Un résultat de convergence des algorithmes parallèles asynchrones

Université Mohamed 1er
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
et Informatique
Un résultat de convergence des algorithmes
parallèles asynchrones
Application aux opérateurs maximaux fortement
monotones
Abdenasser BENAHMED
1
Plan
 Problème
 Méthodes directes / itératives pour le calcul numérique
 Algorithmes itératifs synchrones
 Algorithmes itératifs asynchrones
 L’algorithme général
 Résultats de convergence
 Notre résultat
 Application aux opérateurs monotones
 Cas spéciaux
 Conclusion
2
Problème
 La modélisation de beaucoup de phénomènes conduit à la résolution
d’une équation du type
f(x) = 0 , x E
(1)
E espace vectoriel
 Équation qu’on peut écrire sous la forme
x = F(x) , x E
(2)
Les solutions de (2) sont appelés points fixes de F
E = Rn
3
Méthodes directes / itératives pour
le calcul numérique
 Méthodes directes :
 calculent la solution exacte en un nombre fini d’étapes
 gourmandes en mémoire (dimension n => stockage n3)
 Méthodes itératives (séquentielles) :
p
 évaluent la solution par approximations successives : xp+1 = F(x )
 moins gourmandes en mémoire
 plus facilement parallélisable
 Exemple de 2 processeurs expliquant le déroulement des algorithmes
parallèles synchrones et asynchrones
4
Algorithmes itératifs synchrones




Les processeurs commencent la même itération au même moment
Les échanges de données sont réalisées à la fin d'une itération
Beaucoup de temps morts entre les itérations (périodes d’inactivité)
Dégrade considérablement les performances des algorithmes parallèles
phases de communication
et d'attente
phases de calcul
Processeur 1
Processeur 2
1
1
2
2
3
3
4
5
4
5
x1
6
6
x2
temps
xi
p+1
p
p
= Fi (x1 , x2 ) i=1,2
5
Algorithmes itératifs asynchrones
 Les processeurs ne calculent pas forcément la même itération à un instant t
(pas de synchronisation)
 Ils effectuent leurs itérations sans tenir compte de l'avancement des autres
(pas d'ordre de calcul)
 Il n'y a plus d'attente des données venant d'autres processeurs pour commencer une
itération
 Il n'y a plus de temps morts entre les itérations
Processeur 1
1
Processeur 2
1 2
2
3 4
3
4
5
6
5
7
6
8
x1
7
8
x2
temps
xip+1 = Fi (x1s1(p), x2s2(p)) i=1,2
6
L’algorithme général :
Décomposition de Rn
  processeurs
 chaque processeur communique avec les autres processeurs de façon asynchrone
pour envoyer et recevoir des données
 Rn = Rn1 x Rn2 x … x Rn
,
n1 + n2 + … + n = n
 x  Rn
x = (x1,…, x) , xi  Rni
7
L’algorithme général :
Produit scalaire et normes
x = (x1,…, x) et y = (y1,…, y)
 Chaque Rni est muni
du produit scalaire euclidien
de la norme associée
(.,.)i
1/2
||..||i = (.,.)i
 L'espace Rn sera muni

