Mouvement des planètes

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Approfondissement n° 2 : MOUVEMENT DES PLANETES
I) La pomme et la Lune :
- Les prédécesseurs de Newton et notamment Képler, pensaient à tort que le mouvement d'une
planète est dû à une action mécanique exercée dans la direction du mouvement.
- Tout le monde connaît l'histoire de la pomme de Newton : une pomme se détache de la
branche sur laquelle elle est accrochée et tombe. D'une façon générale tout objet situé près
de la Terre et privé d'attache ou de support tombe vers le centre de la Terre.
Qu'en est-il de la Lune ? Dépourvue d'attache elle doit également tomber vers la terre !
- Analogie avec la "fronde" : la pierre tenue par la fronde tourne autour de la main du lanceur.
Le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. Si le lanceur lâche un brin de la fronde,
la pierre quitte tangentiellement sa trajectoire circulaire. De même, si la Lune n'était pas
attirée par la Terre elle poursuivrait son chemin tout droit dans l'espace.
- Newton pense que c'est l'attraction terrestre qui incurve la trajectoire de la Lune. La Lune
"tombe" vers la Terre mais sa vitesse tangentielle est si grande que sa chute incurve juste
assez sa course pour la maintenir à la même distance de la Terre.
- Traitement mathématique du problème :
Les données numériques sur le mouvement de la Lune et les expériences réalisées sur la
chute des corps permettent à Newton de montrer que :
L'attraction terrestre est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet (la
pomme ou la Lune) au centre de la Terre.
Newton érige en loi universelle ses conclusions énoncées pour la terre. Les lois de Képler
trouvent leur explication dans cette loi. Des mesures de la constante de gravitation ont été
effectuées par Cavendish en 1798 à l'aide d'une balance de torsion. Plus tard, des mesures
plus précises ont été effectuées par Boys en 1895.
II) Le mouvement des planètes :
1) Les principaux éléments d'une orbite :
La plupart des orbites sont elliptiques. Les orbites des planètes sont presque circulaires.
Celles des comètes sont souvent des ellipses très allongées (par exemple celle de la comète
de Halley), quelques unes sont même paraboliques ou légèrement hyperboliques.
On appelle périhélie le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil. Le point le plus éloigné,
qui y est diamétralement
opposé, est l'aphélie. Dans le
cas de l'orbite de la Lune
autour de la Terre, les points
correspondants portent les
noms de périgée et apogée.
L'orientation de l'orbite d'une
planète dans l'espace est
déterminée par les trois
éléments suivants :
- l'inclinaison i de l'orbite sur le plan de l'orbite terrestre (l'écliptique). Pour Mars i = 2°, pour
Mercure 7°, pour Pluton 17°.
- la longitude Ω du nœud ascendant est l'angle compris entre la direction du point vernal
(longitude 0°) et la direction du nœud ascendant, vu du Soleil. Cet angle est mesuré dans
le plan de l'écliptique.
Soit N1N2 l'intersection du plan de l'orbite avec celui de l'écliptique (ligne des nœuds).
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Si la planète traverse le plan de l'écliptique au point P, en allant du Sud vers le Nord, ce
point P, (ou N) est appelé le nœud ascendant. Le point P2 (ou N2) qui lui est
diamétralement opposé, et où se trouve le corps lorsqu'il passe du Nord au Sud de
l'écliptique, est le nœud descendant.
- l'argument du périhélie est l'angle ω vu du Soleil, entre la direction du nœud ascendant et
celle du périhélie. Cet angle est mesuré dans le plan de l'orbite. Le Soleil se trouve à l'un
des foyers de l'orbite elliptique. La vitesse d'une planète est maximale au périhélie,
minimale à l'aphélie.
Le mouvement de chaque planète est soumis à des perturbations dues à l'attraction des
autres planètes. On distingue des perturbations séculaires et des variations périodiques, de
plus courte période. Par exemple, l'excentricité de l'orbite de la Terre est égale à 0,0161 en
2000 et sera de 0,01662 en 2200 !
2) Les lois de Képler :
Tycho Brahé (1546-1601) a rassemblé, au cours de sa vie, un grand nombre de données
précises sur la position des planètes. Il a obtenu ces mesures, avant la découverte de la
lunette astronomique, grâce aux grands instruments dont il équipa l'observatoire
astronomique qu'il fit édifier à partir de 1576 sur l'île de Hveen au Danemark.
