METHODOLOGIE DE CONVERSION DES PARAMETRES S DU MODE COMMUN AU MODE DIFFERENTIEL Ye ZHU (1,2) - Marco KLINGLER (1) - Françoise PALADIAN (2) (1) (2) PSA Peugeot Citroën, Vélizy-Villacoublay, [email protected] LASMEA, Université Blaise Pascal, [email protected] Résumé. Cet article propose une méthodologie originale pour la détermination des paramètres de diffraction de mode différentiel à partir des paramètres S de mode commun. En effet, dans un véhicule automobile, le conducteur de référence correspond à un fil de masse et non à un plan conducteur, d’où l’intérêt de caractériser un système linéaire par des paramètres de mode différentiel. L’efficacité de cette approche est illustrée par des résultats relatifs à la mise en évidence de phénomènes de diaphonie sur un réseau de câbles. constituants correspondent aux termes de sa matrice impédance Zc, nous désignerons par paramètres S généralisés les paramètres S correspondants. I. CONTEXTE DE L’ETUDE Les paramètres S caractérisant une ligne multifilaire sont définis par une relation analogue à (1). Néanmoins, il s’agit de paramètres de mode commun définis par rapport à un plan de masse, d’où un problème de représentativité des lignes multifilaires modélisant des faisceaux automobiles. En effet, en pratique, les signaux sont référencés à un fil de masse correspondant à l’un des conducteurs de la ligne multifilaire, et non au châssis du véhicule [5]. Par suite, il devient plus réaliste d’introduire les sources de tension d’une part entre deux ports de la ligne et, d’autre part, entre chacun des ports de la ligne et le châssis (Fig.3). De nombreuses approches concernant la caractérisation de ligne de transmission par des paramètres S ont été développées [1] [2]. Dans le cas d’une ligne au-dessus d’un plan de masse, les paramètres S11 et S21 sont mesurés suivant le montage illustrée figure 1, S22 et S12 étant déterminés en inversant les ports d’entrée/sortie. I1 Z0 U 1 V1 S11 S 21 S12 S 22 2 I2 V2 Z0 UA UB UA In I1 ZCBIB In+1 VA VB Fig.2 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode commun In UA Fig.1 – Cas d’une ligne à deux conducteurs ZCAIA I1 VA I2n UB . . . S . . . La relation matricielle définissant la matrice S en fonction des vecteurs des tensions et courants aux deux ports de la configuration est donnée par : V I V − Z 0 I = S(V + Z 0 I ) où V = 1 , I = 1 (1) V 2 I 2 Z0 étant l’impédance de référence (50Ω en général). On obtient à partir de (1) et en adaptant la ligne au niveau du port 2 : V − Z c I1 V − Zc I2 S11 = 1 S 21 = 2 (2) V1 + Z c I 1 V1 + Z c I 1 où Zc est l’impédance caractéristique de la ligne. Pour une ligne multifilaire à (n+1) conducteurs, la mesure des paramètres S de mode commun est réalisée suivant le montage indiqué figure 2. D’après [6] [7], les charges sont représentées par un réseau de résistances, chacune des sources de tension étant introduite entre ce réseau et chaque port de la ligne. Pour une ligne adaptée par un circuit dont les . . . S . . . ZCAIA I2n ZCBIB In+1 VB Fig.3 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode différentiel Par conséquent, vis-à-vis du contexte automobile, la détermination des paramètres S généralisés de mode différentiel s’avère indispensable, d’où la nécessité de développer une méthodologie de conversion des paramètres S de mode commun en paramètres de mode différentiel. II. PARAMETRE S DE MODE COMMUN L’objectif est, dans un premier temps, d’établir les expressions analytiques des paramètres S généralisés de mode commun dans le cas de la ligne multifilaire schématisée figure 2. IA, IB, VA, VB, UA et UB représentent respectivement les vecteurs des tensions, courants et des fem des générateurs de tension à l’entrée (indice « A ») et en sortie (indice « B ») de la ligne : I n +1 I1 V1 I A = M I B = M VA = M I 2 n I n Vn Vn +1 U n +1 U 1 VB = M U A = M U B = M V2 n U 2 n U n S11 L S1n S AB S S = M O M = AA S S n1 L S nn BA S BB V Z 0 I A = S A + C VB 0 ZC I B (5) où ZC est la matrice des impédances caractéristiques de la ligne. Par application de la loi d’Ohm, nous avons : (6) (5) s’écrit alors : VA − (U A − VA ) = S AA U A + S AB U B VB − (U B − VB ) = S BA U A + S BB U B (7) Les termes de la matrice S sont alors obtenus en activant individuellement chaque source de tension. Ainsi, imposer U B = 0 dans (7), permet de