Terminale S – TP de Physique n°11 Satellites et planètes (correction) Au fil de ce TP, nous nous intéressons au mouvement des satellites autour de leur attracteur, qu’il s’agisse des planètes autour du Soleil ou des satellites artificiels autour de la Terre. Nous allons essayer de préciser les caractéristiques de ce mouvement. 1 – Les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme 1.1 – Etude mécanique théorique On considère le mouvement d’une planète autour du Soleil. Les interactions entre les planètes seront négligées. Définir successivement le système d’étude le référentiel choisi les forces s’exerçant sur le système En ayant justifié que cela était possible, appliquer la 2ème loi de Newton au système. En déduire l’expression de l’accélération a subie par la planète. Le système d’étude est la planète ; on travaillera dans un référentiel héliocentrique. La période de révolution galactique étant d’environ 220 millions d’années (terrestres), on peut considérer que ce référentiel est un excellent référentiel galiléen pour la plupart des études menées dans le système solaire (période de Neptune : 60 000 jours soit plus de 1 700 ans). Les planètes du système solaire sont soumises à l’attraction gravitationnelle solaire. Celle-ci est précisée par la loi de gravitation universelle de Newton. dSP uSP P FS/P S G M S M P FS / P uSP d SP 2 G = 6,67.10−11 N.m2.kg−2, constante de gravitation universelle Masses en kg, distance en m MP MS Le référentiel héliocentrique pouvant être considéré comme galiléen, la 2ème loi de Newton donne, pour la planète, G M S M P F u M a ext SP P d SP 2 d’où G M S a uSP d SP 2 1.2 – Application au cas de quelques planètes du système solaire : expression de l’accélération Ouvrir le fichier planetes.ods à l’aide du tableur Open Office Calc. On considère dans cette partie la feuille « accélération ». Les données orbitales des planètes sont des valeurs moyennes ; on supposera que le mouvement des astres est circulaire et uniforme. 1. Compléter la colonne a(m/s²) donnant la valeur de l’accélération subie par la planète. Masse (kg) Distance moyenne au Soleil (m) Vitesse orbitale moyenne (m/s) Mercure 3,30E+23 6,39E+10 Vénus 4,87E+24 Terre 5,97E+24 Planète a (m/s²) k = a/v² 1/k = v²/a 4,74E+04 3,25E-002 1,45E-011 6,90E+010 1,08E+11 3,50E+04 1,13E-002 9,24E-012 1,08E+011 1,50E+11 2,98E+04 5,93E-003 6,69E-012 1,50E+011 1 Mars 6,42E+23 2,28E+11 2,41E+04 2,56E-003 4,41E-012 2,27E+011 Jupiter 1,90E+27 7,78E+11 1,31E+04 2,19E-004 1,28E-012 7,78E+011 Saturne 5,68E+26 1,42E+12 9,65E+03 6,57E-005 7,06E-013 1,42E+012 2. Tracer l’accélération a en fonction de la vitesse moyenne v et conjecturer une relation simple entre les deux grandeurs en introduisant un coefficient de proportionnalité k. La courbe obtenue est parabolique (elle tend vers 0 en 0) : on peut donc conjecturer une relation du type a k v2 . 3. Le coefficient k dépend vraisemblablement du rayon orbital moyen r : précisez cette dépendance et proposez une expression simple de k en fonction de r. Vérifiez votre proposition dans le tableur. a Plus r est grand, plus l’accélération et la vitesse sont faibles. Par ailleurs, k 2 est une fonction v 1 décroissante de r : on peut donc conjecturer une variation inverse de k en fonction de r, du type k ; la r 2 1 v 1 colonne s’assimile d’ailleurs à r : on peut donc poser que k . k a r 4. Conclure sur l’expression de a en fonction de v et de r. v2 On écrira par conséquent que a . r Remarque : accélération dans le repère de Frénet Dans le cadre d’un mouvement circulaire, on utilise fréquemment un repère de travail tournant appelé repère de Frénet uT ; u N où les vecteurs unitaires uT et u N sont respectivement tangent et