Mathématique

N° ...
2B
Mathématique
M atière
Algèbre
Géométrie
Multi ples et di vi seurs
Droi tes parallèl es et per pendi culai res
(Pre mière partie : Pages 5 -> 24 (Euclide) )
(Notati ons et codage des dr oi tes et des
segm ents)
PPCM /PG CD
Di stances
Equati ons (Pre mière partie : Page 7 manuscrite)
Inégali té tri angulai re et di stances
Enti ers : opérati ons
Médi atri ces et bi ssectri ces
(2è me partie : Pages 1 -> 23 )
Di stri buti vi té
(Page s 21 -> 23 )
Règle de s uppr essi on (Page s 1 2 -> 15)
Term es s em blabl es ( Page 1 3)
Pui ssances ( Page 23)
Quelques piste s
Faire un e synthèse par chapitre (fiches de synthèse )
Etudier la théo rie (Tu dois étudier c hez toi)
Refaire les ex ercic es faits en classe
(dan s ton cahier de b rouillon, par éc rit et pas seulem ent les lire !)
Vérifier sa compréhen sion en faisant les exerc ices de révision s
Attention, les exercic es ci- dessous ne sont pas exclusif s,
autrement dit tu ne dois pas te conten ter de ceux -là uniqu ement.
CE1D : site de l’école : deuxieme
Math ém atiqu e 2B
felixlec hat
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I. Diviseurs et multiples
Voir cahier P ……
A) Théorie (voir cahier pages : ………………………….
)
Un nombre naturel est premier s’il a deux diviseurs distincts...............................................................................
Des nombres premiers entre eux sont deux nombres qui n’ont que un comme diviseur commun ..........................
div 15 est l’ensemble de s divise urs de 15
div 15 = 1 ; 3 ; 5 ; 15.....................................................................
12N est l’ensemble de s multiples de 12.
12N = 0,12,24,36,48,60 , ... ............................................................
PGCD est l’abréviation de plus grand commun diviseur ......................................................................................
Le PGCD de de ux nombres premiers entre eux est un .........................................................................................
Le PPCM de de ux nombres premiers entre eux est égal au produit des deux nombres ..........................................
Le PPCM de de ux nombres est le plus petit commun multiple des deux nombres ................................................
Le produit de de ux nombres e st égal à au produit de leur PGCD et de leur PPCM ..........................................
T out nombre qui divise le dividende et le diviseur d’une div ision divise le reste ( Page 1 3)
Si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux alors il est divisible par leur produit ( Page 1 4)
Division et vocabulaire
Division euclidienne et forme générale : D = d*q+r avec 0  r < d .....................................................................
B) Exercices : cahier pa ge 7 + …
1 ) marque une croix dans la case au croise ment de deu x nombres p re miers entre eux :
15
15
16
*
16
24
32
27
*
*
*
*
*
24
32
27
*
*
2) Etre capable de justi fier qu'un nombre est ou n'est pas di visible par un autre (// Page 1 5)
442 est-il divisible par 72 ? NON......car ………………………………………………………………
Pas 3 et 24 ; Pas 2 et 36 , pas 4 et 18, pas 6 et 1 2 : leur produit est égal à 72 mais ils ne sont pas pre mie rs en tre
eux. Tentons avec ….
8 et 9 : 8*9 =72 (leur produit est égal à 72  ok )
8 et 9 sont premiers entre eux car ils n’ont que 1 comme diviseur commun (PGCD = 1)
442 n’est pas divisible par 8 car les deux derni ers chi ffr es for mant 42 n’ est pas di vi si ble par 8 .......
