Séquence 1: Nombres entiers et rationnels

Séquence 1: Nombres entiers et rationnels
Je coche
ACQUIS ANTERIEURS
Objectifs
Ressources
1. Je sais reconnaître les multiples et les diviseurs
d 'un nombre entier
Activité 1 , livre
méthode 1 p 18 et
ex 1 p 18
2. Je connais et sais utiliser les critères de
divisibilité par 2, 5 et 10
Activité 1
3. Je sais ajouter, soustraire et multiplier des
fractions fractions
Activité 5 et
Mathenpoche
4. Je sais effectuer une division euclidienne et
l'utiliser dans les problèmes
Activité 2 Livre
méthode 1 p 18
5. Je sais appliquer et calculer un pourcentage
Activité 6 labomep
6. Je sais calculer le volume d'un parallélépipède
rectangle
Activité 6 Labomep
7. Je sais reconnaître si deux entiers sont premiers
entre eux
Activité 5
Méthode 3 p 20
ce qui
a été
vu en
cours
ce que je ne
savais par
faire lors de
l'interro
ACQUIS NOUVEAUX
8. Je sais simplifier des fractions avec une calculette Activité 5
9. Je connais et sais utiliser les critères de
divisibilité par 3, 4 et 9
Revoir cours 6e et
5e
Activité 1
10. Je sais diviser deux fractions
Revoir cours de 4e
et labomep
11. Je sais simplifier des fractions sans calculette
Méthode 4 p 20
Activité 5
12. Je connais la définition du PGCD
Activité 2
méthode 2 livre p
19
et
ex 5 p 19
13. Je sais calculer le PGCD de deux entiers à l'aide
de la méthode des soustractions
Activité 3 livre p
19 et ex 6,7 et 8 p
19
14. Je sais calculer le PGCD de deux entiers à l'aide
de l'algorythme d'euclide
Activité 4
Méthode 2 p 19
15. Je sais résoudre des problèmes
Activité 3 et 4
Compétences du socle qui peuvent être évaluées
3.1.2 Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique,
démontrer, pratiquer une démarche en formulant un problème, des hypothèses.
3.1.3 Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage
adapté.
3.2.1 Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires.
Mener à bien un calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur.
I. Nombres entiers:
1) Multiple, diviseur et division euclidienne
Livre ex 1 p 21
Livre ex 2 a p 21
Bilan à apprendre par cœ
Labomep 6e
Définition de la division euclidienne:
On appelle division euclidienne de l'entier a par l'entier b
non nul, l'opération qui permet de trouver les entiers q et r tels
que a = bq + r avec r < b.
Vocabulaire:
L'égalité : a = bq + r avec r < b est appelée égalité de la
division
euclidienne de l'entier a par l'entier b non nul.
Si r = 0 alors a = bq, on dit dans ce cas que :
a est multiple de b
b divise a
b est un diviseur de a
a est divisible par b
2) Critères de divisibilité
Reconnaître un nombre divisible par 2 , 5 , 10 , 3 ,9 , 4
Exercice dicté : Parmi les nombres 12 ; 30 ; 27 ; 246 ; 325 ; 4228
et 6039 reconnaître ceux qui sont divisibles par 2 , par 5, par 10, par 3, par 9
et par 4.
Bilan à apprendre par cœur
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre
des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre
des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre
formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des
unités (dans cet ordre) est un multiple de 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres
est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
Labomep 6e
3) Problème utilisant la division euclidienne
Utilisation de la
exercice dicté: La boîte de chocolat
touche sur la
On a 2575 chocolats à répartir dans des boîtes contenant 12 choolats calculette
chacune. Combien de boîtes peut-on remplir ?
II. PGCD
1) Recherche des diviseurs communs à deux nombres
Livre activité 3. 1a p 15
Recherche des diviseurs de 30 et 105 puis de 30 et 75 et enfin
de 30 et 45
Bilan à apprendre par cœur
Définition : Soient a et b deux nombres entiers non nuls.
