EXERCICES CORRIGES

ECONOMIE DE LA DECISION
EXERCICES CORRIGES
Laurence ABADIE
1- APPLICATIONS ASSURANCE
Exercice 1
a
Soit un individu dont la fonction d'utilité est la suivante: U (W) = (W) où W est la richesse de l'individu.
Cet agent a une richesse initiale de 200 000 € qu'il investit entièrement dans un studio à la montagne.
Devant renouveler son assurance incendie pour l'année à venir, cet individu a estimé que la probabilité d'un
incendie est égale à 10% (Lors d'un incendie, le studio est entièrement détruit).
Une compagnie d'assurance lui propose un contrat qui lui offre comme indemnité I=
X en cas de sinistre
contre paiement d’une prime P = (1 + λ )α E ( X ) où :
X = le montant de la perte
λ = le facteur de chargement appliqué par la compagnie d'assurance
α = la part de la perte prise en charge par la compagnie d'assurance avec 0 ≤ α ≤ 1
Question 1 : Quelle est la prime d'assurance maximale que l'individu est prêt à payer pour une
couverture complète ? Quelle relation existe-t-il entre cette prime maximale et la notion de prime de
risque ? Evaluer ces 2 primes pour a=0.2 , a = 0.5 et a = 1. Commentez les valeurs obtenues.
Prime maximale = prime qu’il est prêt à payer pour profiter d’une couverture complète Elle vérifie donc:
Eu(assurance complète) = Eu(sans assurance)
( )
Sans assurance : Eu w f = pu ( w 0 − X ) + (1 − p ) u ( w 0 )
Avec assurance complète : Eu (w ) = pu ( w 0 − P − X + X ) + (1 − p ) u ( w 0 − P ) = u ( w 0 − P ) . La prime
(
maximale qu’il est prêt à payer est donc telle que : u w 0 − P
notion de prix de vente !!! On aura donc
de sinistre et Π la prime de risque.
max
pv= -P
et donc P
max
max
) = Eu (w ) , c’est donc l’inverse de la
f
= E ( X ) + Π où E(X) est l’espérance
Lorsqu’il court le risque de perdre 200 000€ avec proba 0.1, l’agent a comme espérance d’utilité :
Eu (w f ) = 0 ,9 u (200000 ) + 0 ,1u (0 ) = 0 ,9 (200000
(
) = (200000 − P )
) = Eu (w ) ⇔ (200000 − P ) = 0,9(200000 )
De la même façon, u w0 − P
(
Donc, u w 0 − P
max
max
max a
Ainsi pour a=0,2 : P
maximale est P
max
f
max
)a
max
=200 000 (1 – 0,9
5
a
a
(
⇔ P max = 200000 1 − 0,9 1 / a
)
) = 81902.. La relation entre la prime de risque et la prime
= E ( X ) + Π , donc comme E ( X ) = 0 ,1 * 200000 = 20000 ,
1
Π = 81 902 –20 000 = 61 902. La prime de risque de l’agent est alors positive, il est donc averse au risque.
Ainsi pour a=1/2 : P =200 000 (1 – 0,9 ) = 38 000. Donc Π = 38 000 –20 000 = 18 000.
La prime de risque de l’agent est positive, il est donc averse au risque.
max
2
-1
RMQ : le coefficient d’aversion pour le risque est Aa(w)=(1-a)w , pour a = 0.2 il vaut 0.8w
-1
il vaut 0.5w . Plus a est faible, plus il est averse au risque.
-1
et pour a = 0.5
Ainsi pour a=1 : P =200 000 (1 – 0,9 ) = 20 000. Donc, Π = 20 000 –20 000 = 0. La prime de risque de
l’agent est alors nulle, il est donc neutre au risque.
max
Question 2 :
1
Si la compagnie d’assurance ne prélève aucun frais de gestion, quel seront le taux de
couverture choisi par notre agent et le montant de sa prime d’assurance pour a=0.5 ?
pour a = 0.2 ?
Lorsque le taux de chargement est nul, quel que soit son degré d’aversion au risque, un agent averse au
risque choisira toujours de s’assurer complètement ! Donc α = 100 %, I = 200 000 en cas de perte, 0
sinon et P = (1 + 0 )100 % 200 000 = 20 000
Question 3 :
Mêmes questions si à présent le facteur de chargement
λ = 50%.