442 n’est pas divisible par 9 car la somme des tr oi s chi ffr es es t égal e à 10 qui n’ est pas di vi si ble par 9
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3) Etre ca pabl e de changer de langag e (langag e sy mbolique et langag e usuel)
Ecris une expre ssion littéra le …..
d’un multiple de 3 augmenté de 2
a)
d’un multiple de 7
7n
f)
b)
d’un multiple de 5
5n
g) d’un nombre pair
c)
d’un multiple de 4 augmenté de 1
4n+1
h) de trois nombres consécutifs
d)
de deux nombres conséc utifs
n et n+1
e)
d’un carré
n2
2n + 2 ou …
3n+2
2n + 2
n et n+1 et n +2
i)
de deux nombres pairs consécutifs
2n et 2n+2
j)
Les deux nombres (6n + 6) et (6n + 12) sont deux multiples de 6 consécutifs car
k)
Entoure parmi les nombres suivants, ceux qui sont des multiples de 2 (sachant que n est un nombre naturel):
2n + 3
l)
4n + 6
5n + 1
2n + 4
(3n + 1) + (3n + 5) =6n+6
Entoure parmi les nombres suivants ceux qui sont des multiples de 9 (sachant que n est un nombre naturel)
9n
9n + 1
9n + 3
9n + 9
9n + 18
9n + 27
9n + 25
18n + 6
Si n est pair  Impair
Si n est impair  pair mult2
4) Vrai ou faux ? (Exerce- toi à justifier ton choix)
Vrai
2n + 5 es t un nom br e pai r
*
9n + 27 es t un mul ti ple de 3
*
3n + 1 es t un mul ti ple de 3
*
4n + 12 es t un mul ti ple de 12
*
4n + 12 es t un mul ti ple de 4
*
5n + 35 es t un mul ti ple de 5 et de 7
*
La somm e de 4 nom br es consécuti fs es t un m ulti ple de 4 : n + n+1 + n+2 + n+3 = 4n + 6
*
La somm e de 3 nom br es pai rs cons écuti fs es t un m ulti ple de 6 : 2n + 2n+2 + 2n+ 4 =6n+6
5) Les no mbre s nature ls suivan ts sont-ils pairs ou impairs ? (Exerce- toi à justifier ton choix)
2x + 1 impair
2x + 2x = 4x  pair
2x – 3. impair
Faux
2x + 4….. pair
2x – 1 ….. impair
2x + 2x + 3 = 4x + 3  impair
*
( Page 7)
2x – 4 pair
2x + 7 impair
2x + 1 – x =x +1  impair si x est pair
ou pair si x est impair
6) Les affirma tions suivante s sont-e lles vraies ou fau sse s ? Justifie
a)
12n est un multiple de 6 vrai car 12 = 6 *2 les multiples de 12 sont aussi des multiples de 6.......
b)
3n + 6 est un multiple de 3 vrai car 6 = 3*2 ; 3n et 6 sont des multiples de 3 OU 3n + 6 = 3(n + 2)..
c)
16n + 6 est un multiple de 4 faux car 6 n’est pas un multiple de 4
d)
10n + 4 est un multiple de 2 vrai 10n et 4 sont des multiples de 2.................................................
e)
3n + 1 est un multiple de 3 faux
f)
18n est un multiple de 9 vrai car 18 = 9*2 (18 est un multiple de 9) ...............................................
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1 n’est pas un multiple de 3 .....................................................
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7) Résous les p roblè me s suivants en utilisant une exp re ssion littérale pour caractériser le problè me.
Problème 1 :
La somme de deux no mbres naturels pairs consécutifs vaut 70. Quels sont ces nombres ?
Choi x de l’ i nconnue : les écrit ures algébriques des no mbres que je cherche sont :
E1
( Page 7)
2n et 2n+2
 Soit 2n : un nombre naturel pair
 Soit 2n+2 le nombre naturel pair consécutif.............
Mi se en équati on : la so mme de ces deux no mbres s’écrit
E2
Le problème se traduit par l ’égalité
……………… ; elle vaut 70.
2n + (2n+2 ) =70
Rés oluti on de l’ équati on
2n + (2n +2) = 70
2n + 2n +2 = 70
4n+2 -2 =70 -2
4n = 68
n = 17
E3
Cette ég alité a une éq uation dont la solution est
S=17 
Soluti on du problèm e
E4
Les nombres q ue je recherche sont ( 2n = 2 *17 = )34……………………..et (2n+2 = 2 *17+2 =)36……………..