normal à la trajectoire ; les deux vecteurs sont orthogonaux et l’angle uT , u N est dans sens direct. Dans ce repère, dans le cas d’un mouvement circulaire, on montre que la vitesse peut s’écrire v r uT et dv v 2 que l’accélération se met sous la forme a uT u N . dt r uT uN 2 5. Conclure sur la nature uniforme du mouvement circulaire des planètes. Dans le repère de Frénet uT ; u N , l’accélération peut s’écrire dv dt a 2 v r Dans ce repère, la force subie par la planète s’écrit 0 FS / P G M S M P r2 L’application de la 2ème loi de Newton fournit donc le système dv M P dt 0 2 M v G M S M P P r r2 La première égalité suggère que la vitesse v est constante au cours du mouvement : il s’agit donc d’un mouvement uniforme. La deuxième relation fournira des éléments intéressants que nous allons exploiter dans le 1.3. Remarque : Kepler a montré que le mouvement des planètes n’est pas circulaire mais elliptique ; dans ce cadre plus réaliste, le mouvement n’est pas uniforme (la vitesse augmente à mesure que l’astre est plus près du Soleil). Toutefois, le mouvement circulaire uniforme constitue une première approximation intéressante. 1.3 – Application à l’orbitographie des satellites artificiels Un satellite artificiel de masse m est mis en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude z (soit à une distance (RT + z) du géocentre). La masse de la Terre est MT = 5,97.1024 kg ; son rayon moyen est RT = 6 378 km. 1. Donner l’expression de l’accélération a subie par le satellite en fonction de G, MT, RT et z par application de la 2ème loi de Newton. D’après le travail réalisé précédemment, il vient G MT m ma 2 RT z Soit G MT a 2 RT z 2. Donner l’expression de l’accélération a du satellite en fonction de v et de r d’après l’étude menée au 1.2. v2 a r 3. En déduire l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, MT, RT et z. La combinaison des deux relations précédentes permet d’écrire l’égalité G MS v2 a 2 RT z RT z d’où l’on extrait v G MT RT z 3 4. Donner l’expression de la période T de rotation du satellite autour de la Terre en fonction de G, MT, RT et z. La période du satellite est la durée qu’il met pour parcourir son orbite (un tour). Ainsi, périmètre orbital 2 RT z T v v En insérant l’expression de v, il vient T 2 RT z G MT RT z 2 RT z RT z 2 G MT RT z 3 G MT On considère deux cas, Cas A : un satellite de télécommunication en orbite circulaire à l’altitude z = 5 000 km Cas B : un satellite « Météosat » en orbite géostationnaire Dans ces deux cas, calculer la vitesse du satellite puis matérialiser sa trajectoire à l’aide du simulateur Hatier. Utiliser le logiciel pour déterminer la durée d’une révolution du satellite, et la comparer à la valeur théorique. Dans le cas A, vA G MT 6,67.1011 5,97.1024 5,92.103 m.s 1 6 6 RT z A 6,378.10 5, 000.10 TA 2 RT z A G MT 3 2 6,378.10 6 5, 000.106 3 6,67.1011 5,97.1024 1, 21.104 s 3h 20 min Dans le cas B, RT zB TB 2 G MT TB 4 2 3 2 RT zB RT z B 3 G MT 3 TB 2G M T 4 2 1/3 TB 2G M T zB RT 2 4 1/3 24 3600 2 6,67.1011 5,97.10 24 A.N. : z B 6,378.106 3,58.107 m 35 800 km 2 4 vB G MT 6,67.1011 5,97.1024 3, 07.103 m.s 1 6 6 RT z B 6,378.10 35,8.10 On vérifie bien, à l’aide du simulateur Hatier, que ces prévisions théoriques sont bel et bien correctes. 2 – La 3ème loi de Képler 2.1 – Constat empirique On considère dans cette partie la feuille « Kepler » du fichier « planetes.ods ». Tracer la période T en fonction du demi-grand axe a. Modéliser (demander l’affichage de l’équation) et proposer une relation simple entre T et a, en tenant compte de la précision des données planétaires. Conclure. 