemment, W. V. Vasconcelos a démontré dans [21] que:
•
Tout module de type fini sur un anneau commutatif noethérien local
vérifie la propriété de simplification pour les modules de type fini.
D'autres résultats plus généraux ont été trouvés par Goodearl et Warfield, et en
utilisant le théorème 3.4, ils ont montré que:
• Tout module de type fini sur un anneau commutatif semi :..- local (non nécessairement noethérien) possède la propriété de simplification.
Un théorème de Kaplansky utilisé par K.R. Goodearl dans [8] implique que:
• Si R est un anneau stable de rang 1, alors il en est de même pour l'anneau
des endomorphismes de tout R - module projectif de type fini.
Dans la référence précédente, Goodearl a démontré le résultat suivant,
démontré aussi par P. Menai et J. Moncasi dans [14]:
27
• Si EndR (M) est régulier, alors M possède la propriété de simplification si et
seulement si End M (R) est stable de rang 1.
Définition 3.5 [13 p. 188]
Un anneau R est dit régulier unitaire si pour tout a E R il existe un
élément inversible uER tel que a
= a u a.
Les anneaux réguliers unitaires sont précisément les anneaux réguliers
stables de rang 1.
Supposons maintenant que P est un module à droite projectif de type
fini sur un anneau régulier R. Alors End R (P) est encore régulier. Ceci conduit
au résultat suivant connu:
Théorème 3.6 [13, p. 188]
Soit R un anneau régulier.
(a)
Si P est un R - module à droite projectif de type fini, alors P possède
la propriété de simplification si et seulement si EndR (P) est régulier
unitaire.
(b)
R est régulier unitaire si et seulement si tout
R - module à droite
projectif de type fini possède la propriété de simplification.
Preuve
(a)
(b)
Résultat déjà vu
(Goodearl).
Si R est stable de rang 1, alors le théorème de Kaplansky implique qu'il
en est de même pour l'anneau d'endomorphismes de tout R - module projectif
28
de type fini. Puisque R est régulier unitaire, alors le théorème 3.4 implique que
tout module projectif de type fini possède la propriété de simplification.
Réciproquement, si R est régulier et possède la propriété de simplification pour les R - modules à droite, alors, comme on a déjà vu R
= End R (R)
est stable de rang 1, donc régulier unitaire.
§2 - ANNEAUX PLEINEMENT IDEMPOTENTS
Définition 3.7 [3 p. 663]
On dit qu'un anneau R est d'indexe borné (limité) de nilpotence s'il
existe un entier fixe k ~ 1 tel que xk = 0 pour tout x
E
R.
Définition 3.8 [13 p. 190]
On dit qu'un anneau R est pleinement idempotent à droite si
tout idéal
1
1
= 12 pour
de R.
Remarques
1)
Un anneau R est pleinement idempotent si et seulement si pour tout
a
2)
E
R, a
E
a (R a R).
Un anneau R est pleinement idempotent si et seulement si le R-module
à gauche R/I est plat pour tout idéal
29
1
de R.
Définition 3.9 [13 p. 190]
On dit qu'un anneau R est un V - anneau à droite si tout R - module
simple à droite est injectif.
Ceci est équivalent à dire que le radical de tout R - module à droite est
nul.
Propriété 3.10 [13 p. 190]
Tout V - anneau est pleinement idempotent.
Preuve
Soit R un V - anneau, 1 un idéal à droite. On considère le R - module
à droite R/1 2 , alors le radical de R/1 2 contient 1/1 2 d'où 1= 12 .
Donc tout V - anneau est un anneau pleinement idempotent.
Propriété 3.11
[13 p. 190]
Tout anneau régulier est pleinement idempotent.
Preuve
Evidente.
Remarque
Les V - anneaux contiennent tous les anneaux réguliers de facteurs
primitifs artiniens, et en particulier tous les anneaux réguliers d'indexe borné
aussi bien que les P.1. anneaux.
Proposition 3.12 [1 p. 176]
Soit R un anneau commutatif.
R est régulier si et seulement si 12 = 1 pour tout idéal 1 de R.
30
Le lemme suivant donne une caractérisation des anneaux pleinement
idempotents:
Lemme 3.13 [13 p. 190]
Soit R un anneau pleinement idempotent. Alors:
1)
Mn(R) est pleinement idempotent pour tout n ~ 1 .