Véri fi cati on
2 . 17 + (2 . 17 + 2) = ?= 70
2 . 17 + (34 + 2)
= ?= 70
2 . 17 +
(36)
34 + 36
E5
= ?= 70
= ?= 70
70 = ?= 70
OUI !
*********************************************************************************************
Problème 2 : La somme de trois nombres conséc utifs vaut 123. Quels sont ces nombres ?
Problème 3 :
La somme de de ux nombres pairs consécutifs vaut 38. Quels so nt ces nombres ?
Problème 4 :
La somme de de ux multiples de 3 consécutifs vaut 75. Quels sont ces nombres ?
Les nom br es recher chés sont 36 et 39
Problème 5 : La so mme de deux no mbres i mpairs e st 84.
Si tu sais que l’ un est « 5 places » plus loin que l’ autre dans la liste des no mbres i mpairs,
déte rmine la va leur de ces no mbre s.
Les nom bres recher chés sont 37 et 47
8) Trouve un énoncé de problè me pour chaque équation.
3n + 3n + 3 = 69
La somme de 2 multiple s de 3 consé cutifs est égale à 69 . Détermine ces deux nombres.
2n + 1 + 2n + 3 = 40
La somme de deux nombre s impairs consécutifs est égale à 40. Détermine ces deux nombres.
9) Démontre les a ffi rmations suivan tes.
La somme de de ux nombres conséc utifs est un nombre impair.
a + a + 1 = 2 a+ 1
e t « 2a + 1 » est la forme générale d’un nombre impair.
La somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de 3.
a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 e t « 3a et 3 » sont des multiples de 3.
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2012 livre t 1
Langage us uel : Pour élev er un produi t à une pui ssance,
on élèv e chaque facteur à cette pui ssance.
Langage sym boli que : (a b c) n = an . bn . c.n
où ......
Langage us uel: Pour mul ti pli er un produi t de pui ssances de mêm e base,
on r ecopi e la base et on addi ti onne les ex pos ants .
Langage sym boli que : d
x
y
z
x+y+z
.d .d =d
L
où ......
Langage us uel : Pour élev er une pui ssance à une pui ssance,
on r ecopi e la base et on m ul ti pli e les ex pos ants.
Langage sym boli que : (ax ) n = ax.n
où ......
x . x = x2
produit de 2 facteurs de même base

prop puissances
x +x = 2x
somme de deux termes identiques

termes semblabl es
x 2 .x =x 3
produit de 2 facteurs de même base
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
prop puissances
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1 0) Si cela est possible,
rédige une phrase correcte en utilisant le s deux parties de phra ses p roposée s et les mo ts liens suivants : si, alo rs.
x est multiple de 12
x est multiple de 6
Si x est multiple de 12 alors x est multiple de 6
(12 = 6.2)
x est multiple de 12
x est multiple de 18
x est multiple de 12 alors x n’est pas un multiple de 18
x est multiple de 48
x est multiple de 16
Si x est multiple de 48 alors x est multiple de 16
Impossible
(48 = 16 .3)
11 ) Le produit de quatre no mbres consécutifs est toujours di visible par 24. Pourquoi ?
n .( n+1) . (n + 2) . ( n + 3) = (n 2 + n) (n 2 + 3n + 2n + 6) = (n 2 + n) (n 2 + 5n + 6)
= n 4 + 5n 3 + 6n 2 + n 3 + 5n 2 + 6n = n 4 + 6n 3 + 11n 2 +6n
1 2) Que devient le quotient d’ une division exacte si on rend
le divise ur trois fois plus grand ?
le divise ur six fois plus petit ?
le dividende quatre fois plus gran d ?
le dividende de ux fois plus petit ?
Le quotient devient 3 foi s plus pe tit.
Le quotient devient 6 foi s plus g rand
Le quotient devient 4 foi s plus g rand
Le quotient devient 2 foi s plus pe tit.
1 3) Utilise l’ algorithme d’ Euclide pour déte rminer les PGCD suivants.