du produit scalaire
(x,y) = ∑ (xi ,yi)i
i=1
de la norme associée
et de la norme uniforme
||x|| = (x, x)
1/2
||x|| = max{ ||xi||i , 1 ≤ i ≤  }
8
L’algorithme général :
Définition
 F est une application de Rn vers Rn
 L’algorithme parallèle asynchrone associé à l’application F est défini par
(3)
 J(p) est une suite de sous-ensembles non vides de {1,…, }
 si(p) sont des entiers inférieurs à p indexant des itérations antérieures à p
9
L’algorithme général :
Définition
(3)
 Cet algorithme décrit le comportement d'un processus itératif exécuté de
façon asynchrone sur une machine parallèle comportant  processeurs.
A chaque itération p + 1, le ième processeur calcule xip+1 en utilisant (3)
 J(p) est l'ensemble des composantes mises à jour à l'itération p (stratégie
de composantes)
 ri(p) = p si(p) représente le retard éventuel dû au ième processeur lors du
calcul du ième bloc à l'itération p
10
L’algorithme général :
Définition
(3)
 Comment s'est développé cet algorithme au cours des années passées?
11
Résultats de convergence:
Chazan & Miranker (1969)
 Pour résoudre le système linéaire Ax = b où A est une matrice
symétrique définie positive sur Rn
 Problème linéaire de point fixe
 Mise à jour d’une seule composante
 Retards bornés
 Application contractive
12
Résultats de convergence:
Miellou J.C. (1975)
 Généralise le résultat de Chazan & Miranker sur deux niveaux
 Problème non linéaire de point fixe
 Mise à jour de plusieurs composantes
 Retards bornés
 Application contractive en norme vectorielle
13
Résultats de convergence:
Baudet G. (1978)
 Généralise le résultat de Miellou
 Problème non linéaire de point fixe
 Mise à jour de plusieurs composantes
 Retards non bornés
 Application contractive en norme vectorielle
14
Résultats de convergence:
El Tarazi M.N. (1982)
 Plus simple dans la pratique
 Problème non linéaire de point fixe
 Mise à jour de plusieurs composantes
 Retards non bornés
 Application contractive en norme scalaire
15
Résultats de convergence:
Bahi J.M. (2000)
 Systèmes singuliers
 Problème linéaire de point fixe
 Mise à jour de plusieurs composantes
 Retards bornés
 Application non-expansive
16
Notre résultat
 Problème non linéaire de point fixe
 Mise à jour de plusieurs composantes
 Retards bornés
 Application non-expansive
17
Notre résultat
Théorème 1: (Résultat principal)
Supposons :
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…,
}
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
Alors pour tout x0 Rn, l’algorithme parallèle asynchrone associé à F
converge vers x* point fixe de F
18
La preuve
Elle se fait en trois étapes:
i.
La suite (|| xp u ||)pN est convergente grâce à (h2), (h3) et (h1)
Donc la suite (xp)pN est bornée
ii. La suite (xpk)kN ((pk)kN est définie par (h0)), étant bornée, elle admet
une sous-suite notée aussi (xpk)kN qui converge vers x* de Rn. Alors
x* est un point fixe de F grâce à (h4), (h2) et (h0) et (i)
iii. xp  x* pour la norme ||..|| quand p tend vers  grâce à (i) et (ii)
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
19
Commentaires
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
 L'hypothèse (h0) signifie que de temps à autre (après quelques
itérations) les processeurs se synchronisent et mettent à jours leurs
données en les échangeant
 Cette sous-suite peut être programmée par l'utilisateur
20
Commentaires
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
 L'hypothèse (h1) signifie que les retards dus aux communications
entre processeurs et aux différents temps de calcul sont bornés, ce
qui revient à supposer qu'au bout d'au plus (s+1) itérations, tous
les processeurs finissent par mettre à jour leurs données.
21
Commentaires
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
 L'hypothèse (h2) affirme que F admet un point fixe
 L'hypothèse (h3) signifie que F est non-expansive par rapport à
la norme uniforme ||..|| sur Rn
22
Commentaires
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
 L'hypothèse (h4) est vérifiée par une large classe d'opérateurs:
 la résolvante F = (I + cT )-1 (c > 0) associée à un opérateur T maximal
monotone
 la projection pc d'un espace de Hilbert réel H sur un convexe fermé non
vide C
 les opérateurs linéaires symétriques positifs et non-expansifs
23
L’algorithme de Jacobi
 Caractérisé par :
 si(p) = p  i  {1,…, } (tous les retards sont nuls)
 J(p) = {1,…, } (toutes les composantes sont réactualisée)
(4)
 (4) décrit un algorithme parallèle synchrone (sans retards)
 On peut se passer de l’hypothèse (h3)
24
L’algorithme de Jacobi
Théorème 2:
 Si F admet un point fixe u et si elle vérifie l’hypothèse (h4) alors
l’algorithme parallèle de Jacobi converge dans Rn vers x* point fixe
de F
 La preuve

(i) La suite (|| xp-u ||)pN est convergente grâce à (h2), (h4)

