Arithm tique

Universit de Montpellier 2
Anne Universitaire 2002-2003
MASS
Arithmtique
Prologue
Rappels de cours et Illustrations
Exercices et Complments :
- I. Algorithme d'Euclide - PGCD - PPCM - Identit de Bezout - Thorme de Gauss
- II. Nombres premiers - Factorisation
- III. Divisibilit - Congruence
- IV. Quelques problmes plus dlicats
- V. Quelques problmes ouverts
- VI. Complments sur les nombres de Mersenne et de Fermat
- VII. Complments sur les nombres premiers
- VIII. Une rponse la question : A quoi sert l'arithmtique ?
- IX. Supplment aux exercices
- X. Mli-mlo : Arithmtique, Probabilits, Informatique
Annales Corriges :
- I. Contrles 2000-2001
- II. Contrles 2001-2002
- III. Contrles 2002-2003
Epilogue
Bibliographie
Sitographie
Cadwell : http:// www.utm.edu/research/primes/
GIMPS : http:// www.mersenne.org/prime.htm
JP. BILLIOT , Dpartement de Mathmatiques.
M. CAPDEQUI-PEYRANERE , Laboratoire de Physique Mathmatique et Thorique.
1
PROLOGUE
Ce document d'arithmtique est destin aux tudiants de MASS 1re anne de l'UM2.
Il traite essentiellement de la division dans les ensembles N = f0 1 ::: n :::g, l'ensemble
des entiers naturels, et Z = f::: ;m ::: ;2 ;1 0 1 2 ::: m :::g, l'ensemble des entiers
relatifs.
Il est conu pour faciliter le travail personnel de l'tudiant. Il ne se substitue ni au
cours ni aux travaux dirigs. Volontairement il ne contient que des rappels de cours, sans
aucune dmonstration. Toutes les dmonstrations sont faites en cours leurs connaissances et comprhensions sont importantes, tant pour les mthodes utilises (dirents
types de raisonnement : direct, absurde, contraposition, rcurrence...) que pour leurs
intrts dans les applications.
Trois illustrations et les dix parties suivantes mettent en oeuvre le contenu du cours
en donnant une perspective historique l'arithmtique.
Des exercices surtout issus des trois premiers chapitres sont traits en travaux dirigs.
Evidemment la prsence active des tudiants ces sances est un facteur essentiel de russite, les dirents contrles tant labors partir du cours et des exercices eectivement
tudis.
Les auteurs remercient vivement Robert Brouzet pour sa lecture critique du manuscrit
et pour ses remarques tant pertinentes que constructives, ainsi que Jean-Paul Dufour pour
ses encouragements.
2
RAPPELS DE COURS
Descente innie de Fermat
Tout sous-ensemble non vide de N , et N lui-mme, possde un plus petit lment.
Ceci est la quintessence
de la descente innie de Fermat : dans N on ne peut pas diviser
juste sans n sauf par 1, ni soustraire sans n sauf par 0 plus gnralement, on ne
peut pas construire une suite strictement dcroissante d'entiers naturels ( ... sans tre
confront une contradiction ... ).
Chapitre 1 : DIVISION
Diviseur - multiple
Soit (a b) un couple d'entiers naturels o b est non nul, on dit que b divise a ou que
b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b s'il existe un entier naturel q tel que
a = bq: q s'appelle le quotient de a par b on montre que le quotient est unique.
Tout entier sauf 1 admet au moins deux diviseurs et ventuellement d'autres.
Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
Division euclidienne
Soit (a b) un couple d'entiers naturels o b est non nul, il existe (r q) un couple
d'entiers naturels uniques tel que :
a = bq + r avec 0 r < b:
On appelle q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b a est le
dividende, b est le diviseur.
PGCD
Soit (a b) un couple d'entiers naturels non tous nuls. L'ensemble des diviseurs
communs a et b n'est ni vide, ni inni cet ensemble admet un plus grand lment qui
est le plus grand entier naturel qui divise a et b, appel le Plus Grand Commun Diviseur
de a et b. On le note PGCD (a b) ou a ^ b:
Si a ^ b = 1 on dit que a et b sont des entiers premiers entre eux.
Algorithme d'Euclide
Pour calculer le PGCD (a b) : on divise a par b non nul, puis on divise b par le reste
de la division prcdente s'il est non nul, sinon le PGCD (a b) est b, etc... le dernier reste
non nul est le PGCD (a b).
Soit (a b) un couple d'entiers naturels non tous nuls, il existe deux entiers relatifs u
et v tels que a ^ b = au + bv:
Attention : u et v ne sont pas uniques.
Thorme de Bezout
Soit (a b) un couple d'entiers naturels non tous nuls ils sont premiers entre eux si et
seulement s' il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1:
Thorme de Gauss
Soit (a b c) un triplet d'entiers naturels avec a non nul.
Si a divise le produit bc et si a ^ b = 1 alors a divise c.
3
Chapitre 2 : NOMBRES PREMIERS
Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier naturel dirent de 1 qui n'est divisible
que par lui-mme et par 1.
Un nombre entier naturel non nul qui n'est pas premier est un nombre compos.
1 n'est ni premier, ni compos c'est une convention.
Un nombre premier qui divise un entier n 2 est un facteur premier de n.
Un nombre entier naturel
p n est premier si et seulement s'il ne possde aucun diviseur
premier infrieur ou gal n.
Il existe une innit de nombres premiers (Thorme d'Euclide).
Soit (a b) un couple d'entiers naturels et p un nombre premier.
Si p divise ab alors p divise soit a soit b:
Attention : p peut diviser a et b:
Factorisation
Factoriser un entier naturel, c'est le mettre sous la forme d'un produit de puissances
de nombres premiers distincts. Le rsultat de cette opration est une factorisation de cet
entier.
Thorme fondamental de l'arithmtique : tout entier naturel strictement suprieur
1 se factorise de manire unique l'ordre prs des facteurs.
Si n se factorise en a b c , tout diviseur de n est de la forme a b c avec :
0
0
0
0 0 et 0 :
0
0
0
Soit n un entier naturel. Si n n'est pas le carr d'un nombre entier alors pn est
irrationnel.
PPCM
Soit (a b) un couple d'entiers naturels. L'ensemble des multiples communs a et b n'est pas vide : il contient leur produit ab cet ensemble admet un plus petit lment,
appel le Plus Petit Commun Multiple de a et b on le note PPCM (a b) ou a _ b.
Relation entre PGCD et PPCM.
Soit (a b) un couple d'entiers naturels non tous nuls, alors :
(a _ b) (a ^ b) = ab:
Calculs du PGCD et du PPCM
La factorisation du PGCD (a b) s'obtient en prenant les diviseurs premiers communs
a et b, aects de leur plus petit exposant dans les factorisations de a et de b.
La factorisation du PPCM (a b) s'obtient en prenant tous les diviseurs premiers de
a et de b, aects de leur plus grand exposant dans les factorisations de a et de b.
La relation ci-dessus montre qu'il sut de connatre l'un pour avoir l'autre.
4
Congruence
Soit (a b) un couple d'entiers relatifs et n un entier naturel.
On dit que a est congru b modulo n
si (a ; b) est un multiple de l'entier n.
On note : a b (n).
Ensemble Z=n
Soit n un entier naturel non nul.
L'ensemble Z=n est l'ensemble des classes d'quivalence des nombres entiers relatifs
pour la congruence modulo n : f0 1 2 3 ::: n ; 2 n ; 1g.
Petit thorme de Fermat
Si p est un nombre premier alors, quel que soit l'entier naturel n, on a : np n (p).
Si de plus n n'est pas un multiple de p, alors on a : np 1 1 (p).
Autrement dit, pour tout a lment de Z=p ; f0g : ap 1 = 1 dans Z=p.
;
;
Illustration 1 : Le Dernier Thorme de Fermat
Soit n 2 N . L'quation en nombres entiers naturels non nuls
xn + yn = zn
n'a pas de solution, sauf pour n 2.
Cette armation de Pierre de Fermat date de 1637... La dmonstration complte est
de Andrew Wiles en 1994.
On trouvera ci-dessous les tapes successives permettant de trouver les solutions quand
n = 2, appeles nombres pythagoriciens.
1) On se ramne au cas o x ^ y = 1:
2) On se ramne x pair y impair z impair z > y:
3) Alors successivement :
. y ^ z = 1:
.. z + y ^ z ; y = 1:
2
x2 2
... 2 = uv o u = z +2 y et v = z ;2 y :
p
.... x2 = uv est un entier. Donc uv est un carr.
..... uv = a2 b2 avec a ^ b = 1:
4) Les solutions sont toutes du type ( un facteur multiplicatif prs):
x = 2ab y = a2 ; b2 z = a2 + b2 o a et b sont des entiers naturels non nuls tels que a ^ b = 1 et a > b:
5) Interprtation gomtrique : le cne de rvolution de sommet 0 d'axe 0z et d'ouverture
45o passe par une innit de points coordonnes entires.
5
Illustration 2 : Les Nombres de Fermat
On les dnit par Fn = 22n + 1 o n est un entier naturel.
Pour tous m et n entiers naturels dirents, Fm ^ Fn = 1.
Cela se dmontre par l'absurde en supposant qu'il existe un nombre entier q qui divise
Fn et Fn+k , o k est un entier naturel non nul, et en considrant le rapport Fn+Fkn 2
qui apparat comme la somme d'une progression gomtrique... Ce rapport est donc un
entier naturel non nul et ainsi Fn+k ; 2 est divisible par Fn:
On a donc : q divise Fn Fn+k Fn+k ; 2 et par suite 2 les diviseurs de 2 sont 1 et 2...
mais 2 est impossible ici car les nombres de Fermat sont impairs ! Donc q = 1:
;
De l, deux conclusions peuvent tre dduites :
1) il y a une innit de nombres premiers.
2) pour tout entier naturel m, il y a au moins (m + 1) nombres premiers entre F0
et Fm , ou, si on prfre, pour tout entier naturel n suprieur ou gal 3, le nombre de
nombres premiers n (not (n)) est suprieur log2(log2 n).
Cette estimation est trs grossire, comme on peut le voir avec une calculette. Des
travaux plus rcents et surtout des mthodes plus labores montrent que (n) est de
l'ordre de lnnn . On le constate aisment avec des logiciels adapts (Mathematica, Maple...).
n
103
106
109
(n) (1)
168 78 498 50 847 534
n
E ( ln n )(2)
144 72 382 48 254 942
rapport: (1)=(2) 1, 160 1, 084
1, 054
E ( lnnn ) reprsente la partie entire de lnnn .
n = +1 appel Thorme
Gauss 15 ans avait conjectur en 1792 que : n lim
(
n
)
=
+
ln n
des nombres premiers, dmontr en 1896 par Hadamard et De La Valle-Poussin indpendemment.
!
1
Illustration 3 : Application de "Bezout" et du "Petit thorme de Fermat"
Proprit :
Soient p et q deux nombres premiers distincts on pose n = pq et on dsigne
par c un entier premier avec (p ; 1) (q ; 1). Alors :
Il existe un entier naturel d < (p ; 1)(q ; 1) et un seul tel que :
et dans Z=n :
et rciproquement.
dc 1 (mod (p ; 1) (q ; 1))
si b = ac alors a = bd
6
Dmonstration lmentaire :
Lemme :
Soient , p et q des entiers naturels.
Si (p) et (q), alors (p _ q).
En eet, on a : = + mp et = + nq , o m et n sont deux entiers.
Il s'en suit que ; = mp = nq = t, o t est multiple de p et de q, donc de p _ q.
Ainsi ; 0 (p _ q).
1) c est premier avec (p ; 1) (q ; 1) donc, d'aprs Bezout, il existe et k entiers
naturels tels que :
c ; k(p ; 1)(q ; 1) = 1:
Par la division euclidienne de par (p ; 1)(q ; 1) :
= l(p ; 1)(q ; 1) + d
o l est un entier naturel et o l'entier d est le reste unique appartenant l'intervalle
]0 (p ; 1)(q ; 1). 0 est exclu car autrement p et q seraient tous les deux gaux 2.
On a de plus :
cd = 1 + (k ; cl)(p ; 1)(q ; 1):
2) On remarque d'abord que si a = 0 alors b est nul et la proposition est vidente.
On suppose donc dans la suite que a est non nul.
Si b = ac, alors d'aprs 1) :
bd = acd = a1+(k
cl)(p
;
1)(q;1)
;
= a ap
1 (k;cl)(q;1)
;
:
Par Fermat : ap 1 1 (p) si a est non multiple de p.
Ainsi bd a (p) si a est non multiple de p.
De la mme faon bd a (q) si a est non multiple de q.
;
D'aprs le lemme, bd a (p _ q) or p _ q = n d'o :
bd a (n) si a n'est multiple ni de p ni de q.
Donc il faut a dirent d'un multiple de n, ce qui est vrai car a est un entier appartenant l'intervalle 1 n ; 1].
Rciproque analogue.
La proprit est donc dmontre.
N.B. Cette proprit est utilise en cryptographie, voir VIII.
