Fonctions usuelles Fonctions usuelles Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme 1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance La fonction logarithme La fonction exponentielle La fonction puissance La fonction exponentielle de base a Croissances comparées 2 Fonctions trigonométriques réciproques Fonction Arc sinus La fonction Arccosinus La fonction Arctangente Les équations trogonométriques 3 Fonctions hyperboliques Équations hyperboliques Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme La fonction logarithme Il existe une unique fonction ln : ]0 , +∞[7−→ R telle que : ∀x > 0, Paris Descartes 0 ln (x) = 1 x 2012 — 2013 et ln 1 = 0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme É ∗ ∀a , b ∈ R+ , Paris Descartes ln(a.b) = ln a + ln b 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É 0 f (x) = a ax Paris Descartes = 1 x 0 = ln x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ donc : ∀x > 0, Paris Descartes ln(ax) − ln x = k 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ donc : ∀x > 0, É ln(ax) − ln x = k Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ donc : ∀x > 0, É ln(ax) − ln x = k Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k Paris Descartes donc : k = ln a 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ donc : ∀x > 0, ln(ax) − ln x = k É Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k É Finalement : ∀x > 0, ln(ax) − ln x = ln a Paris Descartes donc : k = ln a 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 1 soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax). É É 0 a f (x) = = 1 0 = ln x ax x 0 ∀x > 0, (f − ln) (x) = 0 donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[ donc : ∀x > 0, ln(ax) − ln x = k É Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k É Finalement : ∀x > 0, ln(ax) − ln x = ln a Paris Descartes donc : k = ln a ⇒ 2012 — 2013 ln(ax) = ln x + ln a Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme ∗ É ∀a , b ∈ R+ , É ∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z, ∗ Paris Descartes ln(a.b) = ln a + ln b n ln(a ) = n. ln a 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, Paris Descartes 2012 — 2013 p ln(a ) = p. ln a Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a p 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a n+ 1 n 1.3 ln(a ) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a p 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a n+ 1 n 1.3 ln(a ) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a 2. Pour n ∈ Z : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a p 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a n+ 1 n 1.3 ln(a ) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a 2. Pour n ∈ Z : n 2.1 ln(a .a Paris Descartes −n ) = ln 1 = 0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a p 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a n+ 1 n 1.3 ln(a ) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a 2. Pour n ∈ Z : n 2.1 ln(a .a −n ) = ln 1 = 0 n 2.2 D’autre part : ln(a .a Paris Descartes −n n ) = ln a + ln a 2012 — 2013 −n Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 2 1. Pour n ∈ N : par récurrence 1 1.1 ln a = ln a p 1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a n+ 1 n 1.3 ln(a ) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a 2. Pour n ∈ Z : n 2.1 ln(a .a −n ) = ln 1 = 0 n −n n 2.2 D’autre part : ln(a .a ) = ln a + ln a −n donc : ln a = −n. ln a Paris Descartes 2012 — 2013 −n Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme ∗ É ∀a , b ∈ R+ , É ∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z, É ∗ ln(a.b) = ln a + ln b n ln(a ) = n. ln a La fonction logarithme est une bijection continue et strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 1. ∀x > 0, 0 ln x = Paris Descartes 1 x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 1. ∀x > 0, 0 ln x = Paris Descartes 1 x >0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 0 1 > 0 donc : la fonction logarithme est x strictement croissante pour x > 0. 1. ∀x > 0, ln x = Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 0 1 > 0 donc : la fonction logarithme est x strictement croissante pour x > 0. 1. ∀x > 0, ln x = 2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 0 1 > 0 donc : la fonction logarithme est x strictement croissante pour x > 0. 1. ∀x > 0, ln x = n 2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc pour limite +∞. Donc : lim ln x = +∞ x→+∞ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 0 1 > 0 donc : la fonction logarithme est x strictement croissante pour x > 0. 1. ∀x > 0, ln x = n 2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc pour limite +∞. Donc : lim ln x = +∞ x→+∞ 1 3. lim (ln x) = lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞ x→+∞ x→+∞ x→0 x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme 3 0 1 > 0 donc : la fonction logarithme est x strictement croissante pour x > 0. 1. ∀x > 0, ln x = n 2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc pour limite +∞. Donc : lim ln x = +∞ x→+∞ 1 3. lim (ln x) = lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞ x→+∞ x→+∞ x→0 x Donc : ln : I =]0 , +∞[7−→ R est une fonction continue strictement croissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Rappel Théorème : Soit I un intervalle et f : I 7−→ R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I). 