Dans ce cas là la richesse finale dans les différents états de la nature s’écrit :
Si pas de perte (avec proba 0,9) :
w f = 200 000 − P = 200 000 − (1,5 × α × 20 000 ) = 200 000 − 30 000 α
Si perte (avec proba 0,1) :
w f = 200 000 − L − P + I = 200 000 − 200 000 − (1,5 × α × 20 000 ) + 200000 α = 170 000 α
Donc son espérance d’utilité s’écrit :
EU (w f ) = 0 ,9 (200 000 − 30 000 α ) + 0 ,1(170 000 α ) qui est maximum pour α tel que :
a
dEU (w f
)
dα
dEU (w f
dα
)
a
= 0,9 (− 30 000 )a (200 000 − 30 000 α )
a −1
: 17000 (170 000α )
a −1
+ 0,1(170 000 )a (170 000α )
= 27000 (200 000 − 30 000α )
a −1
=0
a −1
On peut simplifier des deux côtés :
dEU (w f )
a −1
a −1
: 17 (170 000 α ) = 27 (200 000 − 30 000 α ) .
dα
Les valeurs du contrat d’assurance vont varier en fonction de l’aversion pour le risque de l’agent . On
montre que l’agent choisira de ne s’assurer que partiellement, et plus son aversion/risque est importante,
plus il choisira une couverture élevée (mais tjs <1 puisqu'il n'est jamais optimal pour lui de s'assurer
totalement).
Pour a=0.2, la CN1 s'écrit: 170 000 ⟨ = 112
172,51 - 16 825,87α, ce qui nous donne alors
α*=0.6004
On a donc α*=60,04% , P*= 18 012€
et I*= 120 080€
Question 4 :
Pour a=0.5, la CN1 s'écrit: 170 000α = 79286,69 –
11893a, ce qui nous donne alors α*=0.4359
On a donc α*=43,59% et P*= 24 565,71€
et I*= 87 179,50€
Supposons à présent que l’individu possède en plus de son studio un place
ment monétaire de 100 000€. Cela modifie-t-il les résultats obtenus aux ques
tions précédentes ? Commentez .
Il s'agit de regarder comment se modifie la décision d'assurance lorsque la richesse initiale de l'individu
s'accroît. Il apparaît alors que notre agent, devenu plus riche, optera pour un contrat d'assurance lui offrant
une couverture moins importante (ce qui est en général observé dès lors que les préférences d'un tel agent
2
sont DARA).
a=0.2
P= 28444
Π= 8444
a=0.5
P= 24823
Π= 4823
a=1
P= 20000
Π= 0
a=0.5
α=0.10407 et P=3122. 1 et I=20814.
a=0.2
α=0.36536 et P= 10961 et I=73072
Exercice 2
Un armateur, dont la fonction d’utilité est
u (w) = ln(w) possède une flottille évaluée à 100 000 000 €,
souhaite assurer un navire évalué à 5 000 000 € . La probabilité pour que son navire soit détruit est de 1%.
Une compagnie d'assurance lui propose de l'assurer contre ce risque de sinistre.
Question 1 : Comment l'assureur détermine-t-il la prime actuarielle correspondant à une couverture
totale du risque ? Quel sera ici son montant ?
Pour une assurance totale, l'assureur versera une indemnité I = L et percevra une prime P qui doit lui
permettre au moins de couvrir l'indemnité espérée. Le profit réalisé par l'assureur sur la couverture du
sinistre est ainsi égal à P – pL. La prime qui lui permet tout juste de couvrir l'indemnité espérée vaut donc P
= pL, c'est la prime actuarielle telle que son profit est nul. Cette prime représente donc le « juste » prix du
risque. Elle vaut ici 50 000.
Question 2 : Quelle est la prime maximale de pleine assurance que l’armateur serait prêt à payer
pour se garantir totalement contre la perte de son navire ?
Si
l'armateur
n'assure
pas
son
risque,
alors
son
espérance
d'utilité
sera
Eu ( w f ) = 99% u (100 000 000 )w0 + 1% u (95 000 000 ) = 18,420 Si l'armateur achète à un prix P une
assurance totale, sa richesse finale sera la même quel que soit l’état de la nature qui se réalisera :
~
W f = w0 − P = 100 000 000 − P . Il serait prêt à payer un prix Pmax pour être totalement couvert, tel que
max
son utilité avec cette assurance soit au moins égale à celle qu’il aurait sans, soit u(100 000 000 – P ) =
max
max
18,420. Il nous faut donc résoudre ln(100 000 000 – P
) = 18,420, soit 1 ce qui nous donne P
=
68 051,23€.
Question 3 : En déduire le montant de la prime de risque de l’armateur pour la perte de son navire.
Commentez la relation entre la prime d'assurance maximale et cette prime de risque, et en déduire le
taux de chargement maximal que la compagnie pourrait fixer pour cet armateur.
La prime maximale qu'est prêt à payer l'armateur est égale à la prime actuarielle + la prime de risque:
max
a
P
= P + P: cela signifie que l'armateur est prêt à payer au-delà du juste prix du risque pour bénéficier
d'une couverture complète. Ce supplément correspond précisément à la prime de risque. Dans notre cas, la
prime de risque est ainsi égale à 68 051,23 – 50 000 = P = 18 051,23 €.
Cela signifie que l'assureur pourrait au maximum appliquer un taux de chargement 50 000 λ = 18 051,23,
soit λ = 36,10% !
