La théorie des immeubles s`inscrit dans le cadre de l

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IMMEUBLES, mathématique
Guy Rousseau
Prise de vue:
La théorie des immeubles s'inscrit dans le cadre de l'interaction entre géométrie
et groupes décrite dès 1872 par Felix Klein dans son "Programme d'Erlangen": une
géométrie (affine, euclidienne, projective ...) consiste en l'étude des propriétés des
figures qui se conservent par l'action d'un groupe de transformations (groupe affine,
groupe des isométries, groupe projectif ...). On peut ajouter que l'un des meilleurs
moyens d'étudier un groupe est de le faire opérer sur un objet géométrique.
Les immeubles ont été inventés par Jacques Tits au début des années 1950, mais
la terminologie immobilière n'apparut qu'un peu plus tard sous l'impulsion de Nicolas
Bourbaki. Le but était de comprendre les groupes de Lie semi-simples exceptionnels en
les faisant opérer sur des objets géométriques, puis de construire des objets analogues
(finis) dont les groupes d'automorphismes seraient les analogues sur les corps finis des
groupes de Lie exceptionnels.
Cependant ce dernier projet a été réalisé de manière algébrique par Claude
Chevalley vers 1955. Ces immeubles ont donc surtout été utilisés pour comprendre les
groupes algébriques semi-simples sur les corps quelconques construits par cet auteur et
largement étudiés par Armand Borel et Jacques Tits. De nouvelles variétés d'immeubles
ont depuis été introduites et utilisées dans diverses théories mathématiques.
Les immeubles sont donc des objets géométriques que l'on attache en particulier
aux groupes algébriques sur les corps, ou sur les corps topologiques; ils rendent compte
de la structure de ces groupes. Ces objets sont assez abstraits, ce sont en fait des
graphes. Mais, souvent, on peut aussi leur associer des réalisations géométriques plus
concrètes (avec le même groupe d'automorphismes) qui ont leur intérêt propre, entre
autres comme exemples exotiques d'espaces hyperboliques.
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1. Géométrie projective et immeubles (exemple introductif).
Si E est un espace vectoriel de dimension finie n+1 sur un corps commutatif
K , on considère l'ensemble Sev(E) des sous-espaces vectoriels de E différents de {0}
et E . Pour un élément F de Sev(E) , son type (on dit aussi son étiquette) est sa
dimension comme K-espace vectoriel (entier compris entre 1 et n ). En particulier
l'ensemble des éléments de Sev(E) de type 1 est l'espace projectif P(E) ; ces
éléments sont les droites de E ou les points de P(E) .
Le groupe linéaire GL(E) (formé de toutes les applications K-linéaires
bijectives de E dans E ) opère sur Sev(E) en respectant les types: si u est K-linéaire
bijective de E dans E et si F est un sous-espace vectoriel de E , alors l'image u(F)
est un sous-espace vectoriel de E de même dimension (= type). Si u est une
homothétie on a toujours u(F) = F ; or le centre Z(E) de GL(E) est formé des
homothéties, c'est donc en fait le quotient PGL(E) = GL(E)/Z(E) (groupe projectif
linéaire) qui opère sur Sev(E) .
Deux éléments de Sev(E) sont dits incidents s'ils sont distincts et si l'un est
contenu dans l'autre; en particulier les éléments de P(E) qui sont incidents à un
élément F de Sev(E) de type 2 (un plan de E ) sont les droites de E contenues dans
ce plan F , on dit qu'ils forment une droite de P(E) . Cette relation d'incidence sur
Sev(E) est conservée par PGL(E) , elle se traduit par un graphe dont l'ensemble des
sommets est Sev(E) , une arête étant un couple d'éléments de Sev(E) qui sont
incidents.
Ce graphe est illustré dans la figure 1 pour n = 2 et pour le corps à 2 éléments
K = F2 : E = (F2)3 . A droite on a dessiné l'espace projectif P(E) qui compte 7 points
(numérotés de 1 à 7) et 7 droites (contenant chacune 3 points et numérotées de I à
VII); la droite VI est formée des points 2, 6 et 7 qui ne paraissent pas alignés sur le
dessin car celui-ci est fait dans le plan réel qui n'a pas de rapport avec P(E) . Le graphe
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est représenté à gauche; les sommets blancs sont de type 1 (points) et les noirs de type 2
(droites).
Un groupe diédral d'ordre 14 respecte la figure; cependant les symétries (par
exemple celle par rapport à la droite en pointillé) mélangent les types des sommets. On
cherche seulement le groupe des automorphismes étiquetés de ce graphe: ce sont les
bijections de l'ensemble des sommets qui respectent les types et les arêtes mais pas
forcément les longueurs de celles-ci. On peut montrer qu'il est de cardinal 168 , c’est-àdire égal à GL((F2)3) = PGL((F2)3) dont on a vu qu'il opère sur le graphe.
