Intégrales 1 - Intégrale simple 2 - Deux directions de généralisation 3 - Techniques de calcul 4 - Intégrale multiple Bruno Rossetto, bureau A 37, tél. 06 08 45 48 54 et 04 94 14 27 26 email : [email protected] site : http://rossetto.univ-tln.fr 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 1 Somme discrète • Distance parcourue lorsque la vitesse varie par paliers v(t) Distance parcourue durant l’intervalle de temps t i , t i 1 , avec t i 1 t i h di = v(ti) . h v(ti) di est l’aire du rectangle hachuré. n Distance totale : D n d i h i 1 n t0 ti ti+1 tn t D n h . v(t i ) i 1 Dn est la somme des aires des rectangles 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 2 Somme continue • Distance parcourue lorsque la vitesse varie de manière continue v(t) v(ti) h a = t0 t t+h b = tn Distance totale lim D n lim n 2010-11, GEII semestre 3 t n h . v(t i ) n i 1 Mathématiques 3 Intégrale simple (1) • Intégrale de Riemann : l’idée v(t) h b a tn t0 n n h t i 1 t i v(ti) = h . f(ti) Aire n Aire totale R n h . v(t i ) i 1 h a = t0 ti (Rn est appelé somme de Riemann) ti+1 b = tn t b Intégrale v(t)dt lim R n a n L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des t et les bornes 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 4 Intégrale simple (2) • Intégrale de Riemann : d’autres idées b a tn t0 n n f(t) h f(ti+1) h t i 1 t i = h . f(ti+1) Aire n Aire totale R'n h . f(t i 1 ) i 1 h a = t0 ti (R’n : somme de Riemann) ti+1 b = tn t b Intégrale f(t)dt lim R'n a n La somme de Riemann tend vers la même limite, mais par valeurs supérieures, cette fois-ci. 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 5 Intégrale simple (3) • Intégrale de Riemann : formulation mathématique Quelles sont les conditions pour que l’intégrale de Riemann existe ? 1 – Pouvons-nous toujours pratiquer le découpage ? Il faut que la fonction f(x) soit définie pour tout x appartenant à l’intervalle [a, b]. 2 – Dans quelles conditions la limite de la somme de Riemann existe-t-elle ? Il faut que la fonction f(x) soit continue dans l’intervalle [a, b]. D’où la définition: Soit f(x) une fonction définie et continue dans tout l’intervalle [a, b]. On subdivise cet intervalle en n intervalles égaux de largeur h. Soit x = a + kh. On appelle intégrale de b Riemann f(x)dx la limite de la somme Rn a n h.f(x ) lorsque n tend vers l’infini. k 1 k L’intégrale est l’aire algébrique comprise entre la courbe, l’axe des x et les bornes. 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 6 Théorème de la moyenne f(x) Soit m le minimum et M le maximum de la fonction f(x) : M m f(x) M b b a a b mdx f(x)dx Mdx f(c) a b mb a f(x)dx Mb a m a m(b a) f(c) ((b - a) M(b a) a c c b x Théorème de la moyenne : soit f une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a, b]. Il existe au moins un point c appartenant à ce segment tel que b 1 f(c) f ( x )dx ba a 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 7 Propriétés des intégrales Linéarité b b b Si A et B sont des constantes, Af(t) Bg(t) dt A f(t) B g(t)dt a a a Relation de Chasles c b c Si a < b < c : f(t)dt f(t)dt f(t)dt a a b Permutation des bornes : b a a b f(t)dt - f(t)dt 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 8 Calcul pratique d’une intégrale x Valeur F(x) d’une intégrale comme fonction de sa borne supérieure x : F(x) = f(t)dt (1) a Par définition de la dérivée de F(x) : dF( x ) F(x h) F(x) lim h 0 dx h xh x xh dF( x ) 1 1 lim f(t)dt f ( t )dt lim f(t)dt Soit : h 0 h dx h 0 h x a a D’après le théorème de la moyenne, avec a = x et b = x+h, il existe c compris entre x et x+h tel que : xh h f(c) f (t)dt x Lorsque h tend vers 0, c tend vers x en sorte que dF( x ) f ( x ) . En appliquant (1), on trouve que : dx b f(x) dx F(b) F(a), F(x) étant une primitive de f(x). a 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 9 Simplifications • Exploiter les symétries pour simplifier f(x) . + -a . + a 0 x 1 – Symétrie paire : f(-x) = f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’axe vertical) L’intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à l’origine est égale à deux fois l’intégrale sur le demi intervalle positif. a a a 0 f (x)dx 2 f (x)dx f(x) . -a _ . + 0 a x 2 – Symétrie impaire : f(-x) = - f(x), pour tout x. (symétrie par rapport à l’origine) L’intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à l’origine est nulle. a f (x)dx 0 a 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 10 Exemples • Calcul d’une valeur moyenne Exemple 1 : on montre aisément que la moyenne d’un signal sinusoïdal calculée sur un nombre entier de fois sa période est nulle. En effet, l’aire algébrique située au dessus de l’axe horizontal, comptée positivement, est égale à l’aire située au dessous, comptée négativement. V(t) Vm T + t _ 0 V(t) 1 a0 = T Vm + 0 Exemple 2 : calculer la valeur moyenne d’un signal redressé double alternance, qui est aussi le coefficient a0 de son DSF. T V(t) dt 0 Sachant que le signal est pair, ce coefficient est donné par : + T 2010-11, GEII semestre 3 t 2 a0 = T T T 2 2 2V V(t) dt = Tm 0 0 T 2V 2V sin(ωt) dt = m cos(ωt)02 m T Mathématiques 11 Techniques de calcul (1) • Changement de variable Ne pas oublier de changer les bornes • Intégration par parties b u dv uv b b a a • v du a Formes trigonométriques On linéarise. • Fractions rationnelles On décompose en éléments simples - de première espèce - de deuxième espèce 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 12 Techniques de calcul (2) • Changement de variable Exemple : Aire d’un cercle de rayon r, d’équation x 2 + y2 = r 2 r f(x) r x 2 r A 4 r x dx 4 r 1 2 2 0 r 0 On pose sinθ -r q 0 r x r 2 2 dx x dx , cos θ dθ r r (on n’oublie pas de changer les bornes) π 2 A 4r 2 cos 2θ dθ 2r 2 0 2010-11, GEII semestre 3 x 2 Mathématiques π 2 1 cos 2θ dθ π r 2 0 13 Techniques de calcul (3) • Intégration par parties Exemple : formule de Stirling. Le calcul approché de log(n!) pour n >> 1 conduit à une intégrale que l’on intègre par parties : n n i 1 1 log(n! ) log(i) log(x) dx On pose u log(x), du n D’après n u dv u v - v du n 1 1 1 n log(x) dx x log(x) 1 2010-11, GEII semestre 3 dx et dv dv , v x x n n 1 dx n log(n) n 1 n log(n) - n 1 Mathématiques 14 Techniques de calcul (4) • Formes trigonométriques : on linéarise Exemple : calcul du coefficient an du DSF d’un signal redressé double alternance, avec n entier. Dans le cas général, ce coefficient est donné par : T V(t) 2 an = T Vm On tient compte du fait que le signal est pair : an = 0 T t On linéarise : sin(ωt) cos(nωt) = 4 T V(t) cos(nωt) dt 0 T 2 V(t) cos(nωt) dt = 0 4Vm T T 2 sin(ωt) cos(nωt) dt 0 1 sin 1 n t + sin 1 n t 2 On distingue le cas où n est pair et impair. Si p est un entier : a 2p+1 = 0 et a 2p = 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 4Vm (4p2 -1) 15 Techniques de calcul (5) • Fractions rationnelles (1) : on décompose en éléments simples Exemple : décomposition en éléments simples de 1ère espèce : 1 (x a)2 (x b) = A (x a) 2 + B C + (x a) (x b) Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (x-a)2 (resp. x - b) et on fait x = a (resp. x = b). On trouve : 1 A= x b x=a 1 ab 1 C= 2 (x a) x=b 1 (b a)2 Pour calculer B, on multiplie l’équation par (x-a) et on fait tendre x vers l’infini. On trouve : B = - C. Les éléments simples peuvent être intégrés directement. 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 16 Techniques de calcul (6) • Fractions rationnelles (2) : on décompose en éléments simples Exemple : le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : 2 b 4ac b 2 b 2 2 ax +bx+c = a x+ = a X + A , avec A x + et A = 2 2a 2a 4a 2 dx ax 2 +bx+c d = 1 dX 1 = a X 2 +A 2 aA X 2 A2 2010-11, GEII semestre 3 X A +1 = 4ac b 2 2a 1 X Arctg + C, C étant une constante aA A Mathématiques 17 Application : calcul d’aires f(x) = px 1 - Aire du triangle de base b et de hauteur h : M pb = h Equation de la droite OM définissant le triangle: y = f(x)=px