Chapitre 2: Les équations et les inéquations polynômes

Chapitre 2: Les
équations et les
inéquations
polynômes
MHF4U
Les parties d’une division

43 / 6 = 7 + 1/6

Identifier le:
 Quotient
 Diviseur
 Dividende
 Reste
2.1: Le théorème du reste
1.
Divisions avec chiffres:
a.
b.
Ensemble
a.
68 352 / 12
b.
234 234 / 12
Individuellement
a.
10 335 / 15
b.
66 426 / 15
Division d’un polynôme par un
binôme
2.
Division de polynôme par un binôme (sans
reste)
(6x2 + 17 x + 7) / (2x + 1)
3.
Division de polynôme par un binôme (avec
reste)
(-3x2 + 2x3 + 8x – 12) / (x – 1)
Exemple #3: Application de la
division longue (p.86)
Le volume V (en centimètres cubes) d’une boîte
rectangulaire est défini par l’équation V(x) = x3 +
7x2 + 14x + 8. Détermine les expressions qui
représentent les dimensions possibles de la boîte si
la hauteur h (en centimètres) est définie par x + 2.
Votre travail

Terminer le travail distribué hier.
Énoncé correspondant *

L’énoncé correspondant, qu’on peut utiliser
pour vérifier une division, est:
P(x) = (x - b) ∙ Q(x) + R
P(x) = polynôme
Q(x) = quotient
R = reste
Théorème du reste *
Lorsqu’on divise une fonction polynôme P(x) par x
– b, le reste de la division est P(b) et lorsqu’on la
divise par ax – b, le reste de la division est P(b/a),
où a et b sont des nombres entiers et a ≠ 0.
Exemple #4: Appliquer et vérifier le
théorème du reste (p.89)
a)
Sers-toi du théorème du reste pour déterminer
le reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6
par x + 1.
b)
Vérifie ta réponse à l’aide de la division par
méthode extensive.
c)
À l’aide du théorème du reste, détermine le
reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6 par
2x – 3.
Exemple #5: Résoudre une
équation à coefficient inconnu

Détermine la valeur de k de telle sorte que
lorsqu’on divise 3x4 + kx3 – 7x – 10 par x – 2, le
reste égale 8.
Votre travail

P.91 #5, 7, 8, 10, 14
2.2: Le théorème des facteurs
Le théorème des facteurs *
X – b est un facteur d’un polynôme P(x) si et
seulement si P(b) = 0. De la même manière, ax – b
est un facteur de P(x) si et seulement si P(b/a) = 0,
où a et b sont des entiers et a ≠ 0.
Exemple #1: Appliquer le théorème
des facteurs (p.95)
Parmi les binômes suivants, lesquels sont des
facteurs du polynôme P(x) = 2x3 + 3x2 - 3x – 2? Serstoi de ta réponse pour présenter P(x) sous forme
factorisée.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
X–2
X+2
X+1
X–1
2x + 1
Comment décider quels facteurs
essayer?

Si P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6…
Le théorème du zéro entier *

* Si x – b est un facteur d’une fonction polynôme
ayant un coefficient dominant 1 et que le reste
des coefficients sont des nombres entiers, alors b
est un facteur du terme constant.
Exemple #2: Diviser pour factoriser
un polynôme de 2 manières (p.97)

Factorise entièrement x3 + 2x2 – 5x – 6.
Exemple #3: Combiner le théorème
des facteurs et la factorisation par
regroupement (p.99)

Factorise l’expression x4 + 3x3 – 7x2 – 27x – 18.
Votre travail

P.102 #4, 5
2.3: Les équations polynômes
Quelle est la différence entre A et
B?
A
B
F(x) = x3 – x2 – 2x
x3 – x2 – 2x = 4
Y = 3x3 + x2 – 12x – 4
3x3 + x2 – 12x – 4 = 0
Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants?
2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9
H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6
Quelle est la différence entre A et
B?
Fonction
Équation
F(x) = x3 – x2 – 2x
x3 – x2 – 2x = 4
Y = 3x3 + x2 – 12x – 4
3x3 + x2 – 12x – 4 = 0
La réponse peut
être n’importe
quel chiffre.
Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants?
2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9
H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6
Que remarques-tu? *
Abscisses à l’origine
Un GRAPHIQUE a une
abscisses à l’origine.
Zéros
Racines de l’équation
f(x) = 0
f(x) = x4 – 13x2 + 36
0 = x4 – 13x2 + 36
F(x) = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2)
0 = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2)
X = 3, 2, -3, -2
X = 3, 2, -3, -2
Une FONCTION a un
zéro.
Une ÉQUATION a une
racine.
Exemple #1 (p.105)
Trouve les racines des équations suivantes:
1.
X3 – x2 – 2x = 0
2.
3x3 + x2 – 12x – 4 = 0
Exemple #2: Appliquer le théorème
des facteurs pour résoudre une
équation polynôme (p.105)

Résous l’équation 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 0.