2)
Si 1 est un idéal de R et al, ... , an E 1, alors il existe a E R tel que
aja
3)
= ai,
pour i = 1, ... , n.
Si M est un R - module à droite et
MI n MJ
=
M(I n J)
1
et J des idéaux de R, alors
= MIJ.
Preuve
1)
Soit J
un idéal de
idempotent, alors
Mn(R),
Rli
J
= Mn(I).
Puisque R
est pleinement
est R - plat à gauche. Alors l'équivalence de
Morita implique que le Mn(R) - module M = (R/lt est Mn(R) - plat à
gauche. Puisque Mn(R)/J
= Mn(R/
1) == Mn on obtient que Mn(R)/J est
Mn(R) - plat à gauche, d'où 1).
2)
Posons Ao
~
l::J
et A
~
(Ao• 0)
E
Mo(R).
Si X, Y E Mn(R), alors il est immédiat que AXAY est de la forme
(Aoc, *) pour un élément cEl.
On a de 1): Mn(R) est pleinement idempotent, d'où A est une somme
d'éléments de la forme AXAY.
Par conséquent, A o = Aoa pour certain a E 1, d'où le résultat 2).
3)
Il est clair que MIJ ç M(I n J) ç MI n MJ.
31
Réciproquement, si x
mi
E
M, ai
E
E
MI n MJ alors on peut écrire x
J. Il résulte de 2) qu'il existe a
tout i. Donc x = xa
E
E
=
L
J tel que aja
mi ai où
= ai
pour
xJ ç MIJ.
Définition 3.14 [13 p. 191]
On dit que l'anneau R vérifie la condition
E si
R ne vérifie pas la
propriété suivante:
Il existe une E - suite infinie qui est une suite infinie d'ensembles de matrices
unitaires dans R
{{e0'l ]:~=,l=,
avec n, < n2 < ...
et
e\~+1) E e\~)
R
e\~)
pour
tout h.
Lemme 3.15 [13 p.191]
Soit R un anneau pleinement idempotent. Si M est un R - module à
droite de type fini et End R (M/MP) vérifie la condition E pour tout idéal premier
P de R, alors End R (M) vérifie la condition E.
Preuve
Si EndR (M) ne vérifie pas (E), alors il existe une E -suite telle que
e\~) 1:- 0 pour tout ~.
Pour tout idéal 1 de R notons CPI
l'homomorphisme naturel induit:
End R (M) --> End R (MIMI). Considérons l'ensemble
idéaux 1de R tels que CPI (e\~) ) 1:- 0 pour tout h. Alors 0
32
L
constitué de ces
EL.
Maintenant nous allons démontrer que
{la}A une chaîne de
I.
.Posons 1=
U1
0 ,
I.
est inductif; pour cela soit
démontrons que 1E
I.
,sinon
œA
CPI (e\~))
=0
pour certain h, d'où
e\~) (M) ç M (
U1
0 ).
Puisque M est de type
œA
fini et les la forment une chaîne, nous avons: e\~) (M) ç Ml a pour certain Cl.;
ceci est contradictoire avec
la E
I. . Donc I.
est un ensemble non vide
inductif, d'où on peut choisir, en utilisant le lemme de Zorn, un élément maximal
P de
I. . Démontrons que P
est un idéal premier, sinon il existe des idéaux
l, J qui contiennent strictement P et IJ ç P. Puisque ni 1 ni J n'appartient à
I.
,nous avons e~~) (M)
= MI n
MJ pour suffisamment de h.
.Alors il résulte du lemme 3.13 - 3) que e\~) (M) ç MP d'où CPP (e\~) )=0
et puisque PE
I.
n'est pas le cas. D'où P est premier mais End R (M/MP)
ne vérifie pas la condition E. Ceci achève la démonstration.
§3 - ANNEAU FORTEMENT
TI: -
REGULIERS
Définition 3.16 [3 p.660]
Un anneau R est dit n - régulier à gauche si pour tout a E R il existe
bER et un entier n ~ 1 tel que an = b an+ 1 •
Un anneau R est dit n - régulier à droite si pour tout a E R il existe
bE R et un entier n ~ 1 tel que an
= an+1 b.
33
Les anneaux
TI -
réguliers à gauche ou à droite ont été introduits par
Kaplansky en 1950.
Définition 3.17 [Azumaya] [3, p. 661]
Si un anneau R est
TI -
alors on dit que R est fortement
régulier à droite et à gauche en même temps,
TI -
régulier.
