LA FORCE CENTRIFUGE

LA FORCE CENTRIFUGE
Introduction
La force centrifuge est assez connue du public, elle fait d’ailleurs l’objet d’une
question pouvant être posée pour l’obtention du permis de conduire.
En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d’un virage serré.
Intuitivement
Nous pouvons penser que la force centrifuge est d’autant plus importante que la perte de
contrôle du véhicule dans un tournant.
Il semble que la force d’expulsion sera augmentée si on va vite et diminuée si on roule
lentement, de même qu’elle sera plus importante si le virage est serré, autrement dit, si le
rayon de courbure est faible.
Nous pouvons écrire :
F ∝ v/R
Le signe ∝ veut dire proportionnel.
Cette relation, comme on le verra n’est pas la bonne, elle est donnée de façon intuitive.
Imaginez maintenant une route verglacée avec un parapet de sécurité.
Une moto a dérapée dans le virage à cause du verglas, le motocycliste n’a rien eu mais le
parapet a été endommagé, cependant aucun frais important n’a été engagé.
Un mois plus tard, le parapet est réparé, mais un camion roulant à la même vitesse que le
motocycliste dérape dans le même virage qui est toujours aussi verglacé.
Résultat : le camion a été dans le ravin pulvérisant le parapet, le chauffeur aurait pu y rester.
Cette histoire purement inventée, vous semble t’elle vraisemblable ? ou au contraire pensez
vous que les dégâts auraient du être les mêmes avec le camion qu’avec la moto.
Si vous connaissez la formule, il faut répondre comme si vous l’ignoriez, en physique, on doit
sentir les choses avant de rentrer dans des démonstrations mathématiques.
Si vous admettez que l’histoire est plausible, c’est que vous avez une bonne idée du monde
macroscopique, les choses qui vous entourent vous sont familières.
Donc la force centrifuge serait aussi proportionnelle à la masse, est-ce que cela signifie
qu’avec une petite voiture vous allez moins déraper qu’avec une grosse ?
La réponse est non car la petite voiture en revanche a un poids plus faible, l’adhérence sera
plus petite.
F ∝ mv/R
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De façon plus physique et mathématique.
Dans la relation F ∝ mv/R, ceux qui savent remarqueront que la vitesse doit être élevée au
carré et que le signe de proportionnalité doit être remplacé par le signe égale.
Si on écrivait :
F = mv/R
Il y aurait un problème avec les unités, car si on connaît la formule F = ma, produit d’une
masse par une accélération, on doit obtenir des kg.m.s-2 alors que là on obtient des kg.s-1
Il faudrait multiplier par une constante qui a la dimension d’une vitesse, on n’en connaît
qu’une c’est la vitesse de la lumière (voir cours sur la relativité), on ne voit pas ce qu’elle
pourrait faire ici.
Il est plus simple de considérer qu’il faut multiplier encore par la vitesse, et la relation
devient :
F = mv²/R
Voila comment on peut arriver à une formule convenable rien que par un raisonnement
physique, mais rien ne prouve encore qu’il ne manque pas un coefficient dépourvu d’unité,
comme par exemple 1/2 que l’on trouve dans E = 1/2mv².
Avant de revenir sur ce point, nous allons la décrire.
Description du phénomène.
Abandonnons l’exemple de la voiture et prenons une bille que l’on fait tourner autour d’un fil.
F
v
m
P
Sur la figure sont représentés la vitesse, la force centrifuge et le poids de la bille, en
négligeant celui du fil.
La vitesse est tangente à la trajectoire, il ne peut pas en être autrement car la définition d’une
vitesse est liée à celle d’une trajectoire.
Le poids est dirigé vers le bas, il reste à trouver la direction de la force centrifuge.
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Equilibre des forces :
Il y a toujours un équilibre de forces dans un système, que l’équilibre soit statique ou
dynamique.
Ici, il faut faire intervenir une force supplémentaire T qui est la traction du fil. Le fil est étiré,
il exerce donc une force dont le sens tend à le faire revenir à sa longueur initiale.
T
l
F
d
P
R
La résultante R correspond à la somme vectorielle du poids et de la force centrifuge, la
traction du fil compense exactement la résultante R.
Nous ne connaissons pas la valeur de la traction, mais nous savons qu’elle est superposée au
fil, R est donc dans le prolongement du fil.
Quand au rayon, faut-il prendre la longueur du fil l, ou la distance entre l’axe et la bille ?
Il est clair que si la force centrifuge est bien proportionnelle à la courbure, comme la
trajectoire s’effectue sur un cercle de rayon d, c’est d qui fait le rayon et non l.
Energie occasionnée par la force centrifuge.
La formule de l’énergie est donnée par :
dW = F.dl
Or dl = vdt
dW = F.vdt
Mais le produit scalaire de la force centrifuge par la vitesse est nulle car les vecteurs
représentatifs sont orthogonaux.
La force centrifuge ne produit aucun travail, si on espérait établir sa relation par une équation
mettant en jeu un bilan d’énergie, c’est raté.
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Déplacement après rupture du fil.
F avant
cassure
v
Le raisonnement est délicat, si le fil se casse il n’y a plus de traction, la force centripète
s’annule.
On appelle force centripète la force qui s’oppose à la force centrifuge, elle a même module
mais son sens est opposé.
Donc, il resterait la force centrifuge, et la bille serait entraînée dans le sens de F, c'est-à-dire
dans le prolongement du rayon, dans ce cas il y aurait une énergie dépensée.