f(x) r x 2 0 0 1 2 1 pb hb 2 2 2 - Aire du cercle de rayon r : équation du cercle: x 2 + y2 = r 2 x b b A f(x)dx px dx h 0 b r 2 r A 4 r x dx 4 r 2 r 2 0 0 x r On pose sinθ , cos θ dθ -r 0 r x π 2 A 4r 2 cos 2θ dθ 2r 2 0 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques x2 1 dx r dx r π 2 2 1 cos 2θ dθ π r 0 18 Deux directions de généralisation • La fonction devient infinie f(x) Critères de Riemann : 1 0 0 1 dx x diverge si 1 , converge si 1. x • L’intervalle d’intégration s’étend jusqu’à l’infini f(x) Critère de de Riemann : 1 1 2010-11, GEII semestre 3 dx x converge si 1 et vaut 1 , diverge si 1. -1 x Mathématiques 19 Différentielles et intégrales (1) • Résumé en utilisant la notation différentielle La contribution à la distance totale de l’élément dx, situé le long de la courbe v(t), parcouru à la vitesse v(t) durant l’intervalle de temps dt, est : dx v(t) dt v(t) La distance totale parcourue est la somme des contributions : dx v(ti) b b a a x dx v(t) dt F(b) F(a) dt où F(x) désigne une primitive de v(t) a = t0 2010-11, GEII semestre 3 t b = tn Mathématiques t 20 Différentielles et intégrales (2) • Applications 1 - Aire du cercle de rayon r. La contribution à l’aire du secteur de longueur r et d’angle dq est l’aire du triangle de base r et hauteur rdq : r dq q 1 dA r 2 dθ 2 r r 0 2r dB idl q d r d P 2π 1 A r 2dθ πr 2 20 2 - Champ magnétique créé à la distance d par une spire de rayon r. M dBsinq Aire totale : idl 2010-11, GEII semestre 3 D’après la loi de Biot et Savart, la contribution de l’élément dl est : 2 0 idl PM 0 i rd sin q dBsinθ = sinθ sin q 4 4 PM3 r2 En intégrant de 0 à 2, on trouve : i sin q Bz = 0 2 r Mathématiques 3 21 Différentielles et intégrales (3) • Applications z M 3 - Champ magnétique d’un solénoïde comprenant n spires par unité de longueur. Sur un élément de longueur dz, il y a ndz spires. On note que ndz est un nombre sans dimension. D’après ce que nous venons de trouver, la contribution de l’élément de longueur dz est : dB nidz sin q dB = 0 2 r q z 0 3 z est relié à l’angle q par l’équation r dz -z= r r cosq , tg q sin q - sinq cosq 2 soit dz = - r sinq 2 2 dq = r 1 sinq 2 dq q 0 ni 2 0 ni B= sin q d q (cos q1 cos q2 ) soit, pour un solénoïde infini, B = 0 ni 2 q 2 1 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 22 Intégrale multiple (1) • Définition D dx y dy On divise le domaine D en n rectangles d’aire dx dy. Si la suite n R n f(x i , yi ). δxδy i 1 x admet une limite finie lorsque n tend vers l’infini, alors f(x,y) est intégrable dans R. On note : D f(x,y)dxdy lim n f(xi ,yi ).dxdy n i 1 Cette intégrale représente l’aire du domaine D . Les intégrales multiples sont linéaires. 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 23 Intégrale multiple (2) • Applications 1 – Aire du triangle de base b et de hauteur h f(x) = px Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx pb = h Aire totale : b A 0 h b px 1 1 dy dx pxdx pb 2 hb 2 2 0 0 2 – Aire d’une ellipse d’équation 0 b 2010-11, GEII semestre 3 2 + y2 2 =1 a b Contribution à l’aire de l’élément de surface dy.dx : dA = dy.dx x b 0 x2 a x2 b 1 a a a2 x2 dxdy = 4 dy dx = 4b 1 a 2 dx 0 y 0 0 x dx On pose sinq = , cosq dq= . On trouve : ab a a Mathématiques 24 Aire d’une sphère • Intégrale double z r sin j j Contribution à l’aire de l’élément de longueur r sinj dq et de largeur r dj dA = r2 sinj dq dj r π 2π y A q = r2 0 0 dθ sinφ dφ = π 2πr 2 sinφ dφ = 4πr 2 0 • On exploite les symétries x Contribution à l’aire de l’anneau circulaire de longueur 2 r sinj et de largeur r dj r sin j r dj r sinj dq r 2010-11, GEII semestre 3 dA = 2 r2 sinj dj Aire totale : π 2 A = 2πr sinφ dφ = 4πr2 0 Mathématiques 25 Volume d’une sphère z r sin j j • Intégrale triple r y q x Contribution au volume de l’élément de longueur : r sinj dq de largeur : r dj de hauteur : dr π π V r dθ . sinφ dφdr 0 0 0 r 2 r sin j r dj r sinj dq r 4 V 4π r 2 dr πr 3 3 0 r 2010-11, GEII semestre 3 Mathématiques 26