Johannes Képler (1571-1630) qui fut l'assistant de Tycho, établît, à partir des données
recueillies, trois lois sur le mouvement des planètes :
ère
- 1 loi établie en 1609 :
La trajectoire de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
- 2ème loi établie en 1609 :
Les aires balayées par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps mis à les balayer.
- 3ème loi établie en 1619 :
Les carrés des durées de révolution sont proportionnels au cube des demi grands axes.
Le soleil occupe un foyer de l'ellipse décrite par la planète.
Les aires A et A' balayées en des intervalles de temps
égaux sont égales : la planète se déplace donc plus vite vers
son périhélie que vers son aphélie.
Newton pense que les planètes suivent une trajectoire
elliptique sous l'influence de l'attraction du Soleil.
3) La loi de Newton :
La trajectoire étant plane, la force sous l'action de laquelle la planète la décrit est située dans
son plan. Dans le plan où a lieu le mouvement, utilisons des coordonnées polaires :
→
→
→
→
r = SM et θ = ( i , r ). On a d'une part : r = r. ur
La 2ème loi de Képler exprime que l'aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps
(vitesse aréolaire) est une constante. Notons dA l'aire du triangle SMM', M' étant la position
de la planète à l'instant de date t + dt. On a :dA = 1 .r.(r + dr).sin(dθ) ≈ 1 .r2.dθ
2
2
d'où
2ème loi de Képler ⇐⇒ dA = 1 .r2. dθ = C = cte
2
dt
dt
2
En particulier, l'aire de l'ellipse est A = π.a.b et elle est décrite par la planète en une période
T, on en déduit que C = π.a.b :
2
T
La valeur de la constante aréolaire est C = 2.π.a.b
T
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Dans le référentiel héliocentrique de Képler RS, considéré comme galiléen, le moment
→
→
cinétique de la planète est : L = m. r
→
→
→
Λ
v
→
→
→
→
→
→
→
→
2
v = dr = dr . ur + r. dur = dr . ur + r. dθ . uθ donc L = r. ur Λ ( dr . ur + r. dθ . uθ ) = r . dθ . uz
dt
m
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
→
→
→
2 dθ
= C donne donc L = m.C. uz = L 0
La deuxième loi de Képler qui implique que r .
dt
→
→
Le moment cinétique L de la planète est constant.
La dérivée du moment cinétique est donc nulle :
→
→
→
→
→
→
→
→
dL = m. dr Λ v→ + m. →
r Λ dv = m. v Λ v + m. r Λ a = 0
dt
dt
dt
→
r
→
Λ (m. a
→
→
→
→
) = 0 , le théorème du centre d'inertie s'écrit : m. a = F soit r
Λ
→
→
→
F = 0
→
On en déduit que la force ne peut être que dirigée suivant r , c'est-à-dire suivant ur .
→
→
La force que subit la planète de la part du Soleil est une force centrale : F = f(r). ur
Nous allons essayer de déterminer l'expression de f(r).
L'ellipse C est caractérisée par (§ : V) :
- un demi-grand axe OA = OA' = a,
- un demi-petit axe OB = OB' =b,
- une distance OF = OF' = c = a 2 − b 2 ,
- une excentricité e = c < 1,
a
2
- un paramètre p = b = a.(1 − e2)
a
- une aire A = π.a.b
2
y2
L'équation de l'ellipse en coordonnées cartésienne est : x 2 + 2 = 1.
a
b
Avec
x = OF + FN = a.e + r.cosθ et y = NM = r.sinθ
En portant ces valeurs dans l'équation cartésienne de l'ellipse, on obtient :
(r. sin θ)2
(a.e + r. cos θ)2
+
= 1 soit a2.(1 − e2).(a.e + r.cosθ)2 + a2.r2.sin2θ = a4.(1 − e2)
a 2 .(1 − e 2 )
a2
r2.(cos2θ + sin2θ) = a2.(1 − e2)2 − 2.a.(1 − e2).e.r.cosθ + e2.r2.cos2θ
r2 = [a.(1 − e2) − e.r.cosθ]2
et enfin
r = a.(1 − e2) − e.r.cosθ
1 = 1 + e. cos θ [1]
que l'on peut écrire
a.(1 − e 2 )
r
d2 (1/ r )
Dérivons deux fois cette expression en fonction de θ :
= − e. cos2θ [2]
a.(1 − e )
dθ 2
La formule de Binet (§ : IV) nous indique que lorsqu'un corps de masse m est soumis à une
→
→
force centrale F = f(r). ur , il existe une relation faisant intervenir les coordonnées polaires du
corps, l'intensité de cette force f(r), la masse m et la constante aréolaire C .
