CHAPITRE 3 Calcul numérique et puissances Objectifs: -Effectuer des calculs sur les nombres. -Résoudre des problèmes simples. Introduction sur les nombres irrationnels entiers 0 1 9 53 entiers relatifs décimaux rationnels -1,34 7 3 27 6 2 2 105 3 5 -1 - 9 -4 10 2 0,017 19 13 1 3 -Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers, (en particulier, les décimaux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale). - Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers. - Les rationnels et les irrationnels réunis forment l’ensemble des nombres réels. I. Puissance d’un nombre relatif 1) Définition Soit a un nombre relatif, n un nombre entier positif différent de zéro: an a a a ... a a n et n facteurs a Remarque : Par convention Exemples : a0 = 1 34 3 3 3 3 81 1 1 2 5 0, 04 2 25 5 et 1 an a1 = a 2) Règles de calcul Soient a et b des relatifs, n et m des entiers non nuls: n m n a b an bn n m a a a an a m n a n m a m anm Voir les démonstrations de ces règles dans le cahier d’exercices. Exemples : Exprimer les calculs suivants sous la forme d’une seule puissance 5 7 4 4 54 56 12 9 an4 6 n m 2 a5 5 m a 7 a n 2 m n m 5n7am a12 a 4 4 6 12 12 9 7 anm n n 12 a63 bn a b 3) Les puissances de 10 Soit n un nombre entier positif différent de zéro : n 10 10 10 ... 10 et n facteurs 10 Remarque : Par convention 0, 00...01 10 n 1 10n n chiffres après la virgule 100 = 1 et Exemples : 104 10 10 10 10 10 000 1 1 3 10 0, 001 3 1 000 10 On retrouve les mêmes règles que dans I. 2) 101 = 10 4) Notation scientifique Ecrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire sous la forme: nombre décimal compris entre 1 et 10 X une puissance de 10 3 Exemples : 3 576, 4 3, 5764 1 000 3, 5764 1 0 4 7, 4 10 0, 000 74 7, 4 0, 0001 Calculatrice en mode scientifique : -Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 103 soit 8250 … et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562). -Pour entrer le nombre 3,654 104 dans la calculatrice, il suffit de taper : x 3,654 x 10 4 II. Exemples de calcul numérique Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes : Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42 3 2 5 A 5 42 8 7 12 5 40 3 A 42 42 8 8 7 37 42 8 7 37 A 67 8 A 37 A 48 On simplifie par 7 Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8 7 11 B 7 11 20 2 B 7 2 B 20 2 20 11 7 2 B 7 11 2 20 7 B 2 B 20 11 2 10 11 7 2 B 710 2 2 11 7 B B 2 10 11 110 On simplifie par 2 7 B 7 110 B 110 2 3 3 2 Les calculs au numérateur 5 4 5 4 B 22 33 et au dénominateur sont B 7 7 prioritaires 2 2 44 5 5 2 BB 2 77 3 3 7 2 2 2 7 B 22 2 2 B 5 4 2 4 2 5 22 33 77 BB 2 2 Le Le dénominateur 55 44 dénominateur 22 commun de 5 et 4 commun de 1 et 2 8 15 est 42 7 7 4 8 est 20 15 B B 20 20 20 2 2 2 2 20 88 15 15 44 77 BB 20 20 20 22 22 20 7 11 11 7 B B 20 2 2 20 77 11 11 BB Diviser par 11/2 revient à multiplier 20 20 22 par son inverse c’est-à-dire 2/11 7 2 7 2 B B 20 11 11 20 Calculer et donner le résultat en notation scientifique: 3 10 C 7, 5 10 8,2 10 On regroupe les décimaux ensemble… C 7, 5 8,2 103 On calcule 3 C 61, 5 10 10 C 61, 5 107 On donne le résultat en notation scientifique C 6,15 106 5 5 10 2 2 et les puissances de 10 ensemble 10 n m 10 nm 10n 10m 10 n m D On regroupe les décimaux ensemble… On calcule 3 105 7 103 50 10 4 3 7 105 103 D 50 10 4 D 0, 42 108 10 4 D 0, 42 1012 On donne le résultat en notation scientifique D 4,2 1011 et les puissances de 10 ensemble 10n 10m 10 n m 10n 10m 10 n m