Ce résultat est en fait simple car tout automorphisme du corps F2 est l'identité.
C'est un cas particulier du théorème fondamental de la géométrie projective [1]:
Soient K un corps commutatif, n un entier ≥ 2 et E l'espace vectoriel Kn+1 .
Toute bijection de P(E) sur lui-même qui respecte l'alignement (elle envoie une droite
de P(E) dans une autre droite) est le composé d'un élément de PGL(E) et d'une
bijection de P(Kn+1) déduite d'un automorphisme du corps K (opérant composante
par composante sur Kn+1).
On peut reformuler le théorème en disant que, pour n ≥ 2 , l'espace projectif
P(E) muni de sa relation d'alignement (ou a fortiori Sev(E) muni de son type et de sa
relation d'incidence) détermine entièrement le groupe PGL(E) et le corps K .
Sur le graphe de la figure 1 il faut encore observer les chemins fermés,
n'empruntant pas 2 fois la même arête et de longueur minimale. Cette longueur
minimale est 6 et un exemple est fourni par : 1 , I , 4 , III , 3 , VII , 1 . Les 6 sommets
d'un tel chemin constituent un sous-ensemble de Sev(E) appelé appartement. On
constate qu'un appartement est constitué de 3 points non alignés de P(E) et des 3
droites qui les joignent 2 à 2; les appartements sont donc permutés transitivement par
PGL(E) . Deux arêtes quelconques du graphe sont contenues dans un même
appartement. Étant donnés deux appartements, il existe un isomorphisme de l'un sur
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l'autre qui fixe les sommets en commun; de plus cet isomorphisme est induit par un
élément de PGL(E) .
Ces résultats s'étendent au cas général de Sev(E) . Un appartement de Sev(E)
est défini par une base B de E , il est constitué de tous les sous-espaces vectoriels de
E de base une partie de B .
On définit les facettes de Sev(E) : ce sont les sous-ensembles de Sev(E) formés
d'éléments 2 à 2 incidents. La relation d'incidence sur Sev(E) équivaut donc à la
donnée des facettes. De manière concrète une facette de Sev(E) est une collection de
sous-espaces vectoriels distincts inclus les uns dans les autres: F1 Ã F2 Ã … Ã Fk , on
dit que c'est un drapeau de E . Si le cardinal k de la facette est maximal (= n) on dit
que la facette est une chambre; son fixateur est alors un sous-groupe de Borel de
PGL(E) (voir GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE, 8.).
2. Définition des immeubles:
a)
Un complexe simplicial est un ensemble S de sommets muni d'un ensemble F
de facettes qui sont des sous-ensembles finis de S et tels que tout sous-ensemble
formé d'au plus un sommet est une facette et tout sous-ensemble d'une facette est aussi
une facette.
Un complexe simplicial S est un complexe de chambres s'il vérifie (C1) et
(C2) ci-après :
(C1) Toute facette est contenue dans une facette maximale appelée chambre .
Deux chambres ont le même cardinal: le rang r de S.
(On appelle alors cloison une facette de cardinal r-1 et galerie une suite C0 , C1 , ... ,
Cn de chambres telle que, pour tout i ≤ n-1 , Ci«Ci+1 contient une cloison ; on dit
qu'elle est de longueur n et qu'elle joint C0 à Cn ).
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(C2) Deux chambres quelconques peuvent être jointes par une galerie.
Le complexe est dit étiqueté s'il existe une application "type" de S sur un
ensemble de cardinal r qui est injective sur chaque facette.
Un immeuble est un complexe simplicial I dans lequel il existe un système A
d'appartements tel que les conditions (I1) à (I4) ci-après soient vérifiées:
(I1) Les appartements sont des sous ensembles non vides de I que l'on munit de
la structure simpliciale induite; pour cette structure ce sont des complexes de chambres
minces (i.e. toute cloison est contenue dans exactement 2 chambres).
(I2) Deux facettes sont contenues dans un même appartement.
(I3) Si 2 appartements A et A' contiennent les 2 facettes F et F' , alors il
existe un isomorphisme (simplicial) de A sur A' qui fixe (point par point) F et F' .
(I4) I est épais : toute cloison est contenue dans au moins 3 chambres.
Il résulte de ces axiomes que tous les appartements sont isomorphes et que I est
un complexe de chambres étiqueté.
Un immeuble de rang 1 est un ensemble d'au moins trois éléments avec pour
facettes l'ensemble vide et les sous-ensembles à un élément et pour appartements les
sous-ensembles à 2 éléments. La notion d'immeuble n'est intéressante qu'à partir du rang
2.
Si les appartements sont des ensembles finis, on dit que l'immeuble est
sphérique; dans ce cas on peut montrer que le système A d'appartements est
uniquement déterminé par I et F . En général il existe un système d'appartements
maximal que l'on dit complet.