La compagnie d’assurance propose à l’armateur un contrat de co-assurance avec un taux de chargement
de 2%.
Question 4 : Déterminez, en expliquant votre démarche, le contrat d'assurance optimal qui sera
choisi par l'armateur. Quel sera alors avec ce contrat son espérance d'utilité ? L'armateur a-t-il
choisi un taux de couverture de 100% ? Pourquoi ?
Dès lors que la prime d'assurance est chargée, l'armateur ne choisira jamais un contrat de pleine
3
assurance. Celui qui maximise son utilité est celui qui maximise son espérance d'utilité. Un contrat
d'assurance sera caractérisé par une indemnité proportionnelle au sinistre I = 5 000 000 α en cas de
sinistre et une prime chargée
P = (1 + λ )αE (L ) soit : P = (1,02 )50 000α = 51000α .
Si pas de perte (avec proba 0,99) :
w f = 1 000 000 − 51 000α
Si perte (avec proba 0,01) : w f = 95 000 000 + 4 949 000α
Donc son espérance d’utilité s’écrit :
EU (w f ) = 99% ln (100 000 000 − 51 000α ) + 1% (95 000 000 + 4 949 000α )
qui est maximum pour α tel que :
dEU (w f )
dα
=
99%(− 51000)
1%( 4 949 000)
+
=0
100 000 000 − 51 000α 95 000 000 + 4 949 000α
En simplifiant, on obtient
99%(51)
1%( 4 949)
=
⇔ 50,49(95 + 4,949α ) = 49,49(100 − 0,51α )
100 000 − 51α 95 000 + 4 949α
donc:
⇔ 4796,55 + 249,875α = 4949 − 25,24α
⇔ 275,115α = 152,45
Et donc notre armateur choisira une taux de couverture optimal : α * = 55,41%
L'armateur ne s'est donc pas assuré à 100%, mais a opté pour un contrat d'assurance l'indemnisant à
hauteur de I* = 2 770 660 € pour une prime d'assurance de P * = 28 260,73 €.
Avec un tel contrat, son espérance d'utilité vaut alors ..., ce qui plus que ce qu'il aurait pu avoir en ne
s'assurant pas.
2- APPLICATIONS CHOIX DE PORTEFEUILLE
Exercice 1
Vous êtes le manager d’un fonds d’investissement. Ce fond a une espérance de rentabilité de 17% et un
écart type de 27%. Il est également possible pour un investisseur de placer son argent dans des obligations
du Trésor et de réaliser ainsi un placement au taux sans risque de 7%.
Question 1- L’un de vos clients est une compagnie d’assurance. Cette compagnie vous a confié un
portefeuille de 1milliard d’€. En moyenne la compagnie doit faire face à des versements nets pour
un montant annuel de 100 millions d’€. Comment devriez vous répartir les actifs dans le fond et
dans l’actif sans risque pour faire face en moyenne aux besoins en cash de votre client ?
Il faut que le placement de ce client ait un rendement de 100 pour 1 000, soit 10% ( aléatoire donc en espérance) .
L’espérance d’un pf P composé en proportion α d’actif risqué et en proportion (1-α) d’actif sans risque est :
E(P)=α17%+(1-α)7% = 0,1α+0,07 sera de 10% si α = 30%. Il faut donc lui proposer un pf composé à 30% d’actif
risqué et 70% d’actif sans risque.
Question 1- Un autre de vos clients est une caisse de pension. Les statuts de la caisse limitent cette
dernière dans son exposition au risque. Au maximum elle peut avoir une exposition au risque de
20%. A quelle espérance de rentabilité ce client peut-il s’attendre ?
Ce client là accepte au maximum un risque de 20 %. L’écart-type d’un pf P vaut σP = α σx = 27%α qui doit
donc être égal à 20%, soit α = 0.74074 . le manager peut donc lui proposer un pf composé à 74,07% d’actif
risqué et 35,93% d’actif sans risque, qui lui rapportera un rendement moyen de E(P)= 14,41 %
Question 3- Puis il y a Gaston, un autre client qui maximise son utilité. Celle-ci est donnée par U(x)=
E(x) – 0,5 kσ2 où k = 3,5. Que représente le paramètre k ? Quelle proportion αde sa richesse devrait
il investir dans votre fonds ? Expliquez bien les étapes de votre raisonnement, vos calculs et le
résultat obtenu.
k représente l’aversion pour le risque de l’individu.