2. Si a et b sont les bornes de l’intervalle I, alors : lim f (x) et lim f (x) sont les bornes de l’intervalle f (I). x→a Paris Descartes x→b 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme ∗ É ∀a , b ∈ R+ , É ∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z, É ∗ ln(a.b) = ln a + ln b n ln(a ) = n. ln a La fonction logarithme est une bijection continue et strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Propriétés du logarithme ∗ É ∀a , b ∈ R+ , É ∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z, ln(a.b) = ln a + ln b ∗ n ln(a ) = n. ln a É La fonction logarithme est une bijection continue et strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R. É lim x→0 ln(1 + x) x Paris Descartes =1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln(1 + x) x→0 Paris Descartes x La fonction logarithme = lim x→0 ln(1 + x) − ln 1 x 2012 — 2013 0 = ln (1) = 1 1 =1 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Graphe de la fonction logarithme y log x 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction logarithme Graphe de la fonction logarithme y log x 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Propriétés du logarithme É La fonction logarithme est une bijection continue et strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Rappel Théorème : Soit I un intervalle et f : I 7−→ R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I). 2. Si a et b sont les bornes de l’intervalle I, alors : lim f (x) et lim f (x) sont les bornes de l’intervalle f (I). x→a x→b 3. La bijection réciproque de f est continue, strictement monotone et de même sens de variation que f . Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la fonction exponentielle. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la fonction exponentielle. x Notation : exp(x) ou e Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la fonction exponentielle. x Notation : exp(x) ou e exp est une fonction continue et strictement croissante définie sur R et à valeurs dans ]0 , +∞[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la fonction exponentielle. x Notation : exp(x) ou e exp est une fonction continue et strictement croissante définie sur R et à valeurs dans ]0 , +∞[ ¨ exp ln x = x ∀x > 0 On a : ln exp(x) = x ∀x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Propriétés de la fonction exponentielle É ∀a , b ∈ R, Paris Descartes exp(a + b) = exp(a). exp(b) 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Propriétés de la fonction exponentielle É É ∀a , b ∈ R, exp(a + b) = exp(a). exp(b) n ∀a ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(n.a) = exp(a) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Propriétés de la fonction exponentielle ∀a , b ∈ R, É exp(a + b) = exp(a). exp(b) n ∀a ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(n.a) = exp(a) É ∀x ∈ R, É 0 exp (x) = exp(x) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée d’une fonction réciproque Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction dérivable et strictement monotone. É f est bijective... Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée d’une fonction réciproque Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction dérivable et strictement monotone. É f est bijective... É Si g est la fonction réciproque de f , 1 0 g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) = Paris Descartes 2012 — 2013 f 0 g(x) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée d’une fonction réciproque Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction dérivable et strictement monotone. É f est bijective... É Si g est la fonction réciproque de f , 1 0 g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) = f 0 g(x) Puisque g est la fonction réciproque de f , ∀x ∈ J, (f ◦ g)(x) = x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée d’une fonction réciproque Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction dérivable et strictement monotone. É f est bijective... É Si g est la fonction réciproque de f , 1 0 g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) = f 0 g(x) Puisque g est la fonction réciproque de f , ∀x ∈ J, (f ◦ g)(x) = x 0 Donc : (f ◦ g) (x) = f Paris Descartes 0 0 g(x) .g (x) = 1 2012 — 2013 ⇒ 1 0 g (x) = f 0 g(x) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée de l’exponentielle (ln ◦ exp)(x) = x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée de l’exponentielle (ln ◦ exp)(x) = x 0 (ln ◦ exp) (x) = ln Paris Descartes 0 0 exp(x) . exp (x) = 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Dérivée de l’exponentielle (ln ◦ exp)(x) = x 0 (ln ◦ exp) (x) = ln Donc : 0 0 exp(x) . exp (x) = 1 1 0 exp (x) = Paris Descartes ln 0 = exp(x) 1 1 exp(x) 2012 — 2013 = exp(x) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque Si f est bijective, il existe f ∀x, (f ◦ f −1 )(x) = (f Paris Descartes −1 −1 telle que : ◦ f )(x) = x. 