136 et 56
3468 et 1020
réponse : 8
réponse : 204
1 4) Complète.
a .b
PGCD(a,b)
a.b
PGCD(a,b)
1 5) Le produit de 2 no mbre s est 1 08 et leur PGCD est 3. Quel est leu r PPCM ? 1 08 : 3 = 36
1 6) Trouve deux no mbres don t le PGCD est 6 et le PPCM e st 36.
Formule
:
Remplacer
Répons e :
PGCD(a,b) * PPCM(a,b) = a*b
:
6 * 36 = 216
Les nombres recherchés sont 6 et 36.
1 7) Détermine la valeu r de s nature ls a et b
si tu sais que : ab = 7560 ; PGCD (a;b) = 6 ; PPCM(a;b) = 1260 et 80 < a < 85.
Formule
: P GCD(a,b) * PPCM(a,b) = a*b
:
6 * 1260
= 7560
80 < a < 85  a est un nombre naturel pouvant être égal à 81,82 ,83 et 84.
Remplacer
Essai erreur avec 81, 82 ,83 et 84
7560 : 84 = 90
Répons e : Les nombres recherchés sont 84 et 90.
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13 : Utilise l’ algorithme d’ Euclide pour détermine r le s PGCD suivants
b
r
136
56
24
136 = 56 . 2+ 24
56
24
8
56 = 24 . 2 + 8
24
8
0
24 = 8 . 3 + 0
PGCD (136, 56) =8
a
b
r
Division euclidienne : Egalité
A
3468
1020
408
3468= 1020 . 3+ 408
1020
408
204
1020 = 408. 2 + 204
408
204
0
408= 204 . 2 + 0
Rappel : PGCD
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Division euclidienne : Egalité
a
PGCD (3468,1020) =204
dernier reste non nul
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1 8) La somme de deu x no mbres vaut 21 6 et leur PGCD 1 8. Détermine ces deux no mbre s.
Données :
Soient a et b deux nombres nat urels
PGCD(a,b) = 18 => a et b sont des multiples de 18
a+b = 216
Calculs : 216 est un multiple de 18. En effet 216 = 18*12
Essais-Erreurs :







18 + ...198.....= 216 et pgcd = 18 car 198 = 11* 18
36 + 180.....= 216 et pgcd = 36 car 180 = 36*5
54 + 162
= 216 et pgcd = 54 NON
72 + 144
= 216 et pgcd = 72
NON
90 + 126
= 216 et pgcd = 18
OUI
108 + 108
= 216 et pgcd = 108 NON
126 + ........= 216
et pgcd =
Réponses : Deux solutions
Les nombres recherchés sont 18 et 198
ET 90 et 120.
1 9) Le PGCD de deux no mbres e st 74 et le p lus gran d vaut 888.
Détermine les valeurs que pe ut prendre le plus petit des deux nombres.
………………………………………………………………………………………………………
20)
Recherche le PGCD et PPCM de s no mbre s suivants en utilisant la technique de déco mpo sition en facteurs pre mie rs
45, 75 et 180
rép :
45 = 32 . 5
75 = 3 . 52 180 = 22 . 32. 5
pppcm ( 45, 75 et 18) = 22 . 3 2 . 52 = 900 et PGCD ( 45, 75 et 18) = 3 . 5 = 15
21 ) Problè mes
Quelle est la longue ur du côté du plus grand pavé carré avec lequel on peut couvrir une terrasse rectangulaire
de 360 cm sur 480 cm ?
Ce nombre s’appelle le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
PGCD(360 ;480) = 120
Existe-t-il ? La longue ur du côté d u plus grand pavé carré est 120 cm.
On dispose de pavés rectangula ires de 40 cm sur 70 cm.
Détermine la longueur du côté du plus petit carré composé de ce type de pavés.
40 = 2 3 .5
70 = 2 . 5 . 7
PPCM (40 ;70) = 2 3 . 5 . 7 = 280
Ce nombre s’appelle le PPCM (Plus Petit Commun Multiple).
