Trigonométrie 1 Une nouvelle unité de mesure des angles On considère un cercle de centre O et de rayon r. B b Exercice 1. b θ A 1. Quelle est la circonférence de ce cercle ? L’aire du disque associé ? r 2. Exprimer, en fonction de la mesure θ en de¯ représenté en grés, la longueur de l’arc AB gras ainsi que l’aire du secteur circulaire associé. b O Définition [Le radian] : Sur le cercle de centre O et de rayon r ci-dessous, on dit que l’angle ÷ mesure 1 radian (symbole : rad) lorsque la longueur de l’arc AB ¯ représenté en gras vaut r AOB unités de longueur. Pour convertir les degrés en radians et réciproquement, on doit se souvenir que : π rad = 180° Propriétés : Sur un cercle de centre C et de rayon R, la longueur d’un arc de cercle délimité par un angle au centre de θ rad vaut Rθ. R2 θ . L’aire d’un secteur circulaire délimité par le même angle au centre vaut 2 Exercice 2. Donner les mesures en radians des angles dont les mesures en degrés sont : 0, 30, 45, 60, 90, 180, 360, 270, 135, 120. 2 Rappel - Trigonométrie dans le triangle rectangle 2.1 Rappels sur le triangle rectangle M P θ° N Le triangle M N P ci-contre est rectangle en . . . . . .. ◊ La mesure de l’angle M N P étant notée . . . . . . en ◊ degré, la mesure de l’angle M P N est . . . . . .. Le côté [N P ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle MNP. ◊ Concernant l’angle M NP, – Le côté [M N ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle ; – Le côté [M P ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle. Exercice 3. Supposons que l’unité d’angle, dans le dessin ci-dessus, soit le radian. Exprimer alors ◊ la mesure de l’angle en M , puis la mesure de l’angle M P N en fonction de θ. Seconde Trigonométrie Page 1/6 2.2 Rapports trigonométriques PM MN PM , et de NP PN MP ◊ dépendent pas des dimensions du triangle, mais seulement de la mesure θ de l’angle M NP. Théorème : Dans le triangle M N P rectangle en M , la valeur des rapports Définition : MN est appelé cosinus de θ et se note cos θ. NP PM • Le rapport est appelé sinus de θ et se note sin θ. PN PM est appelé tangente de θ et se note tan θ. • Le rapport MP • Le rapport Exercice 4. ÷ mesure 1.2 rad. 1. Dans un triangle ABC rectangle en B, la longueur AC vaut 4 et l’angle BAC Déterminer, à 0,01 près, la longueur BC et la longueur AB. 2. Dans un triangle IJK rectangle en K, IK = 4 et KJ = 7. Déterminer, à 0,01 près, la mesure ’ en radians de l’angle IKJ. 2.3 Valeurs remarquables x en degrés 30° 45° 60° Correspondance en rad sin x cos x tan x Seconde Trigonométrie Page 2/6 3 Cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère : – C, le cercle de centre O et de rayon 1, – ∆, tangente à C au point I(1; 0) : son équation est . . . . . . . . .. (Sur cette droite, les points ont tous pour abscisse . . . . . . et on les repère par leur ordonnée.) – le point J(0; 1). • • J j Å ã π 2 m(t) M • t I′ • O J′ I ∆ Exercice 5. 1. Que vaut la circonférence du cercle C ? ˆ? 2. Que vaut la longueur du quart de cercle IJ π On choisit “d’enrouler” la droite ∆ sur le C de sorte que le point j d’ordonnée + vienne coïncider 2 π avec le point J : par ce procédé, on associe le réel + au point J du cercle C. 2 Plus généralement, à tout réel t (positif ou négatif) représenté par le point m sur ∆, on peut associer, par enroulement, un unique point M de C. Exercice 6. et au réel 2π ? π Sur la figure ci-dessus, quel est le point de associé au réel − , au réel π, au réel −π 2 Ainsi, il existe sur le cercle C deux sens de “parcours” : – le sens contraire des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique (ou direct), qui permet de joindre les points I et J par le “plus court chemin” ; – le sens des aiguilles d’une montre, appelé sens rétrograde (ou indirect), qui permet de joindre les points I et J par le plus long chemin. Définition : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique. Exercice 7. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D, E et F associés respectivement aux réels : 5π π 2. π 3. 4. 3π 1. 3 4 11π 5π 11π 5. −8π 6. 7. − 8. − 6 4 3 Remarque – Lorsque −π 6 t 6 π, la valeur absolue de t, |t|, est la mesure en radians de l’angle ÷. IOM Seconde Trigonométrie Page 3/6 Exercice 8. Soit deux réels s et t. Les points A et B qui leur sont associés sur le cercle trigonométrique sont confondus.Que peut-on dire de la différence s − t ? Propriété : Pour tout réel t et tout entier relatif k, les points M et M ′ représentant respectivement t et t + k × 2π sur le cercle trigonométrique sont confondus. Réciproquement, si les points M et M ′ respectivement associés aux réels s et t sont confondus, alors il existe un entier relatif k tel que s = t + k × 2π. 3π π et . 