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque Si f est bijective, il existe f ∀x, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 −1 telle que : ◦ f )(x) = x. Alors : y = f (x) Paris Descartes ⇔ 2012 — 2013 x=f −1 (y) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque Si f est bijective, il existe f ∀x, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 −1 telle que : ◦ f )(x) = x. Alors : y = f (x) ⇔ x=f −1 (y) Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque Si f est bijective, il existe f ∀x, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 −1 telle que : ◦ f )(x) = x. Alors : y = f (x) ⇔ x=f −1 (y) Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f : (x , y) ∈ Gf ⇔ Paris Descartes (y , x) = (y , f −1 (y)) 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque Si f est bijective, il existe f ∀x, (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 −1 telle que : ◦ f )(x) = x. Alors : y = f (x) ⇔ x=f −1 (y) Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f : (x , y) ∈ Gf ⇔ Paris Descartes (y , x) = (y , f −1 (y)) ∈ Gf −1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque y (x, y) y x (y, x) 0 Paris Descartes x y 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe d’une fonction réciproque y (x, y) y x (y, x) 0 Paris Descartes x y 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe de la fonction exponentielle y log x 0 Paris Descartes 1 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe de la fonction exponentielle y log x 1 0 Paris Descartes 1 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction exponentielle Graphe de la fonction exponentielle y exp(x) log x 1 0 Paris Descartes 1 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance La fonction puissance Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel définit par : b a = exp(b. ln a) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance La fonction puissance Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel définit par : b a = exp(b. ln a) Soit b ∈ R, la fonction : u : ]0 , +∞[ 7−→ R x 7−→ u(x) = x b s’appelle la fonction puissance. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance La fonction puissance Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel définit par : b a = exp(b. ln a) Soit b ∈ R, la fonction : u : ]0 , +∞[ 7−→ R x b 7−→ u(x) = x = exp(b. ln x) s’appelle la fonction puissance. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Dérivée de la fonction puissance b u(x) = x = exp(b. ln x) 0 0 0 u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Dérivée de la fonction puissance b u(x) = x = exp(b. ln x) 0 0 0 b u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x) Paris Descartes 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Dérivée de la fonction puissance b u(x) = x = exp(b. ln x) 0 0 0 b u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x) x 0 u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Dérivée de la fonction puissance b u(x) = x = exp(b. ln x) 0 0 0 b u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x) x 0 u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x) = b. exp (b − 1). ln x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Dérivée de la fonction puissance b u(x) = x = exp(b. ln x) 0 0 0 b u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x) x 0 u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x) = b. exp (b − 1). ln x 0 u (x) = b x Paris Descartes b−1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b>0 É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement croissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b>0 É É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement croissante. lim (b. ln x) = +∞ x→+∞ Paris Descartes ⇒ b lim x = +∞ x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b>0 É É É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement croissante. lim (b. ln x) = +∞ x→+∞ lim (b. ln x) = −∞ x→0 ⇒ ⇒ b lim x = +∞ x→+∞ b lim x = 0 : x→0 la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b>0 É É É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement croissante. lim (b. ln x) = +∞ x→+∞ lim (b. ln x) = −∞ x→0 b ⇒ ⇒ lim x = +∞ x→+∞ b lim x = 0 : x→0 la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0 u(x) É Si b > 1 : lim x→0 x = lim x x→0 b−1 = lim exp (b − 1) ln x = 0 : x→0 0 la fonction puissance est dérivable à droite en 0, ud (0) = 0, et la tangente au graphe est horizontale. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b>0 É É É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement croissante. lim (b. ln x) = +∞ x→+∞ lim (b. ln x) = −∞ ⇒ x→0 b ⇒ lim x = +∞ x→+∞ b lim x = 0 : x→0 la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0 u(x) É Si b > 1 : lim x→0 x = lim x b−1 x→0 = lim exp (b − 1) ln x = 0 : x→0 0 la fonction puissance est dérivable à droite en 0, ud (0) = 0, et la tangente au graphe est horizontale. u(x) É Si 0 < b < 1 : lim = lim x b−1 = lim exp (b − 1) ln x = +∞ : x→0 x la fonction puissance n’est pas dérivable en 0, la tangente au graphe est verticale. x→0 Paris Descartes x→0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 b<0 É 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est strictement décroissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 b<0 É É 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est strictement décroissante. lim (b. ln x) = −∞ x→+∞ Paris Descartes ⇒ b lim x = 0 x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b u(x) = x = exp(b. ln x), 0 u (x) = b x b−1 b<0 É É 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est strictement décroissante. lim (b. ln x) = −∞ x→+∞ É lim (b. ln x) = +∞ x→0 Paris Descartes ⇒ ⇒ b lim x = 0 x→+∞ b lim x = +∞ x→0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Propriétés de la fonction puissance b ∈ R, x ∈]0 , +∞[, É b u(x) = x = exp(b. ln x), b−1 b<0 É É 0 u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est strictement décroissante. lim (b. ln x) = −∞ x→+∞ É lim (b. ln x) = +∞ x→0 É 0 u (x) = b x ⇒ ⇒ b lim x = 0 x→+∞ b lim x = +∞ x→0 b = 0. La fonction puissance est constante de valeur 1. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b>1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b>1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b>1 0<b<1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b>1 0<b<1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b= 1 b>1 0<b<1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction puissance Graphe de la fonction puissance y u(x) = xb b>1 b= 1 b<0 0<b<1 1 0 Paris Descartes x 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Exponentielle de base a Soit a > 0. La fonction v : R 7−→ R x x 7−→ v(x) = a = exp x. ln(a) s’appelle la fonction exponentielle de base a Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Exponentielle de base a Soit a > 0. La fonction v : R 7−→ R x x 7−→ v(x) = a = exp x. ln(a) s’appelle la fonction exponentielle de base a 0 x v (x) = ln(a). exp x. ln(a) = ln(a).a Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. 2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→+∞ Paris Descartes x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. 2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→+∞ x→+∞ 3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→−∞ Paris Descartes x→−∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. 2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→+∞ x→+∞ 3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→−∞ É Si a < 1 : 1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R, x→−∞ 0 v (x) < 0 la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. 2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→+∞ x→+∞ 3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→−∞ É Si a < 1 : 1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R, x→−∞ 0 v (x) < 0 la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante. 2. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→+∞ Paris Descartes x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Propriétés de l’exponentielle de base a x 0 x v(x) = a = exp x. ln(a) v (x) = ln(a).a É Si a > 1 : 1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R, 0 v (x) > 0 la fonction exponentielle de base a est strictement croissante. 2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→+∞ x→+∞ 3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→−∞ É Si a < 1 : 1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R, x→−∞ 0 v (x) < 0 la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante. 2. lim x. ln(a) = −∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = 0 x→+∞ x→+∞ 3. lim x. ln(a) = +∞ ⇒ lim exp x. ln(a) = +∞ x→−∞ Paris Descartes x→−∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Graphe de l’exponentielle de base a y v(x) = ax a>1 1 0 Paris Descartes 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Graphe de l’exponentielle de base a y v(x) = ax a<1 a>1 1 0 Paris Descartes 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 La fonction exponentielle de base a Fonctions usuelles Graphe de l’exponentielle de base a y v(x) = ax a<1 a>1 1 0 Paris Descartes 2012 — 2013 a=1 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ ∀x > 0, x Croissances comparées =0 ln x < x Paris Descartes ⇒ ln p p x < x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ x Croissances comparées =0 ∀x > 0, ln x < x ∀x > 1 : 0≤ Paris Descartes ⇒ ln p p x < x ln x x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ ∀x > 0, ∀x > 1 : x Croissances comparées =0 ln x < x 0≤ Paris Descartes ln x x ⇒ = ln 2 ln p p x < x p x x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ ∀x > 0, ∀x > 1 : x Croissances comparées =0 ln x < x 0≤ Paris Descartes ln x x ⇒ = ln 2 ln p p x < x p x x =2 ln 2012 — 2013 p x 1 p p x x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ ∀x > 0, ∀x > 1 : x Croissances comparées =0 ln x < x 0≤ Paris Descartes ln x x ⇒ = ln 2 ln p p x < x p x x =2 ln 2012 — 2013 p x 1 2 p p ≤p x x x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles lim ln x x→+∞ ∀x > 0, ∀x > 1 : x Croissances comparées =0 ln x < x 0≤ ln x x ⇒ = ln 2 ln p p x < x p x =2 x lim x→+∞ Paris Descartes ln ln x x p x 1 2 p p ≤p x x x =0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles e lim x→+∞ Croissances comparées x x = +∞ x Si u(x) = e : Paris Descartes lim u(x) = +∞ x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles e lim x→+∞ x = +∞ x Si u(x) = e : lim x→+∞ Croissances comparées x ln u(x) u(x) Paris Descartes lim u(x) = +∞ x→+∞ =0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles e lim x→+∞ x = +∞ x Si u(x) = e : lim x→+∞ Croissances comparées x ln u(x) u(x) Paris Descartes lim u(x) = +∞ x→+∞ x =0 ⇒ lim x→+∞ ln e x e 2012 — 2013 x = lim x→+∞ x e =0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles e lim x→+∞ x = +∞ x Si u(x) = e : lim x→+∞ Croissances comparées x ln u(x) u(x) lim u(x) = +∞ x→+∞ x =0 ⇒ lim ln e x x→+∞ e x = lim x→+∞ x e =0 x e lim x→+∞ Paris Descartes x = +∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim x→+∞ ln(x) x b ln(x) x a =0 b a Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim x→+∞ ln(x) x a b = b ln(x) x a =0 ln x b a xb Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim b ln(x) x→+∞ ln(x) x a x a =0 a b = ln x b a xb Paris Descartes = b ln x b b a a xb 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim b ln(x) x→+∞ ln(x) x a x a =0 a b = ln x b a xb Paris Descartes = b ln x b b a a a = b b ln x b b xb 2012 — 2013 a a xb Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim b ln(x) x→+∞ ln(x) x a x a =0 a b = ln x b a = b ln x b b xb a a a = b b ln x b b xb a a xb a En posant u(x) = x b : Paris Descartes lim u(x) = +∞ x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées a > 0, b > 0, lim b ln(x) x→+∞ ln(x) x a x a =0 a b = ln x b a = b ln x b b xb a a a = b b ln x b b a a xb xb a En posant u(x) = x b : lim u(x) = +∞ x→+∞ lim x→+∞ Paris Descartes ln(x) x b a 2012 — 2013 =0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées Exercices a > 0, b > 0 Paris Descartes b a lim x ln x = 0 x→0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées Exercices a > 0, b > 0 a > 0, b > 0 Paris Descartes b a lim x ln x = 0 x→0 lim exp(ax) x→+∞ 2012 — 2013 x b = +∞ Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Croissances comparées Exercices a > 0, b > 0 a > 0, b > 0 a > 0, b > 0 Paris Descartes b a lim x ln x = 0 x→0 lim exp(ax) x→+∞ x b = +∞ b lim x exp(ax) = 0 x→−∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − Paris Descartes 2012 — 2013 π 2 , π2 [. Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − lim x→0 Paris Descartes sin x x π 2 , π2 [. =1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus tan x sin x O Paris Descartes 2012 — 2013 x 1 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles x>0 sin x ≤ x ≤ tan x Paris Descartes Fonction Arc sinus ⇒ sin x sin x 2012 — 2013 x ≤ sin x ≤ tan x sin x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles x>0 sin x ≤ x ≤ tan x Paris Descartes Fonction Arc sinus ⇒1= sin x sin x 2012 — 2013 x ≤ sin x ≤ tan x sin x = 1 cos x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − lim x→0 Paris Descartes sin x x π 2 , π2 [. =1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − lim x→0 sin x x π 2 , π2 [. =1 0 sin x = cos x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim x→x0 Paris Descartes sin x − sin x0 x − x0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim sin x − sin x0 x→x0 sin x − sin x0 = 2 sin Paris Descartes x − x0 x − x0 2 . cos x + x0 2012 — 2013 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim sin x − sin x0 x→x0 sin x − sin x0 = 2 sin sin x − sin x0 x − x0 = Paris Descartes x − x0 x − x0 2 x − x0 2 sin . cos x + x0 x − x0 2 2 . cos 2012 — 2013 x + x0 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim sin x − sin x0 x→x0 sin x − sin x0 = 2 sin sin x − sin x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 = sin Paris Descartes x − x0 2 x − x0 2 sin x − x0 2 x − x0 . cos x + x0 x − x0 2 2 . cos x + x0 2 =1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim sin x − sin x0 x→x0 sin x − sin x0 = 2 sin sin x − sin x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 = sin Paris Descartes x − x0 2 x − x0 2 sin x − x0 2 x − x0 . cos x + x0 x − x0 =1 2 2 . cos x + x0 lim cos x→x0 2012 — 2013 2 x + x0 2 = cos x0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de la fonction sinus 0 sin x0 = lim sin x − sin x0 x→x0 sin x − sin x0 = 2 sin sin x − sin x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 = sin Paris Descartes x − x0 2 x − x0 2 sin x − x0 2 x − x0 . cos x + x0 x − x0 =1 2 = cos x0 2 . cos x + x0 lim cos x→x0 2012 — 2013 2 x + x0 2 = cos x0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[ π 2 , π2 [, à 0 sin x = cos x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[ 0 sin x = cos x > 0 puisque x ∈] − Paris Descartes 2012 — 2013 π 2 , π2 [, à π π , [ 2 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[ 0 sin x = cos x > 0 puisque x ∈] − π 2 , π2 [, à π π , [ 2 2 La fonction sinus est donc continue et strictement croissante sur ] − π2 , π2 [ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [ La fonction sinus est continue et dérivable sur ] − valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[ 0 sin x = cos x > 0 puisque x ∈] − π 2 , π2 [, à π π , [ 2 2 La fonction sinus est donc continue et strictement croissante sur ] − π2 , π2 [, c’est donc une bijection de cet intervalle sur l’intervalle ] − 1 , 1[. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction Arcsinus Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] − É π 2 , π2 [ qui vérifie : arcsin est continue et strictement croissante Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction Arcsinus Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] − É É π 2 , π2 [ qui vérifie : arcsin est continue et strictement croissante sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction Arcsinus Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] − É É π 2 , π2 [ qui vérifie : arcsin est continue et strictement croissante sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arcsin(sin x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La fonction Arcsinus Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] − É É É π 2 , π2 [ qui vérifie : arcsin est continue et strictement croissante sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arcsin(sin x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [ 2 2 cos (arcsin x)+sin (arcsin x) = 1 ⇒ cos(arcsin x) = Paris Descartes 2012 — 2013 p 1−x Mathématiques et calcul 1 2 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de Arcsinus La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et : 1 0 arcsin (x) = Paris Descartes sin 0 arcsin x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de Arcsinus La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et : 1 0 arcsin (x) = Paris Descartes sin 0 arcsin x = 2012 — 2013 1 cos arcsin x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus La dérivée de Arcsinus La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et : 1 0 arcsin (x) = sin 0 arcsin x = 0 arcsin (x) = p Paris Descartes 2012 — 2013 1 cos arcsin x 1 1−x 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus Les graphes de Sinus et Arcsinus y 1 sin x − π2 π 2 x −1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus Les graphes de Sinus et Arcsinus y 1 sin x − π2 π 2 x −1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus Les graphes de Sinus et Arcsinus y 1 sin x − π2 π 2 x −1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Fonction Arc sinus Les graphes de Sinus et Arcsinus y arcsin x π 2 1 − π2 sin x −1 1 π 2 x −1 − π2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[. 