(ii) et (iii) sont similaires au théorème 1
25
Application aux opérateurs
maximaux fortement monotones:
Définitions
 H est un espace de Hilbert réel ((.,.) et ||..|| euclidien)
 Un opérateur multivoque T de H à domaine D(T) est dit
 monotone si  x,x’ D(T), (y y’, x x’) ≥ 0
 y  Tx et  y’ Tx’
 a-fortement monotone (a > 0) si
 x,x’ D(T), ( y y’, x x’) ≥ a||x x’||2
 y  Tx et  y’ Tx’
 Les éléments x de D(T) vérifiant 0  Tx sont appelés solutions ou
zéros de l’opérateur T
H = Rn
26
Application aux opérateurs
maximaux fortement monotones:
Le théorème
Théorème 3:
Soit T un opérateur multivoque maximal a-fortement monotone sur
Rn (a > 0). Alors
 T admet une solution unique x*
 Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application
univoque F = (I + cT )-1 où c ≥
converge dans Rn vers la solution x*
de T
27
Application aux opérateurs
maximaux fortement monotones:
La preuve
 C’est une application du théorème 1
 On démontre que l’application F vérifie les hypothèses (h2), (h3) et (h4)
(h0)  une sous-suite {pk}kN telle que J(pk) = {1,…, } et si(pk) = pk  i {1,…, }
(h1)  s N tel que  i {1,…, } ,  p N, p s ≤ si(p) ≤ p
(h2)  u Rn , F(u) = u
(h3)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)|| ≤ || x x’||
(h4)  x,x’ Rn , ||F(x) F(x’)||2 ≤ (F(x) F(x’),x x’)
28
Application aux opérateurs
maximaux fortement monotones:
Remarque
 Méthode parallèle pour le calcul des solutions des opérateurs
multivoques maximaux fortement monotones
 On peut se passer de la forte monotonie dans le cas de Jacobi
29
Application aux opérateurs
maximaux monotones
Théorème 4:
 Soit T un opérateur multivoque maximal monotone sur Rn admettant
une solution. Alors, tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi
associé à l'application univoque F = (I + cT )-1 où c > 0
quelconque converge dans Rn vers x* solution de T
 C’est une application directe du théorème 2
Si F admet un point fixe u et si elle vérifie l’hypothèse (h4) alors l’algorithme
parallèle de Jacobi converge dans Rn vers x* point fixe de F
30
Cas spéciaux
 On va construire des opérateurs maximaux monotones pour le :
 calcul du minimum de fonctionnelles
 calcul du point selle de fonctions selles
 calcul de solutions des programmes convexes
 calcul de solutions des problèmes de l’inégalité variationnelle
31
Cas spéciaux :
Minimum de fonctionnelles
 f fonctionnelle de Rn vers R {+} convexe propre et s.c.i.
 f est un opérateur maximal monotone sur Rn
32
Cas spéciaux :
Minimum de fonctionnelles
 f fonctionnelle de Rn vers R {+} convexe propre et s.c.i.
 Les zéros du sous-différentiel f sont les points de minimum de f
0  f(x0)  f(x0) = min f(x)
xRn
33
Cas spéciaux :
Minimum de fonctionnelles
 f fonctionnelle de Rn vers R {+} convexe propre et s.c.i.
f est a-fortement convexe (a > 0)

