1 Chapitre 8 : Les puissances I. Puissances entières d’un nombre relatif 1)définitions 3 à la puissance 4 5 à la puissance 3 0 à la puissance 6 1 à la puissance 5 9 à la puissance 1 -3 à la puissance 4 34 3x3x3x3 81 53 5x5x5 125 06 0x0x0x0x0x0 0 15 1x1x1x1x1 1 91 9 9 (-3)4 Définition1 : On considère un nombre entier non nul n et a un nombre relatif : an = a x a x ax… x a avec n facteurs égaux à a. Cas particuliers : a1 = a pour tout nombre a a0 = 1 pour tout nombre a (Admis pour l’instant) 0p = 0 pour tout nombre p 1p = 1 pour tout nombre p Attention aux signes ! Ne pas confondre : (-3)4 = (-3)x(-3)x(-3)x(-3) = 81 et : - 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = -81 Calculer de même en appliquant la règle des signes : (-5)2 ; -12 ; (-1)2 ; -33 ; (-2)2 ; -72 ; (-9)0 ; -90 Réponses : 25 ; -1 ; 1 ; -27 ; -8 ; -49 ; 1 ; -1 (-3)x(-3)x(-3)x(-3) 81 2 Définition2 : On considère n un nombre entier non nul et a un nombre entier non nul. a-n est l’inverse de an . a-n =1/ an. 1 cas particulier : a 1 a 2) Opérations sur les puissances On considère m et n deux entiers et a un nombre relatif. am xan = am + n. Error! anx bn = (axb)n Error! = am – n = (Error!)n (am)n = am x n. Méthode: Exprimer sous d’une seule puissance : A= 45 x 54 B= 6 5 47 C = 73 x (72)6 D = 67 x 97 A= 45 x 54 B= 6 5 4-6 =5 47 = 45+7 = 412 = 5-2 D = 67 x 97 = (6 x 9)7 = 547 Conséquence : Prouvons que : a 0 1 2 a a a 2 1 a 0 2 2 II) Les puissances de 10 C = 73 x (72)6 = 73 x 72x6 = 73 x 712 = 73+12 = 715 3 1)écriture Définition :Pour tout nombre entier n non nul, 10n =1000..00 avec n zéros et 10-n =0,0…01 avec n zéros Exemples :1) 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000 (1 suivi de 5 zéros) 2) 101 = 10 (1 suivi de 1 zéro) 3) 10-1 = 0,1 (1 précédé de 1 zéro) 2)Opérations sur les puissances de 10 Formulaire: 106 = 1.000.000 sur des exemples 1 10 7 10-5 = 0,00001 10 2 = 10 2 - 8 8 10 6 10 (10 3 )4 = 10 3´ 4 10 -7 = 6 zéros 10 3 ´ 10 4 = 10 3+ 4 7 10 5 zéros 10 12 Remarque : La somme et la différence de deux puissances de 10 ne sont pas nécessairement des puissances de 10, par exemple : 103 + 102 III. Une nouvelle notation 1) Changements d’écriture Méthode: 1) Exprimer sous forme décimale les nombres suivants : 3,25 x 105 = 325 000 42,125 x 109 = 4 212 500 000 1589,2 x 10-4 = 0,15892 2) Compléter : 84,2645 x 10… = 84264,5 … x 10-3 = 0,12585 4587,26 x 10… = 45,8726 84,2645 x 103 = 84264,5 125,85 x 10-3 = 0,12585 4 4587,26 x 10-2 = 45,8726 2) La notation scientifique Exemples : 7,328 x 105 24,45 x 10-5 12,2 x 104 2,1 x 1047 0,2 x 10-1 9,99 x 10-7 La notation scientifique : 7,328 x 105 nombre compris entre 1 et 10 (10 exclu) x une puissance de 10 Méthode: Donner la notation scientifique des nombres suivants : A = 8 300 000 = 8,3 x 106 B = 0, 000 000 456 = 4,56 x 10-7 C = 0,002 31 = 2,31 x 10-3 D = 147,3 x 10 = 1,473 x 107 E = 0,0125 x 10 = 1,25 x 10-4 Compter le nombre de déplacements de la virgule 3) La notation scientifique sur la calculatrice OPERATION 850 000 x 450 000 8500 x 7200 x 2500 57 : 2 000 000 : 2 000 000 250 x 6500 x 9200 63 : 300 000 : 500 000 AFFICHAGE EN ECRITURE SCIENTIFIQUE 3,825 x 10 11 1,53 x 10 11 1,425 x 10 -11 1,495 x 10 10 4,2 x 10 -10 ECRITURE ENTIERE 382 500 000 000 153 000 000 000 0,000 000 000 014 25 14 950 000 000 0,000 000 000 42 A l'aide de la calculatrice, effectuer les opérations suivantes : (Donner le résultat sous son écriture scientifique) 1) 2,32 x 105 x 3,14 x 103 = 7,284 x 108 2) 4,12 x 1012 + 3,11 x 1011 = 4,431 x 1012 3) 3,125 x 1024 - 3,125 x 1023 = 2,8125 x 1024 4) 78,34 x 1058 = 7,834 x 1059 5) 9,82 x 10-7 x 6,18 x 10-8 = 6,06876 x 10-14 6) 2,14 x 107 x 9,14 x 108 = 1,95596 x 1016 7) 1,58 x 1022 + 1,32 x 1021 = 1,712 x 1022 1 x 1014 5 8) 3,895 x 1014 - 2,145 x 1013 = 3,6805 x 1014 4) Exercices type « brevet » Méthode: Donner la notation scientifique des nombres suivants : 4 3 32 10 6 10 7 ´ 10 -4 ´ 5 ´ 10 8 A = 4 ´ 10 -5 ´ 7 ´ 10-8 B= C = 5 56 ´ 10 -9 2 10 A = 4 x 7 x 10-5 x 10-8 = 28 x 10-13 = 2,8 x 10-12 7 ´ 5 10 -4 ´ 10 8 ´ 56 10 -9 10 4 = 0,625 x 10 -9 = 0,625 x 1013 = 6,25 x 1012 B= 0, 0032 + 0, 006 2 ´ 10 -5 0, 0092 1 = ´ -5 2 10 = 0,0046 x 105 = 4,6 x 102 C=