Comme on l'a vu en 1. l'ensemble Sev(E) muni de ses facettes et de ses
appartements est un immeuble sphérique.
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b) Appartements:
Dans un appartement A , une cloison F est contenue dans exactement 2
chambres C1 et C2 ; il existe alors une unique bijection de C1»C2 sur lui-même qui
est l'identité sur F et échange C1 et C2 . En utilisant l'immeuble ambiant on montre
que cette application se prolonge en une unique bijection rF de A sur lui-même, que
l'on appelle réflexion ; l'ensemble des sommets fixes par rF est le mur supportant F .
Le groupe W engendré par les réflexions est appelé le groupe de Weyl de A
ou de I (il ne dépend pas du A choisi). Il permute simplement transitivement les
chambres de A et c'est un groupe de Coxeter : si C est une chambre de A , F1 , ... ,
Fn ses cloisons et r1 , ... , rn les réflexions associées, alors W est le groupe défini par
l'ensemble S = { r1 , ... , rn } de générateurs et les relations (ri)2 = 1 = (rirj)m(i,j) , pour
tous 1 ≤ i,j ≤ n , où m(i,j) désigne l'ordre (éventuellement infini) de rirj . Le groupe de
Coxeter est dit cristallographique si tous les m(i,j) sont dans {2,3,4,6,•}. Le groupe
de Weyl W (ou l'appartement A ou l'immeuble I ) est dit irréductible si on ne peut
partager l'ensemble S de générateurs de W en 2 parties non vides qui commutent. Le
rang de W est le cardinal de S , c'est donc aussi le rang de l'immeuble.
Le complexe A est entièrement déterminé par le groupe de Weyl W et son
système S de générateurs; on dit que c'est un système de Coxeter. L'immeuble est
sphérique si et seulement si le groupe W est fini.
c) Systèmes de Tits:
Un automorphisme de l'immeuble I est une bijection de I sur lui-même qui
envoie une facette sur une facette et un appartement sur un appartement, on dit qu'il est
étiqueté s'il envoie un sommet sur un sommet de même type. Les immeubles les plus
intéressants sont ceux pour lesquels il existe un groupe G formé d'automorphismes
étiquetés qui est fortement transitif c’est-à-dire qu'il opère transitivement sur les paires
(C,A) formées d'un appartement A et d'une chambre C de A .
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Si G est un tel groupe et (C,A) une paire comme ci-dessus, on note N le
sous-groupe de G stabilisateur de A et B celui de C . Alors B est le fixateur (point
par point) de C et Z = B «N celui de A . Le groupe quotient N/Z s'identifie au
groupe de Weyl W de A . Si S = {r1 , ... , rn} est l'ensemble de réflexions défini cidessus, alors le quadruplet (G,B,N,S) est un système de Tits i.e. il vérifie les axiomes
(T1) à (T4) ci-dessous:
(T1) B et N sont des sous-groupes de G , B »N engendre G et Z = B «N
est distingué dans G .
(T2) S est une partie génératrice de W = N/Z formée d'éléments d'ordre 2 .
(T3) On a sBwB à BwB » BswB pour s Œ S et w Œ W .
(T4) Pour tout s Œ S , on a sBs ≠ B .
(Pour définir les ensembles sBwB , BwB , .. dans les axiomes T3 et T4 , il faut
remplacer s Œ S et w Œ W par un représentant dans N .)
Une des conséquences principales de ces axiomes est la décomposition de
Bruhat : G = BNB ; elle est essentiellement équivalente à l'axiome I2 des immeubles.
De plus si le groupe de Weyl W est irréductible, le groupe G est souvent simple.
Réciproquement si l'on considère un système de Tits (G,B,N,S) , on peut
construire un immeuble I dont G est un groupe d'automorphismes étiquetés fortement
transitif.
Dans l'exemple de Sev(E) , choisissons une base e0 , ... , en de E . On note A
l'appartement associé et C la chambre de A qu'est le drapeau F1 Ã F2 Ã … Ã Fn où
Fi est le sous-espace vectoriel de base e0 , ... , ei-1 . Alors GL(E) s'identifie au groupe
des matrices carrées d'ordre n+1 inversibles et Z(E) à celui des matrices scalaires. Le
groupe G = PGL(E) est formé d'automorphismes étiquetés et fortement transitif. Les
sous-groupes B , N et Z s'identifient aux quotients par Z(E) du groupe des matrices
triangulaires supérieures, du groupe des matrices monomiales (un seul coefficient non
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nul dans chaque ligne ou colonne) et du groupe des matrices diagonales. En particulier
le groupe de Weyl W = N/Z s'identifie au groupe symétrique Sn+1 des permutations
de {e0 , ... , en} .
