1. Equations différentielles en TS Type Equation Exemples Radioactivité : er 1 ordre sans second membre dX .X 0 dt avec en s d N .N 0 dt Circuit RC : dUc 1 .Uc0 =R.C dt R.C -1 Circuit RL : di R .i 0 dt L 1er ordre avec second membre Circuit RC : dUc 1 .Uc E dt R.C R.C dX .X C dt Circuit RL : di R .i E dt L L Oscillateurs non amortis d2X 02.X 0 dt 2 2d ordre sans second membre =L/R Circuit RLC avec 0 = 2/T0 2 d u 1 u =0 d t LC d X .dX .X 0 2 2 dt 2 dt 2 0 Dispositif solide-ressort 2 d x k x = 0 dt m 2 Oscillateurs amortis d2X 02.X k.v dt 2 2d ordre avec second membre constant Chute libre sans frottements d2X C dt 2 Chute verticale avec frottements d2X . dX C dt 2 dt dv k.vC qui revient à une équation du dt 1er ordre en v avec vlim = C/k ou dv k.v 2 C dt d2X .(dX )2 C dt 2 dt Toutes ces équations peuvent être résolues analytiquement sauf l’équation encadrée pour laquelle des méthodes de résolution approchées peuvent être envisagées telle que la méthode d’Euler. La méthode d’Euler peut également être appliquée dans tous les autres cas. -1- 2. Principe de la méthode d’Euler On cherche à construire une solution de l’équation différentielle y’ = f(t, y) sur un intervalle t0 ; t0 + t. Pour cela, on subdivise cette durée t en K intervalles de t0 à tN de durée égale tn+1 – tn = p appelés pas. La méthode d’Euler consiste alors à approcher la fonction solution y(t) par une fonction affine Y(t) par morceau de la façon suivante : on confond la courbe de la fonction solution sur le sous-intervalle tn , tn+1 avec sa tangente au point de coordonnées tn. y,Y t Y(tn+1) = Y(tn) + p y’(tn ) avec y’(tn) = f(t, y) donc Y(tn+1) = Y(tn) + p f(t, y(tn)) Partant de y0 = y(t0) (condition initiale) et ayant défini p on peut alors calculer y(tn) par itération. http://www.ac-montpellier.fr/scphysiques/SP15.htm http://www.up.univ-mrs.fr/laugierj/euler_up/chute_pas_libre_Vl.htm -2- 3. Application à la décroissance radioactive Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux. Soit N (t) la fonction représentant le nombre moyen de noyaux radioactifs à l’instant t . Le taux de variation dN du nombre d’atomes qui se désintègrent dt dans l’intervalle de temps infiniment petit dt est proportionnel au nombre moyen d’atomes présents à l’instant t. Soit le coefficient de proportionnalité (constante radioactive de l’élément considéré). On a alors l’équation différentielle d N .N qui peut être résolue de manière dt analytique lorsque les élèves disposent de la fonction x ex mais qui peut être également résolue de manière approchée à l’aide de la méthode d’Euler. n° de ligne Conditions 0 t N(t) t0 N0 t1 = t0 + p N 1 = N 0 + d N (t0) p dt initiales On définit le 1 pas p de calcul 2 N 1 =N t2 = t1 +p 0 - N 0p de même N 2 = N 1 - N 1p t2 = t0 + 2.p … … … n tn = tn-1 +p de même N n = N n-1 - N n-1 p tn = t0 + n.p … …. …. K tK = t0 + t on obtient pour finir tK = t0+ K.p N (t + t) -3- Remarques à propos du Pas Soit z(t) est la solution analytique de l’équation différentielle dont la représentation est donnée ci-dessous. Par la méthode d’Euler, on trace la courbe qui passe par les points calculés successivement : y(tn+1) = y(tn) +y’(tn).p Lorsqu’on suppose que y (t n ) z (t n ) correspond à la valeur exacte au temps tn de la solution z, l’erreur commise à l’étape n relativement à la solution exacte z (appelée erreur de consistance) est en z (t n 1 ) y (t n 1 ) L’erreur de consistance dépend donc de la courbure de la courbe et du carré du pas. Les deux courbes s’éloignent donc de plus en plus au fur et à mesure que t croît. Nous voyons donc qu’il faudra chercher à utiliser un pas suffisamment petit pour limiter l’erreur de consistance, tout en sachant que la réduction du pas augmente le volume des calculs à effectuer. -4- Méthode d'Euler appliquée à la décroissance radioactive T radioactive : C radioactive : No : pas p : 100 0,006931 1000 10 t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 N(Euler) 1000,0 930,7 866,2 806,1 750,3 698,3 649,9 604,8 562,9 523,9 487,6 453,8 422,3 393,0 365,8 340,4 N(analytique) 1000,0 933,0 870,6 812,3 757,9 707,1 659,8 615,6 574,3 535,9 500,0 466,5 435,3 406,1 378,9 353,6 Ecart relatif 0,0% N N(Euler) N(analytique) 0,3% 0,5% 1200,0 0,8% 1,0% 1000,0 1,3% 1,5% 1,7% 2,0% 2,2% 2,5% 2,7% 800,0 600,0 400,0 200,0 t 3,0% 3,2% 3,5% 3,7% -5- 0,0 0 50 100 150 200