Jules et Juliette s’entraînent pour le marathon scolaire sur une piste tracée sur la cour de récréation de leur
école. Jules parcourt un tour de piste en 42 secondes, Juliette en 60 secondes.
Combien Jule s aura-t-il parcouru de tours lorsqu’ils repasseront ensemble pour la 1ere fois la ligne d’arrivé e ?
60 = 22 . 3. 5
42 = 2 . 3 . 7
PPCM (42 ;60) = 22 . 3. 5. 7 = 420 secondes
Jules : 420 : 42 = 10 tours
Juliette 420 : 60 = 7 tours
Jules aura parcouru 10 tours lorsqu’ils repasseront ensemble pour la 1ere fois la ligne d’arrivée.
22)
Repère les situations impo ssible s à comp lé ter :
3
2
=2 .3
Minimum
P eut y
avoir
d’ autres
base mais
expo 1
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impossible
6
=2
Pas un nbre naturel
impossible
a4 b4 c4
PGCD
PPCM
2
5
3
2 =8
5 . 7 = 175
6
2
2 . 3 = 576
b3 . c3
a2 b4 c5 d2
25 . 35 = 875
72 . 64 = 4608
22 . x = 11 . 33
a2 b7 c8 d2
a c5
a4 b4 c3
a5 b6 c4
2
abc
4
5
a b c
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Pour se
dépasser
3
5
6
a b c
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Division euclidienne
23)
24)
Ecris les divisions sui vantes sous la forme de la division euclidienne :
135 : 19 135 = 19 .7 + 2 où 0  2 < 19
255 : 22 255 = 22 . 11 + 13 où 0  13 < 22
85 : 9 
279 : 31 279 = 31 .9 di vi si on exacte
85 = 9 . 9 + 4 où 0  4 < 9
Recherche le s re ste s possibles de la division euclidienne d’ un nombre nature l :
Par 2 : 0 OU 1
Par 8 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 et 7
Par 25 : ………………………………………….. …………………………………………..
Par n (n est un naturel non nul) : ……………………………………………….
25)
Que devient le quotient d’ une division exacte : (sans changer les autre s élé ments)
si on rend …
a) le divise ur 3 fois plus grand ? …………………………………………………………………………….
b) le divise ur 6 fois plus petit ? ………………………………………………………………………………
c) le dividende 4 fois plus gran d ? ………………………………………………………………………….
d) le dividen de 6 fois plus grand et le diviseur 3 fois plus gran d ? …………………………………………
e) le dividende 6 fois plus gran d et le diviseur 3 fois plus petit ? ………………………………………….
f) le dividen de et le divise ur 2 fois plus grand ?…………………………………………… ………………
26)
Complète
a) Dans une division euc lidienne, le diviseur est 9, le quotient est 12 et le reste est 3. Quel est le dividende ?
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
b) Le quotient entier de la division de a par 7 est 32 et le reste est 5. Que vaut a ?
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
c) Le quotient entier de la division de 455 par b est 32 et le reste est 7. Que vaut b ?
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
d) Quels sont les plus petits nombres qu’il faut enlever et ajouter au nombre 371 pour que le reste de sa
division par 8 soit égal à 0 ?
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
e) Dans une division euc lidienne, le diviseur est 6 et le quotient est 8. Quels sont les dividendes possibles ?
……………………………………………………………………………….. ……………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
………………………………………….. ………………………………………….. ………………………
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Page 7
Division euclidienne et problèmes
Q27 page 8
Quan d je prépare la distribution des livres Actimath 1 aux 134 élèves de première,
je prépare des paquets de 5 livres.
Après la distribution il me reste 21 livres. Combien de paquets avais-je préparé ?
Ecris tous te s calculs et réponds par une phrase
134 livres + 21 livres = 155 livres au total
D = d.q + r avec 0  r < d
D = d.q + r avec 0  r < d
134 = 5 q + r
26 paquets
134 = 5 . 26 + 4
155 = 5 . 31 + 0
Reste 4 livres
J’avais préparé 31 paquets de 5 livres.