Ceci est équivalent à dire que [13 p. 192].
Un anneau R est fortement
entier n 2 1 et y
E
R tels que xy
TI -
= yx
régulier si pour tout x
et xn
E
R, il existe un
= xn+1 y.
Lemme de Fitting 3.18 [18 p. 4]
On dit que le module M vérifie le lemme de Fitting si pour tout
f
E
End R (M) il existe un entier n 2 1 tel que M
= Ker fn
n
EB lm f .
Proposition 3.19 [3 p. 665]
Un module M vérifie le lemme de Fitting si et seulement si End (M)
est fortement
TI -
régulier.
Preuve
Supposons que End (M) est fortement
TI -
régulier et soit f
E
End (M).
Alors il existe 9 et h de End (M) et n 2 1 tels que fn = f2n g = hf 2n ,
Du fait que fn = hf2n ,alors M = lm fn + Ker fn, et puisque fn = f2n g , alors la
somme est directe.
Pour la réciproque, F. Dischinger a démontré qu'il suffit de montrer que
si M
= lm f
E9 Ker f, alors f = f2 g pour 9 E End (M).
34
On démontre que lm f
En effet, soit x
v
E
lm f, d'où x
= tf =
= lm f2
E
lm f. Alors x
vf
= wf 2. Donc
et Ker f
= tf
= Ker f2
tel que t
si M
=u + V
= lm f EB
où
U E
Ker f.
Ker f,
lm f ç: lm f2 est l'égalité résulte puisque
nous avons toujours lm f2 ç: lm f.
Maintenant, soit y
o = yf 2 = bf2 d'où:
y
=a E
E
=a + b
Ker f2, y
bf
E
Ker f n lm f
où a
= (0).
E
Ker f, b
Donc b
E
E
lm f. Alors
lm f n Ker f
= (0),
d'où
Ker f. 1/ en résulte que Ker f = Ker f2.
L'ensemble de ces deux résultats implique que la restriction de f à lm f est
inversible. Donc il existe g1
E
End (lm f) tel que f g1
= 1lm f.
Puisque lm f est un facteur direct de M, alors g1 est prolongeable à
g
E
End (M). Donc pour tout x
E
M, xf (1 - fg) = 0 d'où f = f2 g.
Corollaire 3.20 [3 p. 666]
Si End (M) est n - régulier à gauche, alors les endomorphismes
surjectifs ou injectifs de M sont bijectifs.
Preuve
End (M) est fortement n - régulier.
Dans la suite on va caractériser les anneaux fortement n - réguliers de
facteurs primitifs artiniens.
Proposition 3.21 [13 p. 193]
Si R est un anneau fortement n - régulier dont les facteurs sont
primitifs artiniens, alors R est stable de rang 1.
35
Théorème 3.22 [13 p. 193J
Si R est un anneau fortement
TT: -
régulier, alors les assertions
suivantes sont équivalentes:
1)
Tout facteur primitif de l'anneau Rest artinien.
2)
Pour tout sous - module S de R et pour tout idéal 1 de S, si 1 et Sil
sont fortement
TT: -
régulier, alors tout facteur primitif de l'anneau Sil est
artinien.
3)
R vérifie la condition E.
Théorème 3.23 [13 p. 193]
Soit R un anneau pleinement idempotent et M un R - module à droite
de type fini tel que End R (M/MP) est fortement
TT: -
régulier pour tout idéal
premier P de R. Alors:
1)
End R (M) est fortement
2)
Si tout facteur primitif de l'anneau EndR (M/MP) est artinien pour tout
TT: -
régulier.
idéal premier P de R, alors il en est de même pour End R (M).
Dans ce cas EndR (M) est stable de rang 1.
Preuve
Nous allons d'abord démontrer que M vérifie le lemme de Fitting.
1)
Soit f
E
EndR (M) et considérons la chaine descendante f(M) d f2(M) ::2 ....
Par hypothèse cette suite finie modulo MP, pour tout idéal premier P de R.
Dans [2], Armandariz a démontré que si M est de type fini, alors la
suite précédente est stationnaire, donc il existe n ~ 1 tel que fn(M)
Soit fp
fpn(M/MP)
= fn+1(M).
E
End R (M/MP) l'endomorphisme induit par f de M/MP. Alors
n 1
p+
(M/MP) pour tout idéal premier P de R et n ~ 1 entier fixe.