2
d2 (1/ r )
f(r) = − m.C
.[
+ 1]
dθ 2
r
r2
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Mouvement des planètes
2
1
En remplaçant par [1] et [2], on a : f(r) = − m.C
.
r 2 a.(1 − e 2 )
2 2 2
4.π2 .a 4 .(1 − e2 )
La constante aréolaire donne : C2 = 4.π .a2 .b =
T2
T
2
3
D'où
f(r) = − m2. . 4.π 2.a
r
T
2
3
D'après la 3ème loi de Képler, 4.π 2.a = k prend la même valeur pour toutes les planètes.
T
f(r) = − k. m2.
r
Ainsi, il résulte des trois lois de Képler que les planètes sont soumises à des forces dirigées
vers le Soleil, proportionnelles à leurs masses, et inversement proportionnelles au carré de
leurs distances au Soleil.
4) Attraction universelle :
On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des points
A et B à une distance r l'un de l'autre.
→
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive FA →B et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)
→
une force attractive F B → A Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
→
→
→
→
D'après le principe d'interaction : F A → B = − F B → A et F A → B et F B → A sont colinéaires.
L'intensité commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
FA →B = FB→ A = K. mA .2mB
r
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67.10−11 N.m2.kg−2
→
Désignons par uAB le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
→
La force FA →B qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit :
→
→
→
F A → B = − K. mA .2mB . u AB = mB. G A (B)
r
→
→
G A (B) = − K. m2A . u AB est le champ de gravitation créé au point B par l'astre placé en A.
r
Soit un objet "étendu" sphérique (M) et homogène ou constitué de couches sphériques
concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (M) est équivalent, du point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
III) Mouvement d'un satellite :
1) Système isolé :
On considère le système formé de deux astres en interaction. Les deux astres étant très
éloignés de tout autre astre nous pouvons considérer que le système est isolé.
→
→
→
Soit Rg un référentiel galiléen auquel on lie un repère (O, i , j , k ), et soit RG le référentiel
→
→
→
lié au barycentre G du système. Le repère (G, iG , jG , k G ), lié à RG, est tel que, à chaque
→
→
→
→
→
→
instant iG = i , jG = j et k G = k , RG est donc en translation par rapport à Rg (on peut
toujours le choisir ainsi).
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Christian BOUVIER
Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
On démontre alors que :
Pour un système isolé, le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un
référentiel galiléen Rg, est, en fait, en translation rectiligne uniforme par rapport à Rg :
Le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un référentiel galiléen Rg, est
un référentiel galiléen.
2) Réduction canonique :
On considère le système isolé formé de deux astres (M1) et
(M2) de masses m1 et m2, centrés en des points M1 et M2 et en
interaction.
→
On désigne par F1→2 la force que subit (M2) sous l'action de
→
l'astre (M1) et par F 2→1 , la force que subit l'astre (M1) sous
l'action de l'astre placé (M2).
→
→
D'après le principe de l'action et la réaction on a, bien sûr, F1→2 = − F 2→1 .
Soit G le centre d'inertie du système et soit R* le référentiel barycentrique et galiléen.
→
Soit u le vecteur unitaire ayant pour direction la droite (M1M2) et dirigé de M1 vers M2.
On appelle réduction canonique du problème à deux corps (M1) et (M2), l'opération qui
consiste à étudier, dans le référentiel R* barycentrique et galiléen, le mouvement d'un point
matériel "fictif" M :
- de masse m = m1.m2 , appelée masse réduite du système,
m1 + m2
→
→
→
- de vecteur position GM = r = M1M2 ,
→
- de vecteur vitesse v égale à la vitesse relative de M2 par rapport à M1,
→
→
- en mouvement sous l'action de la force centrale F1→2 = f(r). ur .
