Preparation of Papers in Two-Column Format for the - Revue e-STA

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Volume 7, N°2, pp 40-45
Modélisation Multi-physiques d’un actionneur linéaire
incrémental pour la motorisation d’une pousse-seringue
Imen Saidi 1, Lilia El Amraoui Ouni1, 2 et Mohamed Benrejeb 1
1
Unité de Recherche LARA Automatique, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, BP37, le Belvédère, 1002, Tunis.
Ecole Supérieure de Technologie et d’Informatique, 45 rue des entrepreneurs Charguia 2, 2035 Tunis-Charthage
2
E-mail: [email protected],
[email protected],
Résumé — Dans ce papier, est développé un modèle multiphysiques d’un actionneur incrémental linéaire à réluctance
variable, dédié à la motorisation d’une pousse-seringue pour la
perfusion d’un médicament incompressible parfait. Ce modèle est
composé de plusieurs modèles couplés. représentant chacun un
phénomène physique particulier.
La modélisation multi-physiques élaborée exploite des méthodes
analytiques pour les modélisations électrique, mécanique et celle
de la charge, et des méthodes semi-analytiques à base de réseaux
de réluctances pour le cas de la modélisation du modèle
magnétique.
Mots-clés- Pousse-seringue, perfusion, médicament incompressible
parfait,
actionneur
linéaire
incrémental,
modélisation
multi-physique, réponse dynamique.
NOTATIONS
a, b, c, d
Grandeurs relatives
quatriphasé
aux
phases
de
l’actionneur
Dn
Diamètre de l’aiguille
Ds
Diamètre de la seringue
Fc
Force de charge
f0
Coefficient du frottement sec
Fz
Force de poussée
i
Courant statorique dans une phase
L
Inductance propre d’une phase statorique
m
Masse de la partie mobile et de la charge
M
Inductance manuelle d’une phase statorique
P
Pression exercé sur le piston
Pp
Pression exercée à l’intérieur de la seringue sur le piston
Pmus
Pression musculaire
Po
Pression à la sortie de l’aiguille
Qv
Débit volumique du médicament
[email protected]
R
Résistance d’une phase statorique
Ss
Section de la seringue
U
Tension efficace appliqué à la phase statorique
z
Position linéaire de l'actionneur

