longueur d’un arc Trigonométrie Sur un cercle, l’ensemble de la circonférence mesure s=2π R 2π correspond à un tour complet Si l’on ne veut parcourir qu’un arc, remplaçons 2π par α dans la longueur s= α R On appellera alors α la mesure de l’angle en radian : α= s/R s α R arc= mesure d’un angle Trigonométrie Nous travaillerons sur un cercle de rayon R=1, appelé cercle trigonométrique, M(α) nous munissons d’un repère orthonormé avec l’origine au centre du cercle et mesurerons les arcs à partir de l’axe des x vers l’axe des y pour α>0 (sens direct) M(α) est le point représentant l’angle α L’arc mesure alors S= α R = α × 1 S= α On appellera cette valeur α (c’est à dire la longueur de son arc sur un cercle de rayon R=1) la mesure de l’angle en radians α R=1 angles remarquables un angle α=0 Est représenté par le même point qu’un angle α=2π Trigonométrie M(π/2) un angle α=π un angle α=π/2 M(π) M(0) M(2π) autres angles remarquables un angle α=π/4 (45°) un angle α=π/3 (60°) un angle α=π/6 (30°) un angle α=2π/3 (120°) Trigonométrie M(π/3) M(π/4) cos, sin Trigonométrie Chaque point M(α) du cercle trigonométrique a : pour abscisse cos(α) pour ordonnée sin(α) M(α) sin(α) cos(α) R=1 cos, sin des angles remarquables Trigonométrie On notera les valeurs remarquables de ces fonctions dans le tableau: M(π/2) sin(α) On parcours d’abord les sinus : Sinus est une suite croissante M(π/3) M(π/4) M(π/6) Puis les cosinus : Cosinus est une suite décroissante 1 2 α (angle) sin (α) cos (α) tan (α) π/6 π/4 0 √1 /2 √2 /2 √3 /2 1 1 √3 /2 √2 /2 √1 /2 0 0 1/√3 1 0 1 π/3 √3 π/2 M(0) cos(α) tangente Trigonométrie Traçons la tangente au cercle Si nous prolongeons le rayon, quelle est la longueur du segment de tangente? M(α) D’après Thalès, nous avons : tan(α) R=1 sin(α) cos(α) 1 Pythagore Trigonométrie D’après le théorème de Pythagore : cos2 α+ sin2 α = 1 M(α) R=1 sin(α) cos(α) formules Trigonométrie On notera que : cos (-α) = cos (α) M(α) sin (-α) = - sin (α) sin(α) cos(α) sin(-α) M(-α) formules Trigonométrie On notera que : sin (π/2 -α) = cos (α) cos(π/2 -α) M(π/2 -α) cos (π/2 -α) = sin (α) sin(π/2 -α) M(α) sin(α) cos(α)