I = T I

1
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Magistère de Physique Fondamentale
2013-2014
Travaux Dirigés Lasers n◦ 6
Exercice I : Pertes dans une cavité optique
M
R
1
R
"
3
T3
1
a m p lifica te u r
M3
diode
optique
R
2
M
2
IL = T3 I
On considère la cavité ci-contre constituée de 3 miroirs Mi (i = 1, 2, 3). La longueur optique totale de la cavité est d =
2,5 m, la longueur du milieu amplificateur vaut ℓ = 1 m, et la longueur d’onde
de fonctionnement est λ0 = 10,6 µm.
Les coefficients de réflexion des miroirs
pour l’intensité sont R1 = R2 = 0,99 et
R3 = 0,97 (miroir de sortie).
Une diode optique impose le sens de propagation de la lumière dans la cavité. On désigne par Ti
les facteurs de transmission des miroirs. La diffusion et l’absorption de ces miroirs sont supposées
négligeables. Le milieu amplificateur est une cellule dont les extrémités possèdent chacune le facteur
de transmission T = 0,99 (on pourra poser R = 1 − T = 0, 01 ≪ 1). La valeur relative des pertes
d’intensité sur un parcours complet de la cavité pour des raisons autres que celles mentionnées
précédemment vaut η = 1,5 %.
1. Pour cette cavité, calculer le coefficient de pertes par unité de longueur du milieu amplificateur
(αP ). Faire le développement limité de son expression dans le cas Ti ≪ 1 et 1−T ≪ 1. Calculer
numériquement αP avec et sans approximation. L’approximation faite est-elle justifiée ?
2. L’amplificateur étant inactif, calculer la ’durée de vie des photons dans la cavité’ (τc ). Application numérique.
3. Quel est le nombre de tour moyen effectué par un photon dans la cavité ?
Exercice II : Puissance extraite d’un laser à CO2 continu
On réalise un laser avec la cavité optique décrite dans l’exercice précédent. Le milieu amplificateur
est une cellule contenant un mélange de CO2 , N2 et He, sous une pression totale de P = 9 10−3
atmosphère à température ambiante (300 K). La molécule active est le dioxyde de carbone. La
transition laser se produit entre les niveaux 2 et 1 supposés non dégénérés.
Pour la transition laser
Proba. par sec. pour l’émission spontanée : A
Proba. par sec. pour l’émission induite
: W
ΛP
Longueur
d’onde
dans
le
vide
:
λ0 = 10,6 µm
N
2
2
Durée de vie du niveau 2 (hors collisions) : τ2 = 4 10−3 s
h ν0
A
Désexcitation 2→0
: γ20 = 50 s−1
W
γ2 0
Durée de vie du niveau 1
: τ1 = 5 10−6 s
N
1
Durée de vie du niveau 0
: τ0
1
Section
efficace
d’abs.
pour
l’onde
laser
:
σ = 1,5 10−20 m2
γ1
Constante des gaz parfaits
: R = 8,314 S.I.
0
N
0
L’élargissement spectral est provoqué par l’effet Doppler et
1 / τ0
par la pression. La pression produit une largeur spectrale
β
β
homogène ∆νh = 2π
P avec 2π
= 4 1010 Hz atm−1 . La
largeur spectrale naturelle est négligeable.
On donne également : taux de pompage : ΛP = 5 1023 m−3 s−1 ; différence de population non
hν0
saturée : ∆N 0 = ΛP (1 − Aτ1 )τ2 ; intensité de saturation : Is =
; diamètre du
σ (τ1 + τ2 − Aτ1 τ2 )
2
faisceau laser : 3 cm ; masse molaire du CO2 : 44 g·Mol−1 ; facteur de transmission du miroir de
sortie : T3 = 3 %.
1. Calculer numériquement ∆νh puis l’élargissement Doppler ∆νD . Ce milieu amplificateur est-il
à élargissement spectral homogène dominant ou inhomogène dominant ?
2. Calculer numériquement ∆N 0 , Is et le coefficient d’amplification non saturée α0 .
3. La longueur de l’amplificateur est ℓ = 1 m, on a évalué dans l’exercice -I- le coefficient de
pertes par unité de longueur du milieu amplificateur αP = 0,086 m−1 . Quelle valeur numéI(ℓ)
rique le gain total G = I(0)
de l’amplificateur doit-il posséder pour que le laser fonctionne en
régime stationnaire ? Est-on en régime de pertes faibles ? Quelles sont les conditions de fonctionnement Laser dans ce régime ? Relier le coeficient d’amplification saturée au coefficient
d’amplification non saturée, à Is et à l’intensité I(0) établie en tout point de la cavité (relation de saturation). Déterminer alors I(0) en fonction des données du problème. Application
numérique.