3. Immeubles sphériques (ou de Tits):
a)
Soit G un groupe algébrique affine, connexe et réduit sur un corps commutatif
K (cf. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE, 8.); on identifie G et le groupe G(K) des points
de G . Le groupe G est dit semi-simple si, pour une clôture algébrique K de K , le
groupe G( K ) n'a pas de sous-groupe algébrique réduit, connexe , résoluble et distingué
différent de {1} . Le groupe G est dit absolument simple si le†groupe G( K ) n'a pas
de
† sous-groupe algébrique distingué non trivial; il est alors semi-simple. Un sousgroupe P de G est dit parabolique si P( K ) contient un sous-groupe
de Borel de
†
G( K ) .Si K est le corps R des réels ou C des complexes, les notions développées
dans ce numéro sont très proches†de celles pour les groupes de Lie semi-simples (cf.
†
GROUPES, E.2.); en particulier si K = C un groupe algébrique absolument simple est
un groupe de Lie simple complexe.
Un groupe algébrique T est dit torique déployé de rang n s'il est isomorphe à
un produit de n exemplaires du groupe multiplicatif Gm = K* .
Dans un groupe algébrique semi-simple G , on considère un sous-groupe
torique déployé maximal T ; le rang r de T ne dépend pas du choix de celui-ci, c'est
le rang relatif de G sur K . On note N et Z le normalisateur et le centralisateur de T
. Il existe un sous-groupe parabolique minimal B de G qui contient T ; il contient
alors aussi Z et on a Z = B «N . Pour un bon choix de S dans N/Z , (G,B,N,S) est
un système de Tits. Son groupe de Weyl W = N/Z est cristallographique fini; c'est le
groupe de Weyl relatif de G sur K. De plus tout sous-groupe parabolique minimal de
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G est conjugué par un automorphisme intérieur à B et tout sous-tore déployé maximal
à T.
Cela signifie en particulier que G induit un groupe d'automorphismes étiquetés
fortement transitif de l'immeuble I(G) associé à ce système de Tits. Il y a de plus
bijections entre les appartements de I(G) et les sous-tores déployés maximaux de G
et entre les chambres de I(G) et les sous-groupes paraboliques minimaux de G . Les
sous-groupes paraboliques de G sont les fixateurs des facettes de I(G) , ils sont en
bijection avec ces facettes. On dit que l'immeuble I(G) est l'immeuble de Tits de G
sur K ; il est sphérique et de rang le rang relatif de G. Si G est absolument simple,
alors son groupe de Weyl W et son immeuble de Tits I(G) sont irréductibles.
Le groupe PGL(E) de 1. est algébrique et absolument simple; comme groupes
B , N et Z on peut choisir les groupes définis en 2.c sous ces noms et on a Z = T .
L'immeuble de Tits I(PGL(E)) s'identifie donc à Sev(E) .
Comme pour Sev(E) et PGL(E) , l'immeuble I(G) détermine le groupe G :
Si G est un groupe algébrique absolument simple de rang relatif r ≥ 2 , sur un
corps K , son immeuble de Tits est de rang r et le groupe des automorphismes
étiquetés de cet immeuble est produit semi-direct de G(K) par le groupe Aut(K) des
automorphismes du corps K .
De plus un isomorphisme entre deux immeubles de Tits de groupes algébriques
absolument simples de rang ≥ 2 provient d'isomorphismes entre les corps et les groupes
(sauf quelques exceptions en rang 2 ou 4 et pour des corps de caractéristique 2 ou 3 , ces
exceptions sont liées aux groupes finis simples de Ree et Suzuki, cf. GROUPES, C.2.) .
b) Classification:
Les groupes de Coxeter finis ont été classifiés (par Coxeter en 1935). Ceux qui
sont irréductibles se partagent en 4 classes infinies et 7 groupes exceptionnels: An
(n≥1) , Bn = Cn (n≥2) , Dn (n≥4) , E6 , E7 , E8 , F4 , G2 , H3 , H4 et I2(m) (m = 5 ou
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m≥7) ; l'indice dans le nom d'un groupe de Coxeter fini indique son rang. Seuls les 8
premiers (jusqu'à G2) sont cristallographiques, ce sont les groupes de Weyl des groupes
de Lie simples complexes (ou compacts) (cf. GROUPES, E.2.); en particulier An est le
groupe symétrique Sn+1 , groupe de Weyl de Sev(E) . Les groupes A2 = I2(3) , B2 =
C2 = I2(4) , G2 = I2(6) et I2(m) sont les groupes diédraux d'ordres 6 , 8 , 12 et 2m .
Les immeubles sphériques irréductibles de rang au moins 3 ont été classifiés par
Jacques Tits. Tous ces immeubles sont associés à des systèmes de Tits et presque tous à
des groupes algébriques semi-simples comme ci-dessus (ou à des versions tordues de
ceux-ci). Les groupes de Weyl de ces immeubles irréductibles de rang ≥ 3 sont tous les
groupes de Coxeter finis cristallographiques de rang ≥ 3.