Masse volumique du médicament

Cœfficient du frottement visqueux

Perméabilité magnétique du matériau
V1
Vitesse du fluide dans la seringue
V2
Vitesse à la sortie de l’aiguille.
I.
INTRODUCTION
Les pousse-seringues électriques permettent de perfuser de
manière lente et continue une solution médicamenteuse dans
l’organisme à des fins thérapeutiques ou de diagnostiques.
Elles permettent aussi de transfuser des constituants du sang
tels que plasma, plaquettes, concentré globulaire...
Dans le cas de maladies cardio-vasculaire et neurologique par
exemple, le traitement par injection intraveineuse de solution à
longue durée, à débit réglable et à rythme précis [1], nécessite
la mise en place de seringues automatiques programmables,
pouvant être reliées à un réseau central de surveillance. Ces
pousses-seringues électriques sont généralement conçues
autour d’actionneurs incrémentaux pouvant être rotatifs ou
linéaires [2]. Ceux-ci présentent une grande fiabilité, une
bonne dynamique du mouvement ainsi qu’une simplicité de
structure mécanique ce qui leur a permis de s’imposer de plus
en plus dans diverses applications de haute précision [3].
Par ailleurs, l’utilisation d’actionneurs incrémentaux linéaires,
se prête bien aux applications qui demandent un déplacement
rectiligne. En effet, elle permet de simplifier la chaîne de
transmission, en supprimant les organes intermédiaires de
transformation de mouvement, qui sont nécessaires lorsque des
actionneurs de type rotatif sont utilisés [4], [5].
Dans ce sens, nous nous intéressons à la modélisation d’un
actionneur linéaire incrémental afin d’étudier son
comportement dynamique lorsqu’il motorise une pousse
seringue de perfusion d’un médicament incompressible parfait.
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Pour ce faire, un modèle électrique, un modèle mécanique, un
modèle magnétique ainsi qu’un modèle de charge sont élaborés
pour ce type de système puis couplés entre eux afin de tenir
compte des interactions pouvant exister.
II.
PRESENTATION DU POUSSE-SERINGUE ELECTRIQUE
La Pousse-Seringue Electrique (PSE) est un appareil
d’injection ou de perfusion, à usage médical, elle est utilisée
lorsque le patient est dans l’incapacité d’avaler des
préparations orales, ayant un problème d’absorption gastrointestinale, ou lorsque son état général ne lui permet pas une
prise normale de médicaments. Les principaux vaisseaux
utilisés pour la perfusion sont [1] :
anneaux amagnétiques, Fig.1. La partie mobile de l’actionneur
portée en translation, est régulièrement dentée.
Les dents et les encoches du mobile et du module statorique
sont identiques et de même largeur. Ces caractéristiques
assurent la régularité du pas. La force de poussée de
l’actionneur est de 2 N avec une course utile d’environ
100 mm et un pas élémentaire de 1 mm. Enfin la partie
électronique de commande permet de contrôler les débits et les
pressions et aussi de gérer les alarmes et d'effectuer de
nombreux calculs de doses en fonction des protocoles de
perfusion.
Support de fixation
Seringue
Actionneur incrémental linéaire
- Les veines périphériques : principalement les veines du dos
de la main, veines de l’avant-bras ou du bras, veine saphène
interne à la malléole. Chez le petit enfant, les veines
épicrâniennes peuvent être utilisées.
Fluide médical
A B
C
D
- Les veines centrales : la veine jugulaire interne, située au
niveau du cou, la veine fémorale, qui chemine dans le
triangle de Scarpa (cou, pointe de l’épaule, sein), la veine
sous-clavière, étendue de la base du cou jusqu’au bras.
Les plages de débits de perfusion du médicament peuvent
varier de 0.1 ml/h à 99.99 ml/h [2], les volumes des seringues
les plus couramment utilisées sont de 5 ml, 10 ml, 20 ml,
30 ml et 50 à 60 ml.
La pousse-seringue électrique combine des parties mécaniques,
électriques et électroniques de commande. La partie mécanique
sert de support pour les différents types de seringues. Il
comprend également un système de capteurs qui permettent de
vérifier la bonne position de fixation du piston. Le piston du
PSE est couplé directement au système de motorisation, qui va
littéralement pousser le contenu de la seringue vers le circuit
patient. Cette partie mécanique est mue par un actionneur
incrémental linéaire à réluctance variable de structure
géométrique tubulaire, composé par une succession en cascade
de quatre modules statoriques, A, B, C et D, séparés par des
FIG. 1 : SYNOPTIQUE DU POUSSE-SERINGUE ELECTRIQUE
III.
MODELISATION MULTI-PHYSIQUE DE L’ACTIONNEUR
Le modèle multi-physique de l’actionneur incrémental de
motorisation du pousse seringue est en fait composé de
plusieurs modèles interagissant entre eux. Chacun de ces
modèles est construit à partir d’approches analytiques ou semianalytiques, et est destiné à représenter un phénomène
physique. Ainsi le modèle multi-physique peut se décomposer
en quatre modèles (Fig.2.), nous étudierons tout d’abord le
modèle électrique, ensuite, le modèle magnétique qui permet
de déterminer les évolutions de la force de poussée et de
l’inductance en fonction de la position du mobile, Puis la
charge de l’actionneur est modélisée. Enfin le modèle
mécanique permet de simuler le comportement dynamique de
l’actionneur.
Fig. 2 : Modèle multi-physique de l’actionneur linéaire incrémental
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Le modèle multi-physique de l’actionneur est alors décrit par le
schéma de la figure 2.
A. Modèle électrique
La tension induite aux bornes des phases A, B, C ou D, de
l’actionneur linéaire incrémental à réluctance variable sont
déduites des lois de Faraday et de Lenz par [6] :

d
U a,b,c,d    Ra,b,c,d  ia ,b,c,d  
a ,b,c ,d 
dt 

(1)
Ou  est le flux totalisé vu par une phase statorique est décrit
par l’équation suivante [6]:
a,b,c,d    La,b,c,d  ia,b,c,d 
(2)
La matrice caractérisant les inductances des quatre phases en
régime linéaire est donnée par :
 Laa M ab M ac M ad 
M L M M 
 L   M ba Mbb L bc M bd 
ca
cb
cc
cd


M
M
M
L
 da db dc dd 
magnétique, la modélisation consiste à repérer les principaux
tubes de flux, est à leur associer des réluctances dont les
valeurs dépendent du matériau magnétique d’une part et de la
géométrie du tube de flux d’autre part. Chaque réluctance est
calculée à partir de l’équation suivante [7]:

B
dl
A
S
(9)
Le circuit magnétique décrit par un module élémentaire de
l’actionneur peut être modélisé par le réseau de reluctance de la
Figure 3, en supposant que la perméabilité du fer est constante
et que les effets de frange et d’extrémités sont négligeables.
La figure 3, présente le flux  créé dans le circuit magnétique,
c , a , ds , dm sont respectivement la réluctance de la
culasse, celle de l’arbre du mobile, celle d’une dent du stator et
celle d’une dent du mobile et e représente la réluctance
d’entrefer proportionnelle à la zone de recouvrement entre une
dent du mobile et d’une dent du stator.
Rc
Ni