4 Le résultat de la modélisation est T k a1,5 . Ceci peut aussi s’écrire T k a 3/2 ; en passant au carré, on obtient T 2 k a 3 et on retrouve la 3ème loi de Képler, T2 constante a3 2.2 – Etude théorique Préciser la 3ème loi de Kepler en explicitant complètement la relation entre T et a en fonction des paramètres G et MS. Vous pourrez vous référer à l’étude menée au 1. Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on aura a r : le demi-grand axe s’assimile au rayon de l’orbite. La relation déterminée au 1.3 T 2 RT z G MT 3 devient T 2 a3 G MT a3 Passons au carré : T 4 G MT Ainsi, 2 2 T2 4 2 a3 G M T 2.3 – Application de la 3ème loi de Képler Io est l’un des 4 satellites de Jupiter (qui en compte 63) découverts par Galilée en 1610 alors qu’il vient de construire sa première lunette. Ce satellite a eu une grande importance dans la longue quête de la finitude de la vitesse de la lumière et de sa valeur ; en 1676, le danois Olaus Römer utilise des mesures de durées basées sur le transit de Io derrière la planète géante et détermine la première valeur – assez précise – de la vitesse de la lumière. La période de rotation de Io est de 1,769 jours autour de Jupiter, à une distance moyenne de 421 800 km de la géante. Déterminer, en expliquant, la masse de Jupiter. 4 2 4, 218.108 4 2 r 3 MJ 1, 27.1017 kg 2 2 T 1, 769 24 3600 3 5 En 1892, par observation au télescope, l'américain Barnard découvrit un cinquième satellite de Jupiter : Amalthée, de diamètre moyen 190 km. Sachant que la période de révolution sidérale d'Amalthée est de 0,498 j, calculer le rayon de son orbite circulaire et sa vitesse orbitale. On utilise ici la 3ème loi de Kepler. T2 4 2 r3 G M J 1/3 G MJ 2 T donne r 2 4 1/3 6,67.1011 1, 90.1027 2 A.N. : r 0, 498 24 3600 2 4 1,81.108 m 181 000 km G MJ 6,67.1011 1,90.1027 2,65.104 m.s 1 r 1,81.108 Comment expliquer que Galilée ne l'ait pas vu avec sa lunette en 1610 ? Amalthée a un diamètre moyen beaucoup plus petit que celui des lunes galiléennes de Jupiter (plusieurs milliers de km : de 3 000 km pour Europe à 5 000 km pour Ganymède) ; il s’agit pourtant du plus gros satellite de Jupiter en dehors des 4 galiléens, et sur les 63 connus à ce jour… mais l’instrument de Galilée, qui n’a jamais dépassé un grossissement de 30, n’était pas assez pointu pour observer ce corps. v Peut-on déterminer, à l'aide de ces données, la masse de ces cinq satellites de Jupiter ? 4 2 1,81.108 4 2 r 3 MJ 1, 26.1017 kg 2 2 T 0, 498 24 3600 3 3 − L’énergie mécanique de Mercure L’énergie mécanique de Mercure dans le référentiel héliocentrique se calcule à partir de ses coordonnées spatiotemporelles. Nous utiliserons celles calculées par l’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides : http://www.imcce.fr . 3.1 – Mise en forme d’un fichier de données Allez sur la page de l'IMCCE Onglet "Ephémérides", Commande "Générateur d'éphémérides" Choisir "Ephémérides générales de position des corps du système solaire" Compléter le "formulaire d'interrogation" pour obtenir l'éphéméride de Mercure dans le référentiel héliocentrique, en coordonnées cartésiennes ("rectangulaires") par rapport au plan de l'écliptique, pour une soixantaine de jours par pas de 1 jour. Sélectionner à la souris le tableau de données et le copier-coller dans le fichier « modele.csv » à ouvrir avec le Bloc-Notes de Windows. Pour les 60 dates calculées, revenir à la ligne à chaque jour. Enregistrer le fichier au format .csv en lui donnant le nom « ephemeride.csv ». Ouvrir ce fichier avec le tableur Calc d’Open Office. Vous importerez les données en prenant soin d’indiquer que les séparateurs sont l’espace (il faudra fusionner les séparateurs). On rappelle que "u.a" signifie unité astronomique : 1 u.a = 149,6 millions de kilomètres. 