Livres restants : 21 + 4 = 25 => 5paquets
Nombre de paquets = 26 + 5 = 31
J’avais préparé 31 paquets de 5 livres.
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Division euclidienne et problèmes
Etre capable de résoudre des problèmes en utilisant la relation générale de la division euclidienne
27)
Problè me
Quan d je prépare la distribution des livres Actimath 1 aux 134 élèves de première, je prépare des paquets de 5
livres. Après la distribution il me reste 21 livres. Combien de paquets avais-je préparé ?
Ecris tous te s calculs et réponds par une phrase.
28)
Problè me
Anna a choisi un nombre. Elle divise ce nombre par 5.
Elle trouve comme quotient 8 et comme reste 3.
Quel est ce nombre ? Ecris tous tes calculs et réponds par une phrase.
29)
Problè me
Si je compte les marches d’un escalier par 3, il en reste 2 ; si on les compte par 5, il en reste 4 et si on les
compte par 8, il en reste 6. Déte rmine le nombre de marches de l’escalier si tu sais qu’il est inférieur à 30.
Ecris tous te s calculs et réponds par une phrase
30)
Problè me
Monsieur Dubois a reçu un lot de 60CD qu’il décide de partager entre ses enfants. Il en donne d’abord 6 à
chacun d’eux. Il lui en reste alors 18.
Combien a-t-il d’enfants ? 7 enfants
Lorsque le partage sera terminé, combien de CD aura reçu chaque enfant ?
chaque enfant a droit a 2 CD’s supplémentaires => 8 CD’ s
avec un partage équitable ;-)
Combien restera-t-il de CD ? 4
Ecris l’égalité de la division euclidienne propre à ce problème 60 = 7. 8 + 4……
31 ) Problè me
La troupe de théâtre de l’école va se produire dans une salle des fêtes.
Pour cette occasion, des professeurs ont disposé des chaises en rangées de 24 places numérotées de 1 à 600.
Le jour de la représentation, l’organisateur se ren d compte que cette numérotation n’est pas pratique c ar par
exemple, il est difficile de trouver directement la rangée qui correspond au n uméro 479.
Il change donc la numérotation :
tous les billets comporteront une lettre :
A pour la première rangée, B pour la deuxième rangée, … et ainsi de suite ;
tous les billets comporteront aussi un nombre de 1 à 24 ;
Exemple : C12 est le code de la dou zième chaise de la troisième rangée.
Tintin
C12
DÉTERMINE le code du billet de la chaise n uméro 75..
DÉTERMINE le numéro de la place du billet G7.. . . . . . . .
JUSTIFIE à l’aide de s codes de s billets le mécontentement d’un couple qui a acheté les places 432 et 433.
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Les entiers
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32)
Réduis au ma xi mu m le s exp ressions suivan tes.
Exercices littéraux
8x - (x – 2y) – 3y + (x + y) = 8x - x +2y – 3y + x + y = 8x + 3y – 3y = 8x
3d² - (-d – 2d² + 5) + 2d – 2 = 3d² +d + 2d² - 5 + 2d – 2 = 5d² +3d -7
- 5a + (- 2ab – 3) = - 5a - 2ab – 3 PAS de termes semblables !!!!
(4a – 2b) - (2b – 4a) – 2a + (3a – 2b) = 4a – 2b - 2b + 4a – 2a + 3a – 2b = 9a – 6b
(4x² - 1) – (2x – 1) + (2x + 1) = 4x² - 1 – 2x +1 + 2x + 1= 4x² + 1
33)
EFFECTUE les opé rations suivante s et réduis si possible.
