Lois des exposants IV

Lois des exposants IV
1. Comment interpréter les expressions où il y a un exposant qui est une fraction.
• Nous analysons ce qui se passe dans l’exemple suivant où nous généralisons encore
une fois le principe sur la multiplication des nombres avec des exposants.
1
1
92 × 92
1
1
= 92+2
= 91
= 9
1
• Donc 9 2 est un nombre qui, multiplié par lui-même, égale 9.
– Nous savons que le nombre qui, multiplié par lui-même, égale à 9 c’est
3.
√
1
– Nous énonçons l’hypothèse suivante: a 2 = a pourvu que a ≥ 0.
– Nous illustrons notre hypothèse dans un deuxième exemple.
1
1
16 2 × 16 2
1
√
9=
1
= 16 2 + 2
= 161
= 16
1
Donc 16 2 =
√
16 = 4.
• Nous énonçons formellement le principe suivant: pour tout nombre a ≥ 0
1
a2 =
1
√
a
1
– Il est facile de voir que 49 2 = 7. Mais que faire avec l’expression 2 2 ?
∗ Normalement nous laissons
√ ce genre d’expression telle quelle, c’est-à 1
2
dire, sous la forme 2 ou 2.
∗ Dans le concept intitulé Nombres irrationnelles sur la page des Concepts
1
vous verrez que 2 2 est un nombre irrationnelle.
∗ Vous y constaterez qu’il n’est pas possible d’écrire la racine carrée de 2
autrement.
1
1
2. Comment interpréter une expression telle que 27 3 .
1
1
1
1
1
1
= 93+3+3
27 3 × 27 3 × 27 3
= 271
= 27
1
• Donc 27 3 est un nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, égale 27.
√
1
• Il s’agit donc de la racine cubic de 27. C’est-à -dire 27 3 = 3 27 = 3.
√
1
• Nous énonçons l’hypothèse suivante: a 3 = 3 a pour tout nombre a (y inclus les
nombres négatifs).
• Nous illustrons notre hypothèse dans un deuxième exemple.
1
1
1
64 3 × 64 3 × 64 3
1
1
1
= 16 3 + 3 + 3
= 641
= 64
1
Donc 64 3 =
√
3
64 = 4.
1
laissons
– Encore une fois, lorsque nous avons une expression telle que 3 3 nous √
1
ce genre d’expression telle quelle, c’est-à -dire, sous la forme 3 3 ou 3 3.
1
∗ Le nombre 3 3 est un nombre irrationnel.
• Nous énonçons de façon formelle le principe suivant: Pour tout nombre a et
nombre entier n
√
1
an = n a
1
– À noter: Si le nombre a est négatif l’expression a n n’est bien définie que
dans le cas ou l’entier n est impair.
1
– Par exemple l’expression (−9) 2 n’a pas de valeur dans notre système numérique.
2
2
3. Comment interpréter une expression telle que 27 3 .
• Nous allons généraliser le principe (an )m = anm (voir le concept Exposants III)
pour que les puissance n et m puissent prendre la forme de fractions.
– Par exemple:
2
27 3
1
= (27 3 )2
= 32
= 9
– Voici un deuxième exemple:
2
64 3
1
= (64 3 )2
= 42
= 16
• Nous énonçons de façon formelle le principe suivant: Pour tout nombre a et
nombre entier n et m
√
1
n
a m = (a m )n = ( m a)n
√
n
– À noter: Si le nombre a est négatif l’expression a m = ( m a)n n’a une valeur
dans notre système numérique que dans le cas ou l’entier m est impair.
c Club Pythagore, 2007
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