Les immeubles irréductibles de rang 2 ont pour groupe de Weyl I2(m) , on dit
que ce sont des polygones généralisés car leurs appartements sont des polygones à m
sommets et m côtés (avec l'inclusion comme relation d'incidence). Si l'immeuble est fini
ou s'il vérifie une condition technique naturelle (immeuble de Moufang) on sait que
forcément m = 3 , 4 , 6 ou 8 . On connaît la classification des polygones généralisés de
Moufang (Tits et Weiss 2003); en particulier il existe des octogones généralisés (m = 8)
. On construit beaucoup d'exemples d'immeubles à groupe de Weyl A2 selon le procédé
décrit en 1. en partant de plans projectifs définis abstraitement (sans corps de base) dans
l'esprit par exemple du livre d'Artin [1].
c) Réalisations géométriques:
Tout groupe de Coxeter fini W d'ensemble de générateurs S = { r1 , ... , rn }
admet une représentation dans un espace vectoriel réel euclidien EW de dimension n .
A ri on associe une symétrie orthogonale si par rapport à un hyperplan vectoriel Hi ,
de façon que pour i ≠ j l'angle de Hi et Hj soit π/m(i,j) où m(i,j) est l'ordre (fini) de
rirj . On identifie ainsi W et le sous-groupe du groupe des isométries de EW engendré
par s1 , ... , sn . On appelle murs dans EW les transformés par W des hyperplans Hi ;
le complémentaire d'un mur dans EW a deux composantes connexes: les demiappartements associés. Une facette de Weyl est une classe d'équivalence pour la
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relation d'équivalence suivante sur EW : x est équivalent à y si x et y appartiennent
exactement aux mêmes murs ou demi-appartements. Une facette de Weyl est un cône
convexe. On ordonne ces facettes : F ≤ F' si F est dans l'adhérence de F' . Les facettes
maximales ou chambres de Weyl sont les composantes connexes du complémentaire
dans EW de la réunion des murs. Le groupe W permute simplement transitivement les
chambres de Weyl. Si W n'est pas irréductible, EW se décompose naturellement en
un produit d'espaces euclidiens munis de facettes de Weyl; les facettes de Weyl de EW
sont les produits des facettes de chacun de ces espaces.
Dans la figure 2 on a représenté EW et ses murs pour les groupes de Coxeter
A1 (d'ordre 2) , A1xA1 (d'ordre 4) , A2 , B2 = C2 et G2 .
Si I est un immeuble sphérique de groupe de Weyl W , on peut identifier
l'ensemble (ordonné par l'inclusion) des facettes d'un appartement A avec l'ensemble
ordonné des facettes de Weyl de EW . On associe ainsi à chaque appartement A de I
un espace vectoriel euclidien Av , subdivisé en facettes de Weyl en bijection avec les
facettes de A . On considère la réunion disjointe de ces Av et on recolle
isométriquement les adhérences des facettes de Weyl des différents Av qui
correspondent à la même facette de I . On obtient ainsi un espace Iv réunion d'espaces
vectoriels euclidiens Av , en bijection avec les appartements de I et encore appelés
appartements; ils sont tous de même origine 0 (qui est la facette de Weyl associée à la
facette vide). Comme deux points de Iv sont contenus dans un même appartement
(unique à isométrie près) la métrique sur ces appartements s'étend à Iv en une métrique
(on arrive à prouver l'inégalité triangulaire). L'espace métrique Iv est complet et
réunion disjointe de ses facettes de Weyl qui sont des cônes convexes de sommet 0 et
sont en bijection avec les facettes de I . On dit que Iv est la réalisation géométrique
vectorielle de I ; elle a la plupart des propriétés des réalisations géométriques des
immeubles affines du 4.b ci-dessous.
Par contre Iv est contractile et a donc peu d'intérêt topologique. On préfère
considérer l'ensemble Is des points de Iv à distance 1 de 0 et on appelle facettes ou
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appartements de Is les intersections avec Is des facettes de Weyl ou appartements de
Iv . Les appartements de Is sont des (n-1)-sphères; il y a bijection entre les facettes ou
appartements de Is et ceux de I . On dit que Is est la réalisation géométrique
sphérique de I . Topologiquement c'est la réalisation géométrique classique du
complexe simplicial I ; elle est homotope à un bouquet de (n-1)-sphères.
Si G est un groupe d'automorphismes de I , il opère isométriquement sur Iv et
Is ; on obtient en particulier une représentation de G dans le groupe d'homologie
Hn-1(Is) qui est non nul. Quand G est un groupe algébrique semi-simple sur un corps
fini et I est son immeuble de Tits, on définit ainsi la représentation de Steinberg de G .