5a – a
somme alg ébriq ue de 2 t ermes
somme algébrique de 2 termes
2a – 7 + a
SA
SA
SA
N.S
N.S
S.S
34)
= 4a
= 3a – 7
(termes semblabl es)
(termes
semblables)
Termes semblables
7a . 2a prod uit de fact eurs = 7 . 2. a . a =14 a2
3
3
3
Mêmes lettres ET mêmes expos ants
a +a = 2a
(n + 2) . 2 + 2 = 2n + 2 . 2 + 2 = 2n + 6
Po ur addition ner des termes semblables
a – (2 – a) = a – 2 + a = 2a - 2
recopie la partie littérale ET
4a . (3 + 5a) = 4a . 3 + 4a .5a = 12a + 20a2
additionne les coefficiencets
-2. (a + 3) = -2. a -2. 3 = -2a - 6
(b + 5) . (b + 6) = b.b + b.6 + 5.b + 5.6 = b 2 + 6b + 5b + 30 = b 2 + 11b + 30
Supprime les paren thè ses en appliquant le s règ le s adéquate s et ré duis les te rme s se mblables :
SA
2x - y + (3x + 4y + 2) - ( 5x + 6y + 1) = 2x - y +3x + 4y + 2 - 5x -6y -1= -3y +1
SA
3a . (2b + 4) - [(a + 4b) . a - y] - (2a - 2b) =3a . 2b +3a. 4 - [a.a + 4b.a - y] - 2a +2b
N.S
SA
:
= 6ab +12a - [a 2 + 4ab - y] - 2a +2b = 6ab +12a - a 2 - 4ab + y - 2a +2b = 2ab +10a - a 2 +y +2b
(- 4ax) . (- a - x) = 4ax . a + 4ax . x = 4a2 x + 4ax2
SA
x - {7y + 3x - 5y - (x -y)} - [ x - (y - 3x)]
-(x2 + x + 1) - 2 . (-x2 - x -1) + (2x2 + 4x - 5)
35)
Supprime le s parenthè ses en appliquant le s règ les a déquates e t ré duis le s te rme s se mbla bles :
5(x-3) = 5x -15
4(3x) = 12 x
-3(x + 5) = -3x - 15
(-8)(x - 2 ) = -8x + 16
3(-2x) = -6x
(-2)(4x)= -8x
(a - 9) . 3 = 3a - 27
(-3x) . 5 = -15 x
(a + 7) . (-9) = -9a - 63
(- 4)(- 2x ) = 8x
(-3)(- x) = 3x
(a - 2)(-11) = -11a + 22
x(x - 6) = x2 -6x
(2x – 3) (4x + 5) =
36)
= 2x . 4x +2x . 5 -3 . 4x – 3 . 5
= 8 x² + 10x - 12x - 15
= 8 x² - 2x - 15
(- x)(x - y) = -x2 + xy
(a²b – a³b³)(2ab² - 1 ) =
= a²b . 2ab² - a²b – a³b³ . 2ab²+ a³b³
= 2 a3 b3
- a²b – 2 a4 b5 + a³b³
3 3
=3a b
- a²b – 2 a4 b5
Nomme
le passage de l' ex pressi on a . ( b + c) à l' ex pressi on ab + ac : Di stri buti vi té
le passage de l' ex pressi on ab + ac à l' ex pressi on a . ( b + c) : Mi se en évi dence (Factori sati on)
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Les distances
37)
Distance su r une droite
38)
39)
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40)
Voici la droite d munie d’un repè re (R,S)
41 ) Trace r la tangente en M au cercle C (laisse r le s traits de construc tion )
C
42)
Trouve tous le s points situé s
à 2 cm de d
43)
à égale distance de d e t de d’
Détermine leque l de s segmen ts suivants
sert à m esurer la distance entre les droite s pa ra llè le s a e t b
Réponse : …… …… ……… …
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Sur ta page en vis-à-vis :
Trace la bissectrice d’ un angle de 60°.
Trace la médiatrice du seg ment  AB de 5 cm
Laisse tes constructions visibles.
Note leur définition et leu r propriété.
44)
Cow-boy et indien
Le cow-boy Arthur et sa mon ture galopent le long d’ une route du Co lorado. Chaque fois qu’ il voit le s deux feu x
indiens (A e t B) à la mê me distance, il tire un coup de fusil pou r pré venir se s co mpagnons.
Réalise une construction pour indiquer avec précision le s endroits de la route ou il tire ra un coup de feu.