0 cos x = − sin x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus 0 cos x0 = lim x→x0 Paris Descartes cos x − cos x0 x − x0 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus cos x − cos x0 0 cos x0 = lim x→x0 cos x − cos x0 = −2 sin Paris Descartes x − x0 x − x0 2 . sin x + x0 2012 — 2013 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus cos x − cos x0 0 cos x0 = lim x→x0 cos x − cos x0 = −2 sin cos x − cos x0 x − x0 Paris Descartes =− x − x0 x − x0 2 x − x0 2 sin . sin x + x0 x − x0 2 2012 — 2013 2 . sin x + x0 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus cos x − cos x0 0 cos x0 = lim x→x0 cos x − cos x0 = −2 sin cos x − cos x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 sin Paris Descartes =− x − x0 2 2 x − x0 x − x0 2 x − x0 sin . sin x + x0 x − x0 2 2 . sin x + x0 2 =1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus cos x − cos x0 0 cos x0 = lim x→x0 cos x − cos x0 = −2 sin cos x − cos x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 sin Paris Descartes =− x − x0 2 2 x − x0 x − x0 2 x − x0 sin =1 . sin x + x0 x − x0 2 2 . sin lim sin x→x0 2012 — 2013 x + x0 2 x + x0 2 = sin x0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de la fonction cosinus cos x − cos x0 0 cos x0 = lim x→x0 cos x − cos x0 = −2 sin cos x − cos x0 x − x0 lim x→x0 2 x − x0 sin Paris Descartes =− x − x0 2 2 x − x0 x − x0 2 x − x0 sin =1 . sin = − sin x0 x + x0 x − x0 2 2 . sin lim sin x→x0 2012 — 2013 x + x0 2 x + x0 2 = sin x0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à valeurs dans ] − 1 , 1[ 0 cos x = − sin x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à valeurs dans ] − 1 , 1[ 0 cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à valeurs dans ] − 1 , 1[ 0 cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[ La fonction cosinus est donc continue et strictement décroissante sur ]0 , π[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction cosinus sur ]0 , π[ La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à valeurs dans ] − 1 , 1[ 0 cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[ La fonction cosinus est donc continue et strictement décroissante sur ]0 , π[ , c’est donc bijection de cet intervalle sur l’intervalle ] − 1 , 1[. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction Arccosinus Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie : É arccos est continue et strictement décroissante Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction Arccosinus Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie : É É arccos est continue et strictement décroissante cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction Arccosinus Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie : É É É arccos est continue et strictement décroissante cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[ 2 2 cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) = Paris Descartes 2012 — 2013 p 1−x Mathématiques et calcul 1 2 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction Arccosinus Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie : É É É É arccos est continue et strictement décroissante cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[ p 2 2 2 cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) = 1 − x ∀α, cos( π2 −α) = sin α ⇒ cos π2 −arcsin x = sin(arcsin x) = x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La fonction Arccosinus Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie : É É É É arccos est continue et strictement décroissante cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[ arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[ p 2 2 2 cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) = 1 − x ∀α, cos( π2 −α) = sin α ⇒ cos π2 −arcsin x = sin(arcsin x) = x arccos x + arcsin x = Paris Descartes 2012 — 2013 π 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de Arccosinus La fonction Arccosinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et : π arccos x + arcsin x = Paris Descartes 2 0 0 ⇒ arccos (x) = − arcsin x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus La dérivée de Arccosinus La fonction Arccosinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et : π arccos x + arcsin x = 2 0 arccos (x) = − p Paris Descartes 0 0 ⇒ arccos (x) = − arcsin x 2012 — 2013 1 1−x 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus Les graphes de Cosinus et Arccosinus y 1 π 2 cos x −1 Paris Descartes x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus Les graphes de Cosinus et Arccosinus y 1 π 2 cos x −1 Paris Descartes x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arccosinus Les graphes de Cosinus et Arccosinus y π arccos x π 2 1 −1 1 x cos x −1 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [ La fonction tangente est définie par : tan x = Paris Descartes sin x cos x π ∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z 2 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [ La fonction tangente est définie par : tan x = sin x cos x π ∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z 2 lim + tan x = −∞ x→− π2 Paris Descartes et 2012 — 2013 lim tan x = +∞ x→ π2 − Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [ La fonction tangente est définie par : tan x = sin x cos x π ∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z 2 lim + tan x = −∞ x→− π2 et lim tan x = +∞ x→ π2 − La fonction tangente est donc continue et dérivable sur ] − π2 , π2 [ à valeurs dans R. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La dérivée de la fonction tangente La fonction tangente est continue et dérivable, comme quotient de fonction continues et dérivables, sur ] − π2 , π2 [ et à valeurs dans R. 2 0 tan x = Paris Descartes 2 cos x + sin x 2 cos x 1 = 2 cos x 2012 — 2013 2 = 1 + tan x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La dérivée de la fonction tangente La fonction tangente est continue et dérivable, comme quotient de fonction continues et dérivables, sur ] − π2 , π2 [ et à valeurs dans R. 2 0 tan x = 2 cos x + sin x 2 cos x 1 = 2 cos x 2 = 1 + tan x La fonction tangente est donc continue et strictement croissante sur ] − π2 , π2 [, c’est donc une bijection de cet intervalle sur R. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction Arctangente Il existe une fonction arctan : R 7−→] − É π 2 , π2 [ qui vérifie : arctan est continue et strictement croissante Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction Arctangente Il existe une fonction arctan : R 7−→] − É É π 2 , π2 [ qui vérifie : arctan est continue et strictement croissante tan(arctan x) = x ∀x ∈ R arctan(tan x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La fonction Arctangente Il existe une fonction arctan : R 7−→] − É É π 2 , π2 [ qui vérifie : arctan est continue et strictement croissante tan(arctan x) = x ∀x ∈ R arctan(tan x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [ π É lim arctan x = x→+∞ Paris Descartes 2 π lim arctan x = − x→−∞ 2012 — 2013 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente La dérivée de Arctangente 0 ∀x ∈] − π2 , π2 [ tan x 6= 0, donc la fonction Arctangente est dérivable sur R et : 1 0 arctan x = Paris Descartes 2 1 + tan (arctan x) 2012 — 2013 = 1 1+x 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente Les graphes de Tangente et Arctangente y tan x − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente Les graphes de Tangente et Arctangente y tan x − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente Les graphes de Tangente et Arctangente y tan x − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction Arctangente Les graphes de Tangente et Arctangente y tan x π 2 arctan x − π2 π 2 x − π2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équation sin x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ Les équations trogonométriques a ∈ [−1 , 1] α = arcsin a, α ∈ [− π2 , π2 ] L’équation s’écrit : sin x = sin α Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équation sin x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ Les équations trogonométriques a ∈ [−1 , 1] α = arcsin a, α ∈ [− π2 , π2 ] L’équation s’écrit : sin x = sin α x+α sin x − sin α = 2 sin x−α cos 2 2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Les équations trogonométriques Équation sin x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ a ∈ [−1 , 1] α = arcsin a, α ∈ [− π2 , π2 ] L’équation s’écrit : sin x = sin α x+α sin x − sin α = 2 sin x−α cos =0 2 2 sin ou x−α cos Paris Descartes 2 x+α 2 = 0 ⇔ x = α + 2kπ, k∈Z = 0 ⇔ x = π − α + 2kπ, 2012 — 2013 k∈Z Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équation cos x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ Les équations trogonométriques a ∈ [−1 , 1] α = arccos a, α ∈ [0 , π] L’équation s’écrit : cos x = cos α Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équation cos x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ Les équations trogonométriques a ∈ [−1 , 1] α = arccos a, α ∈ [0 , π] L’équation s’écrit : cos x = cos α x+α cos x − cos α = −2 sin x−α sin 2 2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équation cos x = a, a ∈ [−1 , 1] ⇔ Les équations trogonométriques a ∈ [−1 , 1] α = arccos a, α ∈ [0 , π] L’équation s’écrit : cos x = cos α x+α =0 cos x − cos α = −2 sin x−α sin 2 2 x−α sin = 0 ⇔ x = α + 2kπ, k ∈ Z 2 ou sin x+α = 0 ⇔ x = −α + 2kπ, k ∈ Z 2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques On définit la fonction sinus hyperbolique par : x ∀x ∈ R Paris Descartes sh(x) = 2012 — 2013 e −e −x 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques On définit la fonction sinus hyperbolique par : x ∀x ∈ R sh(x) = e −e −x 2 On définit la fonction cosinus hyperbolique par : x ∀x ∈ R Paris Descartes ch(x) = 2012 — 2013 e +e −x 2 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Propriétés des fonctions sh et ch x sh(x) = É ∀x ∈ R e −e 2 −x x ch(x) = e +e −x 2 sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Propriétés des fonctions sh et ch x sh(x) = e −e 2 −x x ch(x) = e +e −x 2 É ∀x ∈ R sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire É ∀x ∈ R ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Propriétés des fonctions sh et ch x e −e sh(x) = 2 −x x ch(x) = e +e −x 2 É ∀x ∈ R sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire É ∀x ∈ R ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire É ch(x) + sh(x) = e x Paris Descartes et ch(x) − sh(x) = e 2012 — 2013 −x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Propriétés des fonctions