1 Invariance de jauge

M2 Physique Théorique
Invariances en physique et théorie des groupes
Opérateurs de translation magnétique et invariance de jauge
1
Invariance de jauge
rappel:
~
~ r , t) = −∇U(~
~ r , t) − ∂ A(~
E(~
∂ t r , t)







(1)
~ r , t) = ∇
~ ∧ A(~
~ r, t)
B(~
~ les potentiels dans la
Partant d’une jauge G dans laquelle les potentiels sont notés U et A,
′
nouvelle jauge G s’écrivent




1.1



U ′ (~r, t) = U(~r, t) − ∂∂t χ(~r, t)
(2)
~′
~ r , t) + ∇χ(~
~ r , t)
A (~r, t) = A(~
Mécanique classique
On rappelle que le hamiltonien classique d’une particule plongée dans un champ électromagnétique
~ et U s’écrit:
dérivant des potentiels A
H(~r, p~, t) =
1 ~ r , t) 2 + qU(~r, t) ,
p~ − q A(~
2m
(3)
les variables dynamiques ~r (position) et ~p (impulsion) satisfaisant aux équations de Hamilton











d
~ p H (~r(t), ~p(t), t)
~r(t) = ∇
dt
(4)
d
~ r H (~r(t), ~p(t), t) .
~p(t) = −∇
dt
On rappelle également que la quantité de mouvement s’écrit
~ r , t) .
~π = m~v = ~p − q A(~
1
(5)
1) Comment se transforment ~r(t) et ~p(t) dans la transformation de jauge G → G ′ (utiliser
les équations de Newton)?
2) Par définition une grandeur physique véritable F ne dépend pas du choix de jauge:
FG (~r(t), p~(t), t) = FG ′ r~′ (t), p~′ (t), t .
(6)
En déduire que toute fonction F (~r, ~π) est une grandeur physique véritable. Montrer que
1
~ r , t) 2 (énergie cinétique), λ(~r, ~p, t) = ~r ∧ p~ − q A(~
~ r , t)
~π (~r, ~p, t), γ(~r, ~p, t) = 2m
p~ − q A(~
(moment par rapport à O de la quantité de mouvement) sont des grandeurs physiques
véritables. Le moment cinétique L(~r, ~p) = ~r ∧ ~p est-il une grandeur physique véritable?
1.2
Mécanique quantique
~G
1) En utilisant les règles de quantification, écrire la loi de transformation des observables R
′
~ ne
(position) et P~G (impulsion) sous la transformation de jauge G → G . En déduire que L
dépend pas de la jauge, et que ~π et H dépendent de la jauge choisie.
2) On note |Ψ(t)i et |Ψ′ (t)i les vecteurs d’état relatifs aux jauges G et G ′ .
Donner l’analogue quantique des lois de transformation de ~r(t) et p~(t) en mécanique classique
~
(1.1 1)) pour hΨ(t)|R|Ψ(t)i
et hΨ(t)|P~ |Ψ(t)i.
3) On pose |Ψ′ (t)i = Tχ (t)|Ψ(t)i où Tχ (t) est une transformation unitaire. Déterminer Tχ (t)
~ t). On pourra utiliser la relation
en fonction de χ(R,
[Px , G(x)] = −ih̄G′ (x) .
(7)
Généraliser au cas où le système est constitué par plusieurs particules de positions ~r1 , ~r2 , ...
et de charges q1 , q2 , ...
Quelle est la forme de la transformation de jauge G → G ′ en représentation |ri?
4) Montrer que l’équation de Schrödinger est invariante de jauge.
5) On associe à toute observable K sa transformée K̃ sous l’effet de Tχ (t):
K̃ = Tχ (t) K Tχ (t)† .
(8)
Vérifier explicitement que
(
R̃G = RG ′
Π̃G = ΠG ′
(9)
et que P̃G 6= PG ′ .
Montrer plus généralement qu’à toute grandeur physique véritable est associé en mécanique
quantique un opérateur GG (t) qui vérifie
G̃G (t) = GG ′ (t)
2
(10)
(cette relation est l’analogue quantique de la relation (6)).
6) En mécanique classique, l’énergie totale d’une particule se déplaçant dans un champ
électromagnétique indépendant du temps est une constante du mouvement. Montrer que
dans ce cas H est véritablement physique: en mécanique quantique H peut être interprété
comme l’énergie totale de la particule.
7) Soit GG une observable véritablement physique. Montrer que les prévisions physiques associées sont indépendantes de la jauge (on montrera que les valeurs propres de GG et les
probabilités associées ne dépendent pas de la jauge).
8) Densité et courant de probabilité:
Vérifier que
ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2
et
(11)
!
"
~ r, t) = 1 Re Ψ∗ (~r, t) h̄ ∇
~ − q A(~
~ r, t) Ψ(~r, t)
J(~
m
i
sont invariants de jauge.
#
(12)
9) Opérateur vitesse:
~ = Π~ soit l’analogue quantique de l’opérateur vitesse. On utilisera pour
Justifier le fait que V
m
cela le Principe de Correspondance
{f, g}
1
[f, g]
ih̄
−→
(13)
mécanique
analytique
mécanique
quantique
et on partira des équations de Hamilton écrites à l’aide des crochets de Poisson.
Montrer que