=f
36
Maintenant, fixons l'idéal premier P. Puisque M/MP vérifie le lemme
de Fitting il existe m ~ 0 tel que Ker fpn+ m EB fpn+m (M/MP)
que fpn (M/MP) =
= M/MP.
D'ici et du fait
fpn+1 (M/MP) on peut conclure immédiatement que
Ker fpn = Ker ft+ m . En d'autres mots, on a prouvé que Ker fn n fn(M) ç
n
MP.
p
Posons N
=
n
MP, si on démontre que N
= 0,
alors il sera clair que
p
M = qM) EB Ker fn comme nous voulons.
Pour cela soit Po un idéal premier de R, alors NP o ç N. Réciproquement, si x E N, alors on peut écrire x
=
l
mjaj, où mi EMet ai E Po.
D'après le lemme 3.13 - 2) il existe a E Po avec ai a = ai pour tout i, d'où
x = x a E NP o. Donc N = NP pour tout idéal premier P de R.
Puisque R est pleinement idempotent, donc tous les facteurs d'anneau
R/P sont plats comme R - modules.
Enfin, on utilise la démonstration de Goodearl dans [8] pour conclure
que N = O.
2)
Supposons que End R (M/MP)
est fortement
7! -
régulier de facteurs
primitifs artiniens pour tout P premier de R.
Il résulte du théorème 3.22 que tous les éléments de EndR (M/MP) vérifient la
condition
E. Et d'après le lemme 3.15 les endomorphismes de End R (M)
vérifient les conditions E et d'après 1) - End R (M) est fortement
7! -
régulier. D'où
on applique encore le théorème 3.22 pour conclure que tout facteur primitif de
l'anneau End R (M) est artinien.
Il résulte de la proposition 3.21 que EndR (M) est stable de rang 1.0
37
§4 - PROPRIETE DE SIMPLIFICATION POUR LES
MODULES SUR UN ANNEAU REGULIER
Le théorème 3.23 est l'origine de plusieurs corollaires et résultats
importants.
Parmi ces résultats, la démonstration dans [2] par Armandariz que
End R (M) est fortement
TI: -
régulier avec une hypothèse supplémentaire: la
régularité de R.
Pere Menai a démontré aussi quelques corollaires concernant la
propriété de simplification:
Corollaire 3.24 [13 p. 194]
Soit R un V - anneau. Si M est un R - module à droite de type fini de
facteurs premiers artiniens, alors
End R (1\/1)
est fortement
TI: -
régulier de
facteurs d'anneaux primitifs artiniens.
En particulier M vérifie la propriété de simplification.
Preuve
Soit M un R - module à droite artinien. Alors le radical de M est l'intersection des sous - modules maximaux finis.
Puisque R est
un V - anneau, le radical de M est
(0) d'où M est
contenu dans un module complètement réductible, donc M
lui-même est
complètement réductible. Ceci montre que End R (M)
semi - simple.
38
est un anneau artinien
Si M est un R - module à droite de facteurs artiniens premiers, alors le
paragraphe précédent implique que EndR (M/MP) est fortement n - régulier de
facteurs primitifs artiniens. Donc le corollaire résulte d'après le théorème 3.23.0
Corollaire 3.25 [13 p. 195]
Si
R
est un anneau pleinement idempotent de facteurs artiniens
premiers, alors tout R - module à droite de type fini possède la propriété de
simplification.
Preuve
Pour tout
P
premier, R/P
est artinien ; puisque R
et
R/P
sont
pleinement idempotent, alors R/P est semi - primitif.
Soit M un R - module à droite de type fini, alors M/MP est un
R/P-module à droite complètement réductible. Donc End R (M/MP) est artinien
semi-simple pour tout P premier de R, donc le corollaire résulte d'après le
théorème 3.23.
Corollaire 3.26 [13 p. 195]
Soit R un anneau régulier de facteurs primitifs artiniens. Alors tout
R - module à droite de type fini vérifie la propriété de simplification.
Preuve
Le théorème 6.2 de Goodearl [8] avec le corollaire 2.4 impliquent
immédiatement ce corollaire.
0
39
§5 - MODULES HEREDITAIREMENT PROJECTIFS
Définition 3.27 [1 p. 215]
On dit qu'un anneau A
est héréditaire (à gauche) si tout idéal (à
gauche) de A est projectif.
