Mathématiques 1 - Presses des Mines

F. Maisonneuve, Mathématiques 1. Calcul différentiel, équations différentielles ordinaires et
applications. Cours et exercices, Paris : Presses des MINES, Collection Les cours, 2013.
ISBN : 978-2-35671-028-4
© Presses des MINES - TRANSVALOR, 2013
60, boulevard Saint-Michel - 75272 Paris Cedex 06 - France
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Dépôt légal : 2013
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Mathématiques 1
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Mathématiques 1
Calcul différentiel, équations différentielles
ordinaires et applications
Cours et exercices
CALCUL DIFFÉRENTIEL
Sommaire
Préface
v
Remerciements
Introduction
1 Applications différentiables
vii
ix
1
1.1
Différentielle d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion . . . . . . . .
6
1.3
Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Conditions nécessaires d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Conditions suffisantes dans le cas convexe . . . . . . . . . . . .
19
1.6
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.7
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2 Calcul des variations
31
2.1
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2
Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3
Etude du problème standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4
Cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.5
Principe de moindre action de Hamilton . . . . . . . . . . . . .
39
2.6
Problèmes de type isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.7
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3 Équations différentielles ordinaires
3.1
Généralités sur les systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . .
55
55
SOMMAIRE
ii
3.2
Etude du problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.4
Approximation des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5
Stabilité et régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.7
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4 Quelques exemples classiques
4.1
4.2
83
Equations numériques du premier ordre . . . . . . . . . . . . .
83
A–
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
B–
Equations linéaires ou s’y ramenant . . . . . . . . . . .
84
C–
Equations à variables séparables ou s’y ramenant . . . .
87
D–
La transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . .
88
Equations numériques d’ordre n
2 . . . . . . . . . . . . . . .
89
A–
Cas d’intégration “à vue”
. . . . . . . . . . . . . . . . .
89
B–
Cas où f ne dépend pas explicitement de y ou de x . . .
90
C–
Cas où l’équation est homogène de degré 1 en y . . . . .
91
D–
Division de l’inconnue par une fonction ad hoc . . . . .
92
4.3
Equations linéaires d’ordre n à coefficients constants . . . . . .
92
4.4
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5 Intégrales premières et edpql1
101
5.1
Notion d’intégrale première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2
Structure des intégrales premières . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3
Extension et complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4
Edp quasi-linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5
Problème de Cauchy et caractéristiques
5.6
Interprétation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7
Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A Compléments d’algèbre
. . . . . . . . . . . . . 115
137
A.1 Opérations sur les ensembles et applications . . . . . . . . . . . 137
A.2 Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . 139
A.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
SOMMAIRE
B Espaces métriques, espaces vectoriels normés
iii
149
B.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
B.2 Suites dans un espace métrique et compacité . . . . . . . . . . . 156
B.3 Applications continues et convergences . . . . . . . . . . . . . . 163
B.4 Applications continues, compacité et complétude . . . . . . . . 168
B.5 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.6 Sous-ensembles connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Indications bibliographiques
191
Index alphabétique
193
Préface
Être titulaire pendant près de quinze ans des quatre chaires d’enseignement
du tronc commun de mathématiques du cycle ingénieurs civils de l’Ecole des
Mines de Paris est une gageure que peu auraient accepté de relever.
Bénéficier, dans l’exercice de ce travail, du respect et du soutien constant de ses
élèves, qui, s’ils n’ont pas tous pu, su ou voulu apprécier la richesse du problème
de Cauchy, ont toujours en revanche loué la rigueur scientifique et la qualité
pédagogique des cours et supports de cours de mathématiques, bénéficier de
ce soutien et de ce respect donc est certainement ce qui restera quand viendra
le temps de saluer ce grand professeur qu’est Francis Maisonneuve.
Je sais que ces ouvrages resteront longtemps une référence, et espère que les
promotions futures et autres lecteurs sauront apprécier la finesse et la qualité
de ce qui leur est proposé ici.
Je souhaite à tous les établissements d’enseignement de disposer de tels cours.
Nicolas Cheimanoff
Directeur de l’Enseignement
MINES ParisTech
Remerciements
Je tiens à exprimer ma reconnaissance aux jeunes — et moins jeunes — mathématiciens professionnels et ingénieurs de recherche qui m’ont fait l’honneur
d’animer une ou plusieurs années les séances d’exercices illustrant les élements
de cours, et qui m’ont suggéré à cette occasion de multiples améliorations touchant au fond comme à la forme. Je tiens aussi à remercier les nombreux
étudiants « utilisateurs » qui, par la qualité de leurs questions, la rigueur de
leurs critiques ou la logique apparente de certaines interprétations parfois fort
éloignées de celles escomptées, ont contribué à faire évoluer la rédaction des
documents vers plus de clarté.
De manière plus générale, je voudrais souligner la qualité des relations intellectuelles et humaines qui prévaut à tout niveau dans l’établissement où j’ai le
plaisir d’exercer mon métier d’enseignant mathématicien depuis de nombreuses
années, et où s’expriment des talents très divers. Que tous en soient remerciés !
Francis Maisonneuve
Introduction
La raison d’être du calcul différentiel est la nécessité de s’extraire du “tout
linéaire”, bien souvent trop schématique pour décrire la réalité. On y parvient
en considérant la classe beaucoup plus riche des fonctions différentiables, c’està-dire qui admettent en chaque point une approximation linéaire (affine)
au premier ordre ; on cherche alors à étendre dans ce cadre les théorèmes
de l’algèbre linéaire, en particulier la résolution des systèmes d’équations pour
obtenir comme pièce maîtresse le théorème des fonctions implicites. Tel est le
sujet d’étude du chapitre 1 de ce cours, où on donne aussi des indications sur
les problèmes d’optimisation.
