1 ère

Term. L (spécialité mathématiques) & ES
16 septembre 2016 (3 h)
DEVOIR SURVEILLE N°1 DE MATHEMATIQUES.
 Seule la calculatrice personnelle est autorisée. Les exercices sont indépendants. Il sera tenu
compte de la rédaction, de la présentation et de l'orthographe. Les calculs doivent être détaillés. Le
barême n’est qu’indicatif. Tout résultat fourni par l’énoncé peut être admis pour poursuivre.
EXERCICE 1 (sur 5,5 points).
Résolvez dans  les équations suivantes :
1) 5x2 + 3x  8 = 0 ;
2) 4x2 + 3x + 1 = 0 ;
3) x2 
1  3x
;
4
5) x 2  3 2x  4  0 ;
1
2
 2.
7)  
x x3
4) 4x4 + 3x2  1 = 0 ;
1
6) x 2  2 x  3  0 ;
3
EXERCICE 2 (sur 6 points).
Résolvez dans  les inéquations suivantes :
1) x2  x  6  0 ;

2) x2 + 2x < 4 ;

4) x  2  6 x 2  x  2  0 ;
5)
 2x  1
1 ;
x  3x  2
2
7
x2  0;
2
7
 x  6.
6)
x2
3)  x 2 
EXERCICE 3 (sur 2,5 points) : suite définie explicitement.
Soit la suite (un)n définie par :
pour tout entier naturel n : u n  5n 2  4n  1 .
1) Calculez les trois premiers termes de cette suite.
2) Etudiez le sens de variation de cette suite.
EXERCICE 4 (sur 2 points) : suite définie par récurrence.
1) Soit (un)n la suite définie par :
u0 = 10 000 et, pour tout entier naturel n : un+1 = 0,8un + 5 000.
Calculez u1 et u2.
2) Une observation faite par un journal sur ses abonnés a permis de constater, pour chaque
année, un taux de réabonnement de 80 % ainsi que l’apparition de 5 000 nouveaux abonnés.
On suppose qu’en 2016, le journal compte 10 000 abonnés.
En supposant que l’évolution décrite par l’observation précédente reste la même au fil des
ans, et en établissant un lien avec la question précédente, trouvez le nombre d’abonnés au
journal en 2019.
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Vous traiterez, au choix, deux des trois problèmes concrets suivants ; s’il vous reste du
temps, et si les deux premiers problèmes ont bien été traités, vous pourrez traiter un
troisième problème qui sera alors noté en bonus.
EXERCICE 5 (sur 2 points) : les comptes d’É. Pargne.
Emile Pargne souscrit, le 1er janvier 2013, des actions d’une entreprise pour un montant de 8 000 €.
Le 1er janvier 2014, les actions ont subi une perte de t % par rapport au 1er janvier 2013, mais
monsieur Pargne, nullement découragé, maintient son placement.
Le 1er janvier 2015, il constate avec joie une plus-value de (2t) % par rapport au 1er janvier 2014.
Ce même jour, le 1er janvier 2015, la vente de son portefeuille d’actions représente un
montant de 8 481,60 €.
Déterminez t (on précise que t est inférieur à 40).
EXERCICE 6 (sur 2 points) : à l’abordage !
Après un abordage réussi, l’équipage d’un bateau
de pirates doit se partager équitablement un butin
de 151 200 écus. Au banquet qui précède le
partage, le cuisinier du navire réussit à
empoisonner 5 pirates ! La part de chacun est
alors augmentée de 2 250 écus.
Combien y avait-il de pirates au départ ?
EXERCICE 7 (sur 2 points) : un cadre agréable.
Une photographie est encadrée dans un cadre
rectangulaire de 40 cm sur 50 cm. L’aire de la
photo seule est de 1 344 cm². La largeur de la
bordure du cadre est uniforme.
Déterminez cette largeur.
Conservez l’énoncé.
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EXERCICE 1
2
1) 5x + 3x  8 = 0.  = 169.  > 0 donc l’équation admet deux solutions :
 3  13
 3  13
8
 8 
 1 et
  . S   ; 1 .
10
10
5
 5 
2) 4x2 + 3x + 1 = 0.  = 9  16 = 7.  < 0 donc l’équation n’a pas de solution. S = .
1  3x
3) x2 
. L’équation équivaut successivement à : 4x² = 1  3x ; 4x² + 3x  1 = 0.
4
35 1
35
 = 25.  > 0 donc l’équation admet deux solutions :
et