4
S’il investit une part α de sa richesse initiale dans l’actif risqué et le reste dans l’actif sans risque, il
( )
aura comme richesse finale : E w f = 0.1α+1. 07 w0 et comme variance :
σ 2 (w f ) = Var (αrB ) = α 2 (27%) 2 = 0.0729α 2
L’agent a une fonction d’utilité de type Markowitz, donc, l’utilité de la richesse finale de l’agent est :
u (w) = 0.1α+1. 07 w0-0.0729kα²
Le maximum est atteint pour
du
0.68587
= 0 .1α +1. 07 w 0 - 0 .0729 k α = 0 soit α =
dα
k
(c’est plus intelligent
de ne pas fixer k puisqu’il va changer à la question 6). Mais pour le moment, k = 3,5 et donc α = 0.19596
(19,60%)
Question 4- Pourquoi le portefeuille optimal de Gaston ne dépend-t-il pas de son niveau de
richesse initial ?
Car la richesse initiale n’est pas aléatoire et n’influe pas directement (si l’on raisonne en part de la richesse
investie) sur la variance du portefeuille. Son utilité espérée est donc définie à une constante (w0) près : le montant
investi sera donc identique .
Question 5- Comment se modifie le choix optimal de Gaston si à présent on suppose que k = 4,5 ?
Commentez.
Pour k=4.5 on a α= 0.15242 soit 15,24%
Son aversion pour le risque augmente, il diminue donc la part qu'il va investir dans l'actif risqué!
Question 6- On suppose maintenant que votre fonds est composé de trois actifs élémentaires dont
les parts relatives (proportions) sont : action A: 27% , action B: 33%, action C: 40%. Considérez
encore l’investisseur de la question 3, Gaston. Quelles sont les proportions en A, B et C dans son
portefeuille ? Si sa richesse est de 2 000 € quelle somme aura-t-il placé dans A, B, C et dans l’actif
sans risque ?
Exercice 2
Un investisseur est caractérisé par une fonction d’utilité de type Markovitz. Il désire investir son argent dans
des actifs risqués, et s’intéresse plus particulièrement aux deux actifs A et B dont les caractéristiques sont
les suivantes :
Actif A
Actif B
Espérance de Rendement
7%
10%
Variance
22,00%
30,00%
De plus la corrélation entre les actifs risqués est notée ρ.
Question 1- Est-il possible de construire un portefeuille composé de ces deux actifs risqués dont le
rendement soit supérieur à 10% ? Justifiez votre réponse.
Question 2- Pour les 3 cas de figure suivants : ρ = 1, ρ = 0 , ρ = −0.5 et ρ = -1, quel est le portefeuille le
moins risqué que l’on puisse composer à partir de ces deux actifs ? Quelle est alors la variance de ce
portefeuille et son espérance de rendement ?
Question 3- Représentez graphiquement l’ensemble des portefeuilles possibles correspondant aux 4 cas
(approximativement) et commentez.
Question 4- Supposons à présent qu’il existe un actif sans risque et limitons-nous dans tout ce qui va suivre
au cas où seul l’actif risqué B est retenu pour constituer un portefeuille avec l’actif sans risque. Le
rendement de l’actif sans risque est i = 5%. Quels seront les portefeuilles ( notés P1 et P2 ) choisis par deux
investisseurs
dont
les
fonctions
d’utilité
sont
respectivement : U 1
= E (rP ) − 0,5σ 2 (rP )
et
U 2 = E (rP ) − σ 2 (rP ) ? Proposez une représentation graphique détaillée permettant d’illustrer le choix
optimal de chacun des ces investisseurs.
Correction :
5
On suppose que les ventes/achats à découvert ne sont pas autorisés
Un portefeuille constitué de ces 2 actifs dans des proportions αΑ et αΒ (avec αΒ = (1- αΑ)) s’écrit : P = αΑ A
+ αΒ Β.
Son
espérance
de
E(rP ) = E(rB ) +αA[E(rA ) − E(rB )]
rendement
est
E (rP ) = α 1 E (r1 ) + (1 − α 1 ) E (r2 )
soit
et son risque est mesuré par la variance du rendement :
σ 2 (rP ) = (α A )2 σ 2 (rA ) + (1 − α A ) 2 ο 2 (rB ) + 2α A (1 − α A ) ρσ (rA )σ (rB )
Question 1- Par construction, l’espérance de rendement du portefeuille P est linéaire, et vaudra 10 % si le
portefeuille est constitué à 100% de l’actif B. Elle ne pourra pas être supérieure à partir du moment où il
n’est pas possible de vendre/acheter un des titres à découvert.
Question 2Le portefeuille le moins risqué qu’il est possible de constituer à partir de deux actifs risqués est appelé pf de
variance minimale.
Question 3- pour faire plus lisible, je n'ai mis que 3 cas.