7
EXERCICES ET COMPLEMENTS
I. ALGORITHME D'EUCLIDE - PGCD, PPCM IDENTITE DE BEZOUT - THEOREME DE GAUSS
1) Dterminer le pgcd de 201600 et 11880.
Dterminer a et b entiers relatifs tels que 201600a+11880b =360.
2) Dterminer le pgcd et le ppcm des nombres 240, 252, 792.
3) Dmontrer, gr$ce l'identit de Bezout (1730-1783), que 9 et 13 sont premiers
entre eux.
4) Rsoudre dans N les systmes :
a) x + y = 420 et pgcd(x y) = 12.
b) xy = 1512 et ppcm(x y) = 252.
c) pgcd(x y) = 60 et ppcm(x y) = 300.
5) Trouver le pgcd de n (2n + 1) et de n + 1, o n est un entier naturel non nul.
6) En appliquant l'algorithme d'Euclide en trois tapes, trouver, suivant les valeurs
de l'entier naturel non nul k, le pgcd de 9k + 4 et 2k ; 1.
En remarquant que 9k + 4 + 4(2k ; 1) = 17k, retrouver le rsultat prcdent.
7) Exercice emprunt Sam Loyd, fameux inventeur de casse-tte
.
Quel est le plus petit entier a > 1 vriant :
- en divisant a par 2 il reste 1 en divisant a par 3 il reste 1 - en divisant a par 4 il reste 1 etc...
- en divisant a par 9 il reste 1.
8) Enonc retrouv dans des livres d'arithmtique hindous du VIIme sicle.
Quel est le plus petit entier a vriant :
- en divisant a par 2 il reste 1 en divisant a par 3 il reste 2 - en divisant a par 4 il reste 3 en divisant a par 5 il reste 4.
9) Rsoudre dans Z les quations diophantiennes (Diophante, mathmaticien grec du
IVme sicle aprs J-C) :
a) 3x ; 4y = 1
b) 7x ; 9y = 2
c) 2x + 1 = y2
10) Divertissement mathmatique de Martin Gardner.
Au zoo, on a compt 30 yeux et 44 pattes dans l'enclos des autruches et des girafes.
Combien y-a-t-il d'autruches et de girafes ?
Dans un cirque, il y a des cavaliers et des chevaux qui ont ensemble 50 pieds et 18
ttes de plus il y a des animaux sauvages qui totalisent 11 ttes et 20 pieds, et on a deux
fois plus de quadrupdes que de bipdes.
Combien d'animaux sauvages, de chevaux et de cavaliers y a-t-il dans ce cirque ?
8
11) Rsoudre dans Z les quations :
a) x2 ; y2 = 24
b) x2 ; 2y2 = 0
12) Montrer que tout entier naturel non nul n admet un multiple dont l'criture
dcimale ne contient que des 0 et des 1.
%On considrera cet eet la suite de n + 1 nombres :
nz +}|1 fois
{
1 11 111 1111 111 1
dont deux ont le mme reste par la division par n, d'aprs le principe des tiroirs de
Dirichlet].
13) Thorme Chinois
Soit un entier n tel que n = n1 n2 o n1 et n2 sont premiers entre eux.
Montrer que
(8a b 2 Z) (9x 2 Z) (a x (n1 ) et b x (n2 ))
En dduire que si x et x vrient ces congruences, on a : x x (n).
%Revoir la dmonstration faite en cours].
0
0
Application : Trouver un nombre d'objets sachant que :
- si l'on groupe ces objets par 3, la n il en reste 2 - si l'on groupe ces objets par 5, la n il en reste 3.
%On trouve les solutions : 8 + 15k, o k 2 N ].
14) Deviner un nombre entier entre 1 et 105, connaissant ses restes a b et c par les
divisions par 3, 5 et 7.
Ce tour est attribu Sun-Tsu mathmaticien chinois du premier sicle de notre re,
qui a d'ailleurs donn sa nationalit au thorme des restes ci-dessus.
%La rponse est le reste de la division de 70a + 21b + 15c par 105].
15) En appliquant l'identit de Bezout, dmontrer que si n1 et n2 sont des entiers
naturels non nuls et premiers entre eux, et si n = n1n2 , alors
m
m
m
1
2
(8m 2 Z) (9m1 m2 2 Z)
n = n1 + n2
16) Une application de la mthode de la descente innie de Fermat
a) Tracer la courbe H d'quation y2 ; 2x2 = 1 pour x 0 et y 0.
b) Soit la transformation du plan f : m(x y) ! M (X Y ) dnie par :
X = 3x ; 2y
Y = 3y ; 4x
Dmontrer que m(x y) 2 H avec x 2 () M (X Y ) 2 H avec 0 X < x.
9
c) On suppose que l'quation de Pell :
y2 ; 2x2 = 1
(E )
possde une solution m0 (x0 y0), o x0 et y0 sont des entiers positifs avec x0 2.
On construit de proche en proche une suite innie de points mn (xn yn) par :
m1 = f (m0 ) m2 = f (m1 ) Dmontrer par l'absurde qu'il existe un entier n tel que 0 xn < 2.
Dterminer xn et yn puis xn 1 et yn 1.
d) Montrer que les solutions (un vn) dans N 2 de l'quation (E ) vrient :
;
;
8
< un+1 = 3un + 2vn
avec
: v = 4u + 3v
n+1
n
n
10
u0 = 0 v0 = 1
II. NOMBRES PREMIERS - FACTORISATION
1) A la poursuite de Goldbach : Vrai ou faux ?
Tout nombre entier pair n 4 est somme d'un nombre premier et d'un entier impair.
Il existe une innit de nombres entiers pairs s'crivant comme la somme de deux
nombres premiers.
2) Est-il vrai qu'en multipliant des nombres premiers entre eux et en ajoutant 1, on
engendre toujours un nombre premier ?
3) A quelle tape du crible d'Eratosthne (276-196 av J-C) enlve-t-on 1001 ?
4) Montrer qu'il n'y a pas plus de quatre nombres premiers dans une dizaine.
5) Montrer que pour tout entier n 3 : n2 + 2n ; 3 n'est jamais premier.
6) Vrier l'identit de Sophie Germain :
;
;
n4 + 4 = n2 + 2n + 2 n2 ; 2n + 2
En dduire les valeurs de n entier relatif pour lesquelles n4 + 4 est premier.
7) a) Montrer que si p est premier suprieur ou gal 5 alors p2 ; 1 est divisible par
24. En dduire que p est de la forme 6n 1 o n est un entier suprieur ou gal 1.
b) Montrer que la suite (6n ; 1)n 1 possde une innit de nombres composs ainsi
que de nombres premiers.
%Pour la deuxime partie de cette question, raisonner par l'absurde : on suppose qu'il
existe un nombre ni de nombres premiers de la forme 6n ; 1. En dsignant par q leur
produit, montrer que 6q ; 1 n'est divisible par aucun nombre premier, et conclure].
8) Montrer que pour tout n entier 2, les n ; 1 entiers :
n! + 2 n! + 3 n! + n
ne sont pas premiers.
En dduire que la dirence entre deux nombres premiers conscutifs peut tre aussi
grande que l'on veut.
Ce rsultat met-il en doute la conjecture de Cramer (voir V) ?
9) a) Dcomposer en facteurs premiers 2003, 2002, 2001 et 2000.
b) Chercher l'exposant de 2 dans la dcomposition de 100 ! en facteurs premiers.
Par combien de zros se termine 100 ! ?
10) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, 2n + 1 premier implique que n
est une puissance de 2.
Indications : crire n = 2k (2p + 1) o p et k sont deux entiers naturels, et utiliser
l'identit
1 + a2p+1 = (1 + a)(1 ; a + a2 ; :::: + a2p ):
11
11) Pour tout entier naturel n, on pose Fn = 22n +1 (nombres de Fermat (1601-1655)).
Montrer que F0 F1 F2 F3 et F4 (qui peut vous donner du mal...) sont premiers.
Euler (1707-1783) a trouv que 641 est un diviseur de F5 vriez-le.
Qu'en dduisez-vous pour F5 ?
Remarque : La conjecture sur les Fn s'est retourne. Au dbut on les croyait tous premiers, maintenant on pense qu'aucun ne l'est partir de F5 .
12) Montrer que, pour tous a et n entiers naturels 2, an ; 1 premier implique que
a = 2. On pourra utiliser l'identit
;
xn ; 1 = (x ; 1) 1 + x + x2 + + xn
1
;
13) Pour tout entier naturel n, on pose Mn = 2n ; 1 (nombres de Mersenne abb
Marin Mersenne (1588-1648)).
a) Montrer que si n est compos alors Mn n'est pas premier.
En dduire que Mn premier implique n premier.
b) En 1903, Nelson Cole trouve que
M67 = 147573952588676412927 = 193707721 761838257857
la main... 20 ans de travail ! Qu'en dduisez-vous ?!...
c) Gr$ce des minents collgues et nanmoins amis informaticiens, on sait que
M6972593 est premier. (On ne vous demande pas de le vrier !)
Combien ce nombre a-t-il de chires ? Quel est son chire des units ?
C'tait le plus grand nombre premier connu en 1999. Depuis on a fait mieux.
Ce nombre record, qui est le premier trouv dpassant le million de chires, rapporta
50000 USD son dcouvreur. A l'heure actuelle, il y a une prime d'un demi million de
USD pour la dcouverte d'un nombre premier de plus d'un milliard de chires.
14) Existe-t-il une application f : N ! N simple non constante telle que, pour tout
entier naturel n, f (n) soit premier ? Montrer que c'est :
a) non, si f (n) = an + b, pour tous entiers naturels a et b.
b) non, si f (n) = an2 + bn + c, pour tous entiers naturels a, b et c.
Indications : Si c'est "oui", on a facilement c premier et a non nul il sut de montrer
qu'il existe un entier naturel k tel que f (kc) soit un multiple de c dirent de c.
c) non, si f est un polynme coecients entiers relatifs.
Indications : Voir que le coecient du terme de plus haut degr est positif, puis
dmonstration similaire au b).
12
III. DIVISIBILITE - CONGRUENCE
1) Montrer que :
a) pour tout x entier relatif : x(x + 1)(x + 2) est divisible par 6.
b) pour tous x y entiers relatifs : xy (x2 ; y2) est multiple de 6.
c) la somme des cubes de trois entiers successifs est divisible par 9.
2) Soient a b et c des nombres entiers pythagoriciens (i.e. a2 + b2 = c2 ) montrer que
le produit abc est divisible par 60.
3) Soient a b des entiers premiers distincts, des entiers naturels non nuls et
n = a b .
i) Trouver le nombre de diviseurs de n.
Platon (380 avant J.C.) dans ses "Lois sur la fondation des cits" recommande de
choisir un nombre de parcelles de terrain et un nombre de propritaires qui ait le plus
grand nombre de diviseurs. Par exemple, 5040 qui compte 60 ; 1 diviseurs.
Vriez-le et expliquez pourquoi !
+1
+1
ii) Montrer que la somme des diviseurs de n vaut a a ;;1 1 b b ;;1 1 .
En dduire que, pour tous p et q entiers naturels non nuls premiers entre eux, la somme
des diviseurs de pq est gale au produit de la somme des diviseurs de p par celle de q.
iii) Montrer que le carr du produit des diviseurs de n vaut n(+1)(+1) .
Application : Trouver la somme et le produit des diviseurs de 5040.
4) 24 + 75 = 99. 2475 est divisible par 99. Est-ce une co(ncidence ?
5) Pensez un nombre entier naturel, retranchez-en la somme de ses chires, permutez
comme vous voulez l'ordre des chires, ajoutez 11, supprimez un chire de votre choix
sauf un 9 et donnez la somme des autres chires.
On peut dterminer le chire que vous avez supprim ! Pourquoi ?
6) Donner les tables d'addition et de multiplication dans Z=2, Z=3 et Z=4 .
7) Gr$ce la congruence modulo 3, montrer que :
a) "p et p2 + 8 premiers" implique "p3 + 4 premier".
b) "n ; 10 n + 10 et n + 60 premiers" implique "n + 90 premier".
c) "p et p2 + 2 premiers" implique "p3 + 2 premier".
8) Montrer que le produit de trois nombres pairs conscutifs est divisible par 48.
Rsoudre dans Z=48 : x3 + 3x2 = x + 3.
9) Course 20. Deux joueurs enlvent tour de rle 1, 2 ou 3 allumettes d'un tas
de 20 celui qui prendra la dernire allumette a perdu.
a) Donner la stratgie gagnante.
b) Gnraliser un tas de n allumettes puis quand le nombre maximal d'allumettes
enlever est p quelconque infrieur n.
10) Dmontrer que : (8n 2 N ) (7n+2 ; 7n 12 (36)).
13
11) Calculer le reste modulo 7 de 3248.
12) Montrer que deux nombres entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si et
seulement si l'un possde un inverse (pour la multiplication) modulo l'autre.
13) Treize candidats, dont Max, sont en lice pour une promotion. Soit n un entier.
Premire mthode : on les met en cercle. On les compte dans le sens des aiguilles
d'une montre, jusqu' n, en commenant o l'on veut le n-ime sera promu.