(3)
Rds
Rds
Les phases statoriques sont magnétiquement découplées, les
inductances mutuelles sont nulles, les inductances des quatre
phases sont identiques. La matrice (3) peut alors être réécrite
sous la forme suivante :
Re
Re
Rdm
Rdm
 L( z ) 0 0 0 
 0 L( z ) 0 0 

L

  
0 0 L( z ) 0 


 0 0 0 L( z ) 
Ra
(4)
Fig.3. Modèle réseau de réluctances
1.
D’après les équations (1), (2), (3) et (4) les quatre équations
décrivant le comportement électriques de l’actionneur sont :
di
L dz
(5)
U A  RiA  L A 
iA
dt z dt
Calcul de l’inductance
Les inductances statoriques seront calculées à partir du modèle
réseau de réluctances. Cette méthode présente l’avantage de
permettre de calculer analytiquement l’inductance d’une phase
à partir des dimensions géométriques. L’expression de
l’inductance est décrite par l’équation suivante [8]:
U B  RiB  L
diB L dz

iB
dt z dt
(6)
L( z ) 
U C  RiC  L
diC L dz

iC
dt z dt
(7)
Avec N le nombre de spires du bobinage d’une phase et éq la
di
L dz
U D  RiD  L D 
iD
dt
z dt
(8)
B. Modèle magnétique
Le modèle magnétique élaboré pour l’actionneur est de type
réseau de réluctances. Chaque réluctance est déterminée à
partir de la répartition des tubes de flux à l’intérieur du circuit
N2
éq
(10)
réluctance équivalente du circuit magnétique d’une phase qui
est décrite par l’équation suivante:
éq   c  2ds  2dm  2e  a 
(11)
La figure 4 représente la variation de l’inductance en fonction
du décalage entre les dents du stator et celles du rotor. Lorsque
celles-ci sont alignées, la réluctance est minimal et
l’inductance est maximal, lorsqu’elles sont en quinconce deux
la réluctance est maximal l’inductance est minimale.
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Fc  PSs
Position
aligné
Position de
quinconce
Position de
quinconce
L’expression de la pression P à l’équilibre du piston à vitesse
0.2
constante, est décrite par l’équation suivante:
0.18
P  Pp  Pmus  Po
0.16
Inductance ( H )
(13)
(14)
0.14
0.12
La pression Pp exercé sur le piston, est déterminée à partir de
l'équation de Bernoulli pour l’écoulement d’un fluide
incompressible parfait [9].
1
1
(15)
 gz1  Pp  V12   gz2  Po  V22
2
2
La seringue est maintenue horizontale donc z1  z2 .
0.1
0.08
0.06
0.04
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Decalage ( % )
0.4
0.6
0.8
1
Fig.4. Evolution de l’inductance en fonction du décalage
2.
Calcul de la force de poussée
La force de poussée est créée à partir de la variation de la
réluctance d’entrefer. En effet, chaque changement de la
position du mobile engendre une force calculée à partir de
deux positions décalées entre elles de 2% de la largeur de dent.
La force de poussée est alors calculée à partir de l’équation
suivante [7]:
Fm  i, z  
1 L  z  2
i
2 z
(12)
i cst
La figure 5 représente l’évolution de la force motrice en
fonction du décalage, D’une part, lorsque les deux dents sont
alignés, la force est nul, d’autre part, pour des décalages de
50% des deux dents la force est maximale.
La vitesse V1 V2 , donc la vitesse dans la seringue V1 est
nulle [9], [10], l’équation (15) peut donc être réécrite sous la
forme suivante :
1
Pp  Po  V22
(16)
2
L’expression de la vitesse du fluide à la sortie de l’aiguille est
décrite par l’équation suivante :
4Qv
V2 
(17)
 Dn2
D’après les équations (13), (16) et (17), l’expression de la force
de poussée pour un écoulement d’un fluide parfait
incompressible est donnée par l’équation suivante :