E
1 0%
B
8 ,3 8%
ρ = -1
P m in
ρ =0
8 ,2 7%
ρ=1
P m in
A = P m in
7%
A
σ
0%
12 ,7 0%
22 %
2
30 %
Sur ce graphique, sont représentés, pour chaque niveau de corrélation entre les titres, les ensembles de
portefeuilles réalisables. Plus la corrélation entre les titres se rapprochent de -1, plus il est possible
6
d’obtenir des portefeuilles de moins en moins risqués. Pour chaque cas, la variance du portefeuille est
toujours inférieure ou égale à la variance des 2 actifs pris séparément (notamment du moins risqué d’entre
eux!) et même que la somme pondérée des risques des deux actifs ! Par exemple, pour ρ = 0, il est possible
d’obtenir plusieurs portefeuilles dont le risque est plus faible que l’actif le moins risqué ! (en effet, prenons
par exemple Pmin dont le risque global est de 12,70% <22%!!). Ainsi, pour que la diversification produise ses
effets, il n’est pas nécessaire d’avoir une corrélation négative (comme intuitivement on pourrait le penser),
elle doit seulement être différente de 1.
Enfin, la diversification d’un portefeuille est d’autant plus efficace que la corrélation entre les titres est faible.
Question 4 - Ces deux investisseurs ont des fonctions d’utilité de type Markowitz, où le seul paramètre qui
les différencie est le coefficient d’aversion pour le risque. Il vaut k=0,5 pour l’agent 1 et k =1 pour l’agent 2.
L’utilité d’un agent est donc du type :
U = E (rP ) − kσ 2 (rP ) .
Un portefeuille composé d’actif sans risque et de l’actif B a pour rendement moyen et variance :
E (rP ) = αE (rB ) + (1 − α )i = 5% + α (10% − 5%) = 5% + 5%α et σ 2 (rP ) = α 2σ 2 B = 30%α 2 .
L’investisseur ne tient compte que de l’espérance de rendement du portefeuille et de son risque. Un agent
dont les préférences peuvent être représentées par le critère de choix de Markowitz va donc choisir α
solution de :
max U = E (rP ) − kσ 2 P soit max U = 5% + 5%α − 30%kα 2 . Le maximum est atteint pour
α
α
dU
1
= 5 % − 60 % k α = 0 soit α * =
dα
14 k
Ainsi, pour l’agent 1 ( coefficient d’AR = 0,5) le portefeuille optimal est le portefeuille P1 composé à
α* =50%
d’actif risqué B et pour l’autre moitié d’actif sans risque.
Pour l’agent 2 ( coefficient d’AR = 1), le portefeuille optimal est le portefeuille P2 composé à
d’actif risqué B et à 75% d’actif sans risque.
α * = 25%
La proportion de l’actif risqué dans le portefeuille est d’autant plus faible que l’individu a plus d’aversion
pour le risque ( agent B / agent A ). Le portefeuille de l’agent A procure un rendement espéré
E (rPA ) = 50% + 50%α = 75% pour une variance σ 2 (rPA ) = 25% .
Exercice 3
Le directeur financier de la société X dispose d’un excédent de trésorerie de 20 000 € qu’il désire placer sur
les marchés financiers. Le choix du directeur financier a porté sur deux titres risqués a1 et a2, et un actif
sans risque a0. Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques financières des trois titres :
Taux de rendement
espéré (%)
Ecart-type (%)
a1
a2
a0
19
40
10
20
4
0
La corrélation entre les actifs risqués est supposée nulle ( ρ = 0) , tout comme celle entre l'actif sans risque
et chacun des deux actifs risqués. On suppose de plus que l'utilité du directeur financier peut être
2
représentée par une fonction d'utilité de type Markowitz qui a la forme suivante: u(x)= E(x)- kσ x
Question 1:
Le directeur financier aura-t-il intérêt à diversifier ses placements ou bien doit-il plutôt
choisir d'investir dans un seul de ces 3 titres ? Justifiez bien votre réponse.
Le directeur financier aura intérêt à placer une part non nulle de son revenu dans au moins un actif risqué
car chacun de ces actifs offre une espérance de rendement supérieure à l’actif sans risque : E(r2)=20%
>i=4% et E(r2)=5% >i= 4%.
De plus, la corrélation entre les titres risqués est nulle, il sera donc possible de diminuer le risque du
portefeuille global en diversifiant ses placements, i.e en investissant dans les deux actifs risqués. Quant à
l'arbitrage entre ces actifs risqués et l'actif sans risque, on ne peut pas savoir (sans faire de calculs
supplémentaires) s'il sera ou non optimal pour lui d'investir une part non nullle dans l'actif sans risque.
7
Question 2 :
Qu'appelle-t-on la frontière des portefeuille d'actifs risqués efficients (FPE) ? Déterminez
son équation en expliquant votre démarche (attention, pour l'instant, on ne tient pas compte
de l'actif sans risque)
L’ensemble des portefeuilles efficients (FPE) regroupe les portefeuilles les plus rentables associés à
chaque niveau de risque ( ou de la même façon, ceux qui ont le risque minimum pour un rendement espéré
donné). A partir du moment où l’investisseur est rationnel, il choisira toujours un portefeuille appartenant à
la frontière des portefeuilles efficients.