Deuxime mthode : on les met en le indienne. On les compte de gauche droite
et de droite gauche, en ne comptant qu'une fois les candidats extrmes, jusqu' n, en
commenant o l'on veut le n-ime sera promu.
Dans ces 2 cas, de quelle place doit-on partir par rapport Max pour le promouvoir ?
14) Un vieux problme romain
k1, k2 et k3 sont des entiers naturels donns.
Un algorithme :
Des numros de 1 5 (pour compter sur les doigts d'une main !) sont disposs en
cercle dans le sens des aiguilles d'une montre. On extrait le numro 1, puis partir
du numro suivant, on compte toujours dans le mme sens k1 numros, et on extrait le
numro suivant. On recommence ainsi avec k2 , puis avec k3, et on extrait enn le dernier
numro restant.
Un algorithme quivalent au prcdent :
On dispose de 5 cartes numrotes de 1 5, mises en paquet dans l'ordre naturel. On
extrait la premire carte qui porte le numro 1, puis on met les unes la suite des autres
les k1 cartes suivantes sous le paquet, et on extrait la carte suivante on recommence
ainsi avec k2, puis avec k3, et on extrait enn la dernire carte restante.
On dsigne par (i) le numro extrait la i-me tape.
1) Raliser l'exprience pour trouver (i) pour i = 1 2 3 4 5 dans les 3 cas suivants :
a) Pour tout p 2 f1 2 3g : kp = 1.
b) Pour tout p 2 f1 2 3g : kp = 3.
c) Pour tout p 2 f1 2 3g : kp = p.
2) Montrer que l'ensemble des permutations de f1 2 3 4 5g telles que (1) = 1 est
en bijection d'ensemble avec Z=4 Z=3 Z=2.
3) On dsigne par 1 la permutation rciproque de .
Montrer que si on compose le paquet par les cartes mises dans l'ordre de leur numro:
1(1), 1 (2), 1(3), 1 (4) et 1(5), et si on applique l'algorithme prcdent, alors
les numros des cartes extraites successivement sont 1, 2, 3, 4 et 5.
Vriez-le en reprenant les trois exemples de la question 1).
;
;
;
;
;
;
Retour Max de l'exercice 13
Treize candidats sont en lice. Comment doit-on disposer ces 13 candidats en cercle,
pour qu'en appliquant une gnralisation du premier algorithme : on remplace 5 par 13 et
on pose kp = 1 pour tout p 2 f1 2 ::: 11g, et on commence par le plus mauvais candidat,
les candidats successifs sortis du cercle le soient dans l'ordre de mrite croissant ?
O doit alors se trouver Max par rapport au moins bon candidat ?
15) Votre numro d'INSEE est constitu d'un nombre n de 13 chires, suivi d'un
nombre de 1 ou 2 chires, la clef
.
a) Vrier que la clef vaut 97 ; r
, o r est le reste de la division de n par 97.
b) Pourquoi avoir choisi un nombre comme 97, voisin de 100 et premier ?
14
IV. QUELQUES PROBLEMES PLUS DELICATS
1) Montrer que p est premier si et seulement si pour tout entier q 0 < q < p :
Cpq est divisible par p.
En dduire que :
a) pour tous a b dans Z=p on a : (a + b)p = ap + bp.
b) 2p ; 2 est divisible par p.
Dmonstration toer :
Cpq = (p ;p!q)!q! = p (p ; 1) q
!(p ; q + 1)] = pa
q! en dsignant par a le crochet.
p tant premier, q! ne divise pas p, comme Cpq est un entier, d'aprs Gauss (1777-1854),
q! divise a et ainsi Cpq = pQ o Q est le quotient de a par q!. Donc Cpq est multiple de p.
Rciproquement, par contraposition : si p est non premier, p = ab avec a et b entiers
suprieurs 1, alors
(ab ; a + 1)]
Caba = ab(ab ; 1) a
!(ab ; a + 1) = b (ab ; 1)(ab ;(a2);
1)!
Le crochet est constitu de a ; 1 facteurs entiers conscutifs non multiples de a, donc
le crochet n'est pas divisible par a ainsi Caba est non divisible par ab.
Les dductions dcoulent de la formule du binme et de ce qui prcde.
2) Montrer que si p est premier, alors pour tout a non nul appartenant Z=p :
ap 1 = 1:
En dduire :
a) Petit thorme de Fermat (nonc en 1640, dmontr par Euler en 1736)
Pour tout entier naturel n : np ; n est divisible par p.
;
b) Dans Z=p, on a :
Xp
;
1
;1=
p 1
Y
;
{=1
(X ; {) (d Lagrange en 1771).
C'est vident si p = 2.
Dmonstrations toer :
Soit a lment de Z=p ; f0g l'application fa dnie sur Z=p par fa (x) = ax pour
tout x lment de Z=p est une;bijection sur Z=p ; f0g, en utilisant l'exercice III-12).
Donc 1 2 p ; 1 = ap 1 1 2 p ; 1 qui conduit ap 1 = 1 en regroupant deux
;
;
deux les lments inversibles de Z=p.
a) C'est immdiat.
b) Si p > 2, on considre la somme s(X ) = 1 + X + + X p 2 et on montre
que : Xs(X ) = s(X ) pour tout X lment non nul de Z=p alors ({ ; 1)s({) = 0 pour
tout { 2 f1 2 p ; 1g, d'o les racines de s, polynme de degr p ; 2, et par suite sa
factorisation.
Dmonstration d'un orfvre : on dispose de perles de a couleurs direntes. Combien
peut-on faire de colliers dirents de p perles, o p est un nombre premier ? Soit c ce
nombre. a est le nombre de colliers unicolores gal au nombre de chanes unicolores, c ; a
est donc le nombre de colliers non unicolores auxquels correspondent (c ; a) p chanes
non unicolores (vrai car p est premier). Comme le nombre total de chanes est gal ap
on peut crire : ap = p(c ; a) + a. D'o le rsultat : ap ; a est divisible par p.
;
15
3) Thorme de Wilson
Montrer que p est premier
est quivalent (p ; 1)! + 1 est divisible par p
.
C'est vident si p = 2.
Deux dmonstrations toer :
i) Dans Z=p on a : 1 2 p ; 1 = (p ; 1)!
En regroupant, comme dans 2), deux deux les lments inversibles de Z=p dont le
carr est dirent de 1, on a :
1 (p ; 1) = (p ; 1)! ou encore (p ; 1)! = ;1.
Rciproquement par contraposition :
Si n est un entier non premier, il existe a diviseur de 0 dans Z=n , et alors le produit
a (1 2 n ; 1) est nul. Ainsi a (n ; 1)! = 0 donc (n ; 1)! = 0 ou b tel que ab = 0 d'o le rsultat.
ii) On peut utiliser l'exercice prcdent.
Le thorme de Wilson n'est videmment pas un test de primalit intressant.
4) Problme des canards.
Des canards volent en formation de triangle isocle : avec un chef, deux
(p ; 1) fois
z
}|
{
sous-chefs, trois sous-sous-chefs, etc... p sous ; sous ; ; sous-chefs.
Un chasseur sachant mal chasser tire sur le vol et fait choux blanc
.... Aprs une
panique momentane et des querelles de pouvoir, les canards se reforment en deux vols
identiques en nombre et en forme de triangle isocle.
Le chasseur, bon mathmaticien, aprs avoir estim le nombre de volatiles entre 10 et
1000 (il a pitre vue...), arme : il y avait exactement 210 canards
.
On dsigne par N le nombre de canards, par p et q les nombres de ranges de canards
avant et aprs le coup de fusil.
1) Montrer que : p2 + p = 2q2 + 2q = 2N .
2) On pose : P = 2p + 1 et Q = 2q + 1.
Montrer que : 2Q2 ; P 2 = 1.
Pour rpondre aux questions 3), 4), 5) et 6), vous pourrez reprendre l'exercice I-16)
sur la descente innie.
3) Tracer la courbe H d'quation 2y2 ; x2 = 1 pour x 0 et y 0.
4) Soit la transformation du plan f : m(x y) ! M (X Y ) dnie par :
X = 3x ; 4y
Y = 3y ; 2x
p
Dmontrer que m(x y) 2 H avec x 2 2 () M(X Y ) 2 H avec 0 X < x.
5) On suppose que l'quation de Pell :
(E )
2y2 ; x2 = 1
possde une solution A0 (x0 y0), o x0 et y0 sont des entiers positifs avec x0 3.
On construit de proche en proche une suite innie de points An (xn yn) par :
A1 = f (A0 ) A2 = f (A1 ) An = f (An 1) ;
16
Dmontrer par l'absurde qu'il existe un entier k tel que 0 xk < 3.
Dterminer xk et yk puis xk 1 et yk 1.
;
;
6) Montrer que les solutions (Pn Qn) dans N 2 de l'quation (E ) vrient :
8
< Pn+1 = 3Pn + 4Qn
avec P0 = 1 Q0 = 1
: Q = 2P + 3Q
n+1
n
n
En dduire P1 Q1 P2 Q2 P3 et Q3 , puis les nombres de canards correspondants
N1 N2 et N3.
Conrmez-vous le nombre de canards annonc par le chasseur ?
7) Montrer que les suites fPng et fQng sont strictement croissantes. En dduire que :
Pn = p2
lim
n + Qn
8) Montrer que pour tout n 2 N : Pn et Qn sont premiers entre eux et
p Pn
0 < 2; Q
< 2P 1Q
n
n n
!
1
p
En dduire une approximation rationnelle de 2 10 4 prs par dfaut.
;
9) Montrer que les suites fPng et fQng vrient l'quation de suite rcurrente d'ordre
deux :
(R)
Un ; 6Un 1 + Un 2 = 0
;
;
10) Soient r1 et r2 les racines de l'quation : x2 ; 6x + 1 = 0.
Montrer que fr1ng et fr2ng sont solutions de (R).
En admettant que la solution gnrale de (R) est de la forme :
a b 2 R ar1n + br2n
expliciter Pn et Qn en fonction de n r1 et r2 .
17
V. QUELQUES PROBLEMES OUVERTS
Conjecture de Goldbach1
Le russe Christian Goldbach posa, en 1742, la question suivante Euler :
Tout entier naturel pair 4 est-il la somme de deux nombres premiers ?
Nombres premiers jumeaux
Existe-t-il une innit de nombres premiers spars par 2 units ? (5,7) (11,13)...
En 1919, Brun a montr que la srie des inverses des nombres premiers jumeaux converge... ce qui prouve leur relative raret car on sait que la srie des inverses des nombres
premiers est divergente.
Nombres parfaits
Euclide (330-275 av. J.C) a dni un nombre parfait comme tant gal la somme de
ses diviseurs sauf lui-mme.
Voil les premiers : 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496, 8128 ...
Un nombre pair est parfait si et seulement s'il est de la forme : 2p 1Mp o Mp est
un nombre de Mersenne premier. La condition susante a t dmontre par Euclide, la
ncessaire par Euler en 1749. Saurez-vous les dmontrer en utilisant III-3-ii) ?
A ce jour, on connat 39 nombres parfaits pairs. On ne sait pas s'il existe une innit
de nombres parfaits pairs pour les nombres parfaits impairs, on ignore s'il en existe.
;
Conjecture de Cramer
Pour tout entier n 2, existe-t-il un nombre premier dans n n + (ln n)2 ?
En 1850, Tchebychev a montr qu'il existe toujours un nombre premier entre n et 2n.
Autres... On ne sait pas s'il existe toujours un nombre premier entre n2 et (n + 1)2,
ou s'il existe une innit de nombres premiers de la forme n2 + 1, ou de la forme n! + 1...
Formule simple donnant une innit de nombres premiers
Ce n'est pas simple !... On ne sait pas...?
Factorisation rapide de trs grands nombres
On ne connat pas d'algorithme rapide permettant de trouver deux trs grands nombres premiers partir de leur produit. (Voir la cryptographie en VIII)
Conjecture de Collatz
Soit n un entier naturel non nul. Si n est pair, on le divise par 2 si n est impair,
on le multiplie par 3 et on ajoute 1. On recommence l'opration avec le nombre que l'on
obtient et ainsi de suite. Tous les essais jusqu' 1016 ont donn 1 comme rsultat nal,
mais il reste le dmontrer pour tout entier naturel non nul.
Hypothse de Riemann
Pour tout a > 1=2 :
R
(x) ; 2x lndtt
lim
=0
x +
xa
o (x) = le nombre de nombres premiers x.
!
1
1
Une prime d'un million de dollars est oerte.
18
VI. COMPLEMENTS SUR LES NOMBRES DE MERSENNE
ET DE FERMAT
Pour la recherche de grands nombres premiers, Mersenne a considr les nombres
Mr = 2r ; 1 avec r premier, appels depuis nombres de Mersenne. Mais Mr n'est pas
toujours premier car M11 = 2047 = 23 89.
Pour r = 2 3 5 7 13 17 19 31 67 127 257 Mersenne a arm en 1644 que Mr est
premier, et compos pour les autres valeurs de r < 257, mais il se trompait : Mr est
premier pour r = 61 89 et 107 mais compos pour r = 67 et 257. Pour 67, revoir
l'exercice II - 13) sur les Mr . Comment a-t-il fait ? Personne ne le sait.
