Maths VISA POUR LA PRÉPA MPSI • PCSI • PTSI • BCPST • ECS Guillaume Connan Maths 3e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ © Dunod, Paris, 2013 ISBN 978-2-10-059284-5 9782100592845-conan-Tdm.qxd 22/04/13 12:10 Page V Table des matières 1. Savez-vous calculer ? 1.1 De l’importance de savoir calculer 1 1.2 Formulaire de trigonométrie 1 1.3 Nombres complexes 2 1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions 11 1.5 Exercices 21 2. Savez-vous intégrer ? © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1 73 2.1 Mise en place d’une définition 73 2.2 Quelles sont les fonctions intégrables ? 77 2.3 Propriétés de l’intégrale 79 2.4 Valeur moyenne 80 2.5 Primitive et intégrale 82 2.6 Exercices 84 3. Savez-vous raisonner ? 95 3.1 Test préliminaire 95 3.2 Contexte 95 3.3 Syntaxe 96 V 9782100592845-conan-Tdm.qxd 22/04/13 12:10 Page VI Table des matières 3.4 Sémantique 3.5 Approche formelle de la logique propositionnelle 102 3.6 Récurrence 106 3.7 Exercices 107 4. Savez-vous prévoir ? 117 4.1 Rappels de théorie des ensembles 117 4.2 Une dose d’algèbre générale 118 4.3 Quelques résultats sur les cardinaux 120 4.4 Dénombrement 121 4.5 Triangle de pascal – Binôme de Newton 123 4.6 Probabilités ? 124 4.7 Avant la formalisation 124 4.8 Espace probabilisable – Espace probabilisé 126 4.9 Probabilités conditionnelles 128 4.10 Variables aléatoires finies 131 4.11 Quelques lois discrètes classiques 137 4.12 Exercices 139 5. Savez-vous programmer ? VI 98 163 5.1 Scilab 163 5.2 Python 176 5.3 Exercices 190 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 1 Savez-vous calculer ? CHAPITRE 1 1.1 De l'importance de savoir calculer... On dispose certes d'ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire) mais avant, méditez cette pensée d'Alain CONNES, membre de l'Académie des sciences, Professeur au Collège de France, à l'I.H.E.S. et à l'Université de Vanderbilt aux États-Unis. Il a de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or du C.N.R.S. en 2004. Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très propice à l'élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés. C'est pourquoi l'ordinateur, qui donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée, n'est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut d'un calcul sans la représentation mentale de sa signification n'est pas un progrès. Alain CONNES – Sciences et imaginaire 1.2 Formulaire de trigonométrie Formules © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. • • • • sin2 x + cos 2 x = 1 • sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b • tan (a + b) = cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b π + kπ , k ∈ Z 2 tan a − tan b • tan (a − b) = , pour 1 + tan a tan b π a−b = / + kπ , k ∈ Z 2 sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan a + tan b , pour 1 − tan a tan b a+b = / Transformation de produits en somme 1 · (cos (a + b) + cos (a − b)) 2 1 • sin a · sin b = · (cos (a − b) − cos (a + b)) 2 1 • sin a · cos b = · (sin (a + b) + sin (a − b)) 2 • cos a · cos b = 1 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 2 Chapitre 1 • Savez-vous calculer ? Transformation de sommes en produits p+q p−q ) · cos ( ) 2 2 p−q p+q ) · sin ( ) • cos p − cos q = −2 · sin ( 2 2 p+q p−q ) · cos ( ) • sin p + sin q = 2 · sin ( 2 2 p−q p+q ) · cos ( ) • sin p − sin q = 2 · sin ( 2 2 • cos p + cos q = 2 · cos ( Formules de duplication • cos (2x) = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x • sin (2x) = 2 cos x sin x 2 tan x π π + k pour k ∈ Z / ,x = 2 1 − tan x 4 2 x Avec t = tan ( ), on a : 2 1 − t2 2t 2t • sin x = , cos x = , tan x = 2 1 + t2 1+t 1 − t2 • tan (2x) = 1.3 Nombres complexes Vocabulaire et premières propriétés Théorème Ensemble C On définit un ensemble C – muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R – contenant un nombre i vérifiant i2 = −1 – tel que chaque élément z de C peut s'écrire de manière unique sous la forme z = a + ib avec a et b des nombres réels Forme algébrique Cette écriture unique est appelée forme algébrique du réel z. Le nombre a est appellé partie réelle de z et notée e(z). Le nombre b est appellé partie imaginaire de z et notée Jm(z). Remarque Jm(z) est un nombre réel. Remarque : À quoi sert l'unicité de la forme algébrique ? Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat 2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 avec x et y des réels. Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel + i· réel. Or la forme algébrique de 0 est 0 + i · 0. 2 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 3 1.3 • Nombres complexes Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 2x + 3y − 5 = 0 2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 ⇐⇒ 7x − 32y + 1 = 0 axe imaginaire M(a , b ) b → u → e2 O → a e1 axe réel Le plan complexe Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit → → e ,− e ). d'un repère (O,− 1 2 À tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a,b) qu'on appelle image du complexe z = a + ib. On le note souvent M(z). Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a,b), on associe son affixe z = a + ib qu'on note souvent z M . → → → → e ,− e + b− e de coordonnées (a,b) dans la base (− e ) est assoEnfin, à tout vecteur u = a − = a + ib cié une affixe z − → u 1 2 1 2 Premiers calculs géométriques – Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (a,b) et (a ,b ) dans la base → → → → (− e ,− e ) , alors u + v = (a + a )− e + (b + b )− e , donc : 1 2 1 2 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Théoreme : affixe d'une somme z u+v = z u + z v – De même, si λ est un nombre réel : Théorème : affixe du produit par un réel z λu = λz u – Alors, si I est le milieu du segment [A,B], on a : Théorème : affixe du milieu zI = 1 (z A + z B ) 2 – Pour tous points A et B : 3 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 4 Chapitre 1 • Savez-vous calculer ? Théorème : affixe d'un vecteur z −→ = z B − z A AB Conjugué d'un complexe Définition : conjugué On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre z = a − ib Géométriquement cela donne : axe imaginaire M(z ) → e2 O → axe réel e1 M(z ) À titre d’exercice, prouvez les propriétés immédiates suivantes : Théorème → e1 ) – M(z) et M (z) sont symétriques par rapport à l'axe (O,− – z1 + z2 = z1 + z2 – z1 z2 = z1 z2 –z=z – z ∈ R ⇐⇒ z = z – z ∈ iR ⇐⇒ z = −z 1 – e(z) = (z + z) 2 1 – Jm(z) = (z − z) 2 – Si z = a + ib, alors zz = a 2 + b2 À quoi servent les conjugués ? • À montrer qu'un complexe est un réel En effet, si on arrive à montrer que z = z, alors on en conclut que z est réel. 4 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 5 1.3 • Nombres complexes • À rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques En effet, z · z = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib)2 = a 2 + b2 Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de 2 + i : 1 2−i 2+i 2 1 1 = · = = + i 2+i 2+i 2−i 4+1 5 5 Conjugué de l'inverse Sachant qu'un complexe non nul z admet une forme algébrique a + ib, on sait maintenant trouver la forme algébrique de son inverse : 1 1 a − ib a − ib = × = 2 a + ib a + ib a − ib a + b2 donc a + ib 1 1 1 a + ib = = 2 = = z a + b2 (a + ib)(a − ib) a − ib z Module d'un nombre complexe Définition : module Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que √ |z| = z z Remarques – Cette définition en est bien une car z z = a 2 + b2 d'après notre étude sur les conjugués. √ √ √ – Si a est un réel, |a| = a a = aa = a 2 car a = a. Donc le module de a est bien la valeur absolue de a et notre notation est cohérente. La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Interprétation géométrique axe imaginaire M(a + i b ) b √a 2 + b 2 e2 O e1 a axe réel Nous venons de voir que, si z = a + ib, alors : 5 9782100592845-conan-C01.qxd 22/04/13 12:13 Page 6 Chapitre 1 • Savez-vous calculer ? Théorème |z| = Or, qu'est-ce que a 2 + b2 √ −→ a 2 + b2 si ce n'est la norme du vecteur OM ou encore la longueur OM. Théorème −→ |z M | = OM = OM → |z u | = − u Propriétés des modules À titre d’exercice, prouvez les propriétés suivantes : Théorème – |z| = |z| – |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 – |z 1 · z 2 ] = |z 1 · |z 2 | z 1 |z 1 | – = z |z | 2 2 – e(z) |z| – Jm(z) |z| La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration : Théorème : inégalité triangulaire |z 1 + z 2 | |z 1 | + |z 2 | C'est-à-dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de suivre la RN 137. Pour les curieux, voici comment cela se démontre. Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre. Or |z 1 + z 2 |2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = |z 1 |2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) + |z 2 |2 D'autre part (|z 1 | + |z 2 |)2 = |z 1 |2 + 2|z 1 z 2 | + |z 2 |2 Il s'agit donc de comparer les « doubles produits ». Or z 1 z 2 + z 1 z 2 = z 1 z 2 + z 1 z 2 = 2e(z 1 z 2 ) 2|z 1 z 2 | = 2|z 1 z 2 | d'après une propriété cidessus. Donc |z 1 + z 2 |2 = |z 1 |2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) + |z 2 |2 |z 1 |2 + 2|z 1 z 2 | + |z 2 |2 = (|z 1 | + |z 2 |)2 Résolution d'équations du second degré L'objet de cette section est de résoudre dans C l'équation z 2 = α. Racine carrée d'un nombre réel On suppose ici que α est un réel. 6 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 7 1.3 • Nombres complexes √ √ 0 : alors z 2 = α ⇐⇒ z 2 − α = (z − α)(z + α) = 0 . Les solutions1 sont donc – α√ ± α. Par exemple z 2 = 4 ⇐⇒ z = −2 √ ou z = 2.√ √ – α < 0 : alors z 2 = α ⇔ (z − i −α)(z + i −α) = 0 . Les solutions sont donc ±i −α. C'est la nouveauté : z 2 = −4 ⇐⇒ z = −2i ou z = 2i. Racine carrée d'un complexe non réel Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur. Cherchons les racines carrées de 4 + 3i , à savoir les nombres a + ib tels que (a + ib)2 = a 2 − b2 + 2iab = 4 + 3i . Par unicité de la forme algébrique on obtient 2 a − b2 = 4 a 2 + b2 = 5 2ab = 3 √ √ Ainsi a 2 = 9/2 et b2 = 1/2, donc a = ±3 2/2 et b = ± 2/2, or 2ab = 3 , donc a et b sont de même signe. √ √ 2 2 (3 + i) et − (3 + i) . Les solutions sont donc 2 2 Résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a,b et c des réels C'est comme en 1re : b 2 b2 − 4ac ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a x + =0 − 2a 4a 2 b 2 b2 − 4ac = ⇐⇒ x + 2a (2a)2 2 Tout dépend donc du signe de b − 4ac, puis on utilise les résultats de la section précédente. Théorème : résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a, b et c des réels L'équation ax 2 + bx + c = 0 admet toujours des solutions sur C. Notons : = b2 − 4ac © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. le discriminant de l'équation et δ un complexe vérifiant : δ2 = b 2a −b ± δ – Si > 0, il existe deux solutions réelles x = 2a – Si = 0, il existe une unique solution x = − – Si < 0, il existe deux solutions complexes conjuguées x = Dans tous les cas x = −b ± δ 2a −b ± δ ! 2a LA solution si α = 0. 7 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 8 Chapitre 1 • Savez-vous calculer ? Forme trigonométrique Forme trigonométrique Vous vous souvenez de la correspondance entre C et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses coordonnées polaires. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant). M(z ) r sin θ r → e2 O θ → e1 r cos θ Ainsi, (r,θ) étant le couple de coordonnées polaires de l'image M du nombre complexe z , on a z = r cos θ + ir sin θ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique déguisée : on l'appelle forme trigonométrique du complexe z . Définition : forme trigonométrique z = r( cos θ + i sin θ) Remarque (notation en électronique) Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme : z = [r,θ] . Congruence Vous rencontrerez souvent la notation x ≡ y[2π] qui se lit « x est congru à y modulo 2π ». Elle veut simplement dire que x − y est un multiple de 2π, c'est-à-dire qu'il existe un entier relatif k tel que x − y = k · 2π. Remarque (congruence modulo 2π) x ≡ y[2π] ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = y + 2kπ Par exemple, vous savez que 7π π ≡ [2π] : dessinez un cercle trigonométrique pour vous en 3 3 convaincre. Mesure d'un angle de vecteurs Nous n'avons pas les moyens de définir « proprement » les angles de vecteurs. Nous n'en avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que θ est UNE mesure en radians −→ → e ,OM) . UNE mesure, car elle est définie modulo 2π. Et bien cette de l'angle de vecteurs (− 1 mesure sera UN argument du complexe z , qu'on notera arg z. On retiendra : 8 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 9 1.3 • Nombres complexes Théorème : argument arg z ≡ θ[2π] Par exemple, arg 32 ≡ 0[2π], arg 32i ≡ π [2π]. 