 1 .
8
4
8
1

S   1 ;  .
4

4
2
4) 4x + 3x  1 = 0 : c’est une équation bicarrée qui devient, en posant X = x2 :
4X² + 3X  1 = 0. D’après la précédente question, cette équation admet deux solutions :
1
X’  1
et X’’  .
4
1
x2 = 1 : impossible
x2 
4
1
1
 1 1
x   ou x 
S   ;  .
2
2
 2 2
5) x 2  3 2x  4  0 .
 =
3 2  2
 2
2
3 2 
2
 4  4  18  16  2 donc l’équation admet deux


3 2  2
 2 2 . S   2 2 ;  2 .
2
1
1
1
6) x 2  2 x  3  0 .   4  4   3  4  4  0 .  = 0 donc le trinôme x 2  2 x  3
3
3
3
2
 3 . S  3. On pouvait aussi multiplier les deux
admet une seule racine (double) : 
2
3
membres de l’équation initiale par 3 pour obtenir : x 2  6 x  9  0 ; et reconnaître une
2
identité remarquable développée : x  3  0 .
7) Traitée en classe.
solutions :
et
EXERCICE 3
1. u 0  5  0  4  0  1 donc u 0  1 . u1  5  12  4  1  1 donc u1  2.
2
u 2  5  2 2  4  2  1 donc u2  13.
2. Pour tout entier naturel n : u n  5n 2  4n  1 donc :
un1  5n  1  4n  1  1  5n 2  10n  5  4n  4  1  5n 2  6n  2 ;
on calcule la différence entre ces deux termes consécutifs :
2


u n 1  u n  5n 2  6n  2  5n 2  4n  1  5n 2  6n  2  5n 2  4n  1  10n  1
10n + 1 > 0 car n est un entier naturel donc un+1  un > 0 donc :
cette suite est strictement croissante.
Noter que
u0  u1  u 2 aurait seulement permis de conjecturer ce sens de variation, mais pas de le prouver car la
« croissance » observée sur les 3 premiers termes ne permet rien d’affirmer sur les termes suivants.
EXERCICE 2
1) x2  x  6  0.
 = 25.  > 0 donc le polynôme x2  x  6 admet deux racines :
1 5
1 5
Ce polynôme est du signe de a = 1, donc positif ou nul, sur
 3 et
 2 .
2
2
] ; 2][3 ; +[, et strictement négatif sur l’intervalle ]2 ; 3[. Ici, on souhaite que le
polynôme soit positif ou nul, donc : S = ] ; 2][3 ; +[.
2) x2 + 2x < 4. L’inéquation équivaut à : x2 + 2x  4 < 0.  = 12.  < 0 donc le
polynôme x2 + 2x  4 est toujours du signe de a = 1, donc strictement négatif. Ici, on
souhaite que le polynôme soit strictement négatif, donc : S = .
2
49
81  9 
 4   1  2 
   .  > 0 donc le trinôme
4
4 2
7 9
7 9
 
 
1
7
 x 2  x  2 admet deux racines : 2 2  4 et 2 2   . Ce polynôme est du signe
2
2
2
2
1

de a = 1, donc strictement négatif, sur    ;    4 ;   , et strictement positif sur l’intervalle
2

1
 1 
  2 ; 4  , et nul en  2 ou 4. Ici, on souhaite que le polynôme soit strictement positif, donc :
 1 
S    ; 4 .
 2 
3)  x 2 
7
x 2  0.
2
 
4) Traitée en classe.
 2x  1
 1.
5) 2
x  3x  2
Domaine de résolution. Il ne faut pas que : x 2  3 x  2 = 0. Le trinôme x 2  3 x  2 admet
3 1
3 1
 2 et
 1 . On résout sur :
comme discriminant  = 1 et admet deux racines :
2
2
D = \ 1; 2.
Résolution. En transposant tout dans le premier membre, l’inéquation proposée équivaut à :
 2x  1
 2x  1
 2 x  1  x 2  3x  2
 x2  x 1

1


1

0


0

 0.
x 2  3x  2
x 2  3x  2
x 2  3x  2
x 2  3x  2
Le trinôme  x 2  x  1 admet comme discriminant  = 3 et n’admet donc pas de racine ; il est
toujours du signe de a = 1 i.e. strictement négatif. Le trinôme x 2  3 x  2 est du signe de a = 1
(i.e. strictement positif) « en dehors » de ses racines 1 et 2, du signe contraire « entre » ses racines.
x