On ignore si l'ensemble des nombres premiers r pour lesquels Mr est premier, est inni,
ou si son complmentaire est inni.
En 1640, Fermat crit Mersenne que tous les nombres Fk = 22k + 1, qui portent
maintenant son nom, sont premiers (voir l'exercice II-11) sur les Fk ).
Il se trompait : ce jour, on sait que Fk est compos pour 5 k 30.
Proposition
p 2 un entier.
Soient k et k deux entiers naturels non nuls tels que :
2k 1 (p) et 2k 1 (p)
alors 2k k 1 (p):
0
0
^
0
D'aprs l'identit de Bezout, il existe a et b entiers relatifs tels que ak + bk = k ^ k .
On peut supposer a > 0 et b < 0. ; ; On a alors : 2ak = 2k k 2 bk soit 2k a = 2k k 2k b.
D'aprs les hypothses, on a donc : 1a 2k k 1 b (p), soit 1 2k k (p).
Remarque : On en dduit que k et k ne sont pas premiers entre eux.
^
0
;
0
^
^
0
0
0
0
0
;
;
^
0
0
Proprit 1. r r premiers distincts, Mr et Mr sont premiers entre eux.
S'il existe p facteur commun de Mr et Mr p divise 2r ; 1 et 2r ; 1, on a donc :
2r 1 (p) et 2r 1 (p) d'aprs la remarque de la proposition, c'est absurde.
0
0
0
0
0
Proprit 2. Les facteurs premiers de Mr = 2r ; 1 avec r premier sont de
la forme 2mr + 1 o m 2 Z.
Soit p un facteur premier de Mr alors 2r 1 (p), mais d'aprs le petit thorme de
Fermat, comme p ne divise pas 2 : 2p 1 1 (p), la remarque prcdente implique
que r divise p ; 1, avec p impair.
;
Proprit 3. Les facteurs premiers de Fk = 22k +1 sont de la forme m2k+1 +1
o m 2 Z:
k 2
2k
Soit p un facteur premier de Fk on a : 2 ;1 (p) d'o 22 = 22k+1 1 (p).
Le PGCD de 2k+1 et de p ; 1 est de la forme 2h avec 0 < h h k + 1, comme on a
toujours par Fermat 2p 1 1 (p), d'aprs la proposition : 22 1 (p).
;
Si on suppose que 0 < h < k + 1 alors
2k
h
1 (p) soit 22k 1 (p)
ce qui est absurde, donc h = k + 1 et ainsi 2k+1 divise p ; 1.
22h
;
19
Dmonstration de Euler en 1732 de F5 non premier
F5 = 232 + 1 = 4294967297 a des facteurs premiers de la forme m26 + 1 = 64m + 1
d'aprs la proprit 3).
64 1 (3) donc pour m 2 (3) : 64m + 1 est divisible par 3 donc non premier.
64 ;1 (5) donc pour m 1 (5) : 64m + 1 est divisible par 5 donc non premier.
Ainsi pour m = 2 5 6 8 : 64m + 1 est non premier.
Pour m = 3 4 7 9 : 64m + 1 est premier, mais ne divise pas F5.
Cependant pour m = 10 10 64+1 = 641 est premier, et il divise F5 = 641 6700417:
Donc F5 n'est pas premier contrairement ce que croyait Fermat.
Le scrach du F6
En 1880, Landry a montr que F6 = 264 + 1 n'est pas premier. Tous les diviseurs
premiers de F6 sont de la forme m27 + 1 = 128m + 1, on les passe en revue... mais quel
dl ! On trouve F6 = 274177 57280421310721 avec 274177 = 128 2142 + 1.
Nombres de Fermat et constructions la rgle et au compas
On connat des constructions impossibles la rgle et au compas : la quadrature du
cercle, la duplication du cube, la trissection de l'angle, il y en a d'autres...
Quels sont les polygnes rguliers de n cts constructibles la rgle et au compas ?
En 1801, Gauss donne une condition ncessaire et susante : n = 2m ou bien
n = 2m p1p2 pk o m est entier naturel et les pi sont des nombres de Fermat premiers
distincts.
Actuellement on ne connat que cinq nombres de Fermat premiers, on n'a donc que
5
2 ; 1 = 31 polygnes rguliers constructibles ayant un nombre impair de cts.
En 1796, l'$ge de 19 ans, Gauss avait dj tabli la constructibilit du polygne
rgulier de 17 cts... qu'il voulait faire graver sur sa tombe !
Gnralisations r
Les nombres (q + 1) ; qr o q 2 Z et r premier vrient les mmes proprits
1) et 2) que ceux de Mersenne.
Les dmonstrations sont semblables aux prcdentes, quoique moins immdiates.
A partir de la dernire proprit, on peut montrer2 qu'il existe une innit de nombres
premiers de la forme kmr + 1 o m 2 Z.
Les nombres n2 + 1, avec n pair, ont leurs facteurs premiers de la forme
m2k+1 + 1 o m 2 Z.
La dmonstration n'est pas lmentaire, tout comme celle du test de primalit suivant.
A la recherche des Mn premiers
Lucas-Lehmer
n
; p :2Test
; de p
n
On pose pour n 2 N : sn = 2 + 3 + 2 ; 3 2 qui est une suite d'entiers
telle que sn+1 = s2n ; 2.
Si Mn divise sn 2 alors Mn est premier, et rciproquement.
;
En 1876, Lucas (1842-1891) a montr que M67 est non premier sans trouver sa dcomposition, ce que t Nelson Cole en 1903 (voir l'exercice II-13 sur les Mr ).
Lucas garda 75 ans le record du plus grand nombre premier connu avec M127 , battu
en 1951. Mais M127 est toujours le plus grand nombre premier trouv entirement la
main.
Pour les curieux quand ils auront atteint le niveau licence, voir par exemple : Algbre et gomtrie.
Francois Combes(1998). Bral.
2
20
VII. COMPLEMENTS SUR LES NOMBRES PREMIERS
Vous avez vu qu'un nombre premier est un nombre entier naturel qui possde deux
diviseurs, 1 et lui-mme, et aussi que chaque nombre entier se dcompose de faon unique,
l'ordre prs, en produit de nombres premiers, c'est la dcomposition en facteurs premiers.
On peut ainsi retrouver tous les nombres entiers partir des nombres premiers on les
considre comme les atomes de N .
Le crible d'Eratosthne vous a permis de donner la liste des premiers nombres premiers
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...
Deux mathmaticiens russes Youri Matiiassevitch et Boris Stechkin ont trouv une
technique gomtrique trs simple qui donne la table de multiplication innie et les diviseurs de tous les entiers, et en plus la liste de tous les nombres premiers... mais que de
traits tracer !!!
Crible de Matiiassevitch et Stechkin
1) Tracer la parabole : y = x2.
Tracer les points (n n2 ) pour n = 2 3 4 5 6, ...
Tracer toutes les droites joignant deux points de la parabole d'abscisses, lments de
Z sauf ;1 0 et 1, de signes contraires. "Toutes"... c'est mission impossible, quelques unes
suront pour comprendre...
2) Montrer que la droite joignant les deux points (n n2) et (;m m2 ), o n et m sont
positifs, coupe l'axe des y au point (0 nm).
En dduire que :
la table de multiplication innie des entiers est ainsi construite.
toutes les droites prcdemment traces, passant par le point (0 n), donnent tous
les diviseurs de n autres que 1 et n.
les nombres premiers sont les ordonnes positives (entires !!!) des points de l'axe
des y, par o aucune des droites prcdemment traces ne passe.
Pensez-vous que ce soit avec un tel crible que l'on puisse battre le record 3 du plus grand
nombre premier connu, tabli en 2001, qui est le 39ime nombre premier de Mersenne, savoir :
213466917 ; 1
?!!!
Formule complique donnant une innit de nombres premiers
En 1970, Matiiassevitch a 22 ans et donne la rponse au dixime problme de Hilbert,
pos en 1900 : Y-a-t-il un moyen de dire si oui ou non une quation diophantienne peut
tre rsolue ? C'est non.
Son rsultat implique l'existence de polynme gnrateur de nombres premiers en
1976, quatre mathmaticiens en trouve un ... il a 26 variables et il est de degr 25 ...
Sites Internet:
- Pour le record: GIMPS http://www.mersenne.org/prime.htm
- Pour les nombres premiers: cadwell http://www.utm.edu/research/primes/
3
21
VIII. UNE REPONSE A LA QUESTION :
A QUOI SERT L'ARITHMETIQUE ?
Rappel de la proprit dmontre dans l'Illustration 3
Soient p et q deux nombres premiers distincts, on pose n = pq et on dsigne par c un
entier premier avec (p ; 1) (q ; 1). Alors :
Il existe un entier naturel d < (p ; 1)(q ; 1) et un seul tel que :
dc 1 (mod (p ; 1) (q ; 1))
et dans Z=n :
si b = ac alors a = bd
et rciproquement.
Nous allons donner une application de cette proprit.
Cryptographie clef publique
Dd dsire envoyer le message : SALUT
Alice.
Ne voulant pas envoyer ce message en clair, il commence par remplacer chaque lettre
par son numro dans l'alphabet : (19,1,12,21,20).
Cet algorithme de chirement est trop simple et permet un dcryptage facile du message. Aussi, Alice va lui donner un algorithme et la cl connus de tous !!... et cependant
elle sera la seule pouvoir dchirer le message ! Chapeau !
Alice rend publique l'information : La cl n=33, c=3] et l'algorithme de Dd
qui est dcrit ci-dessous.
Qu'est-ce que cela veut dire ?
Pourquoi n = 33 ?
33 > 264 : les 26 numros peuvent tre traits comme des lments distincts de Z=33
et 33 est le produit de deux nombres premiers p = 11 et q = 3, que seule Alice
connat. On pourrait penser que c'est un secret de Polichinelle car, connaissant n, on
doit trouver les nombres premiers p et q puisque n = pq, comme semble le corroborer
l'auscultation immdiate de 33. Mais, dtrompez-vous ! A l'heure actuelle, pour un nombre de 150 chires... il faudrait plus d'un mois !
Pourquoi c = 3 ?
On peut choisir n'importe quel nombre entier, premier avec (11 ; 1) (3 ; 1) = 20, on
a pris ici le plus petit... pour de petits calculs.
1) Algorithme de Dd : Dd lve la puissance c = 3 chaque nombre reprsentant
une lettre dans le message chir, il obtient (6859 1 1728 9261 8000) puis remplace ces
nombres par leur valeur modulo 33, soit (28,1,12,21,14) qui est le message qu'il transmet
Alice.
26 ... car il y a 26 lettres dans l'alphabet. En gnral, aprs avoir prcd les numros units de 0 et
supprim les virgules dans le message chir, on le partage de droite gauche en tranches de k chires
considres comme des lments de Z=n donc n > 10k .
4
22
L'algorithme de Dd est simple : on lve un entier la puissance c = 3 dans Z=33.
2) Que fait Alice pour dchirer le message ?
Elle calcule d = 7, sans peine, en rsolvant : dc 1 mod((11 ; 1)(3 ; 1)) il existe
des algorithmes simples, quand c'est compliqu.
Alice est la seule connatre d = 7, gr$ce p = 11 et q = 3.
Algorithme d'Alice : elle lve chaque nombre du message la puissance d = 7, elle
trouve (1349292851 1 35831808 1801088541 105413504), puis elle remplace ces nombres
par leur valeur modulo 33.
C'est le mme algorithme que celui de Dd, en changeant c par d.
Elle obtient alors : (19,1,12,21,20) cause de la proprit nonce plus haut, d'o
en clair SALUT
. N'est-ce pas merveilleux ?!
3) Alice rpond Dd. Elle applique son algorithme au message simplement chir
par les numros des lettres, elle transmet Dd : (6,1,13).
4) Dd, aid de vous, dchire le message d'Alice : il applique son algorithme et il
utilise la rciproque vue dans la proprit, on a alors le message chir et dcrypt d'Alice
(...,...,...) qui donne en clair "... ... ...", donc Alice va bien !... et vous ?
Rsum
Tous ceux qui connaissent la cl et l'algorithme de Dd, peuvent crire Alice, de
faon chire, et seule Alice peut dchirer le message.
Tous ceux-l peuvent dchirer le message d'Alice, qui est seule pouvoir le chirer.
Cet exemple donne une ide simple de la mthode RSA5, qui sont les initiales des
trois mathmaticiens, Rivest, Shamir et Aldeman qui ont dcouvert cet algorithme en
1978, dont la survie cryptographique est conditionne par la puissance des ordinateurs et
l'avance de l'arithmtique dans la factorisation de grands nombres ou l'extraction de la
racine cime dans Z=n avec n compos.
Un peu d'histoire
Le mathmaticien anglais Turing (1912-1954), inventeur 24 ans de la fameuse machine, s'investit ensuite dans la construction d'une autre, qui dcrypta les messages cods
par la machine ENIGMA, construite par l'Allemagne pendant la seconde guerre mondiale.
