2nde. DM3 - Correction Soit ABCDEFGH un pavé droit où ABCD est

2nde. DM3 - Correction
♣
Soit ABCDEFGH un pavé droit où ABCD est un carré, AB = 3 cm et AE = 5 cm.
Partie A
On considère la pyramide ABCF inscrite dans ce pavé.
1. Faire une figure en perspective cavalière du pavé et de cette pyramide (voir p.242 du livre les règles et l’exemple donné
pour la représentation en perspective cavalière).
F
G
B
C
3 cm
E
H
5 cm
A
3 cm
D
2. Calculer le volume de cette pyramide.
µ
¶
µ
¶
1
1
AB × BC
1
3×3
V = ×B ×h = ×
× BF = ×
× 5 = 7, 5 cm3
3
3
2
3
2
3. Faire un patron de cette pyramide (le détail des calculs des longueurs est exigé).
AB = BC = 3 cm ; BF = 5 cm ; D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
p
p
AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 32 = 18 ⇐⇒ AC = 18 = 3 2 ≈ 4, 2 cm
De même, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle BCF rectangle en B :
p
CF2 = CB2 + BF2 = 32 + 52 = 34 ⇐⇒ CF = 34 ≈ 5, 8 cm ;
De même, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABF rectangle en B :
p
AF2 = AB2 + BF2 = 32 + 52 = 34 ⇐⇒ AF = 34 ≈ 5, 8 cm ;
3 cm
C
C
5 cm
3 cm
5 cm
B
3 cm
F
B
F
3 cm
3 cm
5 cm
A
5 cm
3 cm
A
Patrons de la pyramide ABCF
Partie B
Soit M un point sur le segment [BF]. On considère la pyramide ABCM. Son volume varie selon la position de M.
1. Les courbes ci-dessous représentent chacune les variations du volume de cette pyramide. Elles ne sont pourtant pas
identiques. Expliquez et justifiez.
y
y
4
1
1
x
1
F
F
G
M
M
x
B
x
1
G
x
B
C
E
A
C
H
D
E
A
H
D
Tout dépend du choix de la variable x :
• La courbe de gauche représente une fonction croissante, car le volume croît en fonction de x, lorsque x = BM
• La courbe de droite représente une fonction décroissante, car le volume décroît en fonction de x, lorsque
x = FM
2. L’algorithme suivant permettant de calculer le volume de
cette pyramide est associé à l’une des courbes de la question précédente.
Que renvoie cet algorithme lorsque x = 0 ? x = 3 ? x = 5 ?
À quelle courbe cet algorithme est-il donc associé ?
• Pour x = 0 en entrée, l’algorithme renvoie
1 9
× ×0 = 0
3 2
• Pour x = 3 en entrée, l’algorithme renvoie
1 9
× × 3 = 4, 5
3 2
Variables: les réels b et v
Entrée: S AISIR un réel x dans [0 ; 5]
Traitement:
b PREND LA VALEUR DE 92
v PREND LA VALEUR DE 13 × b × x
Sortie: A FFICHER v
1 9
× × 5 = 7, 5
3 2
Le volume augmente lorsque la variable x augmente, la courbe associée à cet algorithme est donc celle de gauche.
• Pour x = 5 en entrée, l’algorithme renvoie
3. Où placer M pour que le volume de ABCM soit égal à 4 cm 3 ?
Il s’agit de déterminer les antécédents de 4 par la fonction V (x) =
V (x) = 4 ⇐⇒
3
2
8
x = 4 ⇐⇒ x = 4 × ⇐⇒ x = BM = ≈ 2, 66 cm
2
3
3
1 9
3
× ×x = x
3 2
2