8 Q 2   Ds2 
(18)
Fc   Pmus  2 v4 

 Dn  4 

La figure 6, présente l’évolution de la force de charge en
fonction du débit
2
1.705
1.5
1.7
1.695
0.5
Force de charge (N)
Force de poussée ( N )
1
0
-0.5
-1
1.69
1.685
1.68
1.675
1.67
-1.5
1.665
-2
-0.5
-0.4
-03
-0.2
-0.1
0
0.1
Decalage ( % )
0.2
0.3
0.4
0.5
Fig.5. Evolution de la force motrice en fonction du décalage
C. Modèle de la charge
Le médicament perfusé a la caractéristique d’un fluide
incompressible parfait où la viscosité du liquide contenue dans
la seringue est nulle. En effet le profil de vitesse est uniforme
dans la section droite de l’écoulement. L’expression de la force
de charge pour ce type d’écoulement est décrite par l’équation
suivante :
1.66
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Débit (m3/s)
3
-8
x 10
Fig.6. Evolution de la charge en fonction du débit
D. Modèle mécanique
Le comportement dynamique de l’actionneur linéaire
incrémental est décrit par l’équation différentielle du second
ordre suivante [3], [7] :
d2z
dz
 dz 
m 2 
 F (i, z )  f 0 signe    Fc
(19)
dt
dt
 dt 
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L’actionneur considéré au cours des simulations en charge est
caractérisé par les paramètres mécaniques suivants:
positionnement précis et sans dépassement est requis.
m=1 kg ; ξ=25 Nsm-1 ; f0=0.01 N
IV.
La résolution du modèle dynamique décrit par (19) en
appliquant l’algorithme de Range Kutta à l’ordre 4 sous
l’environnement Matlab permet de déterminer l’évolution de la
position z du mobile en fonction du temps t en tenant compte
de l’évolution de la force de charge Fc.
E. Couplage des modèles
Le système couplé est constitué des modèles électriques,
magnétique et de charge élaborés et en interdépendance, Fig.2.
Le couplage des différents modèles est pris en compte à travers
les évolutions de la force de poussée et de l’inductance de
phase. Les équations des phénomènes à modéliser sont alors
résolues simultanément.
Les paramètres décrivant la charge de la pousse-seringue sont
donnés par le tableau suivant :
Les travaux présentés dans cet article décrivent l’élaboration
du modèle multi-physiques d’un actionneur, composé des
modèles électrique, magnétique, mécanique et de charge. Le
couplage de ces modèles est réalisé en vue de l’étude du
comportement dynamique de l’évolution des courants des
quatre phases, de la force de poussée, de la position et de la
vitesse de l’actionneur linéaire incrémental. Le système global
modélisé constitue une nouvelle application des actionneurs
incrémentaux linéaires dans le domaine biomédical.
Nous envisageons de poursuivre ces travaux essentiellement
dans le sens de l’élaboration de stratégies de commande
adaptées à ce type de systèmes, permettant de réduire les
oscillations en présence.
REFERENCES
[1]
TABLE I
PARAMETRES DE LA CHARGE
[2]
[3]
Paramétres
Cc (ml)
Dn(mm)
Ds(mm)
Pmus(mmHg)
Po (bar)
Qv (ml/h)
 (kg.m3 )
Valeur
60
3
23
15
1
10
1000
[4]
[5]
[6]
Les figures 9, 12 et 10 présentent respectivement les allures du
courant des quatre phases, la vitesse de déplacement et la force
de poussée dynamique développée par l’actionneur.
La figure 11 présente la réponse dynamique de l’actionneur,
des oscillations angulaires apparaissent autour de la position
d’équilibre finale, ces oscillations sont issues de l’énergie
cinétique accumulée par la partie mobile au cours du
déplacement [10]. Les oscillations sont amorties plus au moins
rapidement par les effets des frottements de toutes natures,
parmi lesquels on peut citer [11]:
 le frottement sec,
 le frottement visqueux,
 une partie des pertes fer et des pertes joules associées à la
tension induite de mouvement.
Ces oscillations sont défavorables dans la mesure où un
CONCLUSION
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
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0.25
0.25
0.2
Courant IC ( A )
Courant IA ( A )
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0
0
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps ( s )
2.5
Temps ( s )
A.
C.
Evolution du courant IA
Evolution du courant IC
0.25
0.25
0.2
Courant ID ( A )
Courant IB (A)
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
0
0
0.5
1
1.5
2
0.5
2.5
1
Temps ( s )
1.5
2
Temps ( s )
D.
B.
Evolution du courant ID
Evolution du courant IB
Fig.9. Evolution des courants dans les quatre phases de l’actionneur
-3
5
x 10
2
4
Position du mobile ( m )
1.5
Force dynamique ( N )
1
0.5
0
3
2
1
-0.5
0
-1
0
-1.5
0
0.5
1
Temps ( s )
1.5
2
Fig. 10. Evolution de la force de poussée dynamique
0.03
Vitesse du mobile ( m/s )
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
0
0.5
1
1.50
Temps ( s )
2
Fig. 12. Evolution de la vitesse
2.5
0.5
1
Temps ( s )
1.5
Fig. 11. Evolution de la réponse dynamique
2