3 4 ˘ ◊ Quelle est la longueur de l’arc de cercle M N ? Quelle est la mesure en degré de l’angle M ON ? Exercice 9. 4 4.1 Sur le cercle trigonométrique, placer les points M et N associés aux réels Sinus et cosinus d’un nombre réel Cadre de travail J sin t Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère le cercle trigonométrique C. t désignant un nombre réel, le point M est le point associé à t sur C. • t • O 4.2 M • cos t I Définitions Définitions : Soit t un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à t. L’abscisse de M est appelé cosinus du réel t, notée cos t. L’ordonnée de M est appelée sinus du réel t, notée sin t. Exercice 10. Remplir, par lecture du cercle trigonométrique, le tableau suivant : t 0 π 2 π − π2 cos t sin t Exercice 11. En se souvenant que π rad = 180°, calculer le cosinus de 180°, −90°, 270°. A l’aide de la calculatrice, donner la valeur de sin 1789◦ , cos(−1492◦ ). Seconde Trigonométrie Page 4/6 π Exercice 12. Considérons un réel 0 < t < et le point M de C associé à t sur le cercle 2 trigonométrique. Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses. 1. Quelle est la nature du triangle M OH ? ◊? 2. Que vaut la distance OM ? Combien mesure, en radians, l’angle géométrique HOM 3. Exprimer en fonction de t, les distances OH et HM . Ainsi, dans les définitions du cosinus et du sinus données ci-dessus sont cohérentes avec celles données dans le cadre d’un triangle rectangle : on ne fait ici que généraliser la notion de sinus et de cosinus à tous les nombres réels. 5 Fonctions sinus et cosinus On définit sur R les fonctions sinus et cosinus. Ce sont les fonctions : cos : x 7→ cos x sin : x 7→ sin x Exercice 13. Représenter les courbes de ces fonctions sur la calculatrice. (La calculatrice doit être en mode “radians”.) Ces courbes portent le nom de sinusoïde. À partir de ces représentations graphiques : 1. Compléter : “Pour tout réel x, . . . . . . 6 cos x 6 . . . . . . et . . . . . . 6 sin x 6 . . . . . ..” 2. Compléter : “Pour tout réel x, cos(−x) = . . . . . . . . . et sin(−x) = . . . . . . . . ..” 3. Dresser le tableau de variations des fonctions sin et cos sur l’intervalle [−π; π]. 4. Résoudre dans l’intervalle [−π; π] l’équation cos x = 0. 5. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π] l’équation sin x = 0. 6. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π] l’inéquation cos x > 0. 5.1 Périodicité Propriété : Quel que soit le réel t, quel que soit l’entier relatif k, on a : • cos(t + 2kπ) = cos t • sin(t + 2kπ) = sin t Interprétation graphique : Connaissant le motif de la courbe des fonctions sin et cos sur un intervalle de longueur 2π, on peut obtenir la courbe de ces fonctions en entier en faisant subir au motif initial des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 14. 5.2 Quelle est la période des fonctions f : x 7→ sin(3x) et g : x 7→ cos x ? 2 Relation fondamentale de la trigonométrie Théorème : Quel que soit le réel t, cos2 t + sin2 t = 1. Exercice 15. Seconde Existe-t-il un réel a tel que cos a = 0.2 et sin a = 0.8 ? Trigonométrie Page 5/6 5.3 Valeurs remarquables du cosinus et du sinus d’un réel 0 t π 6 π 4 π 3 π 2 cos t sin t Exercice 16. Å ã 3π π 5π 5π 2π Déterminer les valeurs exactes de cos , sin − , sin , cos , sin . 4 3 3 6 6 Exercice 17. La figure ci-dessous montre une partie des courbes d’équations y = sin x et y = cos x. 1 b C b F B b b −2 −1 1 2 A b 3 4 5 −1 b D 6 b 7 E 8 9 G 1. Associer à chaque courbe son équation. 2. Écrire les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G en utilisant si besoin le réel π. 3. Par quelle transformation passe-t-on de la courbe de la fonction sinus à celle de la fonction cosinus ? La figure ci-dessous √ montre la courbe de la fonction x 7→ sin x pour −π 6 x 6 3π. 2 . On a tracé la droite d’équation y = 2 Exercice 18. y= √ 1 2 2 b C B F b b b A −3 b −2 −1 1 2 3 D 4 5 6 7 8 9 y = sin x E −1 b 1. Combien le réel 0 admet-il d’antécédents x par la fonction sin, tels que −π 6 x 6 3π ? 2. Écrire pour quelles valeurs de x comprises entre −π et 3π, on a sin x > 0. 3. En utilisant si besoin les réels π et Seconde √ 2 2 , écrire les coordonnées des points A, B, C, D, E et F . Trigonométrie Page 6/6