Définition 3.28 [16 p. 137]
On dit qu'un anneau A est semi - héréditaire (à droite) si tout idéal (à
droite) de type fini est projectif.
On remarque que tout anneau héréditaire est semi - héréditaire. De
plus tout anneau régulier est se mi - héréditaire.
Définition 3.29 [7 p. 197]
Soit A un anneau et M un A - module. On dit que M est héréditairement projectif si tout sous - module de M est projectif.
En particulier tout module projectif sur un anneau héréditaire est héréditairement projectif.
L. Fuchs a étudié la propriété de simplification pour les modules, et a
démontré le théorème suivant dans [7]:
Théorème 3.30. [7 p. 197]
Un module héréditairement projectif possède la propriété de simplification si et seulement s'il vérifie la condition suivante:
Pour tous sous - modules U et V de M, M/U _ MN
40
~
U _ V.
l'Jotre modeste contribution dans ce chapitre est la suivante:
Théorème 3.31
Soit A un anneau noethérien commutatif, et M un A - module projectif.
Si l'anneau A est régulier, alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1)
M possède la propriété de simplification
2)
Pour tous sous - modules U et V de M, M/U _ M/V:::::> U _ V.
Preuve
Si l'anneau A est régulier, alors il est semi - héréditaire, donc tout idéal
(à droite) de type fini est projectif.
Puisque A est un anneau noethérien commutatif, alors tout idéal de A
est de type fini, donc tout idéal de A
est projectif, d'où A
est un anneau
héréditaire.
Le A - module M étant projectif, sur un anneau héréditaire donc héréditairement projectif [7 p. 197] et le théorème résulte d'après 3.30.
41
CHAPITRE IV
MODULES VERIFIANT LA PROPRIETE (S)
SUR UN ANNEAU REGULIER
Introduction
Dans [2], E.R. Armandariz a posé la question suivante:
Soit M un module à droite artinien de type fini sur un anneau régulier.
Est - ce que tout endomorphisme surjectif de M est injectif?
On sait que [3, corollaire 2.4] si End (M) est
TI: -
régulier à gauche, alors
tout endomorphisme surjectif ou injectif de M est un isomorphisme.
Dans ce chapitre nous allons faire une synthèse des résultats
concernant les modules dont tous les endomorphismes surjectifs sont des
isomorphismes. De plus nous présentons une modeste contribution dans le cas
de quelques classes d'anneaux réguliers.
42
§1 • MODULES VERIFIANT LA PROPRIETE (S)
SUR UN ANNEAUX REGULIER
Historique
Soit A un anneau et M un A - module.
On dit que M vérifie la propriété (S) si tout endomorphisme surjectif de M est
un automorphisme.
J. R. STroocker dans
démontré que si R
[19]
et
et W.V. Vasconcelos dans [21] ont
est un anneau commutatif, alors les endomorphismes
surjectifs de tout R - module de type fini sont des isomorphismes.
E. P. Armandariz, J.W. Fisher, et R. L. Snider ont démontré dans
[3 p. 666] que si R est un anneau régulier de facteurs primitifs artiniens, alors
tout endomorphisme surjectif de tout R - module à gauche (à droite) de type
fini est un isomorphisme.
On sait encore que [18] si R
un anneau et M
un
R - module
noethérien, alors tout endomorphisme surjectif de M est un isomorphisme.
Si l'anneau R est un corps ou plus généralement un anneau semi simple, alors la condition sur un R - module M d'être noethérien est équivalente
à la condition que tout endomorphisme surjectif de M est un automorphisme.
Lemme 4.1 [16 p.69]
Soit A un anneau artinien à droite de radical J. Il existe un nombre fini
d'idéaux à droite maximaux dont l'intersection coïncide avec J.
43
'r
Preuve
Soit 3
On a 3
*0
l'ensemble des intersections finies d'idéaux maximaux de A.
et puisque A est artinien, alors il existe un élément minimal J 1
de 3.
Pour tout idéal maximal P de A on a P n J1 ç J 1 et comme J 1 et
minimal dans 3 ; alors P n J 1
= J 1.
Donc (nP) n J 1 = J 1 pour tout idéal à droite maximal de A d'où J n J 1 = J 1~
Proposition 4.2 [16 P. 78]
Pour qu'un anneau
A
soit semi - simple il faut et il suffit qu'il soit
artinien à droite et de radical nul.