Tout portefeuille composé des deux actifs risqués en proportion α (pour l'actif 1) et (1-α) (pour l'actif 2) est
caractérisé par son espérance de rendement
2
variance: σ ( rP ) = 16 % (α
De , E ( rP )
)
2
E ( rP ) = 10 % + 9 % α et son risque mesuré par sa
+ 4 %( 1 − α ) 2 = 20 % α 2 − 8 % α + 4 %
= 10 % + 9 % α on peut en déduire que α =
E ( rP ) − 10%
et donc en remplaçant dans
9%
l’expression de la variance :
 E ( rP ) − 10 % 
 E ( rP ) − 10 % 
σ ( rP ) = 20 % 
 − 8% 
 + 4%
9%
9%




2
= 24 , 69 E ( rP ) − 1, 33 E ( rP ) + 24 , 78
2
2
Ceci est l’équation de la FPE, qui est délimitée par le portefeuille de variance minimale Pmin que nous
allons calculer ci-dessous.
Question 3 :
Quel est le portefeuille le moins risqué pouvant être constitué avec les seuls actifs risqués 1
et 2 ? Vous donnerez notamment sa composition, son espérance de rendement ainsi
qu'une évaluation de son risque. Pourquoi n'est-il pas possible d'obtenir un portefeuille de
variance nulle ?
Le portefeuille le moins risqué qu’il est possible de constituer à partir de deux actifs risqués est appelé pf
de variance minimale : Pmin. C'est donc celui qui minimise la variance du portefeuille d'actifs risqués, soit
min σ 2 ( rP ) = 20 % α 2 − 8 % α + 4 %
α
qui est solution de
⇔
. Le portefeuille de variance
d σ 2 ( rP )
= 40 % α − 8 % = 0 ⇔ α = 20 %
dα
minimale est composé à 20% d'actif risqué 1 et donc à 80% d'actif risqué 2. Ce portefeuille a une
espérance de rendement
pouvant
être
E ( rP min ) = 10 % + 9 % × 20 % = 11 ,8 % et un risque (qui est le plus faible
obtenu
à
partir
de
ces
deux
actifs
risqués
σ ( rP min ) = 20 % × 4 % − 8 % × 20 % + 4 % = 3 , 2 % soit un écart-type σ ( rP min ) = 17 ,88 % .
2
On a bien diminué le risque du pf en construisant un pf moins risqué que l'actif risqué le moins risqué ! Mais
on n'a pas pu éliminer le risque complètement, puisque cela n'est possible que pour une corrélation entre
actifs risqués parfaitement négative, soit pour ρ = -1.
Question 4:
Proposez une représentation graphique (approximative mais proprement réalisée) de la
FPE ainsi que du portefeuille évalué à la question 3.
(cf graphique présenté en question 8)
Question 5:
Déterminez graphiquement le portefeuille d'actifs risqués optimal (on le notera M) en
expliquant bien votre démarche. Le choix de ce portefeuille M est-il dépendant du niveau
d'aversion face au risque du directeur financier ? Pourquoi ?
Le choix du portefeuille d’actifs risqués est indépendant des préférences de l’investisseur puisqu’il est
optimal pour n’importe quel investisseur rationnel de choisir le portefeuille qui maximise le ratio de
Sharpe (pente de la droite risque rentabilité (iM) sur le graphique), i.e celui qui procure le rendement/unité
de risque le plus élevé. Ce portefeuille qui est donc le même pour tous et il est appelé M : portefeuille de
marché.
(cf graphique présenté en question 8)
8
Question 6:
Le directeur financier a évalué le portefeuille M dont les caractéristiques sont les suivantes:
E(rM) = 13,48% et σΜ = 19,80%. Quelles sont les proportions d'actifs 1 et 2 qui
composent ce portefeuille ?
Comme E ( rM ) = 10 % + 9 % α = 13 , 48 % on en déduit que α M = 38 , 67 % . On peut donc en
conclure que tous les investisseurs investiront dans les actifs risqués selon les même proportions: 38,67%
de la part risqué du pf dans l'actif 1 et donc 61,33% dans l'actif 2.
Question 7 :
En supposant que k = 1, quel pourcentage de sa trésorerie le directeur financier va-t-il
investir dans le portefeuille M ? et dans l’actif sans risque ? Vous présenterez en détail le
programme que résout l’agent pour déterminer le portefeuille global optimal PG* en
expliquant votre raisonnement, Quels seront en définitive les montants investis dans chacun
des 3 titres a0, a1 et a2 ?