6 3.2 – Exploitation des données 1. Calculer les coordonnées x et y de Mercure en u.S.I. 2. Créer une colonne des temps t en secondes (on prendra la première date comme origine des temps). 3. Visualiser la trajectoire de Mercure dans le référentiel héliocentrique (imposer un repère orthonormé). « Cercle » de 9,27 cm sur 9,46 cm à la construction… 4. Comment voit-on, au premier coup d'œil, que la trajectoire n'est pas circulaire ? Le repère choisi est centré sur le Soleil (référentiel héliocentrique) : on peut voir ici que l’orbite de Mercure n’est pas centrée géométriquement sur le Soleil, mais que ce dernier semble plutôt constituer le foyer d’une orbite elliptique. 5. Calculer l'énergie cinétique Ec de Mercure dans le référentiel héliocentrique pour chaque date. On donne la masse de Mercure, MM = 3,29.1023 kg. 1 Ec M M v 2 2 Mercure n'a pas d'énergie potentielle de pesanteur à proprement parler, mais une énergie potentielle de gravitation qu’on définit par G MS MM E p , grav d SM 30 où MS est la masse du Soleil soit MS = 1,99. 10 kg, G est la constante de gravitation universelle et dSM est la distance entre les centres d'inertie du Soleil et de Mercure. Cette surprenante expression n'est pas exigible en Terminale S, mais essayons de comprendre. 7 Les élèves de Term S que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E pp mgh s’écrit, en explicitant g, et pour Mercure autour du Soleil, G MS G MM MS " E pp " M M d 2 SM d SM d SM L’origine du signe « − » dans Ep,grav est conventionnelle : on admet qu’il faut fournir un travail positif pour extraire une masse d’un champ gravitationnel (la gravitation est toujours attractive, les masses sont toujours positives). La démonstration n’est pas très rigoureuse ici, mais on s’en contentera – en attendant d’en savoir plus en maths ! 6. Calculer l'énergie potentielle Epg de gravitation de Mercure pour chaque date. 7. En déduire l'énergie mécanique Em de Mercure dans le référentiel héliocentrique. 8. L'énergie mécanique de Mercure est-elle constante ? Que peut-on en déduire ? Tracée seule, l’énergie mécanique ne paraît pas constante ; toutefois, il faut nuancer ses variations : tracée avec les énergies cinétique et potentielle de gravitation, on voit plus clairement que l’énergie mécanique peut être raisonnablement considérée comme constante. Cela signifie que la planète n’est soumise qu’à des forces conservatives – forces gravitationnelles. Le cas « Mercure » est toutefois très particulier à bien des égards. L'orbite de Mercure est très excentrique: son périhélie ne se situe qu'à 46 million de km du Soleil alors que son aphélie est à 70 millions de km. Les astronomes du 19ème siècle firent des observations minutieuses de l'orbite de Mercure mais ils ne purent expliquer son excentricité avec la mécanique Newtonienne. Les minuscules différences entre les données observées et celle déduites de la théorie furent un problème mineur mais persistant pendant des dizaines d'années. Certains ont même émis l'éventualité d'une planète qu'ils appelèrent Vulcain orbitant entre Mercure et le Soleil et qui aurait pu expliquer l'excentricité de Mercure. Cependant, la vraie raison était beaucoup plus spectaculaire: La Théorie de la Relativité Générale d'Einstein ! Ce fut d'ailleurs la preuve irréfutable de la valeur de cette théorie. Jusqu'en 1962 les astronomes pensaient que le "jour" (la période de rotation) de Mercure était le même que son "année" (la période de révolution). On pensait donc que Mercure présentait toujours la même face au Soleil comme la Lune le fait avec la Terre. Mais en 1965, des observations effectuées par radar 8 doppler révélèrent que la période de rotation de Mercure est en fait égale aux deux tiers de sa période de révolution autour du Soleil. Cette très lente rotation est due à la forme allongée de l'orbite de Mercure autour du Soleil. Proche du Soleil, la force de marée augmente et accélère la rotation mais à ce moment, l'interaction rotation/révolution ralentit la course sur l'orbite et rétablit le rapport initial de deux tiers. Ce phénomène est appelé "effet de résonance". Cet effet produit un évènement unique dans le système solaire: le jour solaire mercurien dure deux années mercuriennes. 