Justifie ta réponse.
A 
 B
45)
Le Tréso r du Triang le des Be rmudes
Les célè bre s pirate s Math et Mathic ont caché leur tréso r dans le triangle des Be rmude s.
Ils l’ ont placé à égale distance des île s A, B et C.
Trouve l’ emp lace ment du tré sor.
À égale distance de trois points
 la médiatrice de chaque segment.
A
C
B
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46)
Construire le chemin le p lus court a llant de la riviè re au ja rdin, en pa ssant pa r la maison.
Expli que ton choi x.
47)
Complète le s phra ses suivan tes (points com muns d’une droite e t d’un ce rcle )
d et C n'ont pas de p oint commun
d et C ont 1 point commun
d et
d est extérieure au cercle
d est tangente au cercle
d est sécante au cercle
OH..>...r
ont 2 points communs
OH..<...r
OH..=..r
Rappel :
la mé diatrice d’un segme nt est la
droite
perpe ndiculaire
au
se gme nt
pass ant par son milieu.
d4 : FAUX car droite pas perpendiculaire au segment AB
d3 : VRAI car droite perpendiculaire au segment A C e t pass e
par son milieu.
d2 : FAUX car droite perpendiculaire au segment B C et NE
passe Pas p ar son milieu
d1 : VRAI car droite coup an t l’angle en 2 angles de m^ampl.
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Distance par rapport à une dr oite
 droite parallèle au quai
Distance par rapport à un point
Cercle …….
3cm
C(Phare ;2,5 cm)
Rappel :
Tou t point de la mé diatrice
segme nt
est
é quidistant
d’un
des
extrémités de ce segment.
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<
<
Exercice
Sans tracer de figure , complè te le tableau suivant en précisan t s’ il est possible ou impo ssible de con struire un triangle do nt
les no mbre s a, b, c sont les longueurs des côtés.
OUI car
6–3<7<6+3
NON car
20 > 12 + 7
OUI car
20 – 13 < 32 < 20 + 13
NON car
4,80 > 2,10 + 2,07
3<7< 9
7 < 32 < 33
8 – 5 < 12 < 8 + 5
13 > 7 + 4
15 = 9 + 6
2,9-2,3<4,5< 2,3 +2,9
11,3 = 8,7 + 2,6
24,7 = 11,8+12,9
Exercice
Un triangle isocèle a un côté qui mesu re 22 cm et un autre de 8 cm.
Détermine le s me sure s possi ble le troisiè me côté.
Soit 22 – 22 et 8
22 – 8 < 22 < 22 + 8
1 4 < 22 < 30
Soit 22 – 8 et 8
22 > 8 + 8
22 > 1 6
Triangle constructible
Triangle Pas constructible
Solution : la mesu re possible du troi siè me côté de ce triangle est 8 (en cm).
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Exercice
Les triangles sui vants sont-ils construc tible s ? Si oui, construis- les.
9
> 4,5 + 4,6
Triangle Pas constructible
44 < 42 + 1 3
47 < 45 + 4,6
Triangle constructible
Triangle constructible
Exercice
Dans un triangle AB C isocèle , la longueur des deux côté s iso mé triques e st de 5cm.
Détermine le s longueurs possibles le troisiè me côté sachant qu’ elles sont di visibles par 3.
Données : 5 – 5 – c avec c = 3n
Calculs : 5 – 5 < c < 5 + 5
inégalité triangulaire
0 < c < 10
Solutions : Le s nombres naturels possibles pour le troi siè me côté du trianglesont 3 ; 6 et 9
Exercice
Les trois points alignés ci-contre repré senten t trois villages où habiten t Erwann et ses deux cousins : E, Fet G
Un weekend, le s trois cousins décident de se rencontre r.
Ils che rchen t un lieu qui soit équidistant des trois vi llage s.
Où va avoir lieu la rencontre ?
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Question
MNP est un triangle équilatéral.
Les bissectrices des angles M et N se coupent en I.
Déterminer la mesure de l'angle .
P
I
M
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