Il contribua ainsi, surtout avec les mathmaticiens Babbage (1792-1871) et Von Neumann
(1903-1957), la conception du premier ordinateur lectronique en 1948, dnomm ENIAC
(30 tonnes et 160 mtres carrs de surface au sol !).
Jusqu'aux annes 1970, on rencontrait la cryptographie dans l'arme et la diplomatie.
Maintenant, on l'utilise aussi dans les tlcommunications (cartes tlphoniques,...), dans
la banque (cartes bancaires,...), dans la scurit de chiers, sur Internet...
Pour les futurs agents secrets : il existe, en cryptographie, d'autres mthodes utilises actuellement.
Le systme symtrique DES conu par IBM, le plus utilis au monde mais forc ces derniers temps,
malgr ses 256 clefs l'algorithme IDEA bas sur un XOR, une addition modulo 216 et une multiplication
modulo 216 + 1 PGP qui est une combinaison de IDEA et RSA...
5
23
IX. SUPPLEMENT AUX EXERCICES
Triangles
1. On rappelle que pour tout entier naturel n :
1 + 2 + 3 + + n = n(n2+ 1) :
Ces nombres s'appellent les nombres triangulaires. Pourquoi ?
a) Montrer que, pour tous entiers a et b : ja ; bj a + b (2).
b) Dans un sac, on a n papiers numrots de 1 n. On en tire deux au hasard et on
les remplace par un papier portant le numro gal la valeur absolue de leur dirence.
On recommence ainsi jusqu' ce qu'il ne reste plus qu'un seul papier quelle est la parit
du numro de ce dernier papier ?
Un peu d'histoire. Le 10 juillet 1796, Gauss dmontre une conjecture de Fermat,
vieille de 150 ans : tout entier naturel est la somme de trois nombres triangulaires.
Pour cela, il utilise entre autres : t est triangulaire si et seulement si 8t + 1 est le carr
d'un nombre impair, ce que vous pouvez facilement dmontrer.
Gauss tablit, entre le 20 mars et le 31 juillet 1796, 21 publications dont celle rglant
la conjecture vieille de 2000 ans sur les polygnes rguliers constructibles la rgle et au
compas (voir VI). Euler, qui l'a prcd, n'est pas en reste, avec plus de 1600 dcouvertes
au cours de sa vie ! Gr$ce lui (voir V), montrer que tout nombre parfait pair est triangulaire.
Carrs
2. Exemples : 1020304030201 = (1010101)2 = 1012 732 1372 12345678987654321 = (111111111)2 = 34 372 3336672.
Montrer qu'un nombre entier est un carr si et seulement si chacun de ses facteurs
premiers est lev une puissance paire dans sa factorisation.
En dduire que si c et d sont premiers entre eux et si cd est un carr alors c et d sont
aussi des carrs.
3. Trouver tous les entiers n pour lesquels 2n + 1 est2 un carr.
En dduire tous les entiers n et m tels que : (n + 1) = n2 + m2 .
4. Vrier l'identit : (a2 + b2 ) (c2 + d2) = (ad ; bc)2 + (ac + bd)2 .
En dduire que si deux entiers sont somme de deux carrs alors leur produit l'est
aussi. Trouver le plus petit entier somme de deux carrs d'entiers non nuls de deux faons
direntes, et montrer que son carr est la somme de deux carrs.
5. Montrer qu'un carr est congru 0 ou 1 modulo 4.
En dduire que pour tous entiers a et b : a2 + b2 6 3 (4).
Un peu d'histoire. Un thorme de Gauss : un entier est la somme de deux carrs
si et seulement si dans sa dcomposition en facteurs premiers, ceux de la forme 4k + 3
interviennent avec des exposants pairs.
24
Il en existe des dmonstrations lmentaires (par exemple dans Que sais-je
de Borel
sur les nombres premiers).
6. Montrer qu'un carr est congru 0 ou 1 ou 4 modulo 8.
En dduire que la somme de 3 carrs n'est pas de la forme 8q + 7, q entier naturel.
Un peu d'histoire. En 1798, Lagrange (1736-1813) montre que les entiers naturels
sommes de trois carrs sont tous ceux qui sont dirents de 4p(8q + 7) o p et q sont des
entiers naturels. %Prendre le plus petit exposant p de 2 dans la dcomposition en facteurs
premiers des trois entiers, mettre 4p en facteur dans la somme des trois carrs, puis utiliser
l'exercice prcdent]. Il dmontre que la rciproque est vraie, en conjecturant qu'il y a
une innit de nombres premiers dans la suite (an + b) o a et b sont premiers entre eux,
prouv par Dirichlet (1805-1859) en 1837, mais la dmonstration n'est pas lmentaire.
7. Montrer que tout entier naturel est la somme de 4 carrs.
%Utiliser le rsultat prcdent de Lagrange, car il sut de rgler le cas des 4p(8q + 7)].
Par exemple 2007 n'est pas somme de 3 carrs, mais 2007 = 312 + 312 + 92 + 22 .
On remarquera que la dcomposition d'un entier en 2, 3 et 4 carrs n'est pas unique.
Un peu d'histoire. L'nonc de l'exercice prcdent, qui est un des thorme les
plus clbres de la thorie des nombres, est d Bachet en 1621 mais a t dmontr par
Lagrange en 1772.
Cubes
8. a) Pour k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 calculer k3, et en dduire les chires congrus ces nombres modulo 10.
b) Donner le chire des units de S = 13 + 23 + 33 + + 20023.
c) Extractions de racines cubiques : Soient deux chires a et b, on note ba = 10b + a,
montrer que la connaissance de ba3 permet celle de ba, en utilisant seulement a).
Indications : ba3 = (10b + a)3 dvelopper et encadrer.
En dduire la valeur de 106481=3.
d) Montrer que pour tout n entier :
n 0 1 2 (3) () n3 0 1 8 (9):
En dduire le chire congru S modulo 9.
e) On rappelle que pour tout entier naturel n :
2
n
(
n
+
1)
3
3
3
3
1 +2 +3 +
+n =
:
2
Retrouver alors les rsultats prcdemment obtenus sur S , par des calculs trs courts.
9. Pour quelles valeurs de l'entier naturel n : 3n2 + 3n + 1 est-il un cube ?
%Utiliser une identit remarquable et le grand thorme de Fermat].
10. Un entier naturel, dont le reste de la division par 8 est 7, peut-il tre somme de
trois cubes ?
%Utiliser la congruence modulo 8 sur les cubes].
25
11. Existe-t-il un nombre entier dont le cube se termine par 2002 fois le chire 1
?
%Par rcurrence : supposer l'existence d'un entier Np se terminant par 1, dont le cube
se termine par p uns. Poser Np+1 = Np + K 10p et trouver alors le K adquat].
Un peu d'histoire. Le problme de Waring (1770) : tout entier naturel est la
somme de 9 cubes. Wieferich en donne la preuve, mais Hilbert (1862-1943) en 1909 fait
une dmonstration gnrale qui s'applique aussi aux puissances quatrimes, cinquimes,
etc. Pour en savoir plus : Plaisir des mathmatiques
de Rademacher et Toeplitz (1967).
Dunod.
Fibonacci
12. Les suites de Fibonacci (fn) sont dnies pour tout n 2 N par fn+2 = fn+1 + fn,
avec f0 et f1 deux nombres rels donns. Si f0 = f1 = 1, montrer par un algorithme
d'Euclide "jusqu'au boutiste" que pour tout n 2 : fn et fn+1 sont premiers entre eux.
Un peu d'histoire. En 1845, Lam montra que pour tout n 2 N , le plus petit
nombre a 2 N tel que sa division par un nombre naturel b plus petit, par l'algorithme
d'Euclide, ncessitant n tapes, est a = fn+1, et on a b = fn.
Fermat
13. Les nombres de Fermat Fn tant dnis pour tout n 2 N par Fn = 22n + 1,
montrer, par rcurrence, que pour tout n 2 N : Fn+1 = F0 F1 Fn + 2:
En dduire, encore, que les nombres de Fermat sont premiers entre eux.
Carmichal
14. a) Montrer que 1729 est divisible par la somme de ses chires.
b) Factoriser 1729. Montrer que 1728 est divisible par chaque facteur premier de 1729,
diminu d'une unit.
c) Montrer que 1729 est aussi le plus petit entier qui s'crit de deux faons comme
somme de deux cubes.
Un peu d'histoire. Les nombres divisibles par la somme de leurs chires s'appellent
les nombres de Harshard.
Les nombres de Carmicha*l (y 1967) sont des entiers naturels n non premiers tels que
an a (n) pour tout entier naturel a infrieur n.
On sait que ce sont des nombres impairs, produit au moins de trois nombres premiers
distincts. On a dmontr une caractristique de ces nombres : n a tous ses facteurs
premiers apparaissant avec l'exposant 1, et pour tout p premier divisant n alors p ; 1
divise n ; 1.6 Voil les premiers : 561 (dcouvert en 1910), 1105, 1729, 2465... Il a t
tabli en 1992 qu'il y en a une innit. Le plus petit nombre de Carmicha*l ayant 4
facteurs premiers est 41041.
Par Fermat on a un test de non primalit sur p : s'il existe un entier naturel a tel que
ap 6 a (p), alors p n'est pas premier (voir exercice 18), ci-dessous).
Les nombres de Carmicha*l donnent des contre-exemples de cette rciproque.
6
Pour les curieux savants : Cours d'Algbre. Michel Demazure (1997). Cassini.
26
C'est Ramanujan (1887-1920) qui donna les rponses de b) et de c) Hardy, qui ne
voyait rien d'extraordinaire au numro 1729 de son taxi !
Sur le Petit Thorme de Fermat
15. Montrer que 2003 est premier. A vos calculettes ! Combien de divisions sont
ncessaires ?
Dterminer, en un clin d'oeil, le plus petit nombre congru 20012002 modulo 2003.
16. Montrer que pour tout entier naturel n : n (n6 ; 1) est divisible par 42.
17. Faire les divisions ( virgule !) de 1 par 11, puis par 7, en s'arrtant aux restes 1
et 6 respectivement. En dduire les plus petits entiers k non nul et k tels que :
0
10k 1 (11) et 10k ;1 (7):
0
Quelle amlioration a-t-on par rapport au petit thorme de Fermat ?
Expliquer simplement ces rsultats.
18. Montrer que :
a) 2340 1 (341). %Factoriser 341]. Qu'en dduisez-vous ?
b) 290 6 1 (91). %Factoriser 91]. Qu'en dduisez-vous ?
c) 390 1 (91). Qu'en dduisez-vous ?
Diviseurs et multiples
19. On divise 47, 71 et 95 par un mme nombre d et on a le mme reste r trouver
d ; r.
Mme exercice avec 332, 520 et 755 dterminer cette fois-ci d et r.
20. Montrer qu'il existe un plus petit nombre entier dont l'criture dans le systme
dcimal ne contient que des 2, divisible par 2002. Factoriser ce nombre.
Indication : on tente la division !
21. 1) Montrer que pour tout entier naturel d et pour tout entier c 2 :
; d 1 (c) =) dc 1 c2
%Utiliser l'identit : dc ; 1 = (d ; 1) (1 + d + d2 + + dc 1)].
2) Montrer que l'implication prcdente se gnralise, par rcurrence :
Pour tout entier n 1
;
d 1 (c) =) dcn 1 1 (cn)
;
En dduire une gnralisation du corollaire du petit thorme de Fermat.
22. Quel est le plus petit entier naturel ayant quinze diviseurs ?
%On utilisera l'exercice III-3) i)].
27
23. Montrer que l'ensemble des 3p + 5q o p et q parcourent N est gal N priv
d'une partie nie. Quel est le plus grand lment de N n'appartenant pas cet ensemble.
%Utiliser la congruence modulo 3].
On peut gnraliser en remplaant 3 et 5 par x et y premiers entre eux on trouve
xy ; x ; y, mais ce n'est pas trivial !
24. Dmontrer que, pour tout entier n 1, le produit de n entiers conscutifs est
divisible par n!
25. Vrai ou faux ? Deux nombres premiers jumeaux 11 encadrent toujours :
- un multiple de 6.
- le produit d'un nombre premier par 6.
26. Trouver les nombres premiers p tels que p p + 2 p + 6 p + 8 p + 12 p + 14 soient
tous premiers.
%Voir le chire des units de p].
43.
27. Montrer qu'il existe une innit d'entiers n tels que n2 + n + 41 soit divisible par
%Remarquer que 41 ;2 (43)].
Un peu d'histoire. Le trinme d'Euler n2 + n + 41 = n(n + 1) + 41 est premier pour
tout entier naturel n strictement infrieur 40.
Les entiers naturels C tels que n(n + 1) + C est premier pour tout entier naturel n
strictement infrieur C ; 1 s'appellent les nombres chanceux d'Euler.
Stark, en 1967, a dmontr qu'il n'en existe que six : 2, 3, 5, 11, 17 et 41.