Que représentent les valeurs de x par rapport à
la fonction polynôme correspondante?
Quels sont les racines de cette
équation?
(x - 3)(x2 + 1) = 0
Quels seraient le(s) abscisse(s) à l’origine?
Quels sont les racines de cette
équation?
(x - 3)(x2 + 1) = 0
X=3 ou x=± −1
Puisque la racine carrée d’un nombre négatif
n’est pas un nombre réel, la seule racine réelle est
x = 3.
Une racine peut être complexe, mais une abscisse
à l’origine ne peut pas.
Ex. #3: Résoudre un problème par
la détermination des racines
Pour sculpter les ailes d’un dragon, une sculpteure
se sert d’un bloc de glace dont le volume V (en
centimètres cubes) peut être modélisé par la
fonction V(x) = 9x3 + 60x2 + 249x, où x est
l’épaisseur du bloc (en centimètres). Quelle est
l’épaisseur maximale des ailes si elles sont
sculptées dans un bloc de glace dont le volume
est de 2 532 cm3?
Votre travail

P.110 #1, 2, 10, 11, 14
Vrai ou faux?
1.
Si la représentation graphique d’une fonction
quartique admet deux abscisses à l’origine,
alors l’équation quartique correspondante
admet quatre racines réelles.
Vrai ou faux?
2.
Toutes les racines d’une équation polynôme
correspondent aux abscisses à l’origine de la
représentation graphique de la fonction
polynôme correspondante.
Vrai ou faux?
3.
Une équation polynôme de degré trois doit
admettre au moins 1 racine réelle.
Vrai ou faux?
4.
Toutes les équations polynômes peuvent être
résolues algébriquement.
Vrai ou faux?
5.
Toutes les équations polynômes peuvent être
résolues graphiquement.
Réponses
Question
Réponse
1
Faux.
2
Faux.
3
Vrai.
4
Vrai (équation quadratique).
5
Vrai.
2.4: Les familles de fonctions
polynômes
Activité de départ (5 mins)
Trouvez 3 fonctions qui ont les zéros suivants: -1, 3
et 5.
Famille de fonctions polynômes

Déf: Groupe de fonctions qui ont des
caractéristiques communes, ex. les mêmes
zéros.

Exemple:
Y = (x – 1)(x + 2)
Y = 2(x – 1)(x + 2)
Y = ½(x – 1)(x + 2)
Ne pas changer les fractions en décimales.
Exemple #1 (p.115)
Les zéros d’une famille de fonctions quadratiques
sont 2 et -3.
a)
Détermine une équation qui représente cette
famille de fonctions.
b)
Écris les équations de deux fonctions
quelconques qui appartiennent à cette famille.
c)
Détermine l’équation de la fonction de cette
famille passant par le point (1, 4).
Exemple #2 (à vous, 5 mins)
Les zéros d’une famille de fonctions sont -2, 1, et -3.
a)
Détermine une équation qui représente cette
famille de fonctions.
b)
Écris les équations de 2 fonctions quelconques
qui appartiennent à cette famille.
c)
Détermine l’équation qui représente la fonction
de cette famille passant par l’ordonnée à
l’origine -15.
Exemple #4 (p.117)
Détermine une équation qui définit une fonction
quartique à partir d’un graphique.
(voir graphique p.117)
Votre tâche

P.119 #1 à 6, 14 , 18 a-b-c
2.5: La résolution d’inéquations à
l’aide d’outils technologiques
Activité de départ (10 mins)
P.123 #1 et 4

SVP écrire la notation avec ≤, >, etc. (au lieu des
parenthèses).
Résoudre les inéquations sur la
feuille (5 mins)
Exemple #1(p.126)
Résous l’inéquation polynôme suivante à l’aide
d’une calculatrice graphique. Arrondis tes
réponses au dixième près.
2x3 + x2 – 6x ≥ 0
Votre tâche
P.129 #1, 3, 4, 5, 6, 10, 11
2.6: La résolution algébrique
d’inéquations
Exemple (p.132)
Résous chaque inéquation ci-dessous. Montre la
solution sur une droite numérique.
a)
X–8≥3
(moi)
b)
-4 – 2x < 12
(vous)
Quand on multiplie ou divise par un chiffre négatif, l’opérateur est inversé.
Exemple #2 (p.133)
Résous chaque inéquation:
a)
(x + 3)(2x – 3) > 0
(moi)
b)
-2(x + 4)(x – 2)(x + 1) ≤ 0
(vous)
Exemple supplémentaire avec
facteur constant
Résous l’inéquation ci-dessous:
-2(x + 3/2)(x – 4) ≤ 0
Votre tâche

P.138 #3-4 (20 mins)
p.139 #6a)

Résous l’inéquation suivante:
X3 + 9x2 + 26 x + 24 < 0
Votre tâche

P.139 #8-9