→
→
→
Par définition du centre d'inertie, d'une part : m1. GM1 + m2. GM2 = 0 [1]
→
→
→
→
D'autre part GM = M1M2 = − GM1 + GM2 [2]
→
m2 . GM→ et GM→ = +
m1 . GM→
En combinant [1] et [2], on a : GM1 = −
2
m1 + m2
m1 + m2
3) Cas d'un satellite :
Si la masse m2 de l'un des deux astres est très petite devant la masse m1 de l'autre, on
parlera d'un satellite en orbite autour d'un astre.
Si m2 << m1 :
→
m1 . GM→ ≈ GM→ , M est pratiquement confondu avec M,
2
m1 + m2
→
m2 . GM→ ≈ 0→ , M est pratiquement confondu avec G,
- GM1 = −
1
m1 + m2
- m = m1.m2 = m2 ≈ m2, m est pratiquement égal à m2.
m1 + m2
1 + m2
m1
- GM2 = +
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Mouvement des planètes
4) Etude du mouvement d'un satellite dans le champ de gravitation d'un astre :
On considère donc un satellite centré en S, de masse m, dans le champ de gravitation d'un
astre centré en O, de masse M. On admettra que M >> m et que le satellite n'est soumis qu'à
l'influence de cet astre (le système satellite-astre est donc considéré comme isolé).
La répartition de masse de l'astre est à symétrie sphérique et le centre de gravité du
système satellite-astre est au point O.
On étudie le mouvement dans un référentiel R, lié à O, "barycentrique" et galiléen.
→
→
Le satellite est soumis à la force de gravitation de l'astre : F O →S = − K. M.2m . u OS ,
r
→
où r est la distance entre les centres O de l'astre et S du satellite, et uOS est le vecteur
unitaire porté par la droite OS et dirigé de O vers S.
→
La force FO →S est centrale (direction OS à chaque instant) et newtonienne (en 12 ).
r
→
→
→
M
.
m
On écrira dans la suite :
F = − K. 2 . ur = f(r). ur
r
→
→
→
→
A l'instant initial le rayon vecteur du satellite est r(0) = r 0 et sa vitesse est v(0) = v 0 . On
→
→
→
rapporte le référentiel R à un repère (O, i , j , k ), dont l'origine est le centre de l'astre et tel
→
→
→
→
que le plan défini par les vecteurs i et j , contiennent les vecteurs r 0 et v 0 .
→
→
→
→
A chaque instant, on peut écrire : OS( t ) = r( t ) = r(t). u OS = r. ur
Le moment cinétique du satellite dans le référentiel R, est donné par :
→
→
→
L = m. r Λ v
La dérivée du moment cinétique :
→
→
→
→
→
→
→
dL = m. dr Λ v→ + m. →
d
v
= m. r Λ a = r Λ (m. a )
r Λ
dt
dt
dt
→
→
Théorème du centre d'inertie : m. a = F
→
→
→
→
→
dL = →
r Λ F = r. u Λ f(r). u = 0
dt
Le moment cinétique du satellite est constant.
d'où
→
En particulier
→
→
→
L = L 0 = m. r 0 Λ v 0
→
→
→
L 0 , constant, a, en particulier, une direction fixe et les vecteurs r et v sont constamment
dans le même plan :
le satellite a un mouvement plan.
Dans le plan où a lieu le mouvement, utilisons des coordonnées polaires :
→
→
→
→
r = OS et θ = ( i , r ). On a d'une part : r = r. ur
→
→
→
→
→
→
et v = dr = dr . ur + r. dur = dr . ur + r. dθ . uθ
dt
dt
dt
dt
dt
→
L 0 = r. u→ Λ ( dr . u→ + r. dθ . u→ ) = r2. dθ . u→
r
θ
z
r
dt
dt
dt
m
On en déduit que : r2. dθ = C = cte (constante aréolaire)
dt
Notons dA l'aire du triangle OSS', S' étant la position du satellite à l'instant de date t + dt :
On a dA = 1 .r.(r + dr).sin(dθ) = 1 .r2.dθ d'où dA = 1 .r2. dθ = C = cte (vitesse aréolaire)
2
2
2
dt
dt
2
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
→
→
Sur des intervalles de temps égaux, le vecteur position OS = r balaye des aires égales.