Tiroirs de Dirichlet
28. Ecrire 10 nombres entiers quelconques entre 1 et 100, montrer que l'on peut en
extraire deux groupes disjoints de mme somme. %Comptabiliser le nombre de groupes
possibles, en remarquant que la somme de chacun d'eux ne peut dpasser 1000].
29. Parmi 5 entiers, montrer qu'on peut toujours en trouver 3 dont la somme est
divisible par 3.
%Pour cela, crire les restes de la division par 3 de ces 5 nombres tudier les deux
cas : les 3 valeurs 0, 1 et 2 sont prises, ou bien ces 5 restes prennent au plus deux de ces
valeurs].
En remplaant 3 par x et 5 par y, on peut gnraliser si y (x ; 1)2 + 1.
Pour en savoir plus : Tangente
n0 58 ; 59, article de Gilles Cohen.
Rcurrences
30. Montrer que pour tout entier n 2 :
fn+1 fn 2 ; fn fn 1 = (;1)n
;
;
o (fn) est une suite de Fibonacci, avec f0 = f1 = 1.
En dduire, encore, que pour tout entier n 2 : fn et fn+1 sont premiers entre eux.
28
31. Montrer que pour tout n 2 N : (n!)2 nn
32. Pour quelles valeurs de n 2 N :
Sn = 1 + 12 + 13 + + n1
est-il un entier ?
%Etudier les deux cas, n pair et n impair dirent de 1, pour montrer que Sn est le
rapport d'un entier impair par un entier pair].
33. Montrer que pour tout n 2 N :
1 + 2 + 3 + n + (n + 1) = (n + 1)2 ; (1 + 2 + 3 + n).
En dduire, par rcurrence, que pour tout entier naturel n :
1 + 2 + 3 + n = 12 ; 22 + 32 ; (;1)n+1n2 34. Les tours de Hano (inventes par le mathmaticien et ludologue Lucas).
Matriel : n rondelles de diamtres dirents. Trois piquets verticaux aligns.
Dpart : Les n rondelles sont sur le piquet de gauche dans l'ordre des diamtres
dcroissants.
But du jeu : Arriver en un nombre minimum de coups la conguration initiale, mais
toutes les rondelles tant cette fois sur le piquet de droite. Un coup consiste dplacer la
rondelle du sommet d'une pile au sommet d'une autre pile, en ne la posant que sur une
rondelle de plus grand diamtre, ou enler la rondelle dans un piquet sans rondelle.
1) Etudier les cas n = 0 1 2 puis 3.
2) On dsigne par hn le nombre de coups pour n rondelles.
Montrer que pour tout entier naturel n : hn+1 = 2hn + 1.
En dduire hn en fonction de n. On trouve hn = Mn (nombre de Mersenne).
Un peu de lgende. La n du monde arrivera quand on aura dplac ainsi 64 rondelles... Avec un dplacement par seconde, la verrons-nous ?!
Un peu d'histoire. Les Tours de Hano(, ou encore Tours de Brahma, furent vendues
comme jeu en 1883 par un certain "Professeur Claus du Collge de Li-Soustian", ce qui
n'est rien d'autre que l'anagramme de "Professeur Lucas du Collge de Saint-Louis".
Le mathmaticien irlandais Hamilton inventa le "Jeu d'Icosie" qu'il vendit en 1859.
Ce jeu consiste parcourir tous les sommets, une seule fois, par les artes d'un des deux
solides platoniciens : le dodcadre ou l'icosadre. Un tel parcours fut appel plus tard
"circuit hamiltonien".
Quel rapport existe-t-il entre ces deux jeux ? Moins d'un sicle aprs, Crowe dcouvrit
que l'ordre de succession des dplacements des rondelles correspond exactement celui
des mouvements sur les artes quand on eectue un circuit hamiltonien sur un cube n
dimensions.
Par exemple, pour n = 3 : en dsignant par A, B et C les rondelles et par A, B et
C les trois directions des artes du cube, les deux problmes sont simultanment rsolus
par "ABACABA". N'est-ce pas magique ?!
Pour n = 4, la rponse est "ABACABADABACABA".
29
X. MELI-MELO : ARITHMETIQUE, PROBABILITES, INFORMATIQUE
n dsigne un entier naturel non nul.
Il y a au moins 4 manires de rpondre la question : "n est-il premier ?"
a) "casser" n car sa factorisation, mme partielle, montrerait que n est compos.
C'est en fait la rponse la plus dicile donner, pour preuve : RSA (voir VIII).
b) "certier" que n est premier, gr$ce dirents cribles, comme celui d'Eratosthne.
Mais pour n grand... le temps vient manquer... et on reste coi !
c) "certier" que n n'est pas premier.
d) "garantir", avec un risque d'erreur, que n est premier.
Le but de ce chapitre est la prsentation simplie d'un test probabiliste de primalit
partir du petit thorme de Fermat et de puissants calculs, en rponse c) et d).
Arithmtique
D'aprs ce thorme : si n est premier impair alors 2n 1 1 (n), ou encore par
contraposition, 2n 1 6 1 (n) implique (avec certitude) n non premier impair. Ceci fournit
un test de non primalit sur n qui ne donne aucune information sur la factorisation de n.
La rciproque est fausse, mais 2n 1 1 (n) laisse penser que n est probablement
premier
, dans un sens qui va tre prcis. D'ailleurs de tels nombres s'appellent des
nombres 2-probablement-premiers. Ainsi les nombres premiers impairs en sont bien sr,
mais aussi 341, qui est le plus petit (aprs 1) non premier trouv par Sarrus en 1819 (voir
l'exercice IX-18), et les nombres de Carmicha*l (voir l'exercice IX-14).
Les nombres 2-probablement-premiers non premiers sont appels les nombres 2-pseudopremiers.
;
;
;
Probabilits
Rappel : A B des vnements, P la probabilit.
Si A \ B = alors P (A B ) = P (A) + P (B ).
\ B) .
Si P (B ) > 0, la probabilit conditionnelle de A sachant B est : P (A=B ) = P (PA(B
)
Soit N un entier naturel 2. On tire au hasard un nombre entier entre 1 et N au
hasard
veut dire que tous les nombres entiers entre 1 et N ont la mme probabilit 1=N
A.
d'tre tirs. Soit A une partie de 1 N ] \ N , c'est un vnement : P (A) = card
N
On dsigne par l'vnement "le nombre tir est premier impair", par P2 l'vnement
"le nombre tir est 2-pseudo-premier".
La probabilit que le test 2X 1 1 (X )
, o X est le nombre alatoire tir, soit
positif, est gale P ( P2 ) = P () + P (P2 ) d'aprs le rappel on la note t+ (N ).
La probabilit que le nombre tir soit premier impair sachant qu'il est 2-probablementpremier, compte tenu du rappel, est gale :
;
P (= P2) = P ()P+()
P (P ) note p+(N ).
2
En posant : (N ) = nombre de nombres premiers N ,
p2(N ) = nombre des nombres 2-pseudo-premiers N ,
(N ) ; 1
on a : t+(N ) = (N ) ; 1 + p2(N ) et p+(N ) =
N
(N ) ; 1 + p2 (N ) .
30
Informatique : applications numriques
Pour N = 103 (respectivement 106 et 25 109), on trouve :
(N ) = 168 (resp. 78498 et 1091987405).
p2(N ) = 3 (resp. 246 et 21854).
Alors : t+(N ) 0 17 (resp. 0 08 et 0 04) et p+(N ) 0 988 (resp. 0 997 et 0 99998).
Ainsi p+(N ) est trs voisin de 1 : sachant que le nombre tir est 2-probablementpremier, il y a de trs fortes chances
qu'il soit premier.
La probabilit d'erreur, c'est--dire celle de tirer un nombre 2-pseudo-premier, est
(N ) qui vaut 3 10 3 (resp. approximativement 2 10 4 et 9 10 7).
gale p2N
Trs petite... non ?
;
;
;
Test probabiliste simple de primalit
On tire un nombre au hasard entre 1 et N , soit n :
- Si 2n 1 1 (n), on dit que n est premier impair (ce n'est pas sr).
- Si 2n 1 6 1 (n), n n'est pas premier impair (c'est sr).
;
;
Remarques
1) Erreur courante :
Quand le nombre n a t tir, la probabilit que n soit premier impair est gale 1
ou 0 (ou il l'est, ou il ne l'est pas !), donc il n'y a pas lieu de parler de cette probabilit.
2) Un test sr ?
Le "petit" thorme de Fermat peut s'crire de la faon suivante :
n premier impair =) 8a 2]1 n\N : an 1 1 (n).
La rciproque est vraie. En eet, il sut de montrer que :
n compos =) 9a 2]1 n\N : an 1 6 1 (n).
On peut crire : n = ab o a et b 2]1 n\N . Gr$ce a l'exercice III-12) on sait que :
n et a sont non premiers entre eux si et seulement si a n'a pas d'inverse modulo n. Par
suite an 1 6 1 (n). Mais attention a peut tre aussi premier avec n par exemple pour
n = 4 et a = 3, on a 34 1 6 1 (4).
Cette rciproque donne un test sr de primalit. Peut-on aaiblir son hypothse ?
Par exemple : remplacer ]1 n\N par une de ses parties. On l'a fait plus haut avec le
singleton f2g, mais on l'a vu, les nombres 2-pseudo-premiers ont jou les trouble-fte !
Pour des nombres composs n, la dmonstration prcdente montre que l'on peut
remplacer ]1 n\N par tous les entiers naturels < n et premiers avec n.
Eh bien, vous ne le croirez pas, il y a des nombres qui passent positivement ce test !
Les avez-vous reconnus ? Ce sont les nombres de Carmicha*l !
;
;
;
;
Gnralisation : Test probabiliste de primalit de Fermat
C'est la copie conforme du test prcdent en remplaant d'une part 2 par un entier
naturel tir au hasard (toujours avec l'quiprobabilit) entre 2 et n ; 1, et d'autre part
"premier impair" par "premier".
Pour un mme n, ce test-l ; quand il a t positif ; peut tre rpt, ce qui permet
de diminuer le risque d'erreur, mais c'est inutile pour des grands nombres. Par exemple,
pour N = 10100, on a trouv une majoration de ce risque : 2 8 10 8, ce qui est infrieur
la probabilit d'avoir les 6 bons numros au Loto !
;
31
ANNALES CORRIGEES
I - CONTROLES 2000-2001
A.
1) Pour quelle(s) valeur(s) de l'entier naturel n, le nombre p(n) = p(n) = n2 + 4n ; 21
est-il un nombre premier ?
2) Quel est le PGCD de 1512 et 2000 ?
3) Quelle est la puissance de 3 dans la dcomposition de 20 ! en facteurs premiers ?
Rponses :
1) p(n) = (n ; 3)(n + 7). Bien sr n ; 3 doit tre gal 1 pour que p(n) ait une
chance d'tre premier. Le candidat naturel est donc n = 4 de plus 4 + 7 = 11, qui est
premier. Ainsi la solution est n = 4.
2) PGCD1512 2000] = 8.
3) On compte les multiples de 3 : f3 6 9 12 15 18g, mais 9 et 18 comptent doubles.
D'o le rsultat : 8.
B.
1-a) Comparer les restes des divisions euclidiennes de b par a et de b + a par a. On
supposera que a et b sont deux nombres entiers positifs et que b est suprieur ou gal a.
1-b) Le PGCD de a et a + b est-il identique au PGCD de a et b ?
2-a) Trouver le PGCD de 2911 et de 2000
%Il est conseill d'utiliser l'algorithme d'Euclide].
2-b) Trouver le PPCM de 2911 et de 2000.
3) Calculer : 123 + 231 + 312 modulo 10.
Rponses :
1-a) b = aq + r donc a + b = a(q + 1) + r avec r plus petit que a ainsi les restes sont
gaux.
1-b) PGCD b a] = PGCD a r] pour le couple (b a), PGCD b + a a] = PGCD a r]
pour le couple (b + a a), donc les PGCD sont gaux puisque les deux algorithmes d'Euclide
vont tre identiques partir de la deuxime itration.
2-a) PGCD 2911 2000] = 1.
2-b) PPCM 2911 2000] = 5822000 (= 2911 2000). 6
3) Modulo 10 : 123 1 3 25 = 32 2 d'o 231 = 2 (25) 27, soit 8.
34 = 81 1 d'o 312 = (34) 1 ainsi 123 + 231 + 312 1 + 8 + 1, soit 0.
C.
1-a) Soit m un entier positif.
Montrer que le produit (m ; 1) m (m + 1) est divisible par 6.
1-b) Soit n un nombre entier impair suprieur 1.
Montrer que (n ; 1) n (n + 1) est divisible par 12.
1-c) Soit p un nombre premier suprieur 3.
Montrer que p2 ; 1 est divisible par 24.
2-a) Soit m un nombre entier impair suprieur 1.
Montrer que m4 ; 1 est un multiple de 16.
2-b) Soit n un nombre entier dirent de 5 et non multiple de 5.
n4 ; 1 est-il un multiple de 5 ?
32
3) Soit p un nombre premier suprieur 5.
Quel est le plus grand nombre entier dont p4 ; 1 est le multiple, et ceci quelque soit p ?
Indications :
* Le thorme de Fermat se cache derrire une question.