1
2
+
2



 x  x 1
2
+
0

0
+
x  3x  2
2
+


 x  x 1
x 2  3x  2

S = ] ; 1[  ]2 ; +[.
6) On résout sur : D = \  2.
L’inéquation proposée équivaut à :

x 2  4x  5
7
xx  2 6x  2


0 
 0.
x2
x2
x2
x2
Le polynôme x2  4x  5 admet pour discriminant 36 et a donc deux racines :
46
 1
2
46
 5 . Ce polynôme est du signe de a = 1, donc strictement positif, « en dehors des
2
racines », et négatif « entre les racines ».
et
x
x+2
2
x  4x  5
x2  4x  5
x2


+

2
0
1
+
+
+
0
0
+
5
+


0
0
+
+
+
S   2 ;  1  5 ;   .
EXERCICE 5
Le 1er janvier 2014, les actions ont subi une perte de t % par rapport au 1er janvier 2013,
t 
t 


donc ont été multipliées par 1 
 et valent donc : 8 000 1 
.
 100 
 100 
Le 1er janvier 2015, les actions ont subi une plus-value de (2t) % par rapport au 1er janvier
2t  
t 

2014, donc ont été multipliées par 1 
  1   et valent donc :
 100   50 
t 
t 

8 000 1 
1    8 481,60.
 100  50 
t 
t 

Cette équation équivaut successivement à : 1 
1    1,0602 ;
 100  50 
t
t
t2
t
t2
1


 1,0602 ; 1 

 1,0602 ;
50 100 5 000
100 5 000
t2
t


 0,0602  0 ;
5 000 100
soit, en multipliant les deux membres par 5 000 : t²  50t + 301 = 0.
 = 1 296 = 36².  > 0 donc l’équation admet deux solutions :
50  36
50  36
 7 et
 43 .
t étant inférieur à 40 : t = 7.
2
2
8 481,60  8 000
 100  6,02 . Entre 2013 et 2015 le montant des actions a
8000
t 
t 

augmenté de 6,02 % donc a été multiplié par 1,0602 d’où : 1 
1    1,0602.
 100  50 
Variante :
EXERCICE 6
Notons x le nombre initial de pirates. x est un entier naturel non nul.
La part initiale de chacun est :
151 200
. Après l’empoisonnement de 5 pirates, la part de
x
151 200
. Comme la part de chacun est alors augmentée de 2 250 € :
x5
151 200 151 200

 2 250 . (A noter que x doit être différent de 0 et 5.)
x5
x
336 336
Après division des deux membres par 450, cette équation devient :

 5 . Ce qui
x5
x
336 336  5 x
équivaut successivement à :
; 336x = (336 + 5x)(x  5). Après

x5
x
développement et réduction, cette équation devient : 5x²  25x  1 680 = 0 ; ce qui équivaut
à : x²  5x  336 = 0 .
 = 1 369 = 37².  > 0 donc l’équation admet deux solutions :
5  37
5  37
 21 et
 16 .
2
2
Seule la première solution est un entier naturel. Il y avait au départ 21 héritiers.
chacun devient :
EXERCICE 7
Soit x la largeur en cm de la bordure du cadre. x est donc un réel positif inférieur à 40.
La largeur en cm de la photo est donc 40  2x et sa longueur 50  2x. (Faites un dessin.)
Comme son aire est 1 344 cm² : (40  2x)(50  2x) = 1 344.
En développant le membre de gauche et en réduisant, cette équation s’écrit :
4x²  180x + 656 = 0.
En simplifiant par 4, elle devient :
x²  45x + 164 = 0.
Son discriminant est 1 369 = 37² ; comme il est strictement positif, l’équation admet deux
45  37
45  37
 4 et
 41 . Cette dernière solution ne convient pas car
solutions :
2
2
supérieure à la largeur totale du cadre.
La largeur de la bordure du cadre est donc de 4 cm.
EXERCICE 4
1) Soit (un)n la suite définie par :
u0 = 10 000 et, pour tout entier naturel n : un+1 = 0,8un + 5 000.
u1 = 0,8u0 + 5 000 = 0,8  10 000 + 5 000 d’où : u1 = 13 000.
u2 = 0,8u1 + 5 000 = 0,8  13 000 + 5 000 d’où : u2 = 15 400.
2) D’une année à la suivante, le nombre d’abonnés est multiplié par 0,8 et augmenté de
5 000. Si l’on note le nombre d’abonnés en l’année (2016 + n), on a donc, pour tout entier
naturel n : un+1 = 0,8un + 5 000.
De plus, en 2016, le journal compte 10 000 abonnés donc : u0 = 10 000.
un est donc égal au nombre d’abonnés en l’année (2016 + n).
Le nombre d’abonnés au journal en 2019 sera donc : u3 = 0,8u2 + 5 000 = 0,8  15 400 + 5 000 = 17 320.
Le journal comptera 17 320 abonnés en 2019.