sh et ch x e −e sh(x) = 2 −x x ch(x) = e +e −x 2 É ∀x ∈ R sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire É ∀x ∈ R ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire É ch(x) + sh(x) = e x É −x ch(x) − sh(x) = e 2 2 ch (x) − sh (x) = ch(x) + sh(x) ch(x) − sh(x) = 1 Paris Descartes et 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Dérivées et variations de sh et ch x É 0 sh (x) = e +e Paris Descartes 2 −x = ch(x) 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Dérivées et variations de sh et ch x É 0 sh (x) = e +e 0 ch (x) = = ch(x) 2 x É −x e −e Paris Descartes 2 −x = sh(x) 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Dérivées et variations de sh et ch x É 0 sh (x) = e +e 0 ch (x) = ∀x ∈ R = ch(x) 2 x É −x e −e 2 −x = sh(x) 0 sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Dérivées et variations de sh et ch x É 0 sh (x) = e +e 0 ch (x) = ∀x ∈ R = ch(x) 2 x É −x e −e −x = sh(x) 2 0 sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante. Si x > 0 x > −x Par imparité Paris Descartes ⇒ Si x > 0 Si x < 0 x e >e −x donc : sh(x) > 0 sh(x) < 0 2012 — 2013 ⇒ ⇒ ch croissante ch décroissante Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Dérivées et variations de sh et ch x É 0 sh (x) = e +e 0 ch (x) = ∀x ∈ R = ch(x) 2 x É −x e −e −x = sh(x) 2 0 sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante. Si x > 0 x > −x Par imparité ch(0) = 1 ⇒ Paris Descartes ⇒ Si x > 0 Si x < 0 x e >e −x donc : sh(x) > 0 sh(x) < 0 ⇒ ⇒ ch croissante ch décroissante ∀x 6= 0 ch(x) > 1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Limites des fonctions sh et ch x lim e = +∞ et x→+∞ É lim sh(x) = +∞ x→+∞ Paris Descartes lim e x→+∞ −x =0 lim sh(x) = −∞ x→−∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Limites des fonctions sh et ch x lim e = +∞ et x→+∞ É É x→−∞ lim ch(x) = +∞ x→−∞ x→+∞ Paris Descartes −x =0 lim sh(x) = −∞ lim sh(x) = +∞ x→+∞ lim e x→+∞ lim ch(x) = +∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Limites des fonctions sh et ch x lim e = +∞ É É x→−∞ lim ch(x) = +∞ x→−∞ x→+∞ ∀x ∈ R ch(x) − sh(x) = e x→+∞ −x =0 lim sh(x) = −∞ lim sh(x) = +∞ x→+∞ lim e et x→+∞ lim ch(x) = +∞ −x ¨ >0 ⇒ ch(x) > sh(x) lim ch(x) − sh(x) = 0 x→+∞ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Les graphes de sh et ch y sh x x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Les graphes de sh et ch y ch x sh x 1 x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction tangente hyperbolique On définit la fonction tangente hyperbolique par : ∀x ∈ R Paris Descartes th(x) = 2012 — 2013 sh(x) ch(x) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles La fonction tangente hyperbolique On définit la fonction tangente hyperbolique par : ∀x ∈ R th(x) = sh(x) ch(x) Dérivée : 0 0 th (x) = 0 sh (x) ch(x) − sh(x) ch (x) 2 = ch (x) 0 2 2 ch (x) 2 th (x) = 1 − th (x) = Paris Descartes 2 ch (x) − sh (x) 2012 — 2013 1 2 ch (x) Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Variations et limites de th(x) 0 th (x) = 1 2 ch (x) >0 La fonction tangente hyperbolique est donc strictement croissante sur R Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Variations et limites de th(x) 1 0 th (x) = >0 2 ch (x) La fonction tangente hyperbolique est donc strictement croissante sur R th(x) = Paris Descartes x −x x −x e −e e +e = x −2x x −2x e (1 − e e (1 + e 2012 — 2013 ) ) = 1−e 1+e −2x −2x Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Variations et limites de th(x) 1 0 th (x) = >0 2 ch (x) La fonction tangente hyperbolique est donc strictement croissante sur R th(x) = x −x x −x e −e e +e lim e x→+∞ Paris Descartes −2x = =0 x −2x x −2x e (1 − e e (1 + e ⇒ ) ) = 1−e 1+e −2x −2x lim th(x) = 1 x→+∞ 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Variations et limites de th(x) 1 0 th (x) = >0 2 ch (x) La fonction tangente hyperbolique est donc strictement croissante sur R th(x) = x −x x −x e −e e +e lim e x→+∞ −2x = =0 x −2x x −2x e (1 − e e (1 + e ⇒ ) ) = 1−e 1+e −2x −2x lim th(x) = 1 x→+∞ La fonction th étant impaire : lim th(x) = −1 x→−∞ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Graphe de tangente hyperbolique y th(x) 1 x −1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques Équation sh x = a sh(x) = a Paris Descartes ⇔ x a∈R e −e −x = 2a ⇔ 2012 — 2013 x 2 x e − 2ae − 1 = 0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques Équation sh x = a ⇔ sh(x) = a x a∈R e −e −x = 2a ⇔ x 2 x e − 2ae − 1 = 0 2 L’équation X − 2aX − 1 = 0 a une seule racine positive : p 2 a + a + 1. Æ 2 sh(x) = a ⇔ x = ln a + a + 1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques Équation ch x = a ch(x) = a Paris Descartes ⇔ x a≥1 e +e −x = 2a ⇔ 2012 — 2013 x 2 x e − 2ae + 1 = 0 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques Équation ch x = a ⇔ ch(x) = a x a≥1 e +e −x = 2a ⇔ x 2 x e − 2ae + 1 = 0 2 L’équation 0 a deux racines positives : p X − 2aX + 1 = p 2 2 u = a + a − 1 et v = a − a − 1 qui vérifient : uv = 1 Æ 2 ch(x) = a ⇔ x = ± ln a + a − 1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques Équation thx = a x th(x) = e −e x e +e −x −x thx = a Paris Descartes e −2x = ⇔ e −2x e −2x a ∈] − 1 , 1[ −1 +1 − 1 = a(e −2x 2012 — 2013 + 1) ⇔ 2x e = 1+a 1−a Mathématiques et calcul 1 Fonctions usuelles Équations hyperboliques a ∈] − 1 , 1[ Équation thx = a x th(x) = e −e x e +e −x −x thx = a 1+a 1−a e −2x = e ⇔ −2x e −1 +1 −2x − 1 = a(e −2x + 1) 2x ⇔ e = 1+a 1−a >0: thx = a Paris Descartes ⇔ x= 1 2 2012 — 2013 ln 1 + a 1−a Mathématiques et calcul 1