C'est l'expression de la deuxième loi de Képler qui est ainsi démontrée à partir de la loi de la
gravitation de Newton et des lois de la mécanique.
Nous avons vu que la trajectoire du satellite est plane, dans un plan défini par les conditions
→
→
initiales : le plan de la trajectoire contient les vecteurs r 0 et v 0 .
Dans le référentiel R barycentrique et galiléen dans lequel on étudie le mouvement du
satellite, on peut appliquer le théorème du centre d'inertie :
→
→
m. dv = F
dt
→
→
soit m. a = − K. M.2m . ur
r
→
→
→
→
La force de gravitation est centrale et a = ar . Posons : − K. M.2m . ur = − k2 . ur
r
r
k
Soit
f(r) = − 2
r
La formule de Binet (§ : IV) nous indique que lorsqu'un corps de masse m est soumis à une
→
→
force centrale F = f(r). ur , il existe une relation faisant intervenir les coordonnées polaires du
corps, l'intensité de cette force f(r), la masse m et la constante aréolaire C :
2
d2 (1/ r )
f(r) = − m.C
.[
+ 1]
2
2
dθ
r
r
Le théorème du centre d'inertie peut donc s'écrire :
2
d2 (1/ r )
m.ar = − k2 soit − m.C
.[
+ 1 ] = − k2
2
2
dθ
r
r
r
r
d2 (1/ r )
d'où
+ 1 = k 2
dθ 2
r
m.C
L'intégration de l'équation différentielle du second ordre en 1 , donne : 1 = u1 + u2(θ)
r ( θ)
r ( θ)
* où u1 = k 2 est la solution particulière de l'équation complète
m.C
* et u2(θ) = A.cos(θ – φ) est une solution de l'équation homogène (A et φ : ctes d'intégration)
2
On a donc : 1 = k 2 + A.cos(θ – φ) = k 2 .[1 + A.m.C .cos(θ – φ)]
r
m.C
m.C
k
La trajectoire du satellite S de masse m est une conique.
2
2
Le paramètre est p = m.C , son excentricité est e = p.A = A.m.C et l'un de ses foyers est le
k
k
point O.
En prenant l'axe de symétrie de la conique comme axe polaire Ox, le changement de θ en
− θ laisse invariant la fonction r(θ), ce qui implique φ = 0, on peut alors écrire :
p
r=
1 + e. cos θ
Suivant les valeurs de e on distingue :
e=0
e<1
e=1
e>1
cercle
ellipse
parabole
hyperbole
(§ : V)
Ecole Européenne de Francfort
Page 165
Mouvement des planètes
5) Discussion :
a) Astres en interaction, de masses comparables :
Si la masse m2 de l'un des deux astres n'est pas petite devant la masse m1 de l'autre, on
doit étudier le mouvement dans le référentiel du centre d'inertie G du système.
→
m1 . GM→ et GM→ = −
m2 . GM→
GM2 = +
1
m1 + m2
m1 + m2
Les deux astres décrivent alors des orbites homothétiques de la trajectoire du point fictif M
(§ : III) 2).
Le mouvement d'un satellite artificiel autour de la Terre pourra être étudié dans un
référentiel géocentrique RT, que l'on pourra considérer comme galiléen.
Le mouvement de la Lune autour de la Terre devra être étudié dans un référentiel
barycentrique Terre-Lune RG. Le référentiel géocentrique RT, en translation elliptique
dans RG n'est donc pas galiléen : c'est précisément parce que le référentiel RT n'est pas
galiléen qu'apparaît le deuxième bourrelet de marée ("Phénomènes de marée" § ) !
Le mouvement d'une planète autour du Soleil peut être étudié dans un référentiel
héliocentrique RK considéré comme galiléen (on l'appelle référentiel de Képler).
Le référentiel le plus galiléen du système Solaire serait le référentiel de Copernic dont
l'origine est prise au centre d'inertie du système solaire.
b) Influence des autres astres :
On peut considérer que chaque planète n'est en interaction qu'avec le Soleil.