La loi de conservation de l’énergie dit qu’il ne peut pas y avoir de l’énergie venant de nulle
part, la seule qui existe c’est 1/2mv²
Donc la bille qui n’avait aucune vitesse dans le sens du rayon accélèrerait jusqu’à atteindre v
après quoi la vitesse n’augmenterait plus, ce qui annulerait du coup F.
Pourquoi la force F deviendrait-elle nulle subitement dès que v est atteinte ?
Si la bille part dans le sens du rayon, nous avons à faire à une trajectoire rectiligne, donc il n’y
a plus de force centrifuge, et ceci dès la rupture du fil, il y a donc contradiction, la bille ne
peut acquérir une vitesse radiale.
Il est plus simple d’admettre que la bille continue sa course en suivant la tangente au cercle,
ceci est en bon accord avec la loi de conservation de la quantité de mouvement p = mv
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Equation de la force centrifuge.
Nous abandonnons la méthode intuitive pour une approche physique et mathématique.
v(t)
dθ
vh
vr
v(t+dt)
R
dθ
O
Prenons un accroissement dθ, qui est l’angle balayé au bout d’un temps très court dt.
dθ = ωdt
Avec ω = vitesse angulaire.
On décompose v en vr et vh, le dessin est représenté tel que vr(t)=0 et vr(t+dt)=vr
On a vr = vsindθ = vdθ
vr = vωdt
Ce qui fait vr/dt = vω
Puisque vr(t)=0 on peut aussi écrire :
d(vr)/dt = vω
d(vr)/dt étant une accélération, on a pour force radiale :
F = md(vr)/dt = mvω
Or v = ωR
Ce qui fait deux relations possibles.
F = mω²R = mv²/R, il s’agit bien de la relation trouvée intuitivement.
Si dθ tend vers 0, on se rend compte que la force est dirigée vers le centre du cercle, la figure
montre un point situé en haut du cercle à t = 0, rien n’empêchait d’adopter cette représentation
pour l’exposé.
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Force horizontale
En application de la loi de conservation de la quantité de mouvement on a vh(t+dt)=v(t), il n’y
a donc pas d’accroissement de la vitesse horizontale et donc pas de force dans ce sens, la
force n’est que radiale.
On peut penser que la vitesse tangentielle v augmente, montrons que cette augmentation tend
vers 0.
Faisons un développement limité.
v² = vr² + vh², en prenant vh comme constante.
[v(t)]² = vh²
[v(t+dt)]² = (vωdt)² + vh²
L’augmentation est donnée par :
[v(t+dt)]²- [v(t)]² = (v(t+dt)]+[v(t)])(v(t+dt)]-[v(t)]) = 2v(t)d(v(t))
((vωdt)² + vh²)- vh² = 2v(t)d(v(t))
(vωdt)² = 2v(t)d(v(t))
vω²dt² = 2d(v(t))
d(v(t))/dt = 1/2 vω²dt qui tend vers 0 avec dt.
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On a montré que la vitesse tangentielle tendait vers la vitesse horizontale, mais c’est parce que
la vitesse à t = 0 était horizontale, en fait il vaut mieux généraliser en disant :
Vitesse tangentielle à t+dt = vitesse tangentielle à t (voir figure ci-dessous).
v(t)
R
vr
dθ
O
dθ
vh
v(t+dt)
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Méthode directe.
La deuxième loi de Newton donne :
F= m
dv
dt
Ce qui signifie qu’une force appliquée à une masse m va augmenter sa vitesse.
x
F
v
O
Sur un axe Ox, v et F sont positifs, s’ils sont dirigés vers les x croissant.
y
v(t)
vx
dθ
O
F= m
F= m
R
-vy
v(t+dt)
x
dv y 
 dv
dv
= m x i +
j
dt
dt 
 dt
dv y
dt
F = −m
j
vdθ
j
dt
F = − mvω j
F = −m
v²
j
R
On trouve un signe moins, alors qu’auparavant nous obtenions un signe plus. En fait, avant on
s’intéressait à la valeur du module, le sens était précisé en indiquant que la force était dirigée
vers le centre du cercle.
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Ici nous avons un repère Oxy, la deuxième loi de Newton annonce que la force qui accélère la
masse vaut F= mdv/dt.
Ici, la force qui accélère la masse est déployée par le fil, le signe moins signifie qu’elle est
dans le sens des y décroissant, ce qui est bien le cas car elle est dirigée vers le centre.
Cette force porte le nom de force centripète.
La force centrifuge, est la force opposée à la force centripète, c’est elle qui tire sur le fil.
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CONCLUSION
Voici un exemple d’étude simple, qui s’ouvre pour des étudiants de différents niveaux.
Celui pour qui, le niveau d’étude est élevé (bac scientifique ou bac+2), il peut comprendre la
méthode directe qui a pour avantage de démontrer la formule en une demi page.
L’utilisation et la maîtrise des formules fondamentales, permet de suivre des cours
relativement complexes, comme l’élaboration des lois de Kepler et des forces de Coriolis.
En plus, la bonne écriture des relations, dans un repère orthonormé, ôtera les risques d’erreur
de signe, à condition que chaque élément d’une formule soit correctement identifié (force de
traction, force résistante ?).
Quelqu’un qui débute en physique (seconde BEP), sera séduit par la méthode intuitive, et
quant à la personne qui a fait peu d’étude, elle devrait sentir que la force centrifuge augmente
quand le rayon est petit et augmente aussi avec la vitesse, même si elle ne voit pas qu’en fait
c’est avec le carré de la vitesse.