4. Le faisceau est supposé d’intensité uniforme sur sa section S. Déterminer l’intensité IL extraite
de la cavité et la puissance PL correspondante (applications numériques).
5. Révisions : retrouver à partir de la description physique du système les expressions analytiques de ∆N 0 et Is .
Exercice de révisions : système à 4 niveaux pompé optiquement
Remarque importante : les systèmes d’équations à résoudre pour la fin de cet exercice sont particulièrement délicats, avec des calculs nettement plus difficile que ceux qui apparaı̂tront dans l’examen.
Il faut par contre bien maı̂triser l’interprétation des hypothèses physiques conduisant à la simplification des équations.
On considère un milieu matériel représenté par un système à 4 niveaux d’énergie possédant les
caractéristiques suivantes :
– les quatre niveaux sont non dégénérés, la population totale est notée N .
– le milieu est amplificateur pour la transition 2 ↔ 1. L’émission spontanée et l’émission induite
ont les probabilités par seconde et par atome A et W . L’élargissement spectral est purement
homogène. Le profil spectral de la transition est g(ν − ν0 ), de largeur ∆ν.
– le pompage est assuré sur la transition radiative 3 ↔ 0 par une onde lumineuse intense d’énergie
proche de hν30 (’pompage optique’). L’émission spontanée et l’émission induite ont les probabilités
par unité de temps et par atome A30 et WP . Le pompage est assez puissant pour avoir A30 ≪ WP .
– la transition 3 → 2 est non radiative (désexcitation par collisions dans un gaz, couplage
avec les vibrations pour un cristal). Sa probabilité par seconde Γ est très grande de sorte
qu’un atome arrivant sur le niveau 3 repart immédiatement vers le niveau 2 seulement
( (A30 + WP ) ≪ Γ, N3 ≪ N0 ).
– la transition 1 → 0 est non radiative. Sa probabilité par seconde est notée γ.
Le système est fermé, N0 + N1 + N2 + N3 =
3
N. La différence de population est notée ∆N =
Γ
N2 - N1 . Déterminer la différence de population
2
en régime stationnaire et l’intensité de saturation en fonction des paramètres physiques du
ν
h
A
W
système. Indications : exploiter soigneusement les
A
0
30 W P
hypothèses physiques pour simplifier les équations
1
d’évolution en les ramenant à un système de deux
équations à deux inconnues N2 et ∆N . Résoudre
γ
0
ce système pour identifier la solution ∆N à l’écri∆N 0
ture 1+
I .
Is
3
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Travaux Dirigés Lasers n◦ 6, corrigé succinct
Exercice I : Pertes dans une cavité optique
1. L’intensité restant après un parcours complet de cavité s’écrit I(d) = I(0)R1 R2 R3 T 2 (1 − η)
et correspond par définition pour une cavité en anneau à I(0) exp −αP ℓ, d’où
αP = −
]
1[
ln R1 + ln R2 + ln R3 + 2 ln T + ln(1 − η) numériquement, αP = 0,086 m−1
ℓ
On simplifie cette expression pour ln Ri = ln(1 − Ti ) ≃ −Ti lorsque Ti ≪ 1 et ln T =
ln(1 − R) ≃ (−R) lorsque R ≪ 1 pour obtenir
αP =
1
[T1 + T2 + T3 + 2R + η]
ℓ
numériquement, αP = 0,085 m−1
Les deux résultats numériques sont très proches, l’approximation est justifiée.
2. Écriture de l’évolution de l’intensité sur un parcours complet de cette cavité linéaire (pertes
faibles) :
d
) = I(t) exp −(αP ℓ) = I(t) (1 − αP ℓ)
c0
d
dI
d
I(t + ) − I(t) = =
×
qui vaut donc ici − αP ℓ I(t)
c0
dt
c0
c0 αP ℓ
I(t)
dI
= −
I(t) à identifier à −
par définition de τc
dt
d
τc
I(t +
d’où la ’durée de vie des photons dans la cavité’ τc =
d
c 0 αP ℓ
= 9,7 10−8 s.
3. Un photon effectue un tour de cavité en d/c0 secondes, par définition de d, longueur optique
d’un tour de cavité. Il reste en moyenne un temps τc dans la cavité ce qui correspond ici à
9,7 10−8 ×3 108
τc c0
= 11,6 tours de cavité.
d =
2,5
Exercice II : Puissance extraite d’un laser à CO2 continu
1. L’onde en interaction avec l’ensemble des atomes voit le coefficient d’amplification non saturée :
∫
0
α (ν) =
νi
0
α (ν) =
dαi0 (ν)
hν
B ∆N 0
c
∫
g(ν − νi ) P (νi − ν0 ) dνi
où g(ν − νi ) décrit l’absorption de la fréquence ν par des atomes de résonance νi , avec le
même profil spectral quelle que soit νi . Cette fonction traduit donc les effets homogènes, sa
β
largeur vaut ici ∆νh = 2π
P = 4 1010 × 9 10−3 = 3,6 108 Hz.