Le choix de la répartition entre M et l’actif sans risque dépend fondamentalement de l’aversion/face au
risque de l’investisseur. Le portefeuille global ainsi constitué est alors le portefeuille PG = αM+ (1-α) a0 qui
est celui qui maximise l’espérance d’utilité de l’investisseur. L’agent va choisi la part α de sa richesse qu’il
va investir dans le pf risqué M (le reste étant investi dans l’actif sans risque), de façon à maximiser
2
l’espérance d’utilité de sa richesse finale u(x)= E(x)- σ x . La seule chose qui l’intéresse dans son choix
E ( rP G ) = 4 % + 9 , 48 % α et la variance du rendement de son placement, qui ne
2
2
dépend que de la part risquée σ PG = 3,92% α . Cela revient à résoudre le programme d’optimisation
est donc l’espérance
suivant :
Max U = 4% + 9,48%α − 3,92%α 2 . La CN2 est vérifiée pour un agent de type Markowitz averse au
α
risque. Il suffit donc de résoudre la condition nécessaire du premier ordre pour déterminer le
α∗ optimal.
CN1 = 9,48% − 7,84%α = 0 ⇔ α = 120,92% > 100% ! Cela signifie que, s’il le pouvait, l’agent investirait
120,92% de sa richesse dans le pf d'actifs risqués M. S’il ne peut acheter à découvert, alors son choix
optimal est donc d’investir 100% dans ce portefeuille: PG = M .
Les proportions de chaque actif dans le pf sont donc : a0 = 0%, a1 = 38, 67% et a2 = 61,33%. Soit en
montants: a0 = 0€ a1 = 7 734 € et a2 = 12 266 €.
Question 8:
Complétez le graphique de la question 5 en illustrant le choix de placement optimal du
directeur financier.
E
DRRmax
20%
M
A2
PG
i
A1
25%
σ
Exercice 4
9
Un agent dispose d’une richesse initiale w0 = 10 000€. Il envisage de placer une fraction de sa richesse
dans des placements risqués dont le taux de rendement est aléatoire. Le reste de sa richesse est laissée
en dépôt sans risque, lui rapportant un taux de rentabilité de i = 3%. Deux types de placements risqués sont
disponibles sur le marché, leurs rendements étant indiqués dans les tableaux suivants :
Placement 1 (actif risqué 1)
Probabilités
0,1
0,3
0,6
Placement 2 (actif risqué 2)
Probabilités
0,2
0,4
0,4
Rendement
8%
4%
2%
Rendement
6%
3%
2%
L’investisseur est caractérisé par un fonction d’utilité : U(x) = E(x) – 0,05 σ2(x), où E(x) est l’espérance de
2
rendement de son placement et σ (x) la variance du rendement.
Question 1 : Pouvez-vous affirmer que l’individu choisira de placer une fraction positive de son
revenu dans au moins l’un des actifs risqués ? Argumentez votre réponse par les calculs
(simples) appropriés.
Notre agent a de l’aversion pour le risque (fonction d’utilité de type Markowitz avec coefficient d’aversion
pour le risque k = 0,05 ). Il n’est jamais optimal pour un agent averse au risque d’investir dans un actif
risqué dont le rendement serait, en espérance, inférieur au taux sans risque . Si l’on calcule l’espérance de
rendement de chaque actif risqué, l’on obtient : E ( r1 ) = 3,20% et E ( r2 ) = 3,20% . Ces deux actifs ont la
même espérance de rendement. Ce rendement moyen est supérieur au taux sans risque i = 3% donc
l’individu choisira de placer une fraction positive de son revenu dans au moins l’un des actifs risqués (voire
les deux !).
Question 2 : Supposons pour le moment que ces deux placements sont mutuellement exclusifs,
lequel des deux placements risqués l’individu va-t-il choisir ? Justifiez en détail votre réponse.
Placements mutuellement exclusifs = investissement dans actif sans risque + investissement dans un actif
risqué ou dans l’autre, mais pas dans les deux.
On est donc ramené ici au choix d’un investisseur qui doit placer son argent dans un actif sans risque qui
rapporte du 3% + un actif risqué de rendement espéré 3,20%.
Parmi les deux placements risqués, s’il doit faire un choix, il optera forcément pour l’actif 2. En effet, les
variances du rendement de chaque titre sont
σ 1 2 = 0,0336% et σ 2 2 = 0.0216%
: l’actif 2 est le moins
risqué pour un même rendement espéré de 3,20 %, il sera donc forcément préféré à l’actif 1 par un
investisseur ayant de l’aversion pour le risque.
Question 3 : Une fois son choix d’actif risqué effectué, quel montant (en €) de sa richesse va-t-il
investir dans cet actif risqué ? et dans l’actif sans risque ? Vous présenterez en détail le
programme que résout l’agent en expliquant votre raisonnement.
L’agent va choisi la part α de sa richesse qu’il va investir dans le titre risqué 2 (le reste étant investi dans
l’actif sans risque), de façon à maximiser l’espérance d’utilité de sa richesse finale. Or cet agent étant de
type Markowitz, la seule chose qui l’intéresse dans son choix sont l’espérance et la variance du rendement
de son placement.
