II. Vecteurs - Les mathématiques en direct

CHAPITRE 2 – REPERAGE DANS LE PLAN – VECTEURS
CLASSE DE SECONDE
C. JOURDAIN
I. Repérage
1)
Repérage des points du plan.
Définition :
Un repère du plan est un triplet (O ; I ; J ) de points non alignés.
On dit que :
On distingue trois types de repère :

O est l’origine du repère ,

Le repère orthonormal

La droite graduée (O ; I ) est l’axe des abscisses,

Le repère orthogonal,

La droite graduée (O ; I ) est l’axe des ordonnées.

Le repère quelconque.
Repère orthonormal
Repère orthogonal
Repère quelconque
Les axes sont perpendiculaires en O.
La maille est un rectangle.
La maille est un parallélogramme.
La maille est un carré.
Les axes sont perpendiculaires en O.
OI = OJ

Coordonnées d’un point
Le plan est rapporté à un repère (O ; I,J). Tout point M est repéré par un unique couple de réels (x,y), appelé couple de
coordonnées de M dans le repère.

Notion de dimension
Une droite graduée forme un repère dit « de dimension 1 »
Un plan muni d’un repère (O, I, J) forme un repère dit « de dimension 2 ».
2)
Repérage des cases d’un réseau carré ou rectangulaire
Dans un tableur, par exemple sous Excel, chaque « case » est appelée une cellule. L’ensemble des cellules forme un réseau
carré ou rectangulaire, selon la largeur des colonnes et la hauteur des lignes.
Exemple :
C est la lettre de la cellule D3
Faire les exercices : n° 1, 3, 4 p 274 – n°6, 8 p 275
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CHAPITRE 2 – REPERAGE DANS LE PLAN – VECTEURS
CLASSE DE SECONDE
C. JOURDAIN
II. Vecteurs
1)
Vecteurs et égalité vectorielle
Définitions et propriétés :
a.
A tout couple de points (A, B) est associé un vecteur Error!, défini par :
1.
sa direction,
2.
son sens
3.
et sa longueur AB.
b.
Lorsque A et B sont confondus, on pose Error! = Error!, appelé vecteur nul.
c.
Error! =  Error!
d.
La norme du vecteur Error! est la longueur AB. Elle est notée : || Error! || = AB.
Un vecteur Error! est dit unitaire si sa norme est 1 : ||Error!|| = 1.
Propriétés :

Error! = Error! si, et seulement si la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D

Error! = Error! si, et seulement si ABDC est alors un parallélogramme

Error! = Error! si, et seulement si [AD] et [BC] ont même milieu.
2)
Addition de deux vecteurs
Théorème :
(Relation de Chasles)
Pour tout point M du plan, on a : Error! = Error! +
Error!
Interprétation :
Le chemin choisit pour aller de A à B
Théorème :
(Règle du parallélogramme)
On a équivalence entre les deux propositions suivantes :

ABDC est un parallélogramme

Error! + Error! = Error!
n’importe pas dans une égalité vectorielle. (Attention, un
chemin est un trait continu sur un graphique)
3)
Soustraction de deux vecteurs
La différence Error! - Error! des vecteurs Error! et Error! est définie par : Error! - Error! = Error! + (- Error!)
Exemple : Calcul de Error! - Error!
Faire les exercices : n°9, 11 à 14 p 275 – 17 et 19 p 276
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CLASSE DE SECONDE
C. JOURDAIN
III. Coordonnées de vecteurs
1)
Coordonnées d’un vecteur
(O, I, J) est un repère du plan. En posant Error! = Error! et Error!=Error!, le repère s’écrit aussi : (O, Error!, Error!).
Les coordonnées de M sont alors aussi celles du vecteur Error! : Error! Error!, on les note généralement en colonne pour les
distinguer des coordonnées du point.
Propriétés :
Si A (xA ; yA) et B(xB ; yB), alors : Error! Error!
et :
Exemples :
|| Error! || ² = ( xB  xA ) ² + ( yB  yA )².
Si A(4 ; 1) et B(2, 3) dans un repère (O,I,J), calculer les coordonnées de Error!, Error!, Error! dans ce
repère puis la distance AB.
2)
Propriétés :
Application :
Traductions analytiques
Dans un repère, Error!(x, y) et Error!(x’,y’) sont deux vecteurs.

Error! = Error! si, et seulement si, x = x’ et y = y’, ce qu’on écrit : Error!

 Error! a pour coordonnées Error!

Error!+Error! a pour coordonnées Error!
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
Faire les exercices : n°21 à 23 p 276 – n°30 à 33 p 277
IV. Vecteurs kError! avec k réel
1)
Multiplication par un réel d’un vecteur
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Définition :
Soit un vecteur Error!et deux points A et B tels que Error! = Error!. On appelle produit du vecteur
Error! par le nombre réel k, le vecteur noté k. Error! tels que

Si k > 0 et Error!≠ Error!, le vecteur k. u a la même direction, le même sens que le vecteur Error!
et a pour longueur k.AB

Si k < 0 et Error!≠ Error!, le vecteur k. u a la même direction, le sens contraire du vecteur Error!
et a pour longueur – k.AB

Propriétés :
Si k = 0 ou Error!≠ Error!, le vecteur k. u est le vecteur nul noté Error!
Quels que soient les nombres réels h et k et les vecteurs

h. Error! + k . Error!= (h + k) . Error!

h ( k Error!) = h k Error!

h(Error!+Error!) = h Error!+ h Error!
Proposition :
Le plan étant muni d’un repère, soient deux vecteurs
Le vecteur k Error! a pour coordonnées
u et v
u (x ; y) et v (x’ ; y’) et k un nombre réel.
Error!
Faire les exercices : 34 page 277 ; 39, 40, 42, 48 page 278.
2)
Propriété :
Vecteurs colinéaires et points alignés
Si Error! Error! et Error! Error!, on a équivalence entre :
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CLASSE DE SECONDE
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
Error! et Error! sont colinéaires

il existe k  IR tel que :Error! = k Error!
(Deux vecteurs non nuls
Propriété :
u et v sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.)
Les points A, B et C distincts deux à deux sont alignés si, et seulement si les vecteurs non nuls
AB et AC
sont colinéaires.
Méthode 1 : Comment trouver l’équation d’une droite (AB) ?
La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que : Error! = k Error!, k décrivant IR, donc :
M  (AB)
3)
Théorème :
si, et seulement si
il existe k  IR, tel que Error! = k Error!
Expression analytique de la colinéarité
Le plan étant muni d’un repère, soient deux vecteurs non nuls
Le vecteur
u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ).
u est colinéaire au vecteur v équivaut à : x y’ = x’ y
Ce qui reviens à dire qu’il y a proportionnalité entre les coordonnées des deux vecteurs.
Méthode 2 : Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
(AB) parallèle à (CD)
si, et seulement si
il existe k  IR, tel que Error! = k Error!
Méthode 3 : Comment démontrer que trois points sont alignés ?
A, B et C alignés
si, et seulement si
il existe k  IR, tel que Error! = k Error!
Méthode 4 : Comment démontrer que G est le centre de gravité d’un triangle ABC ?
Le centre de gravité d’un triangle ABC est le point G tel que : Error! + Error! + Error! = Error!
Et si A’ est le milieu de [BC], on a : Error! = Error! Error!
Le meilleur moyen reste de montrer que G est le point d’intersection des médianes du triangle.
Révision : QCM page 279 et VRAI – FAUX page 279.
Faire les exercices : 82, 83 page 281 ; 87, 88 page 282 ; 93 page 284.
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