4. Immeubles affines (ou de Bruhat-Tits):
a) Groupes de Coxeter affines:
On considère un espace vectoriel réel euclidien E de dimension n ≥ 1 et dans
cet espace un ensemble M d'hyperplans affines appelés murs. On note sM la symétrie
orthogonale par rapport à un mur M et W le groupe engendré par ces symétries. On
suppose vérifiées les 3 conditions suivantes:
(M1) Pour tout mur M , il existe un mur parallèle à M et différent de M .
(M2) Toute partie bornée de E ne rencontre qu'un nombre fini de murs.
(M3) Pour tout mur M et tout w dans W , l'hyperplan w(M) est un mur.
(Voir figure 3 ; un hyperplan est un point quand n = 1 et une droite quand n = 2 .)
On définit (comme en 3.c) des demi-appartements et des facettes (que l'on
ordonne grâce à l'adhérence). Les facettes maximales sont appelées chambres ou
alcôves. Si C est une alcôve, ses cloisons sont les facettes contenues dans l'adhérence
de C , différentes de C et maximales pour ces propriétés. Chaque cloison est contenue
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dans un unique mur et on note S l'ensemble des symétries orthogonales par rapport aux
murs contenant les cloisons de C .
Alors W opère simplement transitivement sur les alcôves et c'est un groupe de
Coxeter cristallographique infini avec S comme ensemble de générateurs. Il existe
dans E des points spéciaux (i.e. tels que tout mur a un mur parallèle contenant ce
point). A translation près on peut supposer que l'origine 0 est un point spécial et on
considère le quotient EW de E par le sous-espace vectoriel intersection de tous les
murs contenant 0 ; EW a les mêmes propriétés que E .
Un groupe de Coxeter W est dit affine s'il est isomorphe à un groupe défini
comme ci-dessus; on lui associe donc un espace vectoriel réel euclidien EW . Le
fixateur W0 de 0 dans W est un groupe de Coxeter fini et le groupe W est produit
semi-direct de W0 par un groupe de translations (engendrant EW et isomorphe à Zn ,
si Z est l'anneau des entiers relatifs).
Il existe un ensemble fini R de formes linéaires sur EW tel que pour tout a Œ
R Ra«R = {±a} et que les murs soient exactement les hyperplans d'équation a(x) =
p , pour a Œ R et p Œ Z . L'ensemble R est un système de racines dans l'espace dual
EW* (cf. GROUPES, E.6.) et la classification découle donc de celle des systèmes de
racines. Les groupes de Coxeter affines irréductibles ont pour nom A˜ n (n ≥1) , B˜ n (n
≥ 3) , C˜ n (n ≥ 2) , D˜ n (n ≥ 4 ) , E˜ 6 , E˜ 7 , E˜ 8 , F˜ 4 et G˜ 2 ; si le nom est X˜ n le
†
rang est n+1 , EW est de dimension n et W0 est le groupe
† de Coxeter
† Xn . Si W
E†W se†décompose
en un produit†d'espaces
† n'est pas irréductible,
†
†
†naturellement
†
euclidiens munis de facettes; les facettes de EW sont les produits des facettes de
chacun de ces espaces.
b) Immeubles affines:
Un immeuble est dit affine si son groupe de Weyl est affine. Alors à chaque
appartement A de I on associe un espace euclidien Aa muni de facettes en bijection
avec les facettes de A . Par le même procédé qu'en 3.c on construit un espace métrique
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complet (pour une distance d ) Ia , réunion d'espaces euclidiens Aa en bijection avec
les appartements de I et encore appelés appartements. L'espace Ia est réunion
disjointe de ses facettes qui sont en bijection avec les facettes de I . On dit que Ia est
la réalisation géométrique affine de I .
Deux points x , y de Ia sont contenus dans un même appartement Aa et le
segment [x,y] qui les joint est indépendant de Aa , c'est l'ensemble des z dans Ia tels
que d(x,y) = d(x,z) + d(z,y) . Ainsi Ia est contractile.
Si I est de rang 2 , les appartements sont de dimension 1 . Les axiomes (I2) et
(I3) des immeubles permettent alors de montrer que Ia est un graphe connexe qui n'a
pas de circuit, c'est donc un arbre.
