TS3 – TS4 Spécialité maths DSn°4 (matrices 2) 15/02/2014 Exercice : les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante ( A : 3,5pts B : 6,5 pts). Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B dans un archipel. Au début de l’année 2014, 20 millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et 10 millions sur l’île B. Un ornithologue spécialiste de cette espèce a pu, grâce à des études statistiques, établir une loi d’évolution (tenant compte des décès, naissances et migrations) d’une année sur l’autre de la répartition de ces oiseaux entre les deux îles (les comptages sont effectués systématiquement en début d’année ): On trouve en début d’année sur l’île A : 80% des oiseaux présents sur l’île A l’année précédente auxquels s’ajoutent 30% des oiseaux présents sur l’île B l’année précédente. On trouve en début d’année sur l’île B : 20% des oiseaux présents sur l’île A l’année précédente auxquels s’ajoutent 70% des oiseaux présents sur l’île B l’année précédente. Pour tout entier naturel on note le nombre d’oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année (2014 + n). Partie A : Algorithme et conjectures L’ornithologue voulant connaître l’évolution de ces populations à moyen terme a confié à son stagiaire la tâche de faire un algorithme, affichant l’année et le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux îles, pour chaque année comprise entre 2014 et une année choisie par l’utilisateur. Début de l’algorithme Lire prend la valeur 2014 prend la valeur 20 prend la valeur 10 Afficher Tantque faire prend la valeur prend la valeur prend la valeur FinTantque Fin de l’algorithme 1° Cet algorithme comporte des « oublis » dans le traitement, mais aucune ligne n’est inutile. a) Repérer ces oublis et les corriger ( on écrira clairement le nouvel algorithme) b) Expliquer à quoi sert l’introduction de la variable . 2° On donne ci-dessous le tableau résultant de l’algorithme qui, une fois corrigé et implanté en machine, a fonctionné après que l’utilisateur a choisi 2020. Année 2014 20 10 2015 19 11 2016 18,5 11,5 2017 18,25 11,75 2018 18,125 11,875 2019 18,0625 11,9375 2020 18,03125 11,96875 Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites . T.S.V.P TS3 – TS4 Spécialité maths DSn°4 (matrices 2) 15/02/2014 Partie B : étude mathématique On note . 1° Montrer que pour tout entier naturel l’on déterminera. Préciser la matrice , où M est une matrice carrée d’ordre 2 que . On admet pour tout la suite que pour tout entier naturel 2° Déterminer une matrice colonne vérifiant : 3° On considère les matrices a) Calculer . et et montrer que b) Calculer . . . 4° A l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que, pour tout entier 5° a) Exprimer pour tout entier naturel en fonction de . b) Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur. c) Qu’en est-il pour la population d’oiseaux sur l’île B ? Bonus : on considère la matrice a) Démontrer que b) En déduire que . où désigne la matrice identité d’ordre 2. est inversible et exprimer c) En quoi cette matrice en fonction de T, puis donner la valeur de , pouvait-elle être utile à la question partie B 2° ? .