Au sujet des encadrements ….. On appelle encadrement de x , toute expression de la forme : a ≤ x ≤ b a et b réels ⇔ x ∈ [ a ; b ] ( On peut avoir aussi des encadrements utilisant des signes stricts ) Règle n°1 : Si on multiplie un encadrement par un négatif, le sens change mais on peut aussi échanger les bornes. Ex : Si on a − 3 ≤ x ≤ 2 la multiplication par − 5 donnera : 15 ≥ −5x ≥ − 10 mais on préfère écrire directement : − 10 ≤ − 5x ≤ 15 Règle n°2 : On peut toujours additionner deux encadrements de même sens dans R Ex : − 3 ≤ x ≤ 2 −5 ≤y ≤1 + −8 ≤ x+y ≤3 Règle n°3 : On ne peut jamais soustraire deux encadrements de même sens . On doit utiliser l’opposé et l’addition des encadrements. Ex : − 3 ≤ x ≤ 2 −3 ≤ x ≤ 2 −5 ≤y ≤1 − ⇔ −1 ≤ −y ≤5 + −4 ≤ x–y ≤ 7 + Règle n°4 : On ne peut multiplier deux encadrements de même sens que dans R (Si on a des encadrements contenant des négatifs et des positifs, on passe par la valeur absolue) Ex : − 3 ≤ x ≤ 2 On peut écrire 0 ≤ | x | ≤ 3 −5 ≤y ≤1 x et 0 ≤ | y | ≤ 5 ( mais ce n’est pas équivalent) et alors : 0 ≤ | x | | y | ≤ 15 ⇔ − 15 ≤ x y ≤ 15 ( Ce n’est pas précis car en fait, on voit que − 10 ≤ x y ≤ 15 ) Règle n°5 : On ne peut jamais diviser deux encadrements de même sens. On doit utiliser + l’inverse et la multiplication si on est dans R Ex : On veut encadrer le quotient de x par y sachant que : 2 ≤ x ≤ 5 alors 2 ≤ x ≤ 5 1 1 1 2 x 5 1 x 5 ≤y ≤8 ≤ ≤ et donc ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤1 8 y 5 8 y 5 4 y Règle n°6 : Si on fait agir une fonction croissante sur un encadrement, il ne change pas de sens mais, si on utilise une fonction décroissante, il change de sens ( ou on inverse les bornes) 1 1 1 Ex : 2 ≤ x ≤ 4 alors 2≤ x ≤2 mais ≤ ≤ 4 x 2 Attention, si on a − 3 ≤ x ≤ 2 , on ne peut pas faire agir la fonction inverse à cause de 0 (Les encadrements interviennent beaucoup en Physique pour les calculs d’erreurs ) Pour les problème de majorations ou ne minorations, les opérations sur les encadrements ne donnent pas en général de réponses précises : Ex : On veut encadrer P(x) = x2 – 2x pour x ∈ [ 0 ; 4 ] a ) Si on utilise les encadrements, cela donne : 0 ≤ x ≤ 4 donc 0 ≤ x2 ≤ 16 ( x donne x2 est croissante sur R+ ) −8 ≤ − 2x ≤ 0 et donc −8 ≤ x 2 − 2x ≤ 16 −8 ≤ P(x) ≤ 16 (Précision ε = 16 – (−8 ) = 24 ) b) L’étude de la fonction P est plus efficace : P’(x) = 2 x – 2 x 0 1 2x – 2 − 0 0 P(x) et donc : 4 + 8 −1 Conclusion : Si x ∈ [ 0 ; 4 ] alors −1 ≤ P(x) ≤ 8 (Précision ε ‘ = 8 – (− 1 ) = 9 )