Si G est un groupe d'automorphismes de I , il opère isométriquement sur Ia ;
s'il stabilise un sous-ensemble borné non vide X de I , il fixe un point de l'adhérence
de X dans I . Ce théorème de point fixe résulte en fait de ce que Ia est un espace
hyperbolique au sens de Gromov.
c) Immeubles de Bruhat-Tits:
On considère un corps K muni d'une valuation discrète v , c'est à dire une
application surjective v : K Æ Z »{+•} telle que v(x) = +• si et seulement si x = 0
, v(xy) = v(x) + v(y) et v(x+y) ≥ inf(v(x),v(y)) pour tous x,y Œ K . On en déduit sur
K une distance ultramétrique : d(x,y) = exp(-v(x-y)) . Ainsi K est un corps
topologique. Quand K est localement compact on dit que c'est un corps local (non
archimédien) ; c'est alors une extension finie du corps Qp des nombres p-adiques ou un
corps de séries formelles (cf. NOMBRES (théorie des), B, C). L'ensemble D des x
dans K tels que v(x) ≥ 0 est un sous-anneau de K et si u Œ D est une uniformisante
(i.e. v(u) = 1) l'idéal uD est maximal et le quotient D/uD est appelé corps résiduel.
Si G est un groupe algébrique semi-simple sur K , il hérite de la métrique sur
K une structure de groupe topologique. Si le rang relatif est n ≥ 1 , un sous-tore
déployé maximal T de G est isomorphe à (K*)n et la valuation induit donc un
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homomorphisme surjectif de T sur Zn . Cet homomorphisme se prolonge en un
homomorphisme de Z (le centralisateur de T ) sur un groupe isomorphe à Zn dont on
note H le noyau. Si K est local, H est le sous-groupe compact maximal de Z . Ainsi
Wa = N/H est extension de W = N/Z par un groupe isomorphe à Zn . On montre que,
si G est simplement connexe, Wa est un groupe de Coxeter affine et on note Aa
l'espace euclidien associé muni de ses murs, facettes et alcôves.
Si K est un corps local (ou plus généralement si K est complet à corps résiduel
parfait) et si G est simplement connexe, on associe à une alcôve C de Aa un sousgroupe Bi de G dit d'Iwahori qui a une structure de groupe algébrique sur D et
vérifie Z = Bi «N . De plus (G,Bi,N,S) est un système de Tits de groupe de Weyl Wa ,
l'immeuble associé est donc affine, c'est l'immeuble de Bruhat-Tits de G sur K ; on
considère surtout sa réalisation géométrique Ia(G) . En général on associe à G un
groupe semi-simple simplement connexe G' dont un quotient G" par un groupe fini
est dans G ; le groupe G' opère sur Ia(G) = Ia(G') par des automorphismes étiquetés,
cette opération passe au quotient G" et s'étend à G qui opère par des automorphismes
non forcément étiquetés.
Si K est un corps local Ia(G) est localement compact et le théorème de point
fixe permet de montrer que les sous-groupes compacts maximaux de G sont les
fixateurs de certains points de Ia(G) . Ainsi cet immeuble joue le rôle de l'espace
symétrique que l'on définit quand K = R ou C (cf. GROUPES, E.3.).
On peut compactifier un espace affine euclidien en rajoutant à l'infini sa sphère
unité. De même on peut définir une topologie naturelle sur la réunion de Ia(G) et de la
réalisation sphérique I(G)s (convenablement retopologisée) de l'immeuble de Tits de
G ; si K est un corps local on obtient ainsi une compactification de Ia(G) . La
compactification de Satake s'obtient, elle, en rajoutant à l'infini les immeubles affines
des semi-simplifiés des paraboliques de G .
En utilisant un immeuble sphérique à l'infini, on peut montrer que, si le système
A d'appartements est complet, tout immeuble affine, irréductible, localement compact
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et de rang ≥ 4 est l'immeuble de Bruhat-Tits d'un unique groupe simple sur un unique
corps local.
d) Exemple pour PGL(E) :
On considère les réseaux de l'espace vectoriel E de dimension n+1 sur le corps
local K , c'est à dire les sous D-modules libres de E de D-base une K-base de E .
L'immeuble de Bruhat-Tits de PGL(E) est défini comme suit:
- l'ensemble I des sommets est le quotient de l'ensemble des réseaux par
l'homothétie;
- si
L1 , ... , Lk sont des réseaux, l'ensemble { cl(L1) , ... , cl(Lk) } des classes
de ces réseaux est une facette si et seulement si, à homothétie et permutation près, on
peut supposer : uLk ̭ L1 ̭ L2 ̭ ... ̭ Lk
.
- les appartements sont associés aux bases de E : si e0 , ... , en est une base, les
sommets de l'appartement correspondant sont les classes des réseaux dont une D-base
est de la forme up0e0 , ... , upnen pour p0 , ... , pn ΠZ .
Le groupe PGL(E) opère en respectant toute la structure (sauf les étiquettes).
Le groupe simplement connexe associé est le groupe SL(E) des automorphismes de E
de déterminant 1 .
Les sommets d'un appartement A associé à une base sont en bijection avec
Zn+1/Z . Si Z et N sont associés comme en 2.c à cette base, l'action de N sur les
sommets s'étend linéairement à Aa = Rn+1/R , le groupe Z agit par les translations par
Zn+1/Z . Le groupe N' intersection de N avec l'image de SL(E) induit le groupe de
Coxeter affine A˜ n associé aux murs d'équations xi - xj = p , pour 0≤i≠j≤n et p Œ Z .