* La rponse la question 3 est indpendante de p.
Rponses :
1-a) m ; 1 m et m + 1 sont trois nombres qui se suivent, donc il y a au moins un
pair et un (seul) multiple de 3. On peut aussi regarder les restes modulo 6. Si on note
f (m) = m (m2 ; 1), alors f (0) = f (1) = 0, et f (2) = 6, f (3) = 24, f (4) = 60, f (5) = 120,
qui sont tous congrus zro modulo 6.
1-b) n est impair, donc n ; 1 et n + 1 sont pairs et l'un des trois est multiple de 3.
Ainsi n (n ; 1) (n + 1) est multiple de 2 2 3 = 12.
1-c) p2 ; 1 = (p ; 1)(p + 1) est multiple de 8 car p tant impair, on a aaire deux
nombres pairs conscutifs : l'un des deux est multiple de 4. De plus p (p2 ; 1) est divisble
par 3, d'aprs la question 1-b. Mais p tant premier dirent de 3, c'est donc p2 ; 1 qui
est divisible par 3 (thorme de Gauss). Ainsi p2 ; 1 est divisible par 3 8 = 24.
2-a) m4 ; 1 = (m2 ; 1) (m2 + 1) or (m2 ; 1) est multiple de 8 (voir 1-c) tandis que
2
(m + 1) est pair, d'o le rsultat.
2-b) 5 tant premier, on applique le corollaire du "petit" thorme de Fermat ainsi
4
n est congru 1 modulo 5, et la rponse est oui.
3) p est premier suprieur 5 donc n'est jamais un multiple de 5. (p4 ; 1) est donc
multiple de 5 d'aprs la question 2-b. De plus (p4 ; 1) = (p ; 1)(p + 1) (p2 + 1) est
multiple de 24 2, d'aprs la question 1-c.
Enn (p4 ; 1) est multiple de 24 2 5 = 240, et ceci pour tout p premier suprieur
5.
Montrer qu'on ne peut pas faire mieux est facile car PGCD 74 ; 1 114 ; 1] = 240.
D.
1) Trouver la solution en nombres entiers positifs de :
ELLE est un cube:
ELLE est ici crit de manire dcimale.
Indication : Penser aux critres de divisibilit vus en cours.
2) Calculer : 200012 modulo 13.
Rponses :
1) Le critre de divisibilit par 11 marche bien :
E ; L + L ; E = 0:
Donc ELLE = x3 implique que x3 est divisible par 11.
Mais 11 est premier donc x est divisible par 11 : x = 11 y. D'o ELLE = 1331 y3,
ce qui n'est possible que pour y = 1, car si y = 2, on dpasse 9999.
2) On applique le "petit" thorme de Fermat car 13 est premier et 2000 n'est pas un
multiple de 13. Le rsultat est donc 1.
On peut faire aussi le calcul standard de congruence.
33
E.
Soit n 2 N , on considre l'quation dans N 3 :
En : x2 + y2 + z2 = 2nxyz
A. On suppose que n est non nul.
1) Soit (x y z) une solution de En. On s'intresse aux parits de x y et z.
Est-il possible que :
a) x y et z soient simultanment impairs ?
b) x et y soient impairs et que z soit pair ?
c) x et y soient pairs et que z soit impair ?
d) x y et z soient simultanment pairs ?
2) Dans cette question, on suppose que les solutions de En sont composes de trois
nombres pairs.
a) Montrer que si (x1 y1 z1) est solution de E1 alors (x2 y2 z2) est solution de E2 ,
avec :
x1 = 2x2 y1 = 2y2 et z1 = 2z2:
b) En dduire, par la mthode de la descente innie de Fermat, la solution de E1 .
c) Plus gnralement, donner les solutions de En.
3) Dduire des deux questions prcdentes les solutions de En.
B.
1) Les rsultats obtenus en A. 1) sont-ils encore vrais pour E0 ?
2) Trouver les solutions de E0 du type (x x x):
En dduire que le rsultat du A. 3) est faux pour E0 .
Rponses :
A.
1. a) Non : gauche impaire et droite paire.
b) Non : gauche multiple de 2 (mais pas de 4) et droite multiple de 4.
c) Non : gauche impaire et droite paire.
d) Oui : gauche et droite paires.
2. a) Evident
b) Soit (x1 y1 z1) solution de E1 . Alors (xp yp zp) avec :
xp = 2xp 1 1 yp = 2yp 1 1 zp = 2zp 1 1 est solution de Ep:
On engendre ainsi une suite de nombres entiers obtenus partir des entiers x1 y1 et z1
par divisions successives par 2. Cela ne peut pas tre possible sauf si (x1 y1 z1) = (0 0 0).
c) Mthode analogue pour montrer que les solutions paires de En sont en fait (0 0 0).
;
;
;
3) Les rponses prcdentes impliquent que (0 0 0) est la seule solution de En, pour
tout entier n suprieur ou gal 1.
34
B.
1. a) Oui : gauche et droite impaires.
b) Oui : gauche et droite paires.
c) Non : gauche impaire et droite paire.
d) Oui : se ramne E1.
2) 3x2 = x3 soit x2 (3 ; x) = 0: D'o les 2 solutions (0 0 0) et (3 3 3).
Il y a d'autres solutions...
35
II - CONTROLES 2001-2002
A.
1) Quel est le PGCD des 3 nombres 1029 2910 et 2001 ?
2) PGCD a b] = PGCD c d] = x. PGCD a + c b + d] est-il gal x ?
Motivez votre rponse.
3) Trouvez toutes les valeurs positives et entires de u et v vriant l'galit :
13u ; 7v = 1:
4) Quelle est la puissance de 7 dans la dcomposition de 50 ! en facteurs premiers ?
Rponses :
1) 3.
2) Non... il sut de prendre 4 nombres impairs !
3) u = 6 + 7k et v = 11 + 13k, k appartenant N .
4) 8.
B.
1) Ecrire la dcomposition en facteurs premiers de :
a) 284
b) 220
2) Quelle est la somme des diviseurs de :
a) 284, en comptant 1 mais pas 284.
b) 220, en comptant 1 mais pas 220.
3) Soit le nombre 111111. Appliquer les critres de divisibilit vus en cours et en
dduire sa dcomposition en facteurs premiers.
4) Calculer 200112 modulo 11.
Rponses :
1-a) : 2 2 71
1-b) : 2 2 5 11
2-a) : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
2-b) : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
(220 et 284 sont des nombres "aimables".)
3) 111111 est divisible par 3 et par 11 (critres), mais pas par 5 (vident) ni par 9
(critre) alors 111111=(3 11) = 3367. Il reste essayer 7, la division donne 481.
Et on continue : 481/13 = 37 qui est premier d'o : 111111 = 3 7 11 13 37.
On peut montrer que 111111 est le plus petit multiple de 7 ne contenant que des 1.
4) Par division euclidienne : 2001 = 116 181 + 10. Donc 2001 est congru 10 modulo
11. Ensuite 12 = 2 6, donc 1012 = (102) . Mais 102 = 100 = 11 9 + 1 est congru 1
modulo 11. Donc 1012 16 modulo 11, et le rsultat est 1.
Des congruences de nombres ngatifs simplient notablement le calcul...
C.
Soit t un nombre entier naturel non nul.
Quand on fait la divison euclidienne de t par 3, le reste est a.
Quand on fait la divison euclidienne de t par 5, le reste est a2 .
Quand on fait la divison euclidienne de t par 11, le reste est a3 .
36
Donnez les valeurs possibles de a dterminez alors les valeurs correspondantes de t
les plus petites.
Rponse :
Il est clair que seules les valeurs a = 0, 1 et 2 sont permises.
Mthode 1 : On fait comme dans l'exercice I-14).
t = 3p + a ! 55t = 165p + 55a
t = 5q + a2 ! 33t = 165q + 33a2
t = 11r + a3 ! 15t = 165r + 15a3
De plus 166 = 1 55 + 2 33 + 3 15 = 165 + 1.
Ainsi 166 t = 165 (p + 2q + 3r) + (55a + 66a2 + 45a3) et donc t est congru :
(55a + 66a2 + 45a3) modulo 165.
D'o le rsultat :
a = 0 ! t = 165 a = 1 ! t = 1
a = 2 ! t = 74:
Mthode 2 :
Si a = 0, on remarque que t est multiple de 3, 5 et 11, qui sont 3 nombres premiers.
Donc t est multiple de leur produit 165. Et t = 165 est la solution cherche.
Si a = 1, on doit remarquer (voir exercice I-7)) que t ; 1 est multiple de 3, 5 et 11. Donc
t ; 1 est multiple de 165. On a t ; 1 = 0, i.e., t = 1.
Si a = 2, on remarque que t + 1 est multiple de 3 et 5, donc de 15.
Il ne reste plus qu' trouver le plus petit multiple de 15 dont la division par 11 donne
9. On trouve que 5 15 = 75 = 6 11 + 9. Ainsi t + 1 = 75 et donc t = 74.
D.
1) Trouver les restes des divisions euclidiennes de 10k par 7, pour k = 0 1 2 3 4 5 on pourra utiliser les congruences.
2) Soit n entier naturel d'criture dcimale : a5a4 a3 a2a1 a0 , o les ai sont les chires
0,1,2....,9 pour i = 0 1 2 3 4 5. C'est--dire :
n = 105a5 + 104a4 + 103a3 + 102a2 + 10a1 + a0
a) Montrer que n est divisible par 7 si et seulement si :
a0 + 3a1 + 2a2 + 6a3 + 4a4 + 5a5 0 (7)
b) En dduire que 2002 est divisible par 7 .
3) Pourquoi le nombre abcabc est-il divisible par 7 et par 11 ?
4) Soit 135135. Quels sont les diviseurs "vidents" de ce nombre, au vu des questions
prcdentes et de vos connaissances antrieures ?
En dduire la dcomposition en facteurs premiers de 135135.
5) Quel est le plus petit entier naturel congru 106 modulo 7.
6) Soit m entier naturel.
Gr$ce la division euclidienne de m par 6 et la question prcdente, montrer que :
mk
(6) ) 10m 10k
37
(7):
7) Gnraliser le rsultat de la question 2-a) un nombre entier quelconque.
8) Soit un nombre entier constitu de p chires 1, et seulement des 1.
Pour quelles valeurs de l'entier p ce nombre est-il divisible par 7 ?
Rponses :
1) Les restes sont dans l'ordre : 1 3 2 6 4 5.
2-a) Vu les proprits des congruences, on obtient le rsultat (trouv par Pascal en
1654) en remplaant les puissances de 10 par les restes obtenus la question prcdente.
2-b) 2002 s'crit 103a3 + a0 avec a0 = a3 = 2. Or 2 + 2:6 vaut 14, qui est bien congru
0 modulo 7.
3) par 7 : (c + 3b + 2a + 6c + 4b + 5a) = 7 (a + b + c) 0 modulo 7 par 11 : on applique le critre de divisibilit vu en cours : a ; b + c ; a + b ; c = 0.
4) 135135 est de la forme abcabc donc est divisible par 7 et par 11. De plus le chire
des units est un 5, donc il est divisible par 5. Enn la somme de ses chires vaut 18 qui
est un multiple de 9, donc il est divisible par 9. Pour achever la dcomposition, on divise
135135 par 5 7 9 11, i.e. par 3465. Le quotient vaut 39 qui est 3 13.
Ainsi 135135 = 33 5 7 11 13.
5) Par exemple, en utilisant le "petit" thorme de Fermat :
7 est premier et 10 n'est pas multiple de 7 donc 106 1 modulo 7.
6) Soit m = 6q + k, o q est un entierq naturel et k 2 f0 1 2 3 4 5g.
Alors 10m = 106q+k = 106q 10k = (106) 10k 10k modulo 7:
7) Soit n =
X
m
0
s
0
10mam . On groupe les puissances de dix de la faon suivante :
n=
(100a0 + 106a6 + 1012 a12 + ) +
(101a1 + 107a7 + 1013 a13 + ) +
(102a2 + 108a8 + 1014 a14 + ) +
(103a3 + 109a9 + 1015 a15 + ) +
(104a4 + 1010a10 + 1016a16 + ) +
(105a5 + 1011a11 + 1017a17 + ).
Gr$ce aux questions 1 et 6, n est alors congru modulo 7 :
1 (a0 + a6 + a12 + ) +
3 (a1 + a7 + a13 + ) +
2 (a2 + a8 + a14 + ) +
6 (a3 + a9 + a15 + ) +
4 (a4 + a10 + a16 + ) +
5 (a5 + a11X
+ a17 + ) ,
ou encore : n (a6s + 3 a6s+1 + 2 a6s+2 + 6 a6s+3 + 4 a6s+4 + 5 a6s+5) (7):
On en dduit que n est divisible par 7 si et seulement si la somme prcdente est
congrue 0 modulo 7.