Le chapitre 2 traite du calcul des variations qui en constitue une application remarquable, de grande utilité en physique. On y précise en particulier
l’important “cas convexe” dans le contexte des problèmes standard et de type
isopérimétrique.
Les équations différentielles et aux dérivées partielles apparaissent dans la plupart des domaines de la science et de la technique (mathématiques, physique,
chimie, biologie, ingénierie, économie, . . . ). Elles permettent de traduire les
lois régissant les variations d’une grandeur en fonction du temps, de l’espace,
. . . , et se présentent donc couramment comme l’expression achevée de la modélisation d’un phénomène.
Sur le plan mathématique, il s’agit d’un sujet riche et difficile ; en l’absence
de méthodes générales de résolution analytique, même pour de simples
équations différentielles linéaires, l’étude se développe dans diverses directions :
– détermination de conditions supplémentaires sur les solutions, permettant de garantir leur existence et leur unicité (localement ou globalement), ainsi que leur “stabilité” dans le cadre d’hypothèses de régularité
à préciser ;
– élaboration de certaines méthodes opératoires de résolution (quelques
x
INTRODUCTION
méthodes analytiques spécifiques, transformation de Fourier et décompositions spectrales pour les équations aux dérivées partielles linéaires) ;
– définition de méthodes numériques de résolution approchée (fondées sur
une “discrétisation” complète ou partielle du domaine), justifiées sur le
plan théorique et essentielles pour l’ingénieur, mais dont la validité numérique (estimation de l’erreur commise) reste souvent difficile.
L’objectif—modeste—du chapitre 3 sur les équations différentielles concerne
essentiellement le premier thème, des indications sommaires concernant le troisième thème étant obtenues au passage. On donne au chapitre 4 quelques méthodes de résolution d’équations différentielles classiques. Enfin le chapitre 5
introduit la notion d’intégrale première d’un champ de vecteurs et l’utilise pour
l’étude d’une famille d’équations aux dérivées partielles du premier ordre.
Chapitre 1
Applications différentiables
Ce chapitre commence par rappeler la définition habituelle de la différentielle
d’une application et un énoncé précis du théorème des fonctions implicites.
L’étude des hypersurfaces de Rn en constitue une application directe.
On précise ensuite des conditions nécessaires et / ou suffisantes d’extremum
pour une fonction numérique différentiable ; les résultats obtenus, utiles en
tant que tels dans de nombreuses circonstances en physique mathématique et
en mécanique (multiplicateurs de Lagrange), seront systématiquement mis en
œuvre dans le cadre du Calcul des Variations au chapitre 2.
1.1
Différentielle d’une application
Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le corps R (en abrégé evn)
et soit f : ⌦ ⇢ E ! F une application définie sur un ouvert ⌦ de E.
Définition 1.1.1 On dit que f est différentiable en a 2 ⌦ (notation f 1 (a))
s’il existe une application L 2 L(E, F ) (linéaire et continue) telle que l’on ait
lim
f (a + h)
h!0
h6=0
f (a)
khk
L(h)
= 0.
Ceci équivaut au fait de pouvoir écrire, pour h 2 E assez voisin de 0
f (a + h) = f (a) + L(h) + khk "(h) avec lim "(h) = 0.
h!0
autrement dit f (x) = f (a) + L(x
a) + o(x
a) (o notation de Landau).
chapitre 1. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES
2
On rappelle : f différentiable en a ) f continue en a (car L continue) et L
unique : L est notée df a et est appelée application linéaire tangente à f en a
ou (valeur de la) différentielle de f en a. Elle est déterminée par la formule :
8 h 2 E, df a (h) = lim
t!0⇤
t2R
f (a + t h)
t
f (a)
= Dh f (a) 2 F,
dérivée de f en a selon le vecteur h (remplacer h par t h dans la définition).
L’application affine tangente à f en a est x 7! f (a) + df a (x
a).
On rappelle que l’existence des dérivées directionnelles Dh f (a) pour tout vecteur h 2 E ne suffit pas à assurer la différentiabilité de f en a.
Remarques 1.1.2
• La définition ci-dessus fait intervenir les normes de E et F , mais il est
clair qu’elle n’est pas affectée si on remplace ces normes par des normes
équivalentes.
On rappelle que si E est de dimension finie, toutes les normes de E sont
équivalentes et toute application linéaire de E dans F est continue.
• Cette définition s’étend au cas où E et F sont des espaces affines
~ F~ ), où E
~ et F~ désignent les espaces
normés, avec L = df a 2 L(E,
vectoriels associés à E et F .
• Dans le cas particulier où E = R, on a 8 h 2 E, L(h) = h L(1), donc on
déduit immédiatement de la définition 1.1.1 :
f différentiable en a , f dérivable en a,
avec
et 8 h 2 R,
df a (1) = lim
t!0⇤
t2R
f (a + t)
t
f (a)
= f 0 (a) 2 F
df a (h) = h df a (1) = h f 0 (a) ;
ces relations conduisent à identifier df a 2 L(R, F ) à f 0 (a) 2 F .
Définition 1.1.3
• On dit que f est différentiable sur ⌦ (notation f
pour tout a 2 ⌦.
1 (⌦))
si on a f
1 (a)