2 Des formes trigonométriques de référence |1| = 1 et arg(1) ≡ 0[2π] – 1 = cos0 +i sin 0 donc π π π + i sin [2π] donc |i| = 1 et arg(i) ≡ – i = cos 2 2 2 √ √ √ √ √ 2 2 π π +i = 2 cos + i sin – |1 + i| = 2 et 1 + i = 2 2 2 4 4 π [2π] donc arg(1 + i) ≡ 4 √ √ √ 3 1 π π + i = 2 cos + i sin – | 3 + i| = 2 et 3 + i = 2 2 2 6 6 √ π [2π] donc arg( 3 + i) ≡ 6 Correspondance forme algébrique - forme trigonométrique Soit z ∈ C de forme algébrique a + ib et de forme trigonométrique r( cos θ + i sin θ) alors on a d'une part : © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Théorème : forme algébrique connaissant la forme trigonométrique a = r cos θ b = r sin θ √ et d'autre part r = |z| = a 2 + b2 . √ Si z est non nul, son module r = a 2 + b2 sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire z sous la forme : √ a b 2 2 z = a +b √ + i√ a 2 + b2 a 2 + b2 a b = r √ + i√ 2 2 2 a +b a + b2 = r(cos (θ) + i sin (θ)) Nous en déduisons que : Théorème : forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique a cos (θ) = √ 2 a + b2 b sin (θ) = √ 2 a + b2 Ainsi, connaissant a et b, on peut obtenir le module et un argument de a + ib. On √ obtiendra une mesure exacte de θ si cos (θ) et sin (θ) sont des valeurs connues comme 1/2, 3/2, 1, etc. 9 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 10 Chapitre 1 • Savez-vous calculer ? Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l'aide des touches COS–1 encore avec et SIN–1 , ou TAN–1 . En effet, cos (θ) étant non nul2, Théorème : argument en fonction de la forme algébrique b √ 2 sin (θ) b a + b2 tan (θ) = = = a cos (θ) a √ a 2 + b2 ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo π. J tan(θ) θ sin(θ) − cos(θ) 0 cos(θ) π +θ I − sin(θ) Il suffira ensuite de considérer le signe de cos (θ) ou de sin (θ) pour savoir à qui on a affaire. Opérations sur les formes trigonométriques Soit z = r (cos θ + i sin θ) et z = r (cos θ + i sin θ ), alors zz = rr [(cos θ cos θ − sin θ sin θ ) + i(sin θ cos θ + cos θ sin θ )] Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition, vous en déduisez que zz = z = rr (cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ) ) Ainsi, nous arrivons au résultat capital Théorème : argument d'un produit arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π] Cela permet de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience : Théorème : propriétés algébriques des arguments – arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π] – arg(z n ) = n arg(z) [2π] 2. Sinon, on sait qui est θ... 10 9782100592845-conan-C01.qxd 19/04/13 9:05 Page 11 1.4 • Dérivation : la Foire Aux Questions 1 = − arg(z) [2π] z z – arg = arg(z) − arg(z ) [2π] z – arg(z) = − arg(z) [2π] – arg – arg(−z) = π + arg(z) [2π] En particulier, la formule concernant z n nous permet d'écrire : Théorème : formule de Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ) Nous nous rendons ainsi compte que : Remarque – Les formes trigonométriques sont adaptées aux produits de complexes ; – Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes. 1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction en un point ? Deux problèmes historiques, celui de la vitesse instantanée et celui de la tangente à une courbe, mettent en évidence l'importance fondamentale en mathématiques et en physique de la limite du taux d'accroissement d'une fonction. Il fallait absolument lui donner un nom et rendre la notion rigoureuse. Voici une définition : Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, et soit a un élément I. f (x) − f (a) On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement admet une limite x −a finie quand x tend vers a. Cette limite est alors appelée dérivée de f en a, et est notée f (a) : f (a) = lim © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. x→a ou encore f (a) = lim h→0 f (x) − f (a) . x −a f (a + h) − f (a) h Ainsi, la vitesse instantanée V(t) n'est autre que x (t), la dérivée en t de la fonction position x. Et la pente de la tangente à la courbe d'équation y = f (x) au point d'abscisse a est égale à f (a), la dérivée de f en a. D'où vient la notation dy ? dx En physique, vous employez plus volontiers la notation privilégions la notation y (x) , pourquoi ? dy alors qu'en mathématiques, nous dx 11