Le fixateur dans PGL(E) d'un sommet est (pour l'écriture dans la base d'un
†
réseau correspondant) le quotient par Z(E) du groupe des matrices inversibles à
coefficients dans A . Si e0 , ... , en est une base et si une alcôve est formée des classes
des réseaux L0, .. ,Ln où Li a pour D-base e0, .. , ei , uei+1, .. ,uen , alors le sous-
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groupe d'Iwahori associé dans SL(E) est formé des matrices inversibles de déterminant
1 , à coefficients dans D dont tous les coefficients sous la diagonale sont dans uD .
Dans le cas où n = 1 et où le corps résiduel a q éléments, l'immeuble Ia est un
arbre dans lequel tout sommet est contenu dans q+1 arêtes. La figure 4 représente cet
arbre pour q = 2 , par exemple si K est le corps 2-adique Q2 ou le corps de séries
formelles F2((t)) : les résultats d'unicité du c) ne sont pas vrais pour les immeubles
affines de rang 2.
5. Généralisations:
a)
Une valuation réelle sur un corps K est une application v : K Æ R »{+•}
vérifiant les mêmes autres conditions que les valuations discrètes. Si G est un groupe
semi-simple sur K , on peut (en général) encore définir son immeuble de Bruhat-Tits
sous la forme uniquement de sa réalisation géométrique Ia(G) . Le groupe de Weyl Wa
= N/H n'est plus un groupe de Coxeter et il n'y a plus de facettes au sens habituel.
L'espace Ia(G) est muni d'une métrique pour laquelle il n'est pas forcément localement
compact ni complet. Les segments peuvent être définis comme en 4.b.
Ces immeubles forment encore des exemples intéressants d'espaces
hyperboliques. Un fait remarquable est qu'à l'espace symétrique d'un groupe semisimple sur R , on associe un cône asymptotique qui est l'immeuble affine (complet) du
même groupe sur un corps muni d'une valuation réelle surjective.
b)
Beaucoup de groupes simples finis sont en fait des groupes algébriques simples
sur des corps finis ou des versions tordues de ceux-ci (groupes de Ree ou Suzuki). Ces
groupes opèrent sur des immeubles sphériques de façon transitive sur les chambres. Si
l'on exclut ceux-ci et les groupes alternés ou cycliques (bien connus) il ne reste plus que
26 groupes finis simples dits sporadiques. Pour la plupart d'entre eux, on peut les faire
opérer (de manière transitive sur les chambres) sur des complexes simpliciaux vérifiant
en particulier l'axiome C1 de 2.a et étiquetés.
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c)
On peut donner une définition équivalente à celle d'immeuble de groupe de
Weyl W . On considère un ensemble D de chambres et une fonction distance d :
DxD Æ W soumise à certains axiomes. Les appartements sont les parties de D
isométriques à W muni de la distance d(v,w) = v-1w .
Cette définition est plus souple car elle ne fait intervenir que les chambres et ne
présuppose pas l'existence d'appartements.
d)
Les groupes de Kac-Moody généralisent les groupes algébriques semi-simples,
ils possèdent 2 systèmes de Tits (G,B+,N,S) et (G,B-,N,S) correspondant à 2 "sousgroupes de Borel" non conjugués (en général) par automorphisme intérieur. Comme
B+«N = B-«N le groupe de Weyl W est commun et tout groupe de Coxeter
cristallographique peut ainsi être obtenu.
Le groupe de Kac-Moody opère sur les 2 immeubles I+ et I- qui sont jumelés
au sens où il existe une fonction codistance (déduite de la décomposition de Birkhoff
G = B+NB- ) entre les chambres de I+ et I- . La classification des immeubles jumelés
est en cours dans le cas où les m(i,j) déterminant les relations du groupe de Coxeter W
sont tous finis. Ces groupes de Kac-Moody fournissent d'intéressants exemples de
groupes opérant sur des immeubles ni sphériques ni affines.
Références:
[1] E. Artin, Geometric Algebra, Interscience New York, Algèbre géométrique
(traduction M. Lazard) Gauthier-Villars Paris 1967.
[2] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chapitres 4, 5 et 6 , Hermann Paris 1968.
[3] K. Brown, Buildings, Springer Verlag Berlin 1989.
[4] F. Bruhat et J. Tits, Groupes réductifs sur un corps local, I et II, Publications
Mathématiques de l' I.H.É.S. 41 (1972) et 60 (1984).
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[5] M. Ronan, Lectures on buildings, Perspectives in Math. 7, Academic Press Boston
1989.
[6] J. Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, Lecture notes in Math. 386,
Springer Verlag Berlin 1974.