qh̄



B
[V
,
V
]
=
i
x
y

2 z


m






2












[Vy , Vz ] = i
qh̄
Bx
m2
[Vz , Vx ] = i
qh̄
By
m2
(14)
Opérateur de translation magnétique
L’étude des niveaux d’énergie d’une particule chargée plongée dans un champ magnétique
constant est un problème invariant par translation. Cependant cette symétrie est brisée par
3
~ = 1B
~ ∧ ~r (puisque l’on particularise l’origine O), de sorte que H et
le choix de jauge A
2
les états propres ne sont plus invariants par translation. Cette symétrie est restaurée si l’on
accompagne une translation sur ~r d’une transformation de jauge.
1) Soit τ la translation définie par le vecteur ~a :
τ (~r) = ~r + ~a .
(15)
~ ∧ ~r . Soit ΨT (~r)
~ = 1B
L’état de la particule est caractérisé par le ket |Ψi dans la jauge où A
2
défini par
i
τ
|Ψi−→|ΨT i = exp − P~ .~a|Ψi .
(16)
h̄
~ T (~r) , calculer ρT (~r) et J~T (~r) . En déduire que |ΨT i
En utilisant les expressions de |ΨT i et A
~ T (~r) , un état dont les propriétés physiques se déduisent par
décrit, dans la nouvelle jauge A
~ r) .
la transformation τ de celles correspondant à |ψi dans la jauge A(~
~ r) est un mouvement posMontrer que le translaté d’un mouvement possible dans la jauge A(~
~ T (~r) (considérer pour cela l’équation de Schrödinger en représentation
sible dans la jauge A
|ri).
2) On souhaite continuer à décrire l’état physique de la particule, après translation τ, dans
~ r ). Soit |ψ ′ i le ket correspondant, et U(~a) la transformation unitaire telle que
la jauge A(~
T
|Ψ′T i = U(~a) |Ψi .
Montrer que
(17)
q ~
~ exp − i P~ .~a .
a ∧ B)
U(~a) = exp −i R.(~
2h̄
h̄
3) Si ~a ∈ xOy, vérifier que
q
~
U(~a) = exp i (~a ∧ R~0 ).B
h̄
(18)
(19)
avec R~0 = x0 e~x + y0 e~y .
4) Calculer [U(ax e~x ), H] et [U(ay e~y ), H] .
5) Montrer que
q
U(ax e~x ) U(ay e~y ) = U(ay e~y ) U(ax e~x ) exp i ax ay B
h̄
4
.
(20)
Pour en savoir plus:
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique,
compléments H-III et E-VI.
L. Landau et E. Lifchitz, Mécanique quantique,
Ch II §9 et Ch XV §110
E. Brown, Bloch Electrons in a Uniform Magnetic Field,
Physical Review vol 133, 4 A (1964) p1038-1044.
C. Kittel, Quantum Theory of Solids, Ch 11.
5