38
8) Si tous les ai sont gaux 1, alors on ne peut avoir que les 6 cas suivants (toujours
modulo P
7) :
n (1P+ 3 + 2 + 6 + 4 + 5),
n 1 + (1P+ 3 + 2 + 6 + 4 + 5),
n 1 + 3 + (1P+ 3 + 2 + 6 + 4 + 5),
n 1 + 3 + 2 + (1P+ 3 + 2 + 6 + 4 + 5),
n 1 + 3 + 2 + 6 + (1P+ 3 + 2 + 6 + 4 + 5),
n 1 + 3 + 2 + 6 + 4 + (1 + 3 + 2 + 6 + 4 + 5) ou encore respectivement :
n 0 n 1 n 4 n 6 n 5 n 2.
Ainsi n est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.
Par exemple, 111111 est le premier multiple de 7 ne contenant que des 1 le suivant est
111111111111, etc...
39
III - CONTROLES 2002-2003
A.
1. Trouvez le PGCD de 24102 et 21024.
2. Trouvez toutes les solutions en nombres entiers relatifs des quations :
a) 24u + 10v = 2:
b) 24u + 10v = 1:
Rponses :
1. Par l'algorithme d'Euclide :
24102
21024
3078
2556
522
468
54
36
= 21024 1 +
= 3078 6 +
= 2556 1 +
= 522 4 +
= 468 1 +
=
54 8 +
=
36 1 +
=
18 2 +
3078 2556 522 468 54 36 18 PGCD
0:
Par une dcomposition partielle
en facteurs premiers :
21024 = 25 32 73::: et 73 est premier 24102 = 2 32 1339:
On vrie alors que 1339 n'est pas multiple de 73 et donc le PGCD est 18.
2. a) 24u + 10v = 2 est identique 12u + 5v = 1. 12 et 5 tant premiers entre eux,
c'est possible.
12 = 5 2 + 2 et 5 = 2 2 + 1 ainsi on peut crire :
1 = 5 ; 2 2 = 5 ; 2 (12 ; 5 2) = 5 5 ; 2 12.
Donc ;2 et 5 donnent une solution. Les solutions sont :
u = ;2 + 5k v = 5 ; 12k, o k est un entier relatif quelconque.
b) Pas de solution : 1 n'est pas divisible par 2 = PGCD (24 10).
B.
1. Trouvez tous les entiers positifs n vriant :
11n 2 (7):
2. Calculez : 72002 (11):
3. Trouvez tous les p entiers tels que p p + 2 et p + 4 soient des nombres premiers.
Aidez-vous de la congruence modulo 3.
Rponses :
1. On a 11n ; 7m = 2. On s'occupe d'abord de rsoudre 11u ; 7v = 1. On fait la
division euclidienne usuelle et on trouve u = 2 et v = 3. Cela correspond n = 4 et
m = 6. Ainsi les solutions sont n = 4 + 7k (k entier naturel).
40
2. Deux mthodes base de "Fermat" :
i) 2002 est clairement divisible par 2 et 11 (les critres !) :
2002 = 2 11 91 = 2 7 11 13:
Donc par le "petit" thorme de Fermat :
;
7(2
7 13) 11
72002 = 7(2
7 13)
(11):
Comme 72 = 49 5 (11), on reste avec 5(7 13) (11).
Mais 7 13 = 9111 = 88 + 3 = 8 11 + 3 et alors :
(7 13)
5
= 53 (58) 53 58 (11)... Fermat encore, enn 5(3+8) = 511 5 (11)...
Fermat toujours.
ii) On utilise le corollaire de Fermat, aprs avoir remarqu que 2002 = 2 103 + 2.
On a 710 1 (11), d'o :
7
2002
=
;
7
10
(2
102
) 72 5 (11):
3. Soit q un entier naturel.
Si p = 3q alors p premier implique p = 3. De plus 5 et 7 sont premiers, donc p = 3 est
une bonne solution.
Si p = 3q + 1 alors p + 2 = 3 (q + 1) n'est pas premier.
Si p = 3q + 2 alors p + 4 = 3 (q + 2) n'est pas premier.
Ainsi p = 3 est la seule solution.
C.
1.a) Montrez que 10201 est un carr.
b) Dcomposez en facteurs premiers le nombre 1234321.
2. Trouvez le plus petit entier naturel n tel que :
10121 n (11)
3. Trouvez tous les p entiers naturels tels que p p + 10 et p + 20 soient des nombres
premiers.
Rponses :
1.a) On crit : (100 + m)2 = 10000 + 200 m + m2 donc m = 1 et ainsi 10201 = 1012.
b) 1234321 est divisible par 11 (critre) :
1234321=11 = 112211::: qui est aussi divisible par 11, le quotient est 10201 = 1012:
Or, 101 est un nombre premier il sut de vrier les non divisibilits par 2 3 5 et 7.
Ainsi 1234321 = 112 1012.
2. 101 = 99 + 2 = 9 11 + 2, et 2 est premier donc non multiple de 11.
On a alors modulo 11 :
;
;
10121 2(10+11) = 210 211 :
Or d'aprs Fermat 211 2 (11) et d'aprs le corollaire de Fermat 210 1 (11).
Ainsi : 10121 2 (11).
41
On peut aussi faire comme suit, modulo 11 :
101 2 1015 ;1 car 25 = 3 11 ; 1 10120 (;1)4 +1 10121 2 :
3. Soit q un entier naturel.
Si p = 3q, alors p premier implique p = 3. De plus 13 et 23 sont premiers donc p = 3
est une bonne solution.
Si p = 3q + 1 alors p + 20 = 3 (q + 7) n'est pas premier.
Si p = 3q + 2 alors p + 10 = 3 (q + 4) n'est pas premier.
Ainsi p = 3 est la seule solution.
D.
Soit n0 un entier naturel on le "raccourcit" en supprimant le chire des units.
A ce nombre ainsi tronqu, on soustrait 2 fois le chire des units de n0 et on dsigne par
n1 le nombre ainsi obtenu.
Par exemple n0 = 47957 n1 = 4795 ; 2 7 = 4781.
1. Si u est le chire des units de n0 , alors on peut crire n0 = 10m + u, o m n'est
rien d'autre que n0 priv de son dernier chire. Alors n1 = m ; 2u.
a) Montrer que n 10n1 (21).
b) Montrer que pour tous a b c et d entiers naturels non nuls, a b (c d) implique
a b (c).
c) En dduire que n0 est divisible par 3 si et seulement si n1 est divisible par 3.
En est-il de mme pour la divisibilit par 7 ?
d) On rpte l'algorithme prcdent n1 et on obtient n2 puis on recommence avec
n2 pour obtenir n3 , et ainsi de suite... Calculer n4 pour n0 = 47957. Conclusion.
2. On modie l'algorithme prcdent. Soit p0 un entier naturel.
Si c'est possible, on le "rtrcit" en supprimant ses deux derniers chires et, ce nombre
ainsi tronqu, on soustrait 10 fois le nombre form par les deux chires enlevs on dsigne
par p1 le nombre ainsi obtenu.
a) Montrer en vous inspirant du 1. que
p0 100p1 (1001)
b) Factoriser 1001 et en dduire que p0 est divisible par 7 si et seulement si p1 est
divisible par 7. En est-il de mme pour les divisibilits par 11 et 13 ?
c) 47957 est-il divisible par 13 ? Factoriser 47957.
d) Soit un nombre entier p0 dont l'criture dcimale est abcabc.
Montrer que p0 est multiple de 1001.
e) Dduire des questions prcdentes la factorisation des nombres 214214 et 412412,
ainsi que leur PGCD.
42
Rponses :
1.a) n0 = 10m + u et n1 = m ; 2u alors n0 ; 10 n1 = 21u d'o n0 10 n1 (21).
b) Il existe s entier tel que : a ; b = s c d = (s d) c d' o a b (c).
c) D'aprs b) on a n0 10 n1 (3) et n0 10 n1 (7).
Pour 3 : 10 1 (3) donc n0 n1 (3) et ainsi, si n0 est divisible par 3, n1 l'est aussi
et rciproquement.
Pour 7 c'est plus dlicat
: il faut utiliser le fait que 7 est un nombre premier qui ne
peut diviser 10, produit de 2 et 5. (Ce type de dmonstration est aussi valable pour la
divisibilit par 3). On crit donc :
n1 est multiple de 7, donc il existe un entier m1 tel que n1 = 7 m1 alors il existe un
entier M1 tel que :
n0 ; 70 m1 = 7 M1 , n0 = 7 (M1 + 10 m1) , n0 0 (7) , n0 est multiple de 7.
Rciproquement :
n0 est multiple de 7, donc il existe un entier m0 tel que n0 = 7 m0 alors il existe un
entier M0 tel que :
7 m0 ; 10 n1 = 7 M0 , 10 n1 = 7 (m0 ; M0 ) 7 ne divise pas 10 donc 7 divise n1 .
d) n0 = 47957 n1 = 4781 n2 = 476 n3 = 35 et n4 = ;7. Ainsi n4 est congru 0
modulo 7 et donc n0 est un multiple de 7, par transitivit de la congruence.
2.a) p0 = 100 m +10 d + u et p1 = m ; 100 d ; 10 u d'o p0 ; 100 p1 = 1001 (u +10 d),
i.e. p0 100 p1 (1001).
b) 1001 est divisible par 11 (critre vu en cours) et par 7 (critre ci-dessus) alors
1001=(7 11) = 13. Ainsi 1001 = 7 11 13. Pour la divisibilit par 7, on fait comme
en 1. Et pareil pour 11 et 13.
c) p0 = 47957 alors p1 = ;91 = ;7 13. Donc 47957 est divisible par 13. Gr$ce 1.d) 47957 est aussi divisible par 7 : 47957=(7 13) = 527. De plus 527 n'est divisible ni
par 2 ni par 3 ni par 5 ni par 11 (critre vu en cours) il faut essayer 7, mais le critre vu
en 1. indique que ce n'est pas le cas. On essaye 13 qui ne donne rien. On continue avec
17 : 527=17 = 31.... qui est premier.
Donc 47957 = 7 13 17 31.
d) On applique l'algorithme p0 = abcabc .
Alors p1 = abca ; 10 bc = abca ; bc0 = a00a = a 1001. Donc p0 est multiple de 1001.
En fait abcabc = 1001 abc, ce qui est vident
aprs un peu de r-exion.
e) 214214 = 1001 214 = 1001 2 107 et 107 est premier car non divisible par
2 3 5 et 7. D'o 214214 = 2 7 11 13 107.
412412 = 1001 412 = 1001 2 206 = 1001 22 103 et 103 est premier car
non divisible par 2 3 5 et 7. D'o 214214 = 22 7 11 13 103.
Enn PGCD 214214 412412] = 2 7 11 13 = 2002 !!!
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EPILOGUE
Ce document a trait une introduction la Thorie des Nombres qui peut contribuer
donner une fausse image des mathmatiques.
Pour la plupart des gens "mathmatiques" rime avec "calculs".
Un mathmaticien peut tre un calculateur prodige, tels Euler, Gauss, Von Neumann...
mais c'est souvent le contraire ! Poincar dclarait : "Quant moi, je suis oblig de
l'avouer, je suis incapable de faire une addition sans faute".
Dans la quasi totalit de la soixantaine de branches des mathmatiques qui comptent
environ 3400 rameaux o interviennent grosso modo 60000 mathmaticiens, produisant
approximativement 200000 thormes par an, permettant de doubler peu prs les connaissances ces 20 dernires annes, les calculs jouent un petit rle.
La partie essentielle de la rsolution d'un problme de mathmatique n'est pas le calcul mais le processus de raisonnement nous esprons en avoir fait ici une dmonstration
convaincante avec les nombres.
Cependant, une voie existante s'largit, gr$ce aux ordinateurs et aux informaticiens.
Par exemple, paraphrasant la conjecture de Goldbach, le mathmaticien peut se poser la
question : "Pour tout n appartenant une partie innie de N , une proprit dpendant
de n est-elle vraie ?" Si on montre par le calcul qu'il existe M appartenant N tel que
pour tout n appartenant cette partie et infrieur M , la proprit est vraie, alors plus
M est grand, plus la vracit de la conjecture prend de l'assurance.
Ainsi, le M de la conjecture de Goldbach tait 2 1016 en 2003...
A prsent, des conjectures non dmontres sont contrles numriquement, avec une
"bonne" prcision, jusqu' un M ,... , mais attention, il y a parfois des surprises.
Dans cette attitude, l'arithmtique ressemble une science exprimentale o les lois sont
devines puis vries, mais est-ce bien nouveau ?
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BIBLIOGRAPHIE
- Revue bimensuelle "Tangente". Editions Archimde.
- Secrets des nombres (1998). Editions Archimde.
- Merveilleux nombres premiers.
Jean-Paul Delahaye (2000). "Pour la Science". Belin.
- Aleph 1 - Algbre. Terminale CE.
Gauthier-Gerll-Girard-Thierc-Warusfel (1975). Hachette.
- Haha ou l'clair de la comprhension mathmatique.
Martin Gardner (1979). "Pour La Science". Belin.
- Cours de Mathmatiques - Algbre 1re anne.
F. Liret et D. Martinais (1997). Dunod.
- An introduction to the Theory of Numbers.
G.H. Hardy and E.M. Wright (1979). Oxford University Press.
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