La fonction P (νi − ν0 ) traduit la distribution des fréquences de résonance (effet
√ inhomogène) provoquée par l’effet Doppler, c’est une gaussienne de largeur ∆νD =
1
10,6 10−6
√
8 ln 2 8,32 300
44 10−3
107
ν0
c0
8 ln 2 RT
M
=
= 5,3
Hz.
L’application numérique montre que ∆νD est petit devant ∆νh donc l’expression précédente
0
de α0 (ν) est approximativement égale à hν
c B ∆N g(ν − ν0 ), ce milieu amplificateur est à
élargissement homogène dominant.
4
2. ∆N 0 = ΛP (1 − Aτ1 )τ2 avec
1
τ2 = A + γ20 ⇒ A
10−6 ) × 4 10−3 = 2
− γ20 = 200 s−1 .
1
τ2
1021
=
∆N 0 = 5 1023 (1 − 200 × 5
m−3 .
8
hν0
3 10
1
1
Is =
= 6, 62 10−34
×
= 312 W ·m−2
−6
−20
−6
σ(τ1 + τ2 − Aτ1 τ2 )
10, 6 10 1, 5 10
5 10 + 4 10−3
α0 = σ ∆N 0 = 1,5 10−20 × 2 1021 = 30 m−1
3. En régime stationnaire, le gain total G de l’amplificateur compense les pertes donc
G exp −αP ℓ = 1 et G = exp αP ℓ = 1,09. Il est proche de 1, c’est un régime pertes faibles-gain
faible. Les conditions de fonctionnement Laser dans ce régime sont (i) ν = νm (fréquence d’un
mode spectral de la cavité) et (ii) α = αP .
Justification : l’intensité lumineuse I est uniforme et quasi constante dans la cavité donc le coefficient
d’amplification saturée α est lui aussi uniforme et constant. L’intégration de l’équation de propagation
dI
= α avec α indépendant de z donne I(ℓ) = I(0) exp αℓ donc G = exp αℓ. On injecte
de l’intensité I1 dz
ce résultat dans le bilan d’intensité sur un parcours de cavité, G exp −αP ℓ = 1, pour déduire que le
coefficient d’amplification saturée α est égal à αP .
L’élargissement spectral dominant est l’élargissement homogène. L’intensité conserve une va0
leur proche de I(0) en tout point de la cavité donc la relation de saturation s’écrit α = αI(0) .
1+
L’égalité α = αP entraı̂ne alors I(0) =
0
Is ( ααP
− 1) =
105
W·m−2
Is
4. Intensité et puissance laser extraites : IL = T3 I(ℓ)= 3310 W·m−2 .
−2
PL = IL S = 3310 ×π( 3 102 )2 = 2,3 W
Les lasers à CO2 produisent une puissance optique continue élevée, ils sont utilisés dans
l’industrie pour des travaux d’usinage, de découpe ou de soudure, ou en médecine (’bistouri
laser’ qui découpe les tissus et cautérise les vaisseaux sanguins).
5. Pour retrouver ∆N 0 et Is : écrire les équations d’évolution du système à 3 niveaux, déterminer
en régime stationnaire ∆N et sa valeur ∆N 0 pour I = 0. Is est obtenue par l’identification
∆N
= 1+1 I . En adaptant les notations, ce calcul est analogue à celui fait en cours pour le
∆N 0
Is
système ouvert à deux niveaux (Chap -I- §2.3 et 2.4).
Exercice de révisions : système à 4 niveaux pompé optiquement
Les calculs complets sont faits en annexe du polycopié de cours (annexe chapitre -II-).
Synthèse des équations en régime stationnaire, compte tenu des simplifications










dN3
dt
dN2
dt
dN1
dt
dN0
dt






N


 ∆N
=
+WP N0
=
=
=
−WP N0
= N0 + N1 + N2
=
N2 − N1
−Γ N3
+Γ N3 −W ∆N
+W ∆N
= 0
−A N2
= 0
+A N2 −γ N1 = 0
+γ N1 = 0
Résultat :
∆N =
(γ − A)WP N
(
(A γ + WP γ + WP A) 1 +
∆N 0 =
1
γ+2WP
A γ+WP γ+WP A W
)
(γ − A)WP
N
(Aγ + WP γ + Wp A)
et
Is (ν − ν0 ) =
hν
A γ + WP γ + Wp A
A γ + WP γ + Wp A
c
ou Is (ν − ν0 ) =
σ(ν − ν0 )
γ + 2WP
B g(ν − ν0 )
γ + 2WP