En fait, sur de très grandes périodes, la stabilité des trajectoires peut être affectée par la
présence des autres planètes. C'est l'influence de Jupiter sur les astéroïdes de la ceinture
principale qui explique la modification de la trajectoire de certains d'entre eux.
c) Points de Lagrange :
Les points de Lagrange sont des
points situés dans le plan orbital d'un
système de deux corps en rotation
autour de leur centre d'inertie, où peut
se
maintenir,
sous
l'attraction
conjuguée des deux corps, un
troisième corps de masse négligeable.
Ils sont au nombre de 5 : L1, L2 et L3
sont instables alors que L4 et L5 sont
stables.
L4 et L5 forment avec les deux astres
deux triangles équilatéraux.
En 1906, 588 Achille fut découvert en
L4 et 617 Patrocle en L5 du système
Soleil-Jupiter.
On
en
connaît
désormais 249 à proximité de L4 et
167 près de L5, on les appelle les
Troyens.
Les sondes Voyager ont révélé
l'existence de trois satellites de Saturne situés en des points de Lagrange : Dioné B,
Télesto et Calypso.
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
6) Satellites artificiels de la Terre :
a) Eléments de l'orbite d'un satellite :
- Plan orbital : plan dans lequel se
trouve l'orbite. Ce plan contient le
centre de la Terre qui est l'un des
foyers de l'orbite elliptique.
- Sous-Point (s.p.) : projection du
satellite sur la surface terrestre par la
droite allant du satellite au centre de
la Terre.
- Trace du satellite : ensemble des
sous-points
correspondant
aux
différentes positions du satellite.
- Périgée : point de l'orbite le plus
rapproché de la Terre. Le satellite est
habituellement injecté sur son
orbite au voisinage de son périgée.
- Apogée : point de l'orbite le plus
éloigné de la Terre.
- Révolution : un tour complet du
satellite sur l'orbite.
- Période : durée d'une révolution. La
période est d'autant plus grande
que l'orbite est plus éloignée de la
Terre.
- Nœud ascendant (N.a.) : point où le
satellite franchit le plan équatorial terrestre en allant du Sud vers le Nord.
- Nœud descendant (N.d.) : point où le satellite franchit le plan équatorial terrestre en
allant du Nord vers le Sud.
- Ligne des nœuds : droite d'intersection entre le plan équatorial et le plan orbital.
- L'orbite peut être :
* Directe si le satellite tourne dans le même sens que la Terre donc d'Ouest en Est,
* Rétrograde si le satellite tourne dans le sens inverse,
* Polaire si le satellite tourne dans un plan contenant les pôles.
- Inclinaison de l'orbite : angle i compris entre 0 ° et 180 ° formé par le plan orbital et le
plan équatorial :
* 0 < i < 90 ° pour une orbite directe,
* 90 ° < i < 180 ° pour une orbite rétrograde,
* i = 90 ° pour une orbite polaire.
b) Satellite géostationnaire :
- Un satellite géosynchrone est un satellite qui accomplit une révolution en un jour sidéral
(23 h 56 min). Son orbite peut être inclinée et elliptique. La trace du satellite est un arc
de méridien ou une sorte de 8 centré en un point de l'équateur.
- Un satellite géostationnaire est un satellite géosynchrone qui possède une orbite
équatoriale (inclinaison nulle) et circulaire. Un satellite géostationnaire reste toujours à la
verticale d'un même point de l'équateur.
Les satellites géosynchrones sont utilisés pour observer une portion de méridien terrestre
(satellite de météorologie).
Les satellites géostationnaires sont utilisés pour les télécommunications et la télévision
par satellite (l'antenne à terre garde une direction fixe).