On appelle PGCD des deux entiers a et b, le
Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres entiers
Propriété 1: Soient a et b deux nombres entiers non nuls
et
PGCD ( a ; b) = PGCD ( b ; a-b)
2) Recherche du PGCD avec l'algorithme des soustractions
Exercice : recherche du PGCD de deux nombres en utilisant la
propriété 1: présentation de la méthode
Bilan à apprendre par cœur
Définition : On appelle algorithme un procédé de calcul qui se
répète.
Application de la méthode ex 27 p 32
3) Recherche du PGCD avec l'algorithme des soustractions à l'aide
d'un tableur et découverte de l'algorithme d'Euclide
Calcul du PGCD de 11319 et 6300 :
a) par la méthode des soustractions
b) par la méthode d'Euclide
Utilisation des fonctions
"MAX" ; "MIN" du
tableur
Bilan à apprendre par cœur
Utilisation de la touche
de la
calculette
Propriété 2: Soient a et b deux nombres entiers non nuls
PGCD ( a ; b) = PGCD ( b ; r) où r est
le reste de la division euclidienne de a par b avec b non nul
Application dans des problèmes N° 29 p 23
Utilisation de la fonction
"MOD"
III. Nombres premiers entre eux
1) On divise les nombres par leur PGCD et on observe les
quotients obtenus
Bilan à apprendre par cœur
Définition :On dit que deux nombres entiers non nuls sont
Premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Attention: ne pas confondre nombres premiers entre eux avec des
nombres premiers
Définition : On dit qu'un nombre est premier
s'il n'a que deux diviseurs 1 et lui même
Calculette touche /
Exemple le nombre 5. Ses diviseurs sont 1 et 5.
2) Application : simplification des fractions lorsque les nombres
sont grands et que l'on ne peut pas utiliser la touche / de la calculette.
Règle
Pour tous nombres a, b et
Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le
k
dénominateur d'un quotient par un même nombre où b et k sont non nuls :
non nul alors on obtient un quotient égal.
a×k a
a÷k a
= et
= .
b×k
b
b÷k
b
3) Différence de deux fractions dont l'une d'entre elle est le
quotient de deux grands nombres
Livre ex 46 p 24
A retenir
Définition : Un nombre rationnel est un quotient
de deux nombres entiers. On note :
Q : l'ensemble des nombres rationnels
N : l'ensemble des nombres entiers
Z : l'ensemble des nombres entiers relatifs
D : l'ensemble des nombres décimaux.
IV. PGCD et volumes
Labomep 3e
Exercice: Un artiste veut remplir un pavé droit en verre de cubes de
couleurs. Les dimensions du pave sont:
L = 44,8 cm ; l= 364 mm et h = 28cm
Labomep 4e
L'artiste ne veut pas qu'il y ait d'espace vide.
Tous les cubes sont de mêmes dimensionw et l'arête de chacun d'eux est un
nombre entier de millimètres.
1) Quelle est la plus grande arête possible pour un cube
2) Dans ce cas, calculer le nombre de cubes contenus dans le pavé droit.
3) Un autre artiste veut ranger dans le pavé droit des cylindres dont la hauteur
et le diamètre de la base sont égaux à l'arête du cube.
Calculer dans ce cas le coefficient de remplissage de la boîte à 1% près.
V. Travail de groupe sur les calculs sur les fractions
Livre ex 48 p 24 et 82 p 27
I-
Addition ou soustraction
Règle
Pour additionner (ou soustraire) des nombres en écriture
fractionnaire ayant le même dénominateur, on additionne
(ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur
commun.
Multiplication
Pour tous nombres a, b et c
où b est non nul :
a c a c
 =
b b
b
Règle
Pour tous nombres a, b, c et d
où b et d sont non nuls :
Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire, on
multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre
eux.
II -
a c a ×c
× =
.
b d b× d
Division de deux quotients
A - Inverse d'un nombre non nul
Définition
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.
Propriétés
Tout nombre x non nul admet un inverse (noté x− 1) qui est le nombre
•
a
1
x
.
b
• Tout nombre en écriture fractionnaire b (a ≠ 0 et b ≠ 0) admet un inverse qui est le nombre a .
•
Diviser des quotients
Règle
•
•
•
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par
l'inverse de ce nombre.
•
Pour tous nombres a, b, c et d
où b, c et d sont non nuls :
a
a c a d ou b a d .
÷ = ×
= ×
b d b c
c b c
d