4 – Critique raisonnée d’une BD Game Over de Midam, Adam & Augustin (album No Problemo, chez Dupuis) La satellisation de la flèche fatale est-elle crédible ? 9 Proposer une réponse argumentée, c'est à dire basée sur une modélisation de la situation. A cet effet, préciser les hypothèses et les approximations simplificatrices faites et définir clairement les grandeurs physiques utilisées. Si l’on se replace par rapport à la Terre, la satellisation semble bien improbable. On se situe en effet dans le problème dit du canon de Newton. L’Astronomie populaire, de Camille Flammarion (XIXème siècle) « Ainsi, si un boulet de canon était tiré horizontalement du haut d'une montagne, avec une vitesse capable de lui faire parcourir un espace de deux lieues avant de retomber sur la terre : avec une vitesse double, il n'y retomberait qu'après avoir parcouru à peu près quatre lieues, et avec une vitesse décuple, il irait dix fois plus loin (pourvu qu'on ait point d'égard à la résistance de l'air), et en augmentant la vitesse de ce corps, on augmenterait à volonté le chemin qu'il parcourrait avant de retomber sur la terre, et on diminuerait la courbure de la ligne qu'il décrirait ; en sorte qu'il pourrait ne retomber sur la terre qu'à la distance de 10, de 30, ou de 90 degrés ; ou qu'enfin il pourrait circuler autour, sans y retomber jamais, et même s'en aller en ligne droite à l'infini dans le ciel. » Isaac Newton, « Principes mathématiques de la philosophie naturelle », Définition V, traduction Marquise du Châtelet, 1759 – ce paragraphe ne figurait pas dans la première édition en latin de 1687. Les phénomènes gravitationnels observés dépendent nécessairement de la planète où se situe l’action. Si le personnage est un ado « standard » (1,50 m pour 50 kg), il est 5 fois plus petit que sa planète, qui aurait donc un diamètre de 7,5 m… Avec une densité rocheuse, de l’ordre de 5,5.103 kg/m3, la planète 4 3 aura une masse de M 5, 5.103 3, 75 1200 t . La vitesse de satellisation est alors 3 GM 6,67.1011 1, 2.106 3,3 mm.s 1 R 7,5 C’est donc tout à fait envisageable… mais notons que la gravité à la surface de la planète, de GM 6,67.1011 1, 2.106 g 2 1, 4.106 N .kg 1 est bien trop faible pour permettre l’existence d’une 2 R 7,5 atmosphère (la Lune, g = 1,6 N.kg−1, n’y est même pas parvenue !!). D’où une difficulté pour évoluer sur cette planète de « Petit Prince » en l’absence d’air respirable ! v 10 Dans le cas de la BD, les personnages sont disproportionnés par rapport à la planète. La flèche est tirée à une hauteur du sol 9,5 fois plus petite que le diamètre de la planète. Ramené à la Terre, cela ferait lancer le projectile à une altitude de 1 350 km environ. A cette altitude, il faut une vitesse initiale de près de 6 900 m.s−1 (soit près de 25 000 km/h) pour satelliser la flèche… Et l’on pourrait aller encore plus loin… ! La situation reste caricaturale et amusante parce que, justement, pas du tout plausible scientifiquement. Qui a dit que les scientifiques n’avaient pas d’humour ? C’est en ne prenant pas les situations au pied de la lettre qu’on les enrichit de drôlerie. Si nous coupions court à toute discussion avec des arguments scientifiques, cela serait vite pénible… 11