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Mouvement des planètes
IV) Formule de Binet :
On considère un champ de forces centrales. Un point M est donc soumis à une force dirigée
→
→
suivant la droite OM, où O est le centre de force. On peut écrire : F = f(r). ur
→
→
→
→
En coordonnées polaires, le vecteur accélération s'écrit : a = ar. ur + aθ. u θ + az. u z
→
→
→
→
Le théorème du centre d'inertie F = m. a = f(r). ur = m.ar. ur , montre que l'accélération n'a plus
qu'une seule composante : ar
2
On montre, en cinématique, que l'expression de ar est : ar = d 2r − r.( dθ )2
dt
dt
Posons alors 1 = u, on a donc du = du . dr = − 12 . dr ou dr = − r2. du
r dt
dr dt
dt
dt
dt
r
2
2
La loi des aires s'écrit
r . dθ = C ou dθ = C.u
dt
dt
dr = − r2. du = − r2. du . dθ = − C. du
dt
dt
dθ dt
dθ
dr = − C. du
Soit
dt
dθ
2
2
d r = − C. d ( du ) = − C. d u . dθ = − C2.u2 d2u
dt 2
dt dθ
dθ2 dt
dθ 2
d2r = − C2.u2 d2u
Soit
dt 2
dθ 2
2
2
2
D'où la formule de Binet : ar = d 2r − r.( dθ )2 = − C2.u2 d u2 − 1 .C2.u4 = − C2.u2 [ d u2 + u]
u
dt
dt
dθ
dθ
2
2
d (1/ r )
m.ar = f(r) = − m. C2 [
+ 1]
2
dθ
r
r
2
d2 (1/ r )
f(r) = − m.C
[
+ 1]
2
2
dθ
r
r
Et enfin
V) Les coniques :
1) Excentricité et paramètre :
Dans un plan, on appelle conique, de foyer F, d'excentricité e et
de directrice ∆, la courbe C, ensemble des points M tel que :
dis tan ce MF
= cte = e
dis tan ce (M, ∆ )
Suivant les valeurs de e on distingue :
e=0
e<1
e=1
e>1
cercle
ellipse
parabole
hyperbole
La perpendiculaire en F à l'axe de symétrie Fx de la conique coupe la conique en I :
FI = p est le paramètre de la conique
On a
IF
MF
p
=e=
=
d'où
IJ
MK
FH
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FH =
p
e
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
2) Equation polaire d'une conique avec origine au foyer :
→
→
Soit F l'origine des coordonnées, FM = r et ( Fx , FM ) = θ, l'axe de symétrie Fx étant axe
polaire. La définition d'une conique donne MF = r = e d'où NH = r . On sait que
NH
MK
e
p
p
p
FH = . Sur l'axe Fx, on a NH = FH − FN =
− r.cosθ soit r =
− r.cosθ
e
e
e
e
p
r=
1 + e. cos θ
3) Cas de l'ellipse et du cercle :
p
Pour l'ellipse on a : r =
et e < 1
1 + e. cos θ
Une ellipse C est caractérisée par :
- un demi-grand axe OA = OA' = a,
- un demi-petit axe OB = OB' =b,
- une distance OF = OF' = c = a2 − b2 ,
- une excentricité e = c < 1,
a
2
p
- un paramètre p = b = a.(1 − e2), en effet, on a d'une part rmin = FA = rθ = 0 =
, et
a
1+ e
p
p
p
2.p
d'autre part rmax = FA' = rθ = π =
, or 2.a = FA + FA' =
+
=
1− e
1+ e
1 − e 1 − e2
- une aire A = π.a.b
Pour un cercle :
OA = OB = a = b = R (rayon du cercle),
OF = OF' = c = 0 d'où e = 0 et p = R.
aire A = π.R2
4) Cas de la parabole et de l'hyperbole :
r=
p
et e = 1
1 + e. cos θ
direction asymptotique parallèle à Fx
r=
p
et e > 1
1 + e. cos θ
asymptote d'équation cosθ = − 1
e
l'équation polaire, d'origine F, de la branche
d'hyperbole en pointillés s'écrit r =
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p
e. cos θ − 1
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5) Définition géométrique :
Une conique et une courbe plane représentant
l'intersection d'un plan Π avec un cône de
révolution.
Soit D l'axe de révolution du cône, on peut
s'intéresser à 4 cas différents :
a) Cercle :
L'intersection d'un plan Π, orthogonal à D,
avec le cône est un cercle.
b) Ellipse :
L'intersection d'un plan Π, faisant un
angle quelconque avec D, avec le cône
est une ellipse.
c) Parabole :
L'intersection d'un plan Π, parallèle à une génératrice du cône,
avec le cône est une parabole.
d) Hyperbole :
L'intersection d'un plan Π, parallèle à l'axe D du
cône, avec le cône est une hyperbole.
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