Cela revient à résoudre le programme d’optimisation suivant :
Max U = 3% + 0,20%α − 0,05 × 0.0216%α 2 ⇔ max 3 + 0,2α − 0,00108α 2 ⇔ max 2α − 0,0108α 2
α
La CN2 est vérifiée pour un agent de type Markowitz averse au risque. Il suffit donc de résoudre la condition
nécessaire du premier ordre pour déterminer le
α∗ optimal.
CN1 = 2 − 0,0216α = 0 ⇔ α = 92,6 > 1 ! Cela signifie que, s’il le pouvait, l’agent investirait 9260% de sa
richesse dans l’actif risqué. S’il ne peut acheter à découvert, alors son choix optimal est donc
d’investir 100% (toute sa richesse 10 000€) dans l’actif risqué 2, et rien dans l’actif sans risque. (On
1
0
trouve ce résultat car l’agent a peu d’aversion pour le risque !!).
Question 4 : Si sa richesse initiale augmentait, comment évoluerait la part (en %) de sa richesse
placée en actif risqué ? Justifiez votre réponse sans faire de calculs supplémentaires.
Elle serait inchangée puisque la proportion d’actif risqué optimale est indépendante de la richesse
initiale. Seul le montant investi (en €) varierait (proportionnellement) avec la richesse de départ.
Question 5 : Supposons à présent que l’investisseur puisse simultanément investir dans les deux
actifs risqués (il peut toujours également investir dans l’actif sans risque). La corrélation entre
les deux actifs risqués est ρ = -0,4. Quel est le portefeuille d’actifs risqués P * qui sera choisi
par notre agent ? Quel est son espérance de rendement E(rP*) ? sa variance σ2(rP*) ?
L’agent doit choisir comment composer un portefeuille d’actifs risqués P*. Il faut remarquer qu’ici,
quelle que soit la composition de ce portefeuille, il rapportera toujours 3,20% (puisque le
rendement moyen des deux titres est identique).
Le portefeuille qui sera choisi étant celui qui maximise le ratio de Sharpe (cf cours) est donc également
celui qui minimise la variance du pf, i.e à trouver α1 solution de
min σ 2 P = α 1 0.0336% + (1 − α 1 ) 2 0.0216% − 0,8α 1 (1 − α 1 ) 0.03363%0.0216%
2
α1
La solution est alors α1= 0,4218 soit α1= 42, 18%. L’agent a tout intérêt à constituer son portefeuille
risqué avec 42,18% d’actif 1 et le reste, 57,82% dans l’actif 2.
Ce portefeuille a alors comme rendement E(rP*) = 3,20% et comme risque σ2=0,008%:
σ 2 P* = α 1 2 0.0336% + (1 − α 1 ) 2 0.0216% − 0,8 0.03363%0.0216% = 0.008%
Question 6 : L’agent a-t-il choisi un portefeuille composé des 2 actifs risqués ? Expliquez pourquoi
vous obtenez ce résultat.
L’agent a bien choisi d’investir dans les 2 actifs risqués, même si le premier actif est plus risqué que le
second pour un même rendement espéré. S’il a tout de même fait ce choix, c’est parce que les deux
titres ne sont pas parfaitement corrélés, et qu’il est donc possible en combinant les deux actifs,
de réduire le risque total du pf d’actifs risqués (c’est le principe même de la diversification) ; ici, la
corrélation est même négative, ce qui explique que la part investie dans l’actif 1 est non négligeable.
Question 7 : L’investisseur aurait-il choisi le même portefeuille d’actifs risqués quel que soit son
aversion pour le risque ? Expliquez.
Oui, car le portefeuille d’actifs risqués est le même pour n’importe quel investisseur : ce choix ne
dépend pas de l’aversion pour le risque (cf explication cours sur ce résultat fondamental).
Question 8 : Pour conclure, comment l’investisseur va-t-il répartir sa richesse entre les actifs
risqués (et donc le portefeuille risqué P) et l’actif sans risque ? (Il vous faut déterminer le
portefeuille global PG et donc la proportion optimale a* investie dans P). Faire une
représentation graphique illustrant le choix optimal de l’investisseur (sans trop de souci de
précision pour l’échelle, mais en faisant apparaître les éléments importants).
On se retrouve à nouveau avec un choix de placement entre 1 actif risqué (le pf P*) et 1 actif sans risque.
Lorsque il ne pouvait investir que dans un actif risqué, il décidait (cf question 3), de ne rien placer dans
l’actif sans risque, (il aurait même préféré emprunter au taux sans risque et placer dans l’actif risqué.). A
fortiori, avec le pf P* d’actifs risqués ! puisque celui-ci offre le même rendement pour un risque
encore plus faible. On peut donc en conclure sans faire de calculs supplémentaires, que l’agent
décidera également de ne rien placer dans l’actif sans risque ! La proportion optimale placée dans le
portefeuile risquée est donc a* = 100%. (faire représentation graphique)
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