Corrigé de l`examen de Mécanique des fluides appliquée du 19 mai

UNIVERSITE DE LILLE 1 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Licence 3 Mécanique - Parcours GM
Corrigé de l’examen de Mécanique des fluides appliquée
du 19 mai 2015
Exercice 1 : Écoulements visqueux
Q1) La force de frottement par unité de surface est donnée par :
du
τ =µ
= µ(A − 2By).
dy
A la paroi la vitesse s’annule, c’est-à-dire pour y = 0 et y = D, avec D = 10−1 m. Le gradient transversal
de la vitesse axiale est positif pour y = 0 et négatif pour y = D. Pour calculer la valeur de la force par unité
de surface τ0 qui s’applique sur les parois, il faut prendre la valeur absolue de du/dy. La valeur absolue de
τ0 est d’ailleurs la même sur chaque paroi, on a :
τ0 = µA = 4 · 10−1 Pa.
Q2) Pour y = y ∗ = 2 cm nous avons :
τ = µ(A − 2By)|y=y∗ = 2.4 · 10−1 Pa.
Q3) La surface totale du tube est :
S = πDL,
où D = 0.1 m et L = 3 ·
103
m. Donc, la force de frottement est :
F = τ0 S ' 377 N.
Exercice 2 : Couche limite
Q1) Le nombre de Reynolds de chaque lame est :
RL =
VL
= 4 · 104 ,
ν
avec V = 30 m/s et L = 2 · 10−2 m.
La couche limite est donc laminaire.
Q2) Le coefficient de frottement moyen est donné par :
1.328
Cx = √
= 6.64 · 10−3 .
RL
La force de frottement sur chaque face de la lame est égale à :
F = Cx ρS
V2
= 14.95 · 10−4 N,
2
1
avec S = L2 = 4 · 10−4 m2 .
Q3) Pour une maille comprenant 4 faces, par conséquent, l’ensemble des forces de frottement est :
Ftot = 4F = 59.8 · 10−4 N.
Q4) Pour un écoulement laminaire stationnaire, le bilan des forces sur un volume parallélépipédique est
donné par :
S∆p = Ftot
soit :
4F
= 15 Pa.
S
Q5) Le même résultat peut aussi être obtenu en écrivant que l’énergie perdue par unité de temps ∆p qv
(où qv = V S est le débit) est égale au travail Ftot V de la force pendant le même temps :
∆p =
∆p qv = 4F V
et, donc :
∆p =
4F
= 15 Pa.
S
Exercice 3 : Pertes de charge
Q1) Calcul du nombre de Reynolds Re =
UD
.
ν
50
m3 /s = 13.9 · 10−3 m3 /s.
3600
qv
Sachant que la vitesse moyenne est U =
, où D est le diamètre de la conduite, et que la viscosité
πD2 /4
cinématique est ν = µ/ρ, on obtient :
Le débit est : qv =
Re =
qv D
2 µ
π D4 ρ
=
4qv ρ
= 840.
πDµ
L’écoulement est donc en régime laminaire (Re < Rec ).
64
Q2) En régime laminaire, le coefficient de perte de charge linéaire en conduite est Λ =
. D’autre part,
Re
par définition :
∆p D
Λ = ρU 2 ,
L
2
où L est la longueur de la conduite. Donc, on a :
∆p =
ρU 2 L
ρU 2 64 L
32 L
Λ =
= νρ U
2
D
2 Re D
D D
et, en utilisant l’expression du débit :
∆p = 32µ
L qv
128µLqv
=
.
D2 πD2
πD4
4
2
Avec les valeurs fournies pour les différentes quantités on obtient finalement :
∆p = 113 · 105 Pa = 113 bar.
Q3) La puissance nécessaire est :
W = qv ∆p =
128µLqv2
.
πD4
On peut mettre cette formule sous une forme qui ne contient pas le diamètre, en utilisant qv =
W = 8πµLU 2 .
Avec U =
4qv
= 1.77 m/s, on a :
πD2
W = 157 kW.
3
πD2 U
:
4