Exercices supplémentaires

Chapitre B : Les isométries
Exercices supplémentaires
(Enoncés)
Exercice 1:
Exercice 2 :
Remarque : pour le c), le cathète est le nom donné aux 2 côtés de l’angle droit du triangle rectangle.
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Chapitre B : les isométries
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Exercice 3 :
Exercice 4 : Démonstrations
a) Démontre que les diagonales d’un trapèze isocèle ont même longueur.
b) Démontre que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
c) ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en M.
P est le pied de la perpendiculaire à BD passant par A.
Q est le pied de la perpendiculaire à BD passant par C.
Démontre que les segments [PM] et [QM] ont la même longueur.
d) Soit un triangle isocèle ABC dont A est le sommet principal. Démontre que les hauteurs relatives
aux côtés [AB] et [AC] ont même longueur.
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Correctif :
Exercice 1 :
Les triangles n°3 et n°7. Il suffit d’utiliser la règle graduée et de comparer les mesures des côtés du
triangle coloré et les mesures des côtés correspondants dans les autres triangles. Utilisation du critère
CCC.
Exercice 2 :
a) Faux !
Il est possible de dessiner 2 triangles dont les angles homologues ont même amplitude mais dont
les côtés homologues ne sont pas de même longueur.
b) Vrai !
Car dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère ACA. En effet, dans un triangle
isocèle, les angles à la base ont même amplitude.
c) Vrai !
Car dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère ACA puisque dans un triangle
rectangle un angle est droit. Il s’agit du deuxième angle adjacent au cathète.
d) Faux !


Dans la première représentation, |AB| = |DE| et |AC| = |DF| mais | C | ≠ | F |.


Dans la seconde représentation, |AC| = |DF| et | C | = | F |, mais |AB| ≠ |DE|.
e) Vrai !
Car dans ce cas, il est possible de le prouver en utilisant le critère ACA. En effet, dans un triangle
obtusangle, le côté le plus grand est opposé à l’angle obtus, les deux angles aigus sont adjacents à
ce côté.
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Exercice 3 :
a) C
|BG| = |CF| car ce sont les diagonales d’un carré et elles ont donc la même longueur.
C
|BE| = |CH| car ce sont les diagonales d’un carré et elles ont donc la même longueur.
C
|EG| = |FH| car ce sont les diagonales d’un carré et elles ont donc la même longueur.
Quelques triangles isométriques au Δ BGE :
Δ CFH, Δ GED, Δ AFH, Δ ACH, Δ BDG, …
b) C
C
|AE| = |BF| car ce les côtés d’un carré et ils ont donc la même longueur.
|AG| = |BH| car ce sont les diagonales de rectangles isométriques (ACGE et BDHF), elles ont
donc la même longueur.
C
|EG| = |FH| car ce sont les diagonales d’un carré et elles ont donc la même longueur.
Quelques triangles isométriques au Δ AEG :
Δ CGE, Δ ACG, Δ BDF, Δ BDH, Δ CAG, …
Exercice 4 : Démonstrations
a) Hypothèses :
Dessin :
Trapèze isocèle ABCD
Thèse :
|AC| = |BD|
Démonstration :
Δ BAC iso Δ CDB car
C
|AB| = |DC| car les côtés non parallèles d‘un trapèze isocèle ont même longueur.
A
| A BC | = | D C B | car les angles à la base d’un trapèze isocèle ont même amplitude.
C
|BC| = |BC| car côté commun


Or si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés respectivement de
même longueur, alors ils sont isométriques.
Par conséquent, |AC| = |BD|
b) Hypothèses :
CQFD
Dessin :
Parallélogramme ABCD
Thèse :
|BO| = |DO| et |AO| = |CO|
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Démonstration :
Δ ADO iso Δ CBO car


A
| D A O | = | B C O | car ce sont des angles alternes internes, AD étant parallèle à BC.
C
|AD| = |BC| car les côtés opposés d’un parallélogramme ont même longueur.
A
| A D O | = | C B O | car ce sont des angles alternes internes, AD étant parallèle à BC.


Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordés par deux angles respectivement de même
amplitude, alors ils sont isométriques.
Par conséquent, |BO| = |DO| et |AO| = |CO|.
c) Hypothèses :
CQFD
Dessin :
Parallélogramme ABCD
[AP]  [DB]
P Є [DB]
[CQ]  [DB]
Q Є [DB]
Thèse :
|PM| = |MQ|
Démonstration :
Δ APM iso Δ CQM car


A
| A M P | = | Q M C | car ce sont des angles opposés par le sommet.
C
|AM| = |MC| car les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
A
| P A M | = | Q C M | car ce sont des angles alternes internes, en effet [AP] // [CQ] si deux


droites sont  à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordés par deux angles respectivement de même
amplitude, alors ils sont isométriques.
Par conséquent, |PM| = |MQ|
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d) Hypothèses :
Dessin :
Triangle ABC isocèle en A
[CF]  [AB]
F Є [AB]
[BE]  [AC]
E Є [AC]
Thèse :
|BE| = |CF|
Démonstration :
Δ AFC iso Δ AEB car


A
| C A F | = | B A E | car angle principal commun.
C
|AC| = |AB| car un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur.
A
| A C F | = | B E A | or ces deux triangles possèdent chacun un angle droit et ont l’angle


principal en commun, donc, les angles restants ont la même amplitude car dans un triangle,
la somme des amplitudes des angles internes vaut 180°.
Or si deux triangles ont un côté de même longueur bordé par deux angles respectivement de même
amplitude, alors ils sont isométriques.
Par conséquent, |BE| = |CF|
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