déterminer les expressions des sous-matrices SAA et SBA : 2VA − U A = S AA U A (8) 2VB = S BA U A La seconde équation matricielle de (8) permet, avec les notations de (4), d’obtenir les termes de SBA : 2Vn +1 = S ( n +1)1 U 1 + S ( n+1) 2 U 2 + L + S ( n +1) n U n 2Vn + 2 = S ( n + 2)1 U A1 + S ( n + 2) 2 U 2 + L + S ( n + 2) n U n M 2V = S U + S 2 n ,1 A1 2 n , 2 U 2 + L + S 2 n ,n U n 2n (9) Si toutes les sources de tension sont éteintes, exceptée celle connectée au port i ( i = 1K n ) à l’entrée A, on obtient, pour les termes de SBA : S ji = 2V j Ui (11) En procédant de la même manière pour la détermination des termes de SBB et SAB , on obtient l’expression générale des termes de la matrice S généralisée de mode commun, pour i, j = 1…2n : (12) Ces expressions sont ensuite directement utilisées pour l’évaluation des paramètres S généralisés de mode différentiel. (4) 0 I A ZC I B U A = VA + Z C I A U B = VB + Z C I B i ∈ [1, n ], j ∈ [1, n ] S = 2Vi − 1 ii Ui U i ≠ 0,U j = 0 2 V S ji = j Ui Les paramètres S généralisés de mode commun de la ligne étudiée sont définis par : VA ZC V − 0 B S = 2Vi − 1 Ui ii U i ≠ 0, U j = 0 2 V S ji = j Ui U i ≠ 0,U j = 0 i ∈ [1, n], j ∈ [n + 1,2n] (10) De plus, en développant la première équation matricielle de (8), les termes de SAA s’écrivent : III. PARAMETRES S DE MODE DIFFERENTIEL III.1 Définition du mode différentiel Tensions et courants de mode commun sont définis à partir d’un potentiel de référence, comme par exemple le châssis du véhicule [3] [4]. En mode différentiel, c’est l’un des conducteurs de la ligne qui assure le retour du courant et peut être considéré comme le conducteur de référence des autres conducteurs. Pour les applications automobiles, c’est ce dernier mode de transmission qui s’avère être le plus représentatif pour les analyses tant fonctionnelles que CEM. En particulier, pour l’analyse de faisceaux électriques, la tension différentielle V(i,j) telle que : (13) V(i , j ) = Vi − V j est introduite pour représenter la tension au port i, le conducteur j correspondant au conducteur de référence. Cette notion est illustrée figure 4, dans le cas d’une ligne à (4+1) conducteurs. 1 V (1,0) V (1,2) 2 3 4 Potential reference V (4,5) Fig.4 – Définitions du mode commun et du mode différentiel Au niveau des câblages automobiles, deux types de couplage de mode différentiel doivent être pris en compte : - entre un conducteur et une paire, - entre deux paires. Les paramètres S généralisés de mode différentiel, devant être représentatifs de ces interactions, sont obtenus à partir des paramètres S de mode commun définis par les relations (12). La première étape est d’établir la relation entre les fem des sources de tension intervenant dans les montages permettant la détermination des paramètres S de mode commun et de mode différentiel. III.2 Relations de passage entre sources de mode commun et sources de mode différentiel L’évaluation des paramètres S généralisés de mode différentiel se déduit du montage présenté figure 5a. Par exemple, pour l’étude du paramètre correspondant au couplage du conducteur n sur la paire constituée par les conducteurs 1 et 2, il est nécessaire d’activer la source de tension Vtnn (les autres sources étant éteintes). L’influence de la paire des conducteurs 1 et 2 sur le conducteur n est obtenue en activant la source Vt12. R1n Vt11 Vt12 I Vt1n … … R22 n Vtnn V Rnn (a) Mode différentiel Ue1 1 Ue2 I … … … R22 n U Fig.5 – Détermination des paramètres S généralisés : sources de tension A partir du circuit donné figure 5a, l’équivalence entre les modèles de Thévenin et de Norton est ensuite utilisée pour déterminer les valeurs Ie des sources de courant équivalentes aux fem Vt des sources de tension (figure 6) . R1n 1 R12 I’ Ie1n Ie11 Ie12 I 2 … … … Ie22 R22 n Rnn Ienn ∑ ∑ ∑ ∑ (15) ∑ ∑ Vt ij Rij pour i, j = 1K n Les termes de la matrice ∆I correspondent aux courants injectés dans les conducteurs par les sources de courant équivalentes. En introduisant (15) dans (14), on obtient une relation du type : (16) V = −Z c I + U e où: I e11 − I e1 j j ≠1 M n i (17) U e = Z c I eij − I eij j =1 j =i +1 M n I enj j =1 La tension au port i est ensuite obtenue par application du principe de superposition, et correspond à la somme des tensions produites par Ue : (18) Vi = ∑ Vi U =U ,U = 0 ∑ V (b) Mode commun R11 ∑ ∑ 2 Uen Rnn − I e1 j I e11 − I e1 j j ≠1 j ≠1 I e11 M M M n n i −1 i ∆I = I eii + I eij − I eij = I eij − I eij j =1 j =1 j =i +1 j =i +1 M M M I enn n−1 n I enj I enj j =1 j =1 où I eij = Vt22 R12 et : 2 R11 R1n I' = I − ∆I ∑ 1 R12 Kirchhoff des courants, appliquées au circuit présenté figure 6 : V = − Z c I' (14) V ∑ ∑ j m= j ei m≠ j pour i, j = 1K n Finalement, les équations (12) et (18) permettent d’obtenir les expressions des tensions Vi pour des sources associées à ce même port ou à un port différent : 1 (19) Vi = U i + ∑ U j Sij 2 j III.4 Paramètres S de mode différentiel Fig.6 – Détermination des paramètres S généralisés de mode différentiel : sources de courant III.3 Expressions analytiques En accord avec la définition des tensions de mode différentiel, les paramètres S généralisés de mode différentiel S ( m ,r )( p , q ) sont associés aux paires (m, r) et Les équations suivantes correspondent aux relations de circuit issues de la loi d’Ohm et de la loi de (p, q) (figure 7). Leur expression en fonction des tensions de mode commun Vm et Vr est donnée par : S (m,r )( p ,q ) = 2(Vm − Vr ) Vt pq (20) la source Vtpq étant activée. r a S (m , r )( p ,q ) m … … b … c p d q S( m , 0 )( p , q ) Potential reference Fig.10 – Comparaison des paramètres S(5,6)(3,4) Fig.7 – du paramètre S ( m ,r )( p , q ) III. CONCLUSION D’après (19), le paramètre S ( m ,r )( p , q ) peut s’écrire sous la forme suivante, Ue correspondant à la source équivalente Vtpq : ( U m − U r + ∑ U j S mj − S rj S (m, r )(p,q ) = ) (21) j Vd pq Cet article présente une méthode originale permettant de déterminer les paramètres S de mode différentiel à partir des paramètres S de mode commun. Ces caractéristiques, bien adaptée aux configurations des câblages automobiles, permettent en effet de mettre en évidence les phénomènes de couplage inhérents aux faisceaux électriques. REFERENCES III. APPLICATION [1] David E. Bockelman, William R. Eisenstadt, Considérons l’exemple d’une ligne à (4+1) conducteurs (figure 8) dont la section est illustrée figure 9. Les conducteurs, de longueur 1 mètre, sont située à une hauteur de 20mm au-dessus d’un plan de masse constituant la référence de potentiel. d23 désigne la distante entre les conducteurs 2(6) et 3(7). 1 Load [2] 5 6 2 3 4 Load 7 [3] 8 Potential reference Fig.8 – Configuration étudiée [4] [5] Fig.9 – Section des conducteurs [6] La figure 10 compare les valeurs obtenues pour le paramètre de mode différentiel S(5,6)(3,4) pour différentes valeurs de la distance d23 . L’amplitude de ce paramètre, caractérisant le couplage entre les paires (5,6) et (3,4), décroît lorsque distance d23 augmente. Ces résultats mettent ainsi en évidence l’intérêt de cette méthode vis-à-vis de la prédiction des couplages. [7] "Combined differential and common-mode scattering parameters: theory and simulation", IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.43, No.7, July1995, pp. 1530 – 1539 David E. Bockelman, William R. Eisenstadt, R. Stengel, "Accuracy estimation of mixed-mode scattering parameter measurements", IEEE Transactions on Microwave theory and techniques, vol. 47, No. 2, January 1999, pp. 102 – 105 S. Back, S. Ahn, J. Park, Joungho. Kim, Jonghoom. Kim, J-H. Cho, "Accurate high frequency lossy model of differential signal line including mode-conversion and common-mode propagation effect", IEEE International symposium on electromangnetic compatibility, Santa Clara, CA, August 9-13 2004, pp. 562 – 566 Yoshio Kami, Fengchao Xiao, "Equivalent two-port network for indoor outlet and its application", International Symposium on Electromagnetic Compatibility, Barcelona, Spain, 4-8 September 2006, pp. 420– 425 S. Egot, M. Klingler, L. Koné, S. Baranowski, F. Lafon, C. Marot, "Modeling automotive electronic equipment in a realistic sub-system", International Symposium on Electromagnetic Compatibility, Barcelona, Spain, 4-8 September 2006 C. E. Baum, "Electromagnetic Topology for the Analysis and Design of Complex Electromagnetic Systems", Fast Electrical and Optical Measurements, Vol. I, eds. I.E. Thompson and L.H. Luessem, Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986 C. E. Baum, T. K Liu, F. M. Tesche, "On the Analysis of General Multiconductor Transmission Line Networks", Interaction Note 350, Kirtland AFB, NM, 1978