Examen du 17 juin 2008

LM100 Méthodes de calculs et Statistiques
2007-2008
Examen du 17 juin 2008
(durée 2 heures)
Epreuve SANS document et SANS calculatrice
Les téléphones portables doivent être éteints.
Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.
I. Mathématiques
I.1 Matrice
"1 2%
" 4 2%
r " 3%
Soient les matrices A = $
' et B = $
' et le vecteur u = $ ' .
#5 3&
# 2 1&
#1&
r
I.1.1 Calculer le produit matriciel AB ; appliquer la matrice A au vecteur u .
I.1.2 Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice
inverse correspondante.
!
!
!
!
!
I.2 Système linéaire
On considère le système suivant :
# x + y " z =1
%
$ 4 x " 3y + z = 2
% 3x " 4 y + 2z = 1
&
1.2.1 Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant.
I.2.2 Le système admet-il zéro, une ou plusieurs solutions ? Le cas échéant, calculer
la(les) solution(s).
!
I.3 Nombres complexes
Soit le nombre complexe z = 2 " 2i .
I.3.1 Déterminer le module et l’argument de z puis exprimer z sous forme
exponentielle. Représenter z dans le plan complexe.
I.3.2 Calculer le nombre z 2 et le reporter dans le plan complexe.
!
I.3.3 Trouver les nombres complexes z1 et z2 tels que z12 = z22 = z , puis les figurer dans
le plan complexe.
1/ 4
(Pour les représentations
! dans le plan complexe on rappelle 8 ! 2.8 et (8) ! 1.7 )
!
!
I.4 Equation différentielle
Soit l’équation différentielle d’ordre deux suivante :
d2y
dy
" 3 + 2y = 0
2
dt
dt
I.4.1 Déterminer la solution générale de cette équation.
I.4.2 Calculer alors la solution vérifiant les conditions initiales, y(t=0)=2 et
dy
(t = 0) = 0
!
dt
I.4.3 Rappeler l’expression du développement de Taylor au voisinage de to à l’ordre n
d’une fonction f(t) définie et n fois dérivable sur R.
I.4.4 En déduire le développement limité au voisinage de zéro (to=0) à l’ordre 2 de la
solution déterminée au I.4.2.
I.5 Etude de fonction
Soit la fonction suivante :
f (x) = x ln(x)
I.5.1 On cherche à représenter graphiquement cette fonction, on donnera notamment :
- son domaine de définition
- ses extrema éventuels
!
- ses points d'inflexion
éventuels
- ses limites aux bornes de l’intervalle de définition
- son tableau de variation
Donner alors l’allure du graphe de cette fonction.
I.5.2 A l’aide d’une intégration par partie, calculer une primitive de x ln(x) .
II. Probabilités et statistiques
!
II.1 Une histoire de culture.
Un mélange de graines est constitué à 80% d’une lignée A et 20% d’une lignée B. Sachant
que le pouvoir de germination est de 70% pour la lignée A et de 90% pour la lignée B.
Quelle est la probabilité pour qu’une graine qui ne germe pas soit de la lignée A ? On donnera
le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.
II.2 Une usine de petits pois
II.2.1 Ce que l’on a avant optimisation de la fabrication
Un service étudie la mise en boîte de petits pois. Le poids annoncé est de 500 g, on décide
qu’une boîte est mal remplie si elle pèse moins de 485 g. On admet que la variable aléatoire X
qui, à chaque boîte, associe son poids en grammes, suit une loi normale d’espérance 500 g et
d’écart type 12 g.
(On utilisera la table de la loi Normale fournie en annexe)
a) Calculer la probabilité qu’une boîte soit mal remplie.
b) Calculer la probabilité P(491<X<518)
c) Déterminer h tel que P(500-h<X<500+h) = 0.95
II.2.2 Ce que l’on obtient après optimisation
Dans le but d’améliorer la production, on a ramené le pourcentage de boîtes mal remplies à
2%. Durant la fabrication, un contrôleur teste 200 boîtes de la production (on assimilera ce
prélèvement à un tirage avec remise)
Soit Y la variable aléatoire désignant le nombre de boîtes mal remplies dans ce lot de 200
boîtes.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Y, justifiez votre réponse.
b) Donner l’espérance et la variance de Y.
c) Donner l’expression de P(Y = 2). (on ne demande pas d’application numérique)
On admet que Y peut être approximé par une loi de Poisson.
(On utilisera la table de la loi de Poisson fournie en annexe)
d) Donner l’expression générale de cette loi.
e) En déduire l’expression de cette loi appliquée à la variable Y.
f) Déterminer la probabilité P(Y ≥ 3).