Preuve
Le radical d'un anneau semi - simple est évidemment nul; d'autre part,
A est de longueur finie donc artinien à droite.
Réciproquement, soit A
un anneau artinien à droite de radical nul;
d'après le lemme 4.1 il existe un nombre fini d'idéaux à droite maximaux Pi,
1 ::; i ::; n dont l'intersection est nulle et l'anneau A, isomorphe à un sous Il
module du module semi - simple
E8
Ad / Pi , est semi - simple.
1-1
;=1
Proposition 4.3 [1 p. 193]
Un anneau A est semi - simple si et seulement si tout
gauche est projectif.
44
~
- module à
Lemme 4A [1 p. 168]
Si R est un anneau, alors J(R) ne contient pas d'idempotent non nuls.
Preuve
Soit e
Si e
E
E
R un idempotent.
J(R ), alors Re est un facteur direct superflux de RR. Donc e = O.
[j
Proposition 4.5 [12 p. 152]
Un module P est projectif et de type fini si et seulement si P est facteur
direct d'un module libre de base finie.
Proposition 4.6 [18 p. 16]
Sur un anneau sem; - parfait tout module projectif de type fini vérifie la
propriété (S).
Proposition 4.7 [18]
Tout anneau régulier est semi - primitif.
Preuve
Soit A un anneau régulier. Alors 0 est le seul idempotent appartenant
au radical de Jacobson R(A)
(lemme 4.4). Donc R(A)
= 0,
anneau semi - primitif. 0
Notre modeste contribution dans ce paragraphe est la suivante:
Corollaire 4.8
Tout anneau régulier artinien est semi - simple.
45
d'où A est un
Preuve
Ceci résulte immédiatement des propositions 1.26 et 4. 7.
Proposition 4.9
Soit A un anneau régulier artinien. Alors tout
R - module (à droite) de
type fini vérifie la propriété (S).
Preuve
Puisque A est un anneau régulier, alors d'après la proposition 4.7,
R(A) = O. De plus A est artinien, donc d'après le corollaire 4.8, A est semi simple. Donc d'après la proposition 4.3, tout A -module est projectif.
Puisque A est artinien, alors A est semi - parfait, et la proposition 4.6
implique que tout A - module de type fini vérifie la propriété (S). []
Proposition 4.10
Sur un anneau régulier artinien
A, tout
A - module qui est facteur
direct d'un module libre de base finie, vérifie la propriété (S).
Preuve
Soit
A
un anneau régulier artinien. Soit P un
A - module qui est
facteur direct d'un module libre de base finie. D'après la proposition 4.5, Pest
projectif et de type fini. On applique le théorème
démonstration. IJ
46
4.9
pour achever la
§2 - FGS - ANNEAUX REGULIERS
Tous les anneaux considérés dans ce paragraphe sot)tdes anneaux
commutatifs.
Définition 4.11 [10 p. 227]
Soit A un anneau commutatif. On dit que A est un FGS - anneau
commutatif si tout A - module qui vérifie la propriété (S) est de type fini.
Exemple
Tout anneau sem; - simple est un FGS - anneau.
Proposition 4.12 [9 p. 31]
L'image homomorphe d'un FGS - anneau commutatif est un FGS anneau commutatif.
Preuve
Soit <p: A - - > B un homomorphisme surjectif d'anneaux tel que A
est un FGS - anneau commutatif, B est un anneau commutatif. Soit M un
B-module. Alors
<p
induit une structure de
A - module sur la structure du
groupe additif M par:
AxM-->M
(a, m) ._-> (p(a)m
et l'application de A x M - - > M tel que (a, m) 1--> <p(a)m vérifie les
axiomes définissant un A - module. Donc si M est un B - module, alors M est
47
un
A - module et tout
B - endomorphisme est un A - endomorphisme et
inversement.
De ce fait on ne peut pas avoir un B - module qui vérifie la propriété
(S), et qui ne soit pas de type fini si A est un FGS - anneau. Donc si A est
un FGS - anneau, alors B est aussi un FGS - anneau. 0
Proposition 4.13 [9 p. 31]
Tout FGS - anneau intègre est un corps.
Preuve
Soit K le corps de fractions de A, donc' K
=A -
anneau intègre, S
= SAl
où A est un FGS-
{O} la partie multiplicative.
Considérons le A - module K, K est un groupe abélien, l'application
A x K - - > K vérifie les axiomes d'un A - module: (a, k) - - > a k.
Montrons que le A - module K vérifie la proposition (S).
Soit f
E
End A (K) tel que f soit surjectif. Démontrons que f est injectif, c'est à
dire f(S'1 a )
=0
On a f(S'1 a)
= S'1 S f(S'1 a) = s'1f(s'1 sa ) = S'1
Donc si f(S'1 a)
S'1 a
=0
=
::::> S'l a
0
= O.
alors S'1 af(1)
=
f(a)
=
s'1 a f(1).
0, puisque f(1):;t 0 et f(1)
E
K donc
d'où f est injectif.
Donc AK vérifie la propriété (S), il en résulte que AK est de type fini, et par
conséquent K
= A.
0
48
Notre modeste contribution dans ce paragraphe est la suivante:
Proposition 4.14
Tout FGS - anneau commutatif semi - primitif est un FGS - anneau
régulier.
Preuve
Soit A un FGS - anneau commutatif semi - primitif, donc A est de
radical nul. D'après la proposition
2.11, il suffit de. démontrer que tout idéal
premier de A est maximal. Soit P un idéal premier de A.
D'après la proposition 4.12, l'anneau quotient intègre AlP est un FGS-anneau
commutatif, donc d'après la proposition 4.13, A/P est un corps. D'où Pest
maximal. D
§3 - 1- ANNEAUX, S - ANNEAUX ET
F - ANNEAUX REGULIERS
Dans ce paragraphe les anneaux considérés sont associatifs, unitaire.
Définition 4.15 [17 p. 29]
Soit A un anneau non nécessairement commutatif et M un A - module
à gauche.
• On dit que M vérifie la propriété (1) si tout endomorphisme injectif de M est
un automorphisme.
• On dit que M vérifie la propriété (S) si tout endomorphisme surjectif de M
est un automorphisme
49
• On dit que M vérifie la propriété (F) si tout endomorphisme f de M Il existe
un entier n ~ 1 tel que l'on ait M
=
lm fn EB Ker fn.
Il est clair que:
• Tout module artinien vérifie 1.
• Tout module noethérien vérifie S.
• Tout module de longueur finie vérifie F.
Maintenant soit A un anneau.
• A est dit
1-
anneau si tout A - module vérifiant
1
est artinien.
• A est dit S - anneau si tout A - module vérifiant S est noethérien.
• A est dit F - anneau si tout A - module vérifiant F est de longueur finie.
Proposition 4.16 [17 p. 30]
Soit A un anneau commutatif intègre.
Si A est un
1-
anneau ou un S . ,. . anneau ou un F - anneau, alors A est un
corps.
Preuve
Soit K le corps de fraction de A. Comme le A - module K vérifie les
propriétés (1), (S) et (F), il en résulte que si A est un 1- anneau (resp. S anneau, resp. F - anneau), alors le
A - module
noethérien, resp. de longueur finie), d'où A
= K.
K
est artinien (resp.
IJ
Corollaire 4.17 [17 p. 30]
Soit A un anneau commutatif. Si A est un
1-
anneau ou un
S-anneau ou un F - anneau, alors tout idéal premier de A est maximal.
50
Preuve
Soit P un idéal premier de
A. Si
A
est un
anneau, resp. F - anneau), alors l'anneau quotient AfP
1 - anneau (resp. Sest un
1 - anneau
(resp. S - anneau, resp. F - anneau), donc AfP est un corps. Donc 1 est
maximal. 0
Notre contribution dans ce paragraphe est la suivante:
Proposition 4.18
Soit A un anneau commutatif. Si A est un 1- anneau ou un
S- anneau ou un F - anneau, alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1)
A est un anneau régulier.
2)
A est un anneau semi - primitif.
Preuve
1) :::::} 2) Soit A un 1- anneau ou un S - anneau ou un F - anneau.
1ère
Méthode: D'après la proposition
2.11, si A
est un anneau régulier
commutatif, alors son radical est nul, d'où A est un anneau semi - primitif.
2ème Méthode: résultat immédiat de la proposition 4.7.
2) :::::} 1) Le corollaire 4.17 implique que tout idéal premier de A est
maximal, et puisque
A
est semi - primitif, alors sont radical est nul. Donc
d'après la proposition 2.11, A est un anneau régulier. 0
51
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