f est un opérateur a-fortement monotone
34
Cas spéciaux :
Minimum de fonctionnelles
Corollaire 1: (cas asynchrone)
f de Rn vers R {+} a-fortement convexe propre et s.c.i. (a > 0). Alors
 f admet un minimum unique x*
 Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque
F = (I + cf )-1 où c ≥
sur Rn
converge dans Rn vers x* le point de minimum de f
Application du théorème 3 à l’opérateur T = f
35
Cas spéciaux :
Minimum de fonctionnelles
Corollaire 2: (cas synchrone)
f de Rn vers R {+} convexe propre et s.c.i. telle que le problème de
minimisation min f(x) admette une solution.
xRn
Alors
Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application
univoque F = (I + cf )-1 où c > 0 quelconque converge dans Rn vers un
point de minimum de f sur Rn
Application du théorème 4 à l’opérateur T = f
36
Cas spéciaux :
Points selle
 L fonctionnelle de Rn x Rm vers [ ,+]
 Un point (x*,y*) de Rn x Rm vérifiant
L(x*,y) ≤ L(x*,y*) ≤ L(x,y*), (x,y) Rn x Rm
est appelé point selle de L
L(x*,y*) = min L(x,y*) = max L(x*,y)
xRn
yRm
37
Cas spéciaux :
Points selle
L fonctionnelle de Rn x Rm vers [ ,+]
L est convexe-concave si
x  L(x,y) est convexe  y Rm
y  L(x,y) est concave  x Rn
L est fonction selle (Rockafellar)
L est a-fortement convexe-concave (a > 0) si
x  L(x,y) est a-fortement convexe  y Rm
y  L(x,y) est a-fortement concave  x Rn
38
Cas spéciaux :
Points selle
L de Rn x Rm vers [ ,+] fonction selle et propre
Si
x  L(x,y) est s.c.i. sur Rn  y Rm
y  L(x,y) est s.c.s. sur Rm  x Rn
Alors L est fermée (Rockafellar)
39
Cas spéciaux :
Points selle
L fonctionnelle de Rn x Rm vers [ ,+]
L(x0 ,y0) = le sous-différentiel de L au point (x0 ,y0) Rn x Rm
C’est l’ensemble des (x,y) de Rn x Rm vérifiant
L(x0,y’)  (y,y’ y0) ≤ L(x0,y0) ≤ L(x’,y0)  (x,x’ x0)
(x’,y’) Rn x Rm
40
Cas spéciaux :
Points selle
L fonctionnelle de Rn x Rm vers [ ,+]
Nous associons à la fonctionnelle L l'opérateur multivoque TL défini sur
Rn x Rm par
TL(x,y) = {(z,t) Rn x Rm : (z, t) L(x,y) }
(x,y) Rn x Rm
(0,0) TL(x,y)  (x,y) est point selle de L
Les points selle de L sont les solutions de l’opérateur TL
TL est maximal monotone? fortement maximal monotone?
41
Cas spéciaux :
Points selle
Proposition (Rockafellar)
Si L une fonction
selle
propre
fermée sur Rn x Rm
Alors TL est un opérateur maximal monotone sur Rn x Rm
42
Cas spéciaux :
Points selle
Lemme:
Si L est une fonction a-fortement convexe-concave
Alors TL est un opérateur a-fortement monotone
43
Cas spéciaux :
Points selle
Corollaire 3: (cas asynchrone)
L a-fortement convexe-concave propre et fermée de Rn x Rm vers [ ,+].
Alors
 L admet un point selle unique (x*,y*)
 Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque
F = (I + c TL)-1 de Rn x Rm vers Rn x Rm où c ≥
converge vers le point selle
(x*,y*) de L
Application du théorème 3 à l’opérateur T = TL
44
Cas spéciaux :
Points selle
Corollaire 4: (cas synchrone)
L fonction selle fermée et propre de Rn x Rm vers [ ,+] admettant un
point selle .
Alors
Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application
univoque F = (I + c TL)-1 de Rn x Rm vers Rn x Rm où c > 0 quelconque
converge vers un point selle de L
Application du théorème 4 à l’opérateur T = TL
45
Cas spéciaux :
Programme convexe
Considérons le programme convexe
Min f0(x)
xC
fi(x) ≤ 0 , (1 ≤ i ≤ m)
(P)
C convexe fermé non vide de Rn
fi : C  R sont des fonctions (finies) convexes et s.c.i. pour (0 ≤ i ≤ m)
Contraintes qualifiées
 x0  C tel que fi(x0) < 0 ,  i {1,…, m}
46
Cas spéciaux :
Programme convexe
Le Lagrangien associe au problème (P) dans sa forme étendue est la
fonctionnelle L définie sur Rn x Rm par
m
f0(x) + ∑ yi fi (x)
si
x  C et y (R+)m
si
si
x  C et y (R+)m
xC
i=1
L(x,y) =

+
47
Cas spéciaux :
Programme convexe
Le problème dual associé à (P)
Max g0(y)
(D)
y (R+)m
g0 : Rm  R { } définie par
g0 (y) = Inf L(x,y)
xC
48
Cas spéciaux :
Programme convexe
Si (x*,y*) est un point selle du lagrangien L sur Rn x Rm , alors x* est une
solution optimale du problème primal (P) et y* est une solution optimale
du problème dual (D).
Inversement
Si le problème (P) admet une solution x* et si les contraintes sont
qualifiées alors il existe y (R+)m tel que (x*,y*) soit point selle de la
fonctionnelle L
Nous pouvons alors énoncer :
49
Cas spéciaux :
Programme convexe
Corollaire 5: (cas synchrone)
Supposons que le programme convexe (P) soit à contraintes qualifiées et
admette une solution.
Alors
Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application
univoque F = (I + c TL)-1 de Rn x Rm vers Rn x Rm où c > 0 quelconque
converge vers (x*,y*) point selle de L, et donc x* est une solution du
primal (P) et y* solution du dual (D).
Application du corollaire 4 au lagrangien L
50
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
C convexe fermé non vide de Rn
A opérateur maximal monotone sur Rn à domaine C
Chercher x* de C tel que
 y* A x* , (y*, x  x*) ≥ 0 ,  x  C
Le cône normal de C en x est
Nc(x) = { y Rn, (y, x  z) ≥ 0 ,  z  C }
51
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
L’opérateur multivoque T défini sur Rn par
Ax + Nc(x)
si
xC
si
xC
Tx =

est un opérateur maximal monotone (Rockafellar)
Cet opérateur vérifie-t-il les conditions du théorème 3 ?
52
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
Lemme 1:
Si A est a-fortement monotone alors T est un opérateur a-fortement
monotone
53
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
Lemme 2:
Le solutions de l’opérateur T sont exactement les solutions du problème de
Inégalité variationnelle
54
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
Corollaire 6: (cas asynchrone)
C convexe fermé non vide de Rn et A un opérateur multivoque
maximal a-fortement monotone défini sur C (a > 0). Alors
 Le problème de l’inégalité variationnelle admet une unique solution x*
 Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application
univoque F = (I + cT )-1 où c ≥
converge dans Rn vers la solution x*
du problème de l’inégalité variationnelle
Appliquer lemme 1, lemme 2 et théorème 3 à l’opérateur T
55
Cas spéciaux :
Inégalité variationnelle
Corollaire 7: (cas synchrone)
C convexe fermé non vide de Rn et A un opérateur multivoque
maximal monotone défini sur C tel que le problème de l’inégalité
variationnelle admette une solution
Alors
Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application
univoque F = (I + cT )-1 où c > 0 quelconque converge vers x*
solution du problème de l’inégalité variationnelle
Appliquer théorème 4 à l’opérateur T
56
Conclusion
Notre travail
 Un algorithme parallèle asynchrone convergeant vers un point fixe
 Concerne le cas non linéaire non-expansif
 L’hypothèse (h4) est largement vérifiée
 Applications

aux problèmes d’optimisation (non linaire)

au problème de l'inégalité variationnelle
57
Merci de votre attention
58
Questions
 Algorithme
 Implémentable
 Communications
 Détection de convergence
 Procédure d’arrêt
59
Algorithme :
Implémentation
 Difficile dans le cas général
 Implémentable dans le cas où T =  f
 Nouvelle méthode (Solodov et Svaiter 2000)
Choisir x0 Rn et prendre k = 0
Ayant xk , choisir k > 0 et k  [0,1[ et trouver
yk Rn et vk  Tyk tel que 0 = vk + k (yk  xk) + rk
Hybrid Proximal
Point algorithm
HPPA
où
|| rk || ≤ k max {|| vk || , k ||yk  xk ||}
Stop si vk = 0 ou yk = xk
Sinon , prendre
xk+1 = xk  (vk , xk  yk ) || vk ||-2 vk
prendre k = k+1 et repeter
60
Algorithme :
Détection de convergence
 Un processeur centralise les convergences locales de tous les processeurs
 Ce processeur se comporte de la même manière que tous les autres, mais doit juste effectuer
une opération en plus
 Chaque processeur détermine sa convergence locale :
 On calcule la différence d’évolution entre 2 itérations
 On compte le nombre de fois consécutives où cette différence est inférieure à un seuil fixé
 Si le compteur dépasse un seuil, on considère qu’il y a convergence locale
 Envoie d’un message de convergence au processeur centralisateur
 S’il y a divergence après une convergence, envoie d’un message d’annulation
de convergence
 Convergence globale détectée lorsque toutes les convergences locales sont
reçues
62
Algorithme :
Procédure d’arrêt
 Lorsqu’il détecte la convergence globale, le processeur centralisateur
envoie un message d’arrêt général
 Quand les processeurs reçoivent le message d’arrêt, ils quittent la boucle
d’itération
 L’arrêt nécessite la fin de tous les messages en cours
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Jace :
Présentation
 Java Asynchronous Computation Environment
 Environnement de calcul asynchrone Java
 Conçu et optimisé pour le calcul itératif asynchrone
(calcul, communication)
 Architecture de Jace (trois entités principales)
 les Tâches
 le Démon
 le Spawner (Distributeur de tâches)
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Jace :
Architecture
 Les Tâches
 héritent d'une classe Jace nommée Task proposant les méthodes de communications
et de synchronisations
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Jace :
Architecture
 Le Démon
 présent sur chaque machine participant au calcul
 contient tous les objets nécessaires pour :

configurer la machine parallèle

router les messages

gérer les taches
 responsable de la synchronisation et de la communication entre les nœuds de calculs
(réception et envoie de message)
 utilise RMI (Remote Method Invocation ) pour communiquer
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Jace :
Architecture
 Le Spawner (Distributeur de tâches)
 se charge de distribuer les tâches sur l'ensemble des processeurs suivant un certain
protocole de